初升高新高一数学暑假衔接

初升高新高一数学暑假衔接
新高一数学衔接课程说明
课程目标
初高中数学存在着广度、难度和研究方法等方面的差异。

对于刚升入新高一的学生来说，研究中存在着很多不适应的地方，如研究惯、研究方法等。

因此，我们编写了这套《初高中数学衔接课程》旨在解决以上问题。

该课程的目标有以下三点：
1.补充初高中脱节的数学知识，需要加深的初中数学知识等，为高中研究铺路搭桥。

2.研究集合与函数等知识，使新高一的学生了解高中数学
的基本特点、要求、学法及教学方法。

3.培养学生研究高中数学的自信心。

适用对象
新高一学生
课时安排
授课时间为7-8月，共计10-15次课，20小时（一对一）或30小时（班组课）。

课程特色
该课程以初中所学知识为起点，逐步过渡到高一知识，注重在初高中知识之间搭台阶，平稳起步。

对于高中新知识，注重对概念、定理、公式的理解，避免死记硬背。

在知识衔接的同时，注重研究方法、研究惯的衔接。

课程结构
1.数与式
2.一元二次方程与XXX定理
3.一元二次函数与二次不等式
4.集合的基本概念
5.集合的基本运算
6.集合的综合复
7.函数的概念与定义域
8.求函数的值域
9.函数的解析式
10.函数的表示方法及值域综合复
11.函数的单调性（1）
12.函数的单调性（2）
13.函数的奇偶性
14.指数运算
15.对数运算
知识点一：乘法公式
我们在初中已经研究过一些乘法公式，如平方差公式和完全平方公式。

我们还可以通过证明得到一些其他乘法公式，如立方和公式、立方差公式、三数和平方公式、两数和立方公式和两数差立方公式。

典型例题】：
计算：(x2-2x+3)2 = ____________
计算题：
2a+b)(4a^2-2ab+b^2) = 8a^3 + 2ab^2 + 4a^2b - 2a^2b - b^3 = 8a^3 + 2ab^2 + 2a^2b - b^3
3x+2y)(9x^2-6xy+4y^2) = 27x^3 + 18x^2y + 12xy^2 +
18x^2y - 12xy^2 + 8y^3 = 27x^3 + 36x^2y + 8y^3
2x-3)(4x^2+6xy+9) = 8x^3 - 12x^2 + 12x^2y - 12xy + 36x - 27 = 8x^3 - 12x^2 + 12x^2y - 12xy + 36x - 27
变式1：
1) (m-1)/(3/4) * (m^2+m+1)/4 = (4m-4)(m^2+m+1)/3
2) (a+b)(a^2-ab+b^2)(a-b)(a^2+ab+b^2) = (a^3-b^3)(a^3+b^3) = a^6 - b^6
变式2：
1) 27m^3-n^3 = (3m-n)(9m^2+3mn+n^2)
2) 27m^3+n^3 = (3m+n)(9m^2-3mn+n^2)
3) x^3-125 = (x-5)(x^2+5x+25)
4) m^6-n^6 = (m^3-n^3)(m^3+n^3) = (m-n)(m^2+mn+n^2)(m+n)(m^2-mn+n^2)
典型例题】
1) (m-n)(m^2-mn+n^2)
2) x^3+1/x^3 = (x+1/x)^3 - 3(x+1/x)
3) a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ac)
变式1:
x+1)(x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)
变式2:
a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ac) = 16 - 8 = 8 根式：
1) a>=0
2) a^2 = a (a>=0) or a^2 = -a (a<0)
3) ab = a*b (a>=0.b>=0)
典型例题】：
1) 10
2) 5
3) 7
4) b-a
5) x = 1.y = 2/3.x^3+y^3 = 1+8/27 = 35/27
6) x = 1/2.y = -1/2
变式2: 若x<3，则9-6x+x^2-|x-6|的值是()
A。

-3 B。

3 C。

-9 D。

9
变式3：计算7+43
1) (a+b+1)(1-a+b)-(a+b)^2
知识点三、分式
典型例题—1】：
1、分式的化简
1) x^2+3x+9/6x(x-1)化简为3/(2x-1)-9/(2x+3)
2) a/(a-ab)+a/(a+ab)化简为2/(1-b^2)
2、(1) 1/(n(n+1)) = (1/n) - (1/n+1) (其中n是正整数) 2) (11/9) + (1/90) + (1/810) = 1
3、分式的运用
设e=c/a，且e>1，2c^2-5ac+2a^2=0，求e的值
解：根据题意，有e=c/a，所以c=ae。

代入2c^2-
5ac+2a^2=0中，得到e^2-5e+2=0，解得e=5+√17或e=5-√17，由于e>1，所以e=5+√17.
变式1：对任意的正整数n，1/(n(n+2))=2/(n(n+1))-
1/((n+1)(n+2))
变式2: 选择题：若x^2-x-6=(x+2)(x-3)，则x^2-5x+6=(x-2)(x-3)
变式3: 计算1/2 + 1/6 + 1/12 +。

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知识点四、因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。

在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。

是一种重要的基本技能。

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等。

1、【典型例题】：公式法(立方和、立方差公式)
我们已经研究了乘法公式中的立方和、立方差公式：
a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3(立方和公式)
a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3(立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)。

运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。

例：(1) 8+x^3 = (2+x)(4-2x+x^2)
2) 0.125-27b^3 = -(3b-1)(9b^2+3b+1)
2、【典型例题】：分组分解法
将多项式按照一定的规律进行分组，使得每组内部可以进行因式分解，然后利用因式分解的结果将各组合并，得到整个多项式的因式分解式。

例：4x^3+12x^2+7x+21 = 4x^2(x+3) + 7(x+3) =
(4x^2+7)(x+3)
能够直接运用公式法分解的多项式主要是二项式和三项式。

但对于四项以上的多项式，例如ma+mb+na+nb，既没有公式
可用，也没有公因式可以提取。

因此，可以先将多项式分组处理，这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法。

分组分解法的关键在于如何分组。

常见题型包括：(1)分组后能提取
公因式，(2)分组后能直接运用公式。

例如，分解因式：
(1)2ax-10ay+5by-bx，(2)ab(c-d)-(a-b)cd，(3)x-y+ax+ay，
(4)2x+4xy+2y-8z。

对于二次三项式ax2+bx+c型的因式分解，可以使用十字
相乘法。

例如，把下列各式因式分解：(1)x2-7x+6，
(2)x+13x+36，(3)x+5x-24，(4)x-2x-15，(5)x+xy-6y。

拆项法是另一种因式分解方法，可以用于分解x3-3x2+4.
练题：(1)填空：(1)a2-b2=(b+a)(。

)，
(2)(4m+。

)2=16m2+4m+(。

)，(3)(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+(。

)，
(4)若(x-2y)(。

)=x2-4xy+4y2，则括号内填什么？(2)分解因式：(1)x2+2xy-3y2，(2)(x+x+2)(x+x-4)，(3)2x2-5xy+2y2.
1) 求解一元二次方程的根：
1) $x^2+2x-3=0$，解得 $x_1=-3$，$x_2=1$。

2) $x^2+2x+1=0$，解得 $x_1=x_2=-1$。

3) $x^2+2x+3=0$，无实数解。

2) 判定一元二次方程的根的情况：
1) $x^2-3x+3=0$，无实数解。

2) $x^2-ax-1=0$，当 $a^2\geq 4$ 时，有两个实数解，解为 $x_1=\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2}$，$x_2=\frac{a-
\sqrt{a^2+4}}{2}$。

3) $x^2-ax+(a-1)=0$，当 $a\geq 1$ 时，有两个实数解，解为 $x_1=1$，$x_2=a-1$。

4) $x^2-2x+a=0$，当 $a\geq 0$ 时，有两个实数解，解为$x_1=1-\sqrt{a}$，$x_2=1+\sqrt{a}$。

3) 求解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：
对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$，设其两个实数根为$x_1$，$x_2$，则有：
x_1+x_2=-\frac{b}{a},\quad x_1x_2=\frac{c}{a}$$
4) 练题：
1) 当方程 $3x^2-2x+k=0$ 有两个不相等的实数根时，$k$ 的取值范围为 $k\frac{2}{3}$。

2) 当方程 $3x^2-2x+k=0$ 有两个相等的实数根时，$k$ 的取值范围为 $k=\frac{2}{3}$。

3) 当方程 $3x^2-2x+k=0$ 有实数根时，$k$ 的取值范围为$-\frac{2}{3}\leq k\leq \frac{8}{3}$。

4) 当方程 $3x^2-2x+k=0$ 无实数根时，$k$ 的取值范围为$k\frac{2}{3}$。

所以，一元二次方程的根与系数之间存在以下关系：
x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$，这被称为“韦达定理”。

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+px+q=0$，若$x_1$，$x_2$是其两根，由韦达定理可知：$x_1+x_2=-p$，$x_1\cdot x_2=q$，即$p=-(x_1+x_2)$，$q=x_1\cdot x_2$。

因此，方程$x^2+px+q=0$可化为$x^2-
(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2=0$。

由于$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2+px+q=0$的两根，所以，$x_1$，$x_2$也是一元二次方程$x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2=0$的两根。

因此有：x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2=0$$
以$x_1$，$x_2$为根的一元二次方程（二次项系数为1）是$x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2=0$。

例3.已知方程$5x+kx-6=0$的一个根是2，求它的另一个根及$k$的值。

例4.已知关于$x$的方程$x+2(m-2)x+m+4=0$有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求
$m$的值。

例5.已知两个数的和为4，积为$-12$，求这两个数。

例6.若$x_1$和$x_2$分别是一元二次方程$2x+5x-3=0$的
两根。

1）求$|x_1-x_2|$的值；（2）求
$\frac{11}{3}+\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}$的值；（3）$x_1x_2$。

变式：若$x_1$，$x_2$是方程$x^2+2x-2007=0$的两个根，试求下列各式的值：(1)$x_1^2+x_2^2$；
(2)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$；(3)$(x_1-5)(x_2-5)$；
(4)$|x_1-x_2|+x_1x_2$。

例7.若关于$x$的一元二次方程$x^2-x+a-4=0$的一根大于零、另一根小于零，求实数$a$的范围。

例8.已知关于$x$的方程$x^2-(k+1)x+k^2+1=0$，根据下
列条件，分别求出$k$的值。

1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根$x_1$，$x_2$满
足$|x_1|=x_2$。

例9.已知$x_1$，$x_2$是一元二次方程$4kx^2-
4kx+k+1=0$的两个实数根。

1）是否存在实数$k$，使$(2x_1-x_2)(x_1-2x_2)=-1$成立？若存在，求出$k$的值；若不存在，请说明理由。

2）求使$x_1^3+x_2^3$最小的$k$的值。

1.2-2的值为整数的实数k的整数值。

k\in\{0,1,2,3\}$$
2.方程mx+x-2m=0（m≠0）的根的情况是。

begin{cases}
text{当}m=1\text{时，有两个不同的实根。

}\\
text{当}m\neq1\text{时，有一个实根。

}
end{cases}$$
3.以-3和1为根的一元二次方程是。

x+3)(x-1)=0$$
4.若m，n是方程$x^2+2005x-1=0$的两个实数根，则$mn+mn-mn$的值等于。

mn+mn-mn=mn$$
由XXX定理可知，$m+n=-2005$且$mn=-1$，因此$mn=2005n-2005m$，代入上式得：
mn=2005n-2005m$$
Rightarrow mn=2005(n-m)$$
Rightarrow mn=-2005$$
5.如果a，b是方程$x^2+x-1=0$的两个实数根，那么代数式$a+ab+ab+b$的值是。

a+b=-1$$
ab=-1$$
a+ab+ab+b=-1-1+(-1)=-3$$
变式2：已知$a^2+8a+16+|b-1|=0$，当k取何值时，方程$kx+ax+b=0$有两个不相等的实数根？
a^2+8a+16+|b-1|=0$$
Rightarrow a^2+8a+16=1-b$$
Rightarrow (a+4)^2=5-b$$
当$b=1$时，$(a+4)^2=5$，即$a=-4\pm\sqrt{5}$。

此时方
程$kx+ax+b=0$有两个不相等的实数根。

当$b\neq1$时，$(a+4)^2=1-b<5$，即$-2<\sqrt{1-b}-4<2$，解得$b\in(-3,0)\cup(1,4)$。

此时方程$kx+ax+b=0$没有实数根，因为判别式$\Delta=a^2-4kb<0$。

变式3：已知方程$x^2-3x-1=0$的两根为$x_1$和$x_2$，
求$(x_1-3)(x_2-3)$的值。

begin{aligned}
x_1-3)(x_2-3)\\
x_1x_2-3(x_1+x_2)+9\\
1-3(-3)+9\\
7
end{aligned}$$
变式4：已知关于x的方程$x^2-kx-2=0$。

1）求证：方程有两个不相等的实数根。

Delta=k^2+8>0$$
因此方程有两个不相等的实数根。

2）设方程的两根为$x_1$和$x_2$，如果
$2(x_1+x_2)>x_1x_2$，求实数k的取值范围。

begin{aligned}
2(x_1+x_2)>x_1x_2\\
Rightarrow&\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}>1\\
Rightarrow&\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}-
\frac{1}{x_1x_2}>0\\
Rightarrow&\frac{2x_1+2x_2-k}{x_1x_2}>0\\
end{aligned}$$
当$k\in(-\infty,-4)\cup(2,\infty)$时，$\frac{2x_1+2x_2-
k}{x_1x_2}>0$恒成立，因此方程有两个不相等的实数根。

当$k\in[-4,2]$时，$\frac{2x_1+2x_2-k}{x_1x_2}<0$，因此方程有两个相等的实数根或没有实数根。

变式5：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）的两根为$x_1$和$x_2$。

1）$|x_1-x_2|$和$x_1+x_2$的值分别为。

x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$$
x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$
2）$a|x_1-x_2|+b(x_1+x_2)+2c$的值为。

begin{aligned}
a|x_1-x_2|+b(x_1+x_2)+2c\\
a\cdot\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}+b\cdot\left(-
\frac{b}{a}\right)+2c\\
frac{2ac}{|a|}=\pm2\sqrt{a^2c}
end{aligned}$$
变式6：关于x的方程$x^2+4x+m=0$的两根为$x_1$，$x_2$满足$|x_1-x_2|=2$，求实数m的值。

begin{aligned}
x_1-x_2|=2\\
XXX(x_1-x_2)^2=4\\
XXX(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4\\
Rightarrow&16-4m=4\\
Rightarrow&m=3
end{aligned}$$
选择题：
1）已知关于x的方程$x+kx-2=0$的一个根是1，则它的
另一个根是（B）3.
2）下列四个说法：
①方程$x+2x-7=0$的两根之和为$-2$，两根之积为$-7$；
②方程$x-2x+7=0$的两根之和为$-2$，两根之积为$7$；
③方程$3x-7=0$的两根之和为$2\frac{2}{3}$，两根之积
为$-\frac{2}{3}$；
④方程$3x+2x^2=0$的两根之和为$-\frac{3}{2}$，两根之
积为0.
其中正确说法的个数是（B）2个。

3）关于x的一元二次方程$ax^2-5x+a+a=0$的一个根是$-
1$，则$a$的值是（B）1或$-2$。

填空：
1）方程$kx+4x-1=0$的两根之和为$-2$，则$k=\boxed{-
7}$。

2）方程$2x-x-4=0$的两根为α，β，则α+β=$\boxed{2}$。

3）已知关于x的方程$x-ax-3a=0$的一个根是$-2$，则它
的另一个根是$\boxed{-\frac{3}{a}}$。

4）方程$2x^2+2x-1=0$的两根为$x_1$和$x_2$，$|x_1-
x_2|=\boxed{\sqrt{3}}$。

1.选择题：
1) 已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x-
8x+7=0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）
A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 9
2) 若x1，x2是方程2x-4x+1=0的两个根，则x1x2的值为（）
A) 6 (B) 4 (C) 3 (D) 2
3) 如果关于x的方程x-2(1-m)x+m=0有两实数根α，β，则α+β的取值范围为(）
A) α+β≥2 (B) α+β≤1 (C) α+β≥1 (D) α+β≤2
4) 已知a,b,c是ΔABC的三边长，那么方程
cx^2+(a+b)x+c=0的根的情况是（）
A) 没有实数根 (B) 有两个不相等的实数根 (C) 有两个相等的实数根 (D) 有两个异号实数根
2.填空：
1) 若方程x^2-8x+m=0的两根为x1，x2，且3x1+2x2=18，则m=14.
2) 求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x^2-7x-
1=0各根的相反数。

答案为x^2+7x-1=0.
3.求证：
1) 无论m取什么实数时，方程x-(m-2)x-4=0总有两个相
异实数根。

2) 若方程x-(m-2)x-4=0的两个实数根x1，x2满足
|x2|=|x1|+2，求m的值及相应的x1，x2.答案为m=6，x1=-1，
x2=3.
4.问题：
1) 若关于x的方程x^2+x+a=0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围。

答案为-1/4<a<0.
2) 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx^2-
4kx+k+1=0的两个实数根。

a) 是否存在实数k，使(2x1-x2)(x1-2x2)=-3x1x2成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。

b) 求使x1x2-2的值为整数的实数k的整数值。

c) 若k=-2，λ=1，试求λ的值。

答案为(a) 存在，k=1/2；
(b) k=1或k=2；(c) λ=1/2.
时，随着x的增大，二次函数的取值也增大或减小，取决于二次函数的系数a的正负性。

当a>0时，函数开口向上，取最小值；当a<0时，函数开口向下，取最大值。

因此，可以通
过函数图像直观地了解二次函数的性质，并利用数形结合的思想方法来解决问题。

例 1.求二次函数y=-3x^2-6x+1图像的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随
x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图像。

变式1：作出以下二次函数的草图
1）y=x^2-x-6 (2) y=x^2+2x+1 (3) y=-x+1
例2.某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的
售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：
x/元 y/件
130 70
150 50
165 35
若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
例3.把二次函数y=x^2+bx+c的图像向上平移2个单位，
再向左平移4个单位，得到函数y=x^2的图像，求b，c的值。

知识点二、二次函数的三种表示方式
1、一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0)；
2、顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)，其中顶点坐标是(-h,k)．
3、交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
例4.已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线
y=x+1上，并且图象经过点(3,-1)，求二次函数的解析式。

例5.已知二次函数的图象过点(-3,0)，(1,0)，且顶点到x
轴的距离等于2，求此二次函数的表达式。

例6.已知二次函数的图象过点(-1,-22)，(0,-8)，(2,8)，求此二次函数的表达式。

例7.函数y=-x^2+x-1图象与x轴的交点个数是（）
A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无法确定
变式1: 已知二次函数的图象经过与x轴交于点(-1,0)和(2,0)，则该二次函数的解析式可设为y=a(x+1)(x-2)(a≠0)．
变式2：二次函数y=-x^2+23x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离为。

变式3：根据下列条件，求二次函数的解析式。

1) 图象经过点(1,-2)，(0,-3)，(-1,-6)；
2) 当x=3时，函数有最小值5，且经过点(1,11)；
3) 函数图象与x轴交于两点(-1,0)和(3,0)，并与y轴交于(0,-2)。

本篇文章介绍了二次函数的最值问题和一元二次不等式的相关知识点。

二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的最值问题分为两种情况：当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值，无最大值；当a<0时，函数在x=-b/2a处取得最大值，无最小值。

求二次函数在某一
范围内的最值需要先通过配方求出函数图象的对称轴，然后根据对称轴与自变量的取值范围相应位置进行讨论。

一元二次不等式的解法分为两种情况：当a>0时，不等式的解集为(-∞,x1]∪[x2,+∞)，其中x1和x2是方程ax^2+bx+c=0
的两个实根；当a<0时，不等式的解集为[x1,x2]。

需要注意的是，在解题过程中要注意对不等式进行变形，使其符合解法的规则。

本篇文章还提供了一些典型例题和变式，供读者练。

通过前面的研究，我们已经学会了如何根据二次函数的解析式画出函数的图像。

现在，我们可以根据图像与x轴交点的个数来分类，并对比二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系。

下面我们在黑板上画出表格的框架，让学生来填，引导学生自主找规律。

1.一元二次不等式ax2+bx+c>或ax2+bx+c<(a≠)的解集：
设相应的一元二次方程ax2+bx+c=(a≠)的两根为x1、x2且x1≤x2，Δ=b2-4ac，则不等式的解的各种情况如下表：
Δ。

Δ= Δ<
二次函数 y=ax2+bx+c（a>0）的图像一元二次方程
ax2+bx+c=0（a>0）的根 ax2+bx+c>(a>0)的解集 ax2+bx+c0)的解集
2.简单分式不等式的解法
解简单的分式不等式的方法是对其进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零。

3.含有字母系数的一元一次不等式
一元一次不等式最终可以化为ax>b的形式：
1) 当a>0时，不等式的解为：x>b/a；
2) 当a<0时，不等式的解为：x<b/a；
3) 当a=0时，不等式化为：bx>b；
①若b>0，则不等式的解为：x>任意实数；
② XXX≤0，则不等式无解。

典型例题】
例12 解下列不等式：
1) x2+x-6>0
2) (x-1)(x+2)≥(x-2)(2x+1)
3) x2-2x-8<0
4) x2-4x+4≤0
5) x2-x+2<0
6) 2x2+x<0
7) x2-3x-18≤0
8) -x2+x≥3x+1
9) x(x+9)>3(x-3)
例13 已知对于任意实数x，kx2-2x+k恒为正数，求实数
k的取值范围。

例14 解关于x的不等式x2-x-a(a-1)>0
课后练：
1.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式。

1) 已知二次函数的图像经过点A（0，-1），B（1，0），C（-1，2）；
2) 已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；
3) 已知抛物线与x轴交于点M（-3，0），（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；
4) 已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4.
2.已知函数y=x2，-2≤x≤a，其中a≥-2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值。

3.若00的解集为________。

1.解不等式ax+bx+b<0，其中a<0，且方程ax+bx+b=0的两根x1，x2满足x1<x2，则不等式的解为x1<x<x
2.
2.解以下不等式：
1) 3x-2x+1<2x-3，化简得x<-2.
2) 3x-4-3.
3) 2x-x≥-1，化简得x≥1.
4) 4-x≤2x-5，化简得x≥3.
5) 4+3x-2x≥0，化简得x≥0.
6) 9x-12x>-4，化简得x<1/3.
3.解关于x的不等式x-(1+a)x+a19/(2+a)。

4.解关于x的不等式2ax^2-bx+c>0，设其两根为x1和x2，则不等式的解为xx2.
5.集合是一定范围内某些确定的、不同的对象的全体，其
中的每一个对象称为该集合的元素。

集合中的元素必须是确定的、互异的、无序的。

6.对于给定的集合，通常用大括号{}表示集合，用逗号将
元素分隔开。

常用数集记法有自然数集N、整数集Z、有理数
集Q、实数集R、复数集C等。

2.如果a是集合A的元素，则表示为a∈A，读作“a属于A”；
如果a不是集合A的元素，则表示为XXX，读作“a不属
于A”。

3.数学中常用的数集及其符号表示如下：
实数集：R，有理数集：Q，整数集：Z，非负整数集：N，正整数集：N*。

变式3：正确的命题个数为3个。

内容概述】
1.自然语言：用日常语言描述集合问题中所研究的对象，
如全体实数组成的集合、正整数集等。

2.列举法：将集合的元素一一列出并写在大括号中，如{1，-2}。

需要注意的是：元素之间用逗号分隔，一般不考虑顺序，特殊集合（如数列）可按惯用次序排列，当无法列出集合中的所有元素时，可以列出一部分元素并用省略号代替其余元素以提供某种规律。

例4.用列举法表示下列集合：
1) {1.3}；
2) {6.9.12}；
3) {51.52.100}；
4) {1.2.9}；
5) {0}；
6) {2.3.5.7.11.13.17.19}。

内容概述】
对于不等式x-7<3的解集，无法用列举法表示，因为其中
的元素无法列举完全。

但是，我们可以通过描述集合中元素所
具有的共同特征来表示该集合，例如：不等式x-7<3的解集中
所有元素都满足x<10，因此可以表示为D={x∈R|x<10}。

描述法：用集合中元素的共同特征来表示集合，即将集合中元素的公共属性写在大括号中。

表示形式：
A={x∈I|p(x)}，其中x为集合的代表元素，p为元素x所
具有的公共属性，A表示由所有具有属性p的元素x组成的集合，即若x具有属性p，则x∈A；若x∈A，则x具有属性p。

知识点四、集合的分类
内容概述】
有限集：含有有限个元素的集合
无限集：含有无限个元素的集合
空集：不含有任何元素的集合∅（empty-set）
例6.观察下列三个集合的元素个数：
1）{4.8.7.3.3.1.-9}；（2）{x∈R | 0<x<3}；（3）{x∈R |
x^2+1=0}
课堂练
填空题
1.由下列对象组成的集合属于集合的是____（填序号）：
①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；
④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生。

答案：①、④、⑤
2.下列四个说法中正确的个数是________。

①集合N中最小数为1；②若a∈N，则-a∉N；
③若a∈N，b∈N，则a+b的最小值为2；④所有小的正
数组成一个集合。

答案：2个（①、④）
3.用“∈”或“∉”填空。

1）-3______N；（2）3.14______Q；（3）______Z；
4）-1______R；（5）1______N*；（6）0________N.
答案：（1）∈，（2）∈，（3）∈，（4）∈，（5）∈，（6）∈
4.集合A={1,2,3,5}，当x∈A时，若x-1∉A，x+1∉A，则
称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为
________。

答案：1个（孤立元素为2）
5.已知x、y、z为非零实数，代数式|x|+|y|+|z|的值所组成的集合是M，则M中元素的个数为________。

答案：无限个
6.方程x-2x+1=0的解集中含有________个元素。

答案：1个（重根x=1）
7.已知集合S的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC能为等腰三角形。

8.已知集合M={-2,3x+3x-4,x+x-4}，若2∈M，求x。

知识点五、集合间的基本关系
例1.观察下列几组集合，有什么共同的地方：
1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}
2）A={3，5，7}，B={3，5，7}
3）A={x|x-2x+1=0}，B={x|x-2x-3=0}
我们可以发现A中的任何一个元素在B中都能找到。

那么这样的两个集合是包含关系，集合A为集合B的子集。

记作A⊆B（或B⊇A），读作A含于B。

例2.用符号“⊆”、“⊇”、“∈”或“∉”填空：
1){a,b,c,d}{a,b}。

(2)∅{1,2,3}。

(3)N⊇Q；
4)R∉N。

(5)d{a,b,c}。

(6){x|3<x<5}⊆{x|x<6}。

例3.写出集合{a，b}的所有子集：
a}，{b}，{a,b}
例4.说出下列每对集合之间的关系：
1）A={1，2，3，4}，B={3，4}：A包含B，B是A的子集。

2）P={x|x=1}，Q={-1,1}：P与Q没有交集，即P∩Q=∅，且P∪Q不等于全体实数集R，因此P与Q是互斥的。

3）N，N*：N是自然数集，N*是正整数集，N*是N的子集，即N*⊆N。

例5.设集合A={x|1<x<2}，B={x|x<a}，且A⊆B，则实数
a的范围是（1<a≤2）。

变式：若A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，且
B⊆A，则a的值为2或3.
2、XXX
内容概述】
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做XXX。

例6.求下列集合之间的关系，并用XXX示：
A={x| x是平行四边形}，B={x| x是菱形}，C={x| x是矩形}，D={x| x是正方形}。

A包含B，B包含C，C包含D。

2、集合相等：
设集合A={x|x-1=0}，B={-1,1}，那么这两个集合相等，即A=B。

例7.判断集合A={x|x=2}与集合B={x|x2-4=0}的关系：A 与B没有交集，即A∩B=∅，因此A与B是互斥的。

例8.判断集合A与B是否相等？
1) A={0}，B=∅：A与B不相等。

2.A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1.m∈Z}；
A={x| x=2m-1.m∈Z}，B={x| x=2m+1.m∈Z}．
改写。

2.1 A是由奇数和偶数交替组成的无限集合，B是由奇数组成的无限集合；
2.2 A是由奇数和偶数交替组成的无限集合，B是由偶数组成的无限集合。

3.真子集：
内容概述】
如果集合B是集合A的子集，并且集合A中至少有一个元素不属于集合B，那么把集合B叫做集合A的真子集。

记作B⊂A（或A⊃B），读作“A真包含B”（或“B真包含于A”）。

注释】不包含本身的子集叫做真子集。

对于集合A、B、C，如果A⊂C，则AC。

例9.选用适当的符号“⊂，⊄”或“⊃，⊅”填空：
1){1,3,5}⊂______{1,2,3,4,5}。

(2){2}⊄______{x| |x|=2}。

(3){1}⊅______∅．
例10.设集合M={0,1,2}，试写出M的所有子集，和真子集。

注释】M的所有子集包括：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}。

真子集是除去M本身的所有子集，即∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}。

4.空集
内容概述】
1、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。

2、空集是任何集合的子集。

3、空集是任何非空集合的真子集。

例11.求方程x2+1=0的实数根。

注释】x2+1=0无实数根，因为x2≥0，x2+1>0.
课后练
1.已知集合A={a,b,c}，B={x|x∈A}，则集合B的真子集个数最多是（）
A。

5个 B。

6个 C。

7个 D。

8个
2.设集合M⊆{1,2,3,4,5}，且a∈M时，6-a∈M，则集合M={1,5}。

3.写出满足条件{0,1}⊆M⊂{0,1,2,3}的集合M={0,1}。

4.集合{3,x,x-2x2}中，x应满足的条件是x=0.
5.集合{x∈Z|y=x+1，y∈Z}中的元素有{x∈Z|x≥-1}。

6.用符号∈或∉填空：
①1∈N，0∈N。

－3∈Q，0.5∉Z，2∈R。

②1∈R，5∈Q，|－3|∈N，|－3|∈Z。

27.集合A表示满足方程x+(a-1)x+b=0的所有解，若A中只有一个元素a，则a=-b/(a-1)。

8.集合A表示所有小于-1或大于2的实数，集合B表示所有满足4x+p<0的实数。

若B是A的子集，则p的取值范围为p∈(-∞,-16]。

9.集合A表示所有满足x^2+4x=0的实数，集合B表示所有满足x^2+2(a+1)x+a^2-1=0的实数，其中a为实数。

若B是A的子集，则a的取值范围为a∈[-3,1]。

10.实数集A满足条件：1不属于A，若a属于A，则：
1) 若2属于A，则A表示所有大于等于2的实数；
2) A不能为单元素集，因为若A只含有一个元素a，则由1不属于A可知a不等于1，而1-1/a属于A，与A只含有一个元素矛盾；
3) 对于任意属于A的实数a，有1-1/a=(a-1)/a属于A，因此1/(a-1)属于A，即1-1/(a-1)属于A，即1-(1-a)/(a-1)=1-a/(a-1)属于A。

因此1-1/(1-a)也属于A，即1-(a-1)/a=1/a属于A。