吉安市X中学八年级数学下册第十九章平面直角坐标系19.2平面直角坐标系平面直角坐标系中的解题技巧素材

平面直角坐标系中的解题技巧［例1］指出下列各点所在象限或坐标轴.
A(－1，－2.5)，B(3，－4)，C(－
5
,
3
1
)，D(7，9)，E(－π，0)，F(0，－3
2
)，G(0，
0).
分析：判断某一点所在象限或坐标轴，主要看这一点的横、纵坐标的符号，根据各象限内点的符号特点，以及坐标轴上的点的坐标特点就可以知道这一点所在的象限或坐标轴. 解：点A在第三象限；点B在第四象限；点C在第二象限；点D在第一象限；点E在x轴上；点F在y轴上；点G是坐标原点.
［例2］如果点P的坐标为(a，b)，它关于y轴的对称点为P，而P1关于x轴的对称点为P2，点P2的坐标为(－2，3).
求A.b的值.
分析：关于x轴、y轴、原点对称点的坐标特征是：关于x轴对称的点，其横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，其横坐标互为相反数，纵坐标相同；关于原点对称的点，其横坐标、纵坐标互为相反数，根据其坐标特点，求解答案.
解：由题意可知P2(－2，3)得P1(－2，－3).
∴P(2，－3)，∴a=2，b=－3.
［例3］点M(a，b)为平面直角坐标系中的点.
(1)当a＞0，b＜0时，点M位于第几象限？
(2)当ab＞0时，点M位于第几象限？
(3)当a为任意实数，且b＜0时，点M位于第几象限？
分析：要判断点所在象限，需根据条件确定点横、纵坐标的符号，即A.b的符号.
解：(1)由a＞0，b＜0可知点M的横坐标符号为正，纵坐标符号为负，故可依各象限点的坐标的符号特征判定M点在第四象限.
(2)∵ab＞0；则a＞0，b＞0，或a＜0，b＜0.
∴点M在第一象限，或点M在第三象限.
(3)∵a为任意实数，所以可取正数、零或负数，而b＜0，则说明纵坐标为负数.
∴可判定有三种情况.
即点M位于第四象限、第三象限或y轴的负半轴上.
［例4］若点P(2x －1，x+3)在第二、四象限的角平分线上，求P 点到x 轴的距离. 分析：因点P 在第二、四象限的角平分线上，所以，点P 横、纵坐标是一对互为相反数，由此可求得点P 的坐标，点P 到x 轴距离就是该点纵坐标的绝对值. 解：由题意得(2x －1)+(x+3)=0
∴x=－32
.
即P(－37，37)，所以点P 到x 轴的距离为37
.
2 求解二元一次方程组 第1课时 代入消元法
1．了解二元一次方程组的“消元”思想，体会学习数学中的“化未知为已知”、“化复杂为简单”的化归思想．
2．了解代入消元法的概念，掌握代入消元法的基本步骤． 3．会用代入消元法求二元一次方程组的解．
重点
了解代入法的一般步骤，会用代入法解二元一次方程组． 难点
理解代入消元法解方程组的过程．
一、情境导入
师：我们首先来看一下第一节中的问题：牛比马多驮了2个包裹，若马拿出1个包裹给牛，那么牛的包裹数量是马的包裹数量的2倍，它们各驮了多少包裹呢？
生：根据题意，我们可以设牛驮了x 个包裹，马驮了y 个包裹，则可得方程组：
⎩
⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋1＝2（y －1）. 师：那么怎么解这个方程组呢？
学生讨论回答．
生：由x －y ＝2，得y ＝x －2.将y ＝x －2代入x ＋1＝2(y －1)中，得x ＋1＝2(x －2－1)，解这个一元一次方程得x ＝7，把x ＝7代入y ＝x －2中，得y ＝5.所以二元一次方程组
的解为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝5.所以牛驮了7个包裹，马驮了5个包裹．
师：很好！但是你们所求出的方程组的解正确吗？
让学生将求出的未知数的值代入原方程组，验证结果是否正确． 二、探究新知
课件出示教材第108页例1.
学生独立完成解方程组后，提出问题：每一个二元一次方程的解都有无数个，而方程组的解是方程组中各个方程的公共解，前面的方程中我们找到了这个公共解，但如果数据不巧，就没那么容易．那么，有什么方法可以获得任意一个二元一次方程组的解呢？
教师根据学生的实际情况进行生与生、师与生之间的相互补充与评价，并提出下面的问题：
(1)给这种解方程组的方法取个什么名字好？ (2)上面解方程组的基本思路是什么？ (3)主要步骤有哪些？
(4)我们观察例题的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步．你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？
由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法，请学生小组的代表回答或学生举手回答，其余学生可以补充，力求让学生能够回答出以下的要点，教师要板书要点，在学生回答时注意进行积极评价．
(1)在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入另一个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”，达到消元的目的．我们将这种方法叫代入消元法．
(2)解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”．
(3)解上述方程组的步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来．
第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得到一个一元一次方程．
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值．
第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值．
第五步：把方程组的解表示出来．
第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)，即把求得的解代入每一个方程看是否成立．
(4)用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形．
三、举例分析
课件出示教材第109页例2.
分析：此题不同于例1, (即用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数)，②式不能直接代入①，那么我们应当怎样处理才能转化为例1②式这样的形式呢？(应先对②式进行恒等变化，把它化为例1中②式那样的形式．)
分小组合作完成上述例题，请两个小组的代表上黑板板演．
四、练习巩固
教材第109页“随堂练习”．
五、小结
师生相互交流总结解二元一次方程组的基本思路是“消元”，即把“二元”变为“一元”；解二元一次方程组的第一种解法——代入消元法，其主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．解这个一元一次方程，便可得到一个未知数的值，再将所求未知数的值代入变形后的方程，便求出另一个未知数的值．即求得了方程组的解．
六、课外作业
教材第110页习题5.2第1～2题．
二元一次方程组的解法是学习二元一次方程组的重要内容．教材通过上一小节的实际问题，比较一元一次方程的列法和解法，从而自然引入二元一次方程组的代入消元解法．回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有了很好的认知基础，探究显得十分自然流畅．在学生总结解题步骤的环节，一定要留给学生足够的观察、思考、总结、组织语言的时间，训练学生的观察、归纳能力，提高学生的学习能力．
17.2 勾股定理的逆定理
学校：姓名：班
级：考号：
评卷人得分
一、选择题
1. 在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c且(a+b)(a-b)=c2,则()
A. ∠A为直角
B. ∠C为直角
C. ∠B为直角
D. △ABC不是直角三角
形
2. 满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是()
A. 三内角之比为1∶2∶3
B. 三边长的平方之比为
1∶2∶3
C. 三边长之比为3∶4∶5
D. 三内角之比为
3∶4∶5
3. 下列几组数:①9,12,15,②8,15,17,③7,24,25,④n2-1,2n,n2+1(n是大于1的整数),其中是勾股数的有()
A. 1组
B. 2组
C. 3
组 D. 4组
4. 以下定理,其中有逆定理的是()
A. 对顶角相等
B. 互为邻补角的角平分线互相垂直
C. 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互
补
D. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方
5. 下列各组数中,是勾股数的是()
A. 14,36,39
B. 8,24,25
C.
8,15,17 D. 10,20,26
6. 如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为()
A. 90°
B. 60°
C.
45° D. 30°
7. 一个三角形三边长a,b,c满足|a-12|++(c-20)2=0,则这个三角形最长边上的高为()
A. 9.8
B. 4.8
C.
9.6 D. 10
评卷人得分
二、填空题
8. 如图所示,点A为小红家的位置,点B为小明家的位置,点C为学校的位置,三地之间的距离如图,已知学校在小明家的正西方向,则小红家在小明家的方向.
9. 若一个三角形的三边长分别为m+1,m+2,m+3,那么当m=时,这个三角形是直角三角形.
10. 把命题“如果a>b,那么ac>bc(c≠0)”的逆命题改写为“如果……,那么……”的形式:
11. 已知a,b,c是△ABC的三边,且满足|a-3|++(c-5)2=0,则此三角形的形状
是.
评卷人得分
三、解答题
12. 在B港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里的速度前进,乙船沿南偏东某个角度的方向以每小时15海里的速度前进,2小时后,甲船到M岛,乙船到P岛,两岛相距34海里,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
13. 如图所示,已知△ABC的三边分别是a,b,c,且a+b=4,ab=1,c=,试判断△ABC的形状.
14. 如图所示的一块地,已知AD=4m,CD=3m,AD⊥DC,AB=13m,BC=12m,求这块地的面积.
15. 如图,欲从一块三角形下脚料ADB中截出一个形如△ACD的工件,其中
AD=5dm,AB=14dm,AC=10dm,CD=5dm,求剩余部分△ABC的面积.
16. 已知:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.
求四边形ABCD的面积.
评卷人得分
四、证明题
17. 已知:如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD·BD.
求证:△ABC是直角三角形.
18. 如图,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6,求证:BA⊥AD.
参考答案
1. 【答案】A【解析】因为(a+b)(a-b)=a2-b2=c2,所以b2+c2=a
2.所以△ABC为直角三角形, ∠A为直角,故选A.
2. 【答案】D【解析】A项中,由三角形内角和为180°可得,三个内角分别为
30°,60°,90°,故此三角形是直角三角形.B项中,令三边长分别为a,b,c,则
a2∶b2∶c2=1∶2∶3,∴a2+b2=c2,故满足此条件的三角形是直角三角形.C项
中,a∶b∶c=3∶4∶5,设a=3k,则b=4k,c=5k,∴a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2=c2,∴是直角三角形. D项中的最大角为75°,故不是直角三角形.
3. 【答案】D【解析】①中因为92+122=152,所以是勾股数;②中因为82+152=172,所以是勾股数;③中因为72+242=252,所以是勾股数;④中因为(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2,所以是勾股数.故选D.
4. 【答案】D【解析】A定理的逆命题是“相等的两个角是对顶角”,不正确;B定理的逆命
题是“角平分线互相垂直的两个角是邻补角”,∵两条平行线被第三条直线所截得的同旁内
角的平分线也互相垂直,∴该逆命题不成立;C定理的逆命题是“如果两个角相等或互补,那么
一个角的两边与另一个角的两边分别平行”,∵当两个角相等或互补时,一个角的两边与另一
个角的两边可能分别垂直,∴该逆命题不成立;D定理的逆命题为勾股定理的逆定理.综上可知A,B,C三个定理均无逆定理,故选D.
5. 【答案】C【解析】确定勾股数只需验证两小数的平方和与大数平方是否相等.
∵142+362=1 492,392=1 521≠1492,∴A项不是勾股数;
∵82+242=640,252=625≠640,∴B项不是勾股数;
∵82+152=289,172=289,∴C是勾股数;
∵102+202=500,262=676≠500,∴D项不是勾股数.故选C.
6. 【答案】C【解析】连接AC,观察图形易知
AB=,BC=,AC=,所以△ACB为等腰三角形,又因为BC2+AC2=AB2, △ACB为等腰直角三角形,所以∠ABC=45°.
7. 【答案】C【解析】∵|a-12|≥0,≥0,(c-20)2≥0,∴由题意得，a-12=0, b-
16=0,c-20=0,则有a=12,b=16,c=20.∵a2+b2=122+162=400=202=c2,∴该三角形为直角三角形,c
为斜边.设斜边上的高为h.由面积公式得ab=ch,所以h===9.6.
8. 【答案】正北
【解析】因为82+152=172,所以△ABC为直角三角形,即AB与BC垂直.
9. 【答案】2
【解析】因为m+3>m+2>m+1,所以m+3为直角边,根据勾股定理得,(m+1)2+(m+2)2=(m+3)2,解
得m=2或m=-2(舍去).所以m=2.
10. 【答案】如果ac>bc(c≠0),那么a>b
【解析】根据命题写出它的逆命题,即原命题的题设是逆命题的结论,原命题的结论是逆命题的题设.
11. 【答案】直角三角形
【解析】∵|a-3|≥0,≥0,(c-5)2≥0,结合题意得a-3=0,b-4=0,c-
5=0.∴a=3,b=4,c=5,a2+b2=9+16=25=c2,∴△ABC是直角三角形.
12. 【答案】如图,甲船航行的距离为BM=8×2=16(海里),乙船航行的距离为
BP=15×2=30(海里).
∵162+302=1 156=342,∴BM2+BP2=MP2,
∴△MBP为直角三角形,且∠MBP=90°,
∴乙船是沿着南偏东30°的方向航行的.
13. 【答案】∵a+b=4,ab=1,∴(a+b)2=42=16,即a2+b2+2ab=16,
∴a2+b2=16-2ab=16-2×1=14,又∵c2=()2=14,∴a2+b2=c2,又∵a,b,c是△ABC的三边,根据勾股定理得△ABC为直角三角形.
14. 【答案】连接AC(如图).
∵AD⊥DC,
∴在Rt△ACD中,由勾股定理
得AC==5 m.
又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2,
∴△ABC为直角三角形,
∴这块地的面积为S
△ABC -S
△ACD
=AC×BC-AD×CD=×5×12-×4×3=24(m2).
15. 【答案】因为CD2+AD2=(5)2+52=100=AC2,
所以△ACD是直角三角形,且∠D=90°.
在Rt△ABD中,BD==3(dm),所以BC=BD-CD=(3-5) dm,
所以△ABC的面积为BC·AD=×(3-5)×5=(dm2).
16. 【答案】如图,作DE∥AB交BC于点E,连接BD,
则可以证明△ABD≌△EDB(ASA),
∴DE=AB=4,BE=AD=3.
∵BC=6,∴EC=BC-BE=3,∴EC=EB.
∵DE2+CE2=42+32=25=CD2,
∴△DEC为直角三角形,∴∠DEC=90°.
又∵EC=EB=3,
∴△DBC为等腰三角形,∴DB=DC=5.
在△BDA中,
∵AD2+AB2=32+42=25=BD2,
∴△BDA是直角三角形.
11 易得S △BDA =×3×4=6,
S △DBC =×6×4=12,
∴S △四边形ABCD =S △BDA +S △DBC =6+12=18.
17. 【答案】在Rt△ACD 和Rt△BCD 中,
∵AC 2=AD 2+CD 2,BC 2=CD 2+BD 2,
∴AC 2+BC 2=AD 2+2CD 2+BD 2=AD 2+2AD ·BD +BD 2=(AD +BD )2=AB 2,
∴△ABC 是直角三角形.
18. 【答案】延长AD 到点E ,使DE =AD ,连接BE .∵点D 是BC 的中点,∴BD =CD .在△ADC 和△EDB 中,CD =BD ,∠ADC =∠EDB ,AD =ED ,∴△ADC ≌△EDB ,∴EB =AC =13,AE =2AD =2×6=12.又∵AB =5,∴AB 2+AE 2=52+122=169=132=BE 2,∴△ABE 是直角三角形,且∠BAE =90°,∴BA ⊥AD .。