PML吸收边界条件影响因素分析

PML吸收边界条件影响因素分析
丁科
【摘要】影响完全匹配层方法吸收效果的主要因素有吸收层厚度和衰减系数,笔者通过地震波场数值模拟,讨论了吸收层厚度和衰减系数对吸收效果的影响.研究表明,在衰减系数一定时,吸收层厚度越大,边界反射越弱.吸收层的厚度一般在12～20道较为适当,在吸收层的厚度比较小时,随着衰减系数的增大,边界反射逐渐减弱甚至完全没有边界反射,但是若再进一步增大衰减系数则又会逐步出现边界反射.因此,在实际应用中应该注意衰减系数的选择,衰减系数一般在500～2 000之间,衰减系数较大反而影响其效果.%The main factors which influence the absorbing effects of the perfectly matched layer ( PML) method are the thickness of absorbing layer and the attenuation coefficient. Based on the numerical simulation of the seismic wave field, the author discusses the impact of the thickness of absorption layer and the attenuation coefficient on the absorption effect. The results show that, under the condition of constant attenuation coefficient, the larger the thickness of the absorption layer is, the weaker the boundary reflection becomes. The absorption layer thickness of 12 -20 traces is fairly appropriate. When the thickness of the absorption layer is smaller, the boundary reflection gets more and more weaker or even becomes zero with increasing attenuation coefficient. Nevertheless, if the attenuation coefficient is further enlarged, the boundary reflection will gradually appear again. Therefore, we must pay attention to the choice of attenuation coefficient in practice. The attenuation coefficient is generally between 500 and 2000. If the
attenuation coefficient is larger than 3000, the absorption effect is not satisfactory.
【期刊名称】《物探与化探》
【年(卷),期】2012(036)004
【总页数】5页(P623-627)
【关键词】PML吸收边界;数值模拟;影响因素;波动方程
【作者】丁科
【作者单位】中南林业科技大学土木工程与力学学院,湖南长沙 410004
【正文语种】中文
【中图分类】P631.4
波场数值模拟技术对于研究波在声介质、弹性介质、粘弹性介质等各种介质中的传播规律有着非常重要的作用，也是用来检验各种数据处理方法有效性的常用工具。

通过正演模拟，可以正确认识波在复杂介质中传播的运动学和动力学特征，准确分析地下地质构造所产生的反射波场特征。

通过对已知模型的正演模拟研究得到的规律，可以加强人们对未知模型的认识能力，有助于解决实际问题。

目前波动方程数值解方法主要有有限差分法、频率—波数域法、Kirchhoff积分法、有限元方法、普元法、边界元法、广义屏法、格子法等。

由于波在地下介质中的传播是在无限区域内传播，而进行数值模拟时的计算区域必定是有限的，也就是在计算区域内介质的各种参数不为零，而在计算区域之外各参数均为零，这就人为地设置了边界，波在通过这些边界时，就会产生反射，干扰了有效波的信息，因此不管
哪一种数值模拟方法都会遇到人为的边界反射问题。

在进行模拟时，必须消除这种人工界面所产生的反射波等的干扰，这样就要有适当的边界处理方法。

目前消除或减弱人工边界影响的方法主要有两类：一类是透射边界条件，如透明边界法、傍轴近似法及其最优组合，这类方法是通过在边界上模拟出射波来避免人工边界处的人工反射的发生，但这类方法一般对大角度入射波效果不好；另一类是吸收边界条件，如衰减边界法、常规吸收边界法［1］、完全匹配层（perfectly matched layer，简称PML）法［2-8］等，该类方法一般通过扩展边界，在模拟区域外增加
一定厚度的吸收层，使入射波的能量逐渐变为零，这类边界条件目前应用比较广泛。

常规吸收边界法是先导出吸收边界条件方程，然后让方程与计算区域内的波动方程联立求解，使从人工边界向计算区域反射回来的波能够全部或部分被吸收，而PML法则是在所研究区域的边界上引入吸收层，波由研究区域边界传到吸收层时
不产生任何反射，在吸收层内按传播距离的指数规律衰减，不产生反射，从而达到吸收边界的效果。

目前，PML方法已在电磁波、声波、弹性波等多个领域得到广
泛的应用，是一种效果很好的吸收边界的方法。

影响PML方法吸收效果的主要因素有吸收层厚度和衰减系数，笔者对它们的影响效果进行了分析。

1 基本原理
PML法的主要思想是在计算区域的周围加上完全匹配层，其作用是吸收边界反射波。

对于二维常密度情况下的纵波方程，可以表示为
式中：u（x，z，t）表示位移函数，C（x，z）表示纵波波速。

把位移函数分解为两项，即设
则式（1）所表示的二阶偏微分方程可以用
这样一组一阶偏微分方程表示，这里，ux表示位移在x方向的分量，uz表示位移在z方向的分量，Ax、Az是引入的中间变量。

方程（1）与方程组（2）～（6）
是等价的，波在计算区域内传播遵循上述方程，传播过程中没有能量衰减。

为了消除边界反射，必须使波在附加的PML中有衰减，为此加入指数衰减项到方程（3）～（6）中，可得
式（7）～式（10）中，q1（x）和q2（z）分别表示x方向和z方向的衰减系数，即q1（x）吸收x方向传播的波，q2（z）吸收z方向传播的波。

对于任意方向传播的波，可以按照矢量分解的方式分解成x方向和z方向传播的波，然后分别进行衰减。

关于衰减函数，通常采用如下两种形式［3，5-6，8］，分别表示为：
其中：h是PML的深度，H是PML的总深度。

对于第二种形式，Hastings等［8］经过实验证明，当 n=4时具有较好的吸收效果和稳定性。

图1和图2分别
显示了这两种衰减函数的变化曲线，以及对子波的衰减效果。

从图中可以看出，这两种衰减函数的衰减效果均比较好，第二种形式的衰减函数随着n值的增大，在
边界处衰减得越快。

笔者仅讨论第一种形式的衰减函数，即式（11）所表示的衰
减函数，在计算区域波的传播遵循式（2）～式（6），在PML区域遵循式（2）
和式（7）～式（10），在 PML中的波速分别是边界处波速的常数扩展，即在图
3所示区域1中，速度C在z方向为常数，在x方向和边界处速度相等；在区域2中，速度C在x方向为常数，在z方向和边界处速度相等；在区域3中，速度C
等于角点处速度。

图1 公式（11）衰减函数曲线及对子波的衰减效果
2 公式（12）衰减函数曲线及对子波的衰减效果（n=4）
图3 PM L边界示意
2 数值模拟
2.1 PM L吸收边界的成像效果
为了验证PML吸收边界的有效性，设计了一个模型大小为4 km×4 km，网格尺寸为10 m×10 m，速度为3 000 m/s的均匀二维模型，运用有限差分进行波场模拟，其边界条件分别为自由边界、常规吸收边界、PML边界。

如图4所示，分别为这三种边界在时间为900 ms时的波场快照。

从图中可以看出，PML边界条件的效果要优于其他两种边界。

图4 不同边界条件时的波场快照a—自由边界；b—常规吸收边界；c—PML边界2.2 影响PM L边界吸收效果的因素
从式（11）可以看出，影响PML边界吸收效果的主要因素有吸收层厚度H和衰减系数q max。

对于图4所示的模型，设置了几组不同的H和q max分别计算其波场，图5显示了不同衰减系数q max的边界反射情况（H=10道，t=900 ms），由图可以看出，衰减系数较小（q max=300）或较大（q max=3 000）时，其边界反射均较强烈。

图6为不同吸收层厚度H的边界反射情况（q
max=300），从图中可以看出，当衰减系数一定时，吸收层厚度越大，则边界反射越弱。

图5 边界反射随衰减系数q m ax的变化
图6 边界反射随吸收层厚度H的变化
图7 所示为900 ms时的波场快照。

根据计算结果，影响PML边界吸收效果的主要因素是吸收层厚度。

在吸收层厚度一定时（H=10道），当衰减系数比较小时（如q max=100），PML边界依然会产生较强的边界反射，此后随着衰减系数的增大边界反射逐渐减弱甚至完全没有边界反射（如q max=1 000），但是若再进一步增大衰减系数则又会逐步出现边界反射，如q max=3 000时，边界反射已
经相当强烈了。

从图7可知，衰减系数在500～2 000之间比较合适，而吸收层厚度处于12～20之间比较恰当。

2.3 复杂模型的波场模拟
图7 不同衰减系数和吸收层厚度的波场快照
图8 复杂的地质模型
图9 常规吸收边界的炮点记录
图10 PM L吸收边界的炮点记录
笔者设计了一个比较复杂的地质模型（图8），模型大小为2 km×2 km，运用有限差分法计算时的网格尺寸为5 m×5 m，炮点位于500、100 m处，图9为常规吸收边界条件合成的单炮记录，图10是用PML吸收边界合成的单炮记录，计算时取q max=1000，H=20，可以明显看出，PML吸收边界的边界反射相当弱。

3 结论
笔者采用三角函数形式的衰减函数，讨论了吸收层厚度和衰减系数对完全匹配层吸收边界的影响，对于波场数值模拟和偏移成像算法的实现具有一定指导作用。

（1）完全匹配层吸收边界是波场数值模拟中消除边界反射比较有效的方法之一，该方法通过在研究区域的边界上加入吸收层，使边界上传入吸收层的波随传播距离按指数规律迅速衰减，达到消除反射波的目的。

（2）在吸收层的厚度比较小时，随着衰减系数的增大，边界反射逐渐减弱甚至完全没有边界反射，但是若再进一步增大衰减系数则又会逐步出现边界反射。

因此，在实际应用中应该注意衰减系数的选择。

参考文献：
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