高考数学一轮复习第九章解析几何第十节热点专题__圆锥曲线中的热点问题课后作业理

【创新方案】2017届高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第十节 热

点专题——圆锥曲线中的热点问题课后作业 理

1．(2015·安徽高考)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐

标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510

. (1)求E 的离心率e ；

(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .

2．(2015·陕西高考)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为2

2

.

(1)求椭圆E 的方程；

(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.

3．(2016·太原模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是点F 1，F 2，其离心

率e ＝1

2

，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2面积的最大值为4 3.

(1)求椭圆的方程；

(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，

求

的取值范围．

4．(2016·兰州模拟)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝6

3，过C 1的左焦点

F 1的直线l ：x －y ＋2＝0被圆C 2：(x －3)2＋(y －3)2＝r 2(r >0)截得的弦长为2 2.

(1)求椭圆C 1的方程；

(2)设C 1的右焦点为F 2，在圆C 2上是否存在点P ，满足|PF 1|＝a 2

b

2|PF 2|？若存在，指出

有几个这样的点(不必求出点的坐标)；若不存在，说明理由．

5．(2015·云南师大附中模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3

2，且抛物线

y 2＝43x 的焦点恰好是椭圆C 的一个焦点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)过点D (0,3)作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点N 满足 (O 为原点)，

求四边形OANB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．

6.如图，已知椭圆x 24＋y 2

3＝1的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB

的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点．

(1)若点G 的横坐标为－1

4

，求直线AB 的斜率；

(2)记△GFD 的面积为S 1，△OED (O 为原点)的面积为S 2.试问：是否存在直线AB ，使得

S 1＝S 2？说明理由．

答 案

1．解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

23a ，13b ，

又k OM ＝

510，从而b 2a ＝510

. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝25

5

.

(2)证明：由N 是线段AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫

a 2，－

b 2，可得

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

a 6，5

b 6. 又

＝(－a ，b )，从而有

＝－16a 2＋56b 2＝1

6(5b 2－a 2)．

由(1)可知a 2＝5b 2，所以

＝0，故MN ⊥AB .

2．解：(1)由题设知c a ＝2

2

，b ＝1，

结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2. 所以椭圆的方程为x 2

2

＋y 2＝1.

(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)， 代入x 2

2

＋y 2＝1，

得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.

由已知得Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k k －11＋2k 2，x 1x 2

＝2k k －2

1＋2k 2 . 从而直线AP ，AQ 的斜率之和

k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k

x 2

＝2k ＋(2－k )·⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2

＝2k ＋(2－k )4k k －1

2k k －2

＝2k －2(k －1)＝2.

3．解：(1)由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，△PF 1F 2面积取最大值， 此时S △PF 1F 2＝1

2·|F 1F 2|·|OP |＝bc ，∴bc ＝43，

∵e ＝1

2，∴b ＝23，a ＝4，

∴椭圆的方程为x 216＋y 2

12

＝1.

(2)由(1)得椭圆的方程为x 216＋y 2

12＝1，则F 1的坐标为(－2，0)，

∵

∴AC ⊥BD .

①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得

＝6＋8＝14.

②当直线AC 的斜率k 存在且k ≠0时，则其方程为y ＝k (x ＋2)，设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，

联立⎩⎨⎧

y ＝k x ＋2，x 2

16＋y

2

12＝1，

消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，