基于遗传算法的TSP问题解决

班级：智能1001
学号：20100840126
一:问题描述
旅行商问题，即TSP问题（Travelling Salesman Problem）又译为旅行商问题,货郎担问题，是数学领域中著名问题之一。

假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。

路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。

TSP问题是一个组合优化问题。

该问题可以被证明具有NPC计算复杂性。

因此，任何能使该问题的求解得以简化的方法，都将受到高度的评价和关注。

二:遗传算法的基本原理
遗传算法是由美国J. Holland 教授于1975 年在他的专著《自然界和人工系统的适应性》中首先提出的，它是一类借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的随机化搜索算法。

遗传算法模拟自然选择和自然遗传过程中发生的繁殖、交叉和基因突变现象，在每次迭代中都保留一组候选解，并按某种指标从解群中选取较优的个体，利用遗传算子(选择、交叉和变异)对这些个体进行组合，产生新一代的候选解群，重复此过程，直到满足某种收敛指标为止。

遗传算法，在本质上是一种不依赖具体问题的直接搜索方法，是一种求解问题的高效并行全局搜索方法。

遗传算法在模式识别、神经网络、图像处理、机器
学习、工业优化控制、自适应控制、负载平衡、电磁系统设计、生物科学、社会科学等方面都得到了应用。

在人工智能研究中，现在人们认为“遗传算法、自适应系统、细胞自动控制、混沌理论与人工智一样，都是对今后十年的计算技术有重大影响的关键技术”。

基本步骤为:
标准的遗传算法包括群体的初始化，选择，交叉，变异操作。

所示，其主要步骤可描述如下：
（1）随机产生一组初始个体构成的初始种群，并评价每一个个体的适配值。

（2）判断算法的收敛准则是否满足。

若满足输出搜索结果；否则执行以下步骤。

（3）根据适配值大小以一定方式执行选择操作。

（4）按交叉概率Pc 执行交叉操作。

（5）按变异概率Pm 执行变异操作。

（6）返回步骤（2）
算法流程图为:
三:TSP问题的遗传算法设计
初始种群：对于n个城市的问题，每个个体即每个解的长度为n ，用s 行, t列的pop矩阵表示初始群体，s表示初始群体的个数，t为n+1，矩阵的每一行的前n个元素表示城市编码，最后一个元素表示这一路径的长度。

这一算法通过start.m程序实现。

适应度：在TSP的求解中，可以直接用距离总和作为适应度函数。

个体的路径长度越小，所得个体优越，以pop矩阵的每一行最后一个元素作为个体适应值。

选择：选择就是从群体中选择优胜个体、淘汰劣质个体的操作，它是建立在群体中个体适应度评估基础上。

这里采用方法是最优保存方法。

算法就是首先将群体中适应度最大的k个个体直接替换适应度最小的k个体。

交叉：受贪婪算法的启发, 本文设计一种有目的使适应值上升的交叉算子。

已知两a1(m11,m12,m13,...,m1n),a2(m21,m22,m23,...,m2n)，算法产生后代a1’和a2’的过程如下：
(1) 随机产生一个城市d作为交叉起点, 把d作为a1’和a2’的起始点
(2) 分别从a1和a2中找出d的右城市dr1和dr2,并计算(d,dr1)和(d,dr2)的距离j1和j2。

(3) 如果j1<j2,则把dr1作为a1'的第二个点，从a1和a2中删除d，并且把当前点改为dr1.转步骤(5)。

(4) 如果j1>j2,则把dr2作为a1'的第二个点，从a1和a2中删除d，并且把当前点改为dr2。

(5) 若此时p1和p2的个数为1，结束，否则回到第二步继续执行。

同理，把第二步中的右城市改成左城市dle1和dle2，通过计算(d,d1e1)和(d,d1e2) 的距离并比较大小来确定子代a2'。

变异：变异操作是以变异概率Pm对群体中个体串某些基因位上的基因值作变动，若变异后子代的适应度值更加优异，则保留子代染色体，否则，仍保留父代染色体。

这里采用的方法是倒置变异法。

假设当前个体X为（1 3 7 4 8 0 5 9 6 2）。

如果Pm>rand，那么随机选择
来自同一个体的两个点mutatepoint(1)和mutatepoint(2)，比如说3和7，倒置P1和P之间的部分，产生下面的子体X'为(1 3 7 5 0 8 4 9 6 2)。

四：实验代码
1主函数部分
clc;
clear all;
close all;
global x y
cityfile = fopen( 'city30.txt', 'rt' ); %取30个城市的样本
cities = fscanf( cityfile, '%f %f',[ 2,inf] );
fclose(cityfile);
t=30+1; %城市的数目是30个
s=1500; %样本的数目是1400个
G=300; %运算的代数
c=25; %选择算子中每次替代的样本的数量
x=cities(1,:);
y=cities(2,:);
pc=0.10; %交叉的概率
pm=0.8; %变异的概率
pop=zeros(s,t); %得初始的pop矩阵，矩阵的最后一列表示所在行的样本的路径距离
for i=1:s
pop(i,1:t-1)=randperm(t-1); %随机产生1—（t-1）的t-1个数
end
for k=1:1:G %GA开始
if mod(k,50)==1
k
end
pop=distance(pop); %调用距离函数求距离
pop=select(pop,c); %调用选择函数
p1=rand;
if p1>=pc
pop=cross(pop); %调用交叉函数
end
p2=rand;
if p2>=pm
pop=mutate(pop); %调用变异函数
end
end%GA结束%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%
bestL=min(pop(:,t))
J=pop(:,t);
fi=1./J;
[Oderfi,Indexfi]=sort(fi); %对于fi进行排序
BestS=pop(Indexfi(s),:); %得到最短路
I=BestS;
for i=1:1:t-1
x1(i)=x(I(i));
y1(i)=y(I(i));
end
x1(t)=x(I(1));
y1(t)=y(I(1));
cities_new=[x1;y1];
disp('Best Route is:');disp(cities_new);
pos=[cities_new cities_new(:,1)];
lentemp=0;
for i=1:1:t-1
temp=sqrt((pos(1,i)-pos(1,i+1))^2+(pos(2,i)-pos(2,i+1))^2); lentemp=lentemp+temp;
end
disp('Shortest Length is:');disp(lentemp);
figure(1);
subplot(1,2,1); %窗口分割的左边部分
x(t)=x(1);y(t)=y(1);
plot(x,y,'-or');
xlabel('X axis'), ylabel('Y axis'), title('原始路径');
axis([0,1,0,1]);
axis([0,100,0,100]);
axis on
hold on;
subplot(1,2,2); %窗口分割的右边部分
plot(x1,y1,'-or');
xlabel('X axis'), ylabel('Y axis'), title('最新的路径');
axis([0,1,0,1]);
axis([0,100,0,100]);
axis on
2距离函数
function [pop]=distance(pop)
global x y
[s,t]=size(pop);
for i=1:1:s
dd=0;
pos=pop(i,1:t-1);
pos=[pos pos(:,1)];
for j=1:1:t-1
m=pos(j);
n=pos(j+1);
dd=dd+sqrt((x(m)-x(n))^2+(y(m)-y(n))^2);
end
pop(i,t)=dd;
end
3选择函数
unction [pop]=select(pop,c)
[s,t]=size(pop);
m11=(pop(:,t));
m11=m11';
mmax=zeros(1,c);
mmin=zeros(1,c);
num=1;
while num<c+1 %取距离大的C个样本
[a,mmax(num)]=max(m11); %选取当前样本的最大值并记录样本编号给mmax(num) m11(mmax(num))=0;
num=num+1;
end
num=1;
while num<c+1 %取距离小的C个样本
[b,mmin(num)]=min(m11);
m11(mmin(num))=a;
num=num+1;
end
for i=1:c
pop(mmax(i),:)=pop(mmin(i),:); %用距离小的C个样本替换距离大的C个样本end
4 交叉函数
function [pop]=cross(pop)
[s,t]=size(pop);
pop_1=pop;
n=randperm(s); %将种群随机排序
for i=1:2:s
%随机选择两个交叉点
m=randperm(t-3)+1;
crosspoint(1)=min(m(1),m(2));
crosspoint(2)=max(m(1),m(2));
%任意两行交叉
x1=n(i);
x2=n(i+1);
%将x1左边与x2的左边互换
middle=pop(x1,1:crosspoint(1));
pop(x1,1:crosspoint(1))=pop(x2,1:crosspoint(1));
pop(x2,1:crosspoint(1))=middle;
%将x1右边与x2的右边互换
middle=pop(x1,crosspoint(2)+1:t);
pop(x1,crosspoint(2)+1:t)=pop(x2,crosspoint(2)+1:t);
pop(x2,crosspoint(2)+1:t)=middle;
%检查x1左边的重复性并得到x1的左边
for j=1:crosspoint(1)
while find(pop(x1,crosspoint(1)+1:crosspoint(2))==pop(x1,j))
zhi=find(pop(x1,crosspoint(1)+1:crosspoint(2))==pop(x1,j)); %确定重复位置
temp=pop(x2,crosspoint(1)+zhi);
pop(x1,j)=temp;
end
end
%检查x1的右边的重复性并得到x1的右边
for j=crosspoint(2)+1:t-1
while find(pop(x1,crosspoint(1)+1:crosspoint(2))==pop(x1,j))
zhi=find(pop(x1,crosspoint(1)+1:crosspoint(2))==pop(x1,j)); %确定重复的位置
temp=pop(x2,crosspoint(1)+zhi);
pop(x1,j)=temp;
end
end
%检查x2左边的重复性并得到x2的左边
for j=1:crosspoint(1)
while find(pop(x2,crosspoint(1)+1:crosspoint(2))==pop(x2,j))
zhi=find(pop(x2,crosspoint(1)+1:crosspoint(2))==pop(x2,j)); 确定重复位置
temp=pop(x1,crosspoint(1)+zhi);
pop(x2,j)=temp;
end
end
%检查x2的右边的重复性并得到x2的右边
for j=crosspoint(2)+1:t-1
while find(pop(x2,crosspoint(1)+1:crosspoint(2))==pop(x2,j))
zhi=find(pop(x2,crosspoint(1)+1:crosspoint(2))==pop(x2,j)); %确定重复的位置
temp=pop(x1,crosspoint(1)+zhi);
pop(x2,j)=temp;
end
end
end
%生成的新的种群与交叉前进行比较，并取两者最优
[pop]=distance(pop);
for i=1:s
if pop_1(i,t)<pop(i,t)
pop(i,:)=pop_1(i,:);
end
end
5 变异函数
function [pop]=mutate(pop)
[s,t]=size(pop);
pop_1=pop;
for i=1:2:s
m=randperm(t-3)+1;
%随机取两个点
mutatepoint(1)=min(m(1),m(2));
mutatepoint(2)=max(m(1),m(2));
%用倒置变异的方法倒置两个点中间部分的位置
mutate=round((mutatepoint(2)-mutatepoint(1))/2-0.5);
for j=1:mutate
zhong=pop(i,mutatepoint(1)+j);
pop(i,mutatepoint(1)+j)=pop(i,mutatepoint(2)-j); pop(i,mutatepoint(2)-j)=zhong;
end
end
[pop]=distance(pop);%生成的新的种群与变异前比较，并取两者最优for i=1:s
if pop_1(i,t)<pop(i,t)
pop(i,:)=pop_1(i,:);
end
end
用上面的贪婪算法在matlab里运算的结果如下：
五：实验心得
本实验利用遗传算法解决了小规模的TSP问题。

文章首先介绍了TSP
问题，并给出TSP问题的数学定义，然后介绍了遗传算法的原理以及算法的基本过程。

本文程序解决小规模的TSP问题还可以，随着城市数目的增大，计算精度有所下降，计算时间增长很快，效率较低较快，这也是下一步需要改进的地方。