6月人教版高中数学必修四 2.2.3向量数乘运算及其几何意义教学课件 (共23张PPT)

M 1 2 A C 1 a 2 C 1 b ; M 2 M D 2 1 D B 1 a B 1 b .
2 22
2 22
方法梳理
1.证明三点共线的方法：
要判A,断 B,C三点是否共线 是， 否只 存需 在 ， 看 实数
使得 ABAC (或BCAB 等.）
2.解决与向量共线有关的存在性问题的方法： 通常先假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程 求解.若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之不存在.
审题指导：此类问题只需利用向量数乘、加法、减法的 运算律化简即得结果。
规律方法：向量数乘运算类似于多项式的运算，主要是“合并 同类项”“提公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”都 是指向量，实数看成是向量的系数。
深
引入向量数乘后， 你能发现数乘向量与原
入
向量之间的位置关系吗？ 探
a
3a
究
aa a
小结回顾:
一、概念与定理 ① λa 的定义及运算律 ② 向量共线定理 ( a为非零向量 ) b=λa 向量a与b共线
二、知识应用：
1.证明 向量共线；
2.证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线；
3.证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD AB、CD不重合
直线AB∥直线CD
作业： P90练习：3，4，5，6.
O3a 与 Aa 共 B 线 C
对a 于 a 0 ,b ,向 以量 及 ，实数
问 1 :如 题 b 果 a ,那么 a 与 b 是 向 否 量 共线？ 如 b 果 a ，那么义 由知 数 a 与 b ： 共 乘向 线 向量 。 量
问 使2 b 题 得 : 如 a ?果 a 与 向向 量 b 共 量 线，那在 么实 是 ， 数 否一定
AC2AB
由向量共线定理知，
AC与 AB为共线向量 .
C
3b
B
2b
A
又 AA、 B和BA、CC有三共点同共的 .线起Aa， 点
bb
a
O
例7如图, ABCD的两条对角线相交于点M,
且 A B = a , A D b , 你 能 用 a , b 表 示 M A 、 M B 、 M C 和 M D
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
知识新授
一实 、数 实与 数与向向a量 的 量的积 积是 的定一 义个 ： 向量，记 a，它的长度和如 方下 向： 规定
1a a
2 当 0 时 a 的 ，方 a 的 向 方 与 向相
OB、OC，通过观察A、B、C三点的位
置关系，再用向量共线证明三点共线 .
解 ：如图分别作向量OA、OB、OC，过点A、C作直线AC， 观察A 发现 点O B始 终O B 在直 线a A B C2 上b ， A 猜( a 想 Ab 、) B 、b C三点共线。
ACOCOA a3b(ab) 2b
高中数学人教A版必修4
2.2.3向量数乘运 算及其几何意义
山东省栖霞市第二中学
学习目标
1.知识与技能： 通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向
量共线的含义；掌握共线向量的充要条件。 2.过程与方法：
由几个向量的和得出向量数乘运算的含义，从特殊到一般，经历向量 数乘概念的形成，探究共线向量的充要条件，培养学生类比归纳的能力。 3.情感态度与价值观：
初步体会实数与向量的乘积的含义及其几何意义，形成归纳、猜想与 论证的能力。
学习重点:
1.实数与向量积的意义. 2.实数与向量积的运算律. 3.两个向量共线的等价条件及其运用.
学习难点:
1.理解向量数乘运算的几何意义 2.对向量共线的等价条件的理解运用.
复习回顾
a
b
温故知新
向量的加法 O a A O a A
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/132021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月13日星期一2021/9/132021/9/132021/9/13 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/132021/9/13September 13, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/132021/9/132021/9/132021/9/13
5
2 .化 2 （ 简 4 a -3 b ） 1 b -1 （ 6 a -7 b ） 5a 11b
3.已知 3非零e1和 向e23 不 量共 4. 线
3 18
(1)如果 ABe1e2， BC2e18e2， CD3(e1e2),
求证A： ,B,D三点共 . 线
则 ((122【 )【 存 ))欲 （ k证 解 在 -使 k使 e） 明 1析 k ee5e1B A 1】 k2(】 和 ee（ B D 11,e eB 21eeB k D 22共 -与 k)C 1e（ )2ee共 15线 C 2e A ,1由 D e线 B， 2,k共 e于 2e2e， ） 1且 1与 线 e8试 ， 有 2e不 ， 2 确 B公 3共 .ek1的 定 共 线 3e值 实 .2点 ，数 只能k有 -A,B0,且 D三 k-点 1共 0， . 线 则 k1.
3(2a)
探 究
b
a
3(2a)=
6a
2a2b
ab
2b
2 (a b ) 2 a 2 b2a
知识新授
二、向量数乘的运算律：
， 是 实 数 ，
（ 1 ） （ a ) ( ) a ;
( 2 )( )a a a ;
(3 ) (a b ) a b .
向量的加、减算 、统 数称 乘为 运向量算 的。 线对 性于 运
3.本节学习中用到哪些思想方法：
特殊到一般，归纳、猜想、类比， 分类讨论，等价转化.
1.下列命题中，正确的是______.(填序号） (1)若a∥b，则 a与b方向相同或相反；
(((243)))向 如 ab量 果 A a与 ∥ B与 b(b,b向 ∥ a)C c量 是 ,那 D共 一么 a线 对 ∥， c相 ;A则 、 反B、 向C量 、D； 四点共线； (5)2a(a0)与5a的方向相反-， 2a的 且模5是 a的模的 2.
b a+b
B
C
向量的减法
a+b b
B
Oa
A
b
a-b
B
知识引入
探究: 已知非零向量 a , a 作出： a a a
和 a a a
你能说明它们的几何意义吗？
a
aaa
探 究
a aa
OAB C
类O 似数 的O 乘 C 法A ，我 A B 们把B a a C a a a a ,记3作 a
当 特 0 时 当 a 别 的 ， 0 或 a 方 0 a 时 的 地 a 向 方 0 .与 ， ， 向相
a
数乘向量的几何意义就是把向量 a,当 1时，沿 a 的方
向放大了 倍.当〈 0 〈1时，沿 a 的方向缩短了倍.
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/132021/9/13Monday, September 13, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021 10:45:21 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/132021/9/132021/9/13Sep-2113-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/132021/9/132021/9/13Monday, September 13, 2021
若向 a与 量 b共线，b且 的向 长a 量 度 的是 长度 倍的 ，即有 ba，a当 与 b同方向b时 a， ;当 a与 有 b反方向时，有 ba，所以始终， 有b使 一 a个 . 实数
知
三、共线向量定理：
识 向一量个b实与数非零，向使量得ab共 线a，当且仅当有唯一 新授 思 若 若但aa不考 1 )为 存b0，在： 什 b实0，a 数必 则0时么 使，存须 得虽在b然，是 b但与a是；非 a不共唯线零 一，. 向量？
向量 a、b，以及任意 、实 1、数 2，恒有
1 a 2 b 1 a 2 b
夯实基础
例5 计算:
((12))3((3a)b4a)2((a3b)4a)a3a132ba
2a
2b
a
5b
(3)(2a3bc)(3a2bc)
2a 3b c 3a 2b c a 5b 2c
解A ：C 在AA B BA CD D 中 ab
D
M
b
C
又 平 DB 行 AB 四 A边 D a 形 b线 的 互 A两 相 条 平 a对 分 B角 ，
M 1 A A C 1 ( a b ) 1 a 1 b
M 1 2 B D 1 B 2 ( a b ) 1 a 2 1 2 b
3a方向与a方向相同, |3a|=__3_|a|
探究
a ( a ) ( a ) ( a )
a a a
NM Q P
PNPQQMMN
(a)(a)(a)3(a) 3 ( a )与 a 方 向 3 ( a 相 ) 3 a 反， ( a ) ( a ) ( a ) 3 ( a ) 3 a
2)如何判断两个向量是否共线？
关键是看能否找到一个实数，使得b
a；
如果这样的实数不存在，那么这两个向量必不共线.
典型例题
知识应用
例试 6 如图O 作 ， A 已a 知b 任,O 意两 Ba 个非2b 零, 向a量
a、b,
b
O Ca3b.
你能判断A、B、C三点之间的位置
关系吗？为什么？
思路点拨：先利用向量加法作出OA、
当 1时,沿 a 的反方向放大了 倍.当〈 1 〈0时， 沿a 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出
用数乘向量能解决几何中的相似问题.
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为
非零向量)，并进行比较。
新 (2)已知向量 a,b，求作向量2(a+b) 、2a+2b，
知
并进行比较。 a