数学专题复习_函数的奇偶性

高一数学专题复习：函数的奇偶性
一、奇偶性的定义：
定义：对于函数y＝f(x)的定义域内任意一个值x，
若f(－x)＝f(x)恒成立，则函数y＝f(x)就叫做偶函数；
若f(－x)＝－f(x)恒成立，则函数y＝f(x)就叫做奇函数.
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。

说明：(1)奇偶性是对整个定义域而言，是函数的整体性质。

定义中的等式f(－x)＝f(x)（或f(－x)＝－f(x)）对定义域里的任意x都要成立，若只对个别x值成立，则不能说这函数是偶函数（或奇函数）(2)其定义域关于原点对称。

等式f(－x)＝f(x)（或f(－x)＝－f(x)）成立，除了表明函数值相等（或互为相反数）外，首先表明对定义域中的任意x来说，-x也应在定义域之中，否则f(－x)无意义。

由此得结论：凡是定义域不关于原点对称的函数一定是非奇、非偶的函数.
(3)奇函数若在0
x=时有定义，则f(0)＝0．
(4)偶函数f(x)有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)
(5)函数f(x)＝0既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足f(－x)＝f(x)也满足f(－x)＝－f(x)。

(6)四类函数：是奇函数不是偶函数，是偶函数不是奇函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数也不是偶函数。

(7)在公共定义域内，奇函数与奇函数的和为奇函数，偶函数与偶函数的和为偶函数，奇函数与奇函数的积为偶函数，偶函数与奇函数的和为奇函数。

二、奇偶函数图象的性质定理
定理：①奇函数的图象关于原点对称，反过来，若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；
②偶函数的图象关于y轴对称，反过来，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
即f(x)是奇函数⇔函数f(x)的图象关于原点对称；
f(x)是偶函数⇔函数f(x)的图象关于y轴对称；
三、函数奇偶性的判断方法
判定函数的奇偶性的方法有：(1)定义法，先看定义域是否关于原点对称，如y=x2，x∈［－1，1)，既非奇又非偶函数.
(2)特值法，起探路及判定否命题等作用，一方面，若f(－1)=f(1)〔f(－1)=－f(1)〕，则f(x)可能是偶(奇)函数.另一方面，若f(－1)≠f(1)〔f(－1)≠－f(1)〕，则f(x)一定不是偶(奇)函数.
(3)和、差法，若f(x)+f(－x)=0，则f(x)为奇函数；若f(－x)－f(x)=0，则f(x)为偶函数.该方法应用的前提是用“特值法”先探路.
(4)比值法，若f(x)／f(－x)=1(或－1)，则f(x)为偶(或奇)函数.(5)图象法，可直接根据图象的对称性来判定奇偶性.
例：已知函数f(x)满足f(x+y)+ f(x－y)=2f(x)·f(y)(x、y∈R)，且f(0)≠0，试证f(x)是偶函数.
证明：令x=y=0，有f(0)+f(0)=2f2(0).
∵f(0)≠0，∴f(0)=1.
令x=0，f(y)+f(－y)=2f(0)·f(y)=2f(y).
∴f(－y)=f(y).
∴f(x)是偶函数.
1.若y =f (x )在x ∈［0，+∞)上的表达式为y =x (1－x )，且f (x )为奇函数，则x ∈(－∞，0］时f (x )等于 （ ）
A.－x (1－x )
B.x (1+x )
C.－x (1+x )
D.x (x －1)
2．已知奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值是5，那么f(x)在区间[-7, -3]上是 ( )
A.增函数且最小值是-5；
B. 增函数且最大值是-5；
C.减函数且最小值是-5；
D. 减函数且最大值是-5.
3．若)(),(x g x q 均为奇函数，),0(1)()()(+∞++=在x bg x aq x f 上有最大值5，则在)0,(-∞上)(x f 有 （ ）
A 、最小值-5
B 、最小值-2
C 、最小值-3
D 、最大值-5
4．已知函数)(x f y =是偶函数，)2(-=x f y ，在[0，2]上是单调递减函数，则 （ ）
A 、)2()1()0(f f f <-<
B 、)2()0()1(f f f <<-
C 、)0()2()1(f f f <<-
D 、)0()1()2(f f f <-<
5．若函数)(x f y =是偶函数，R x ∈，在0<x 时，y 是增函数，对于||||,0,02121x x x x <><且，
则 （ ）
A 、)()(21x f x f ->-
B 、)()(21x f x f -<-
C 、)()(21x f x f -=-
D 、)()(21x f x f -≥-
6．若f (x )= 121-x +a (x ∈R 且x ≠0)为奇函数，则a =_______________.
7.已知f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数，且定义域为［a －1，2a ］，则a =_____________，b =____________.
8．若f (x )是偶函数，当x ∈［0，+∞)时，f (x )=x －1，则f (x －1)＜0的解集是_______________.
9． 定义在[2,2]-上的偶函数()g x ，当0x ≥时，()g x 为减函数，若(1)()g m g m -<成立，求m 的取值范围。

10.如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半
圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y=f(x)，并写出它的定
义域。