3.3 全称命题与特称命题的否定

3.3 全称命题与特称命题的否定

教学目标

1．进一步理解全称命题与特称命题的意义；

2．能准确地写出全称命题和特称命题的否定，并掌握其之间的关系。

教学重点：全称命题和特称命题的否定

教学难点：全称命题与特称命题的否定，及其它们之间的关系

教学过程：

一、创设情境

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与特称命题。全称命题与特称命题的否定如何写呢？二、活动尝试

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的菱形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）对于任意x∈R，x2-2x+1≥0

分析：（1）有些矩形不是平行四边形；

（2）存在一个素数不是奇数；

（3）存在x∈R，x2-2x+1<0.

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了特称命题.

三、师生探究

问题2：写出下列命题的否定

（1）有的三角形是等边三角形；

（2）p：有些函数没有反函数；

（3）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分.

分析：（1）任何三角形都不是等边三角形；

（2）任何函数都有反函数；

（3）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；

四、数学理论

1.全称命题、特称命题的否定

一般地，全称命题P：对所有的 x∈M,有P（x）成立；其否定命题┓P为：存在x∈M,使P （x）不成立。特称命题P：存在x∈M，使P（x）成立；其否定命题┓P为：对所有的 x∈M,有P（x）不成立。

在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

五、巩固运用

例1写出下列全称命题的否定：

（1）所有人都晨练；

（2）平行四边形的对边相等.

解：（1）：有的人不晨练；（2）存在平行四边形，它的的对边不相等.

例2写出下列命题的否定。

（1）所有自然数的平方是正数。

（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。

（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.

（4）有些质数是奇数。

解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。

（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。

（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。

（4）的否定：所有的质数都不是奇数。

解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。

例3写出下列命题的否定:

（1）三个给定产品都是次品；

（2）方程x2-8x+15=0有一个根是偶数。

解（1）在这三个产品中有一个产品不是次品；

（2）方程x2-8x+15=0的每一个根都不是偶数。

概念辨析：

命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：

1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。

3．原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则非q”；而它的否命题为“若非p，则非q”，既否定条件又否定结论。