2020-2021学年北京市怀柔区七年级(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年北京市怀柔区七年级（下）期末数学试卷
1. (−a 5)2+(−a 2)5的结果是( )
A. 0
B. −2a 7
C. 2a 10
D. −2a 10
2. 如图：点C 是直线AB 上一点，过点C 作CD ⊥CE ，那
么图中∠1和∠2的关系是( )
A. 互补
B. 互余
C. 对顶角
D. 同位角
3. 不等式2x −3>1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C.
D.
4. 已知{x =1
y =2
是方程x −ay =3的一个解，那么a 的值为( )
A. −1
B. 1
C. −3
D. 3
5. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD//AB ，∠ACD =35°，那么
∠B 的度数为( )
A. 35°
B. 45°
C. 55°
D. 145°
6. 某健步走运动的爱好者用手机软件记录了某个月(30天)每天健步走的步数(单位：
万步)，将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是( )
A. 1.2，1.3
B. 1.3，1.3
C. 1.4，1.35
D. 1.4，1.3
7.鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一，大约在1500年前，
《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙
述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，
问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡、兔同
在一个笼子里，从上上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？经计算可得()
A. 鸡20只，兔15只
B. 鸡12只，兔23只
C. 鸡15只，兔20只
D. 鸡23只，兔12只
8.将3a2m−6amn+3a分解因式，下面是四位同学分解的结果：
①3am(a−2n+1)②3a(am+2mn−1)③3a(am−2mn)④3a(am−2mn+1)
其中，正确的是()
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
9.某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：
一户居民每月用电量x(度)电费价格(元/度)
0<x≤2000.48
200<x≤4000.53
x>4000.78
七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过200元，则李叔家七月份最多可用电的度数是()
A. 100
B. 400
C. 396
D. 397
10.如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”的图案，
如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为()
A. 2a −3b
B. 4a −8b
C. 2a −4b
D. 4a −10b
11. 分解因式：3a 2−6a +3=______．
12. 若a +b =5，ab =6，则a 2+b 2= ______ ．
13. 如图是根据某校为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校学生有600
人，请根据统计图计算该校共捐款______元．
14. 已知，如图，要使得AB//CD ，你认为应该添加的一个条
件是______ ．
15. 写出不等式组{x ≥−1
x <1
的整数解为______．
16. 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，AB ⊥CD ，OG
平分∠AOE ，如果∠FOD =28°，那么∠AOG = ______ 度.
17. 已知x ，y 是有理数，且x 2+2x +y 2−6y +10=0，则x y =______．
18. 将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积
为S 1，第2次对折后得到的图形面积为S 2，…，第n 次对折后得到的图形面积为S n ，则S 4= ______ ，S 1+S 2+S 3+⋯+S 2021= ______ ．
19.计算：
(1)(π−2021)0−(−1
)−2+(−3)2；
3
(2)(2x2)3⋅(−4y3)÷(4xy)2．
+1≤3，并把解集在数轴上表示出来．20.解不等式−2x+5
3
21.因式分解：
(1)x2−6x+9；
(2)m2−n2+(m−n)．
22. 解方程组{x −3y =2
2x +y =18
．
23. 已知m 2−m −2=0，求代数式m(m −1)+(m +1)(m −2)的值．
24. 如图，已知CD ⊥DA ，DA ⊥AB ，∠1=∠2.试说明
DF//AE.请你完成下列填空，把证明过程补充完整． 证明：∵______，
∴∠CDA =90°，∠DAB =90° (______). ∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°． 又∵∠1=∠2， ∴______ (______)， ∴DF//AE (______).
25. 某单位有职工200人，其中青年职工(20−35岁)，中年职
工(35−50岁)，老年职工(50岁及以上)所占比例如扇形统计图所示．为了解该单位职工的健康情况，小张、小王和小李各自对单位职工进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3． 表1：小张抽样调查单位3名职工的健康指数 年龄 26 42 57 健康指数
97
79
72
表2：小王抽样调查单位10名职工的健康指数 年龄
23
25 26 32 33 37 39 42 48 52 健康指数 93
89
90
83
79
75
80
69
68
60
表3：小李抽样调查单位10名职工的健康指数 年龄
22
29 31 36 39 40 43 46 51 55 健康指数 94
90
88
85
82
78
72
76
62
60
根据上述材料回答问题：
(1)扇形统计图中老年职工所占部分的圆心角度数为______
(2)小张、小王和小李三人中，______的抽样调查的数据能够较好地反映出该单位职工健康情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．
26. 已知关于x 、y 的方程组{3x +5y =m +22x +3y =m
的x 、y 的值之和等于2，求m 的值．
27.已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，求
证：AB//CD．
28.延庆区由于生态质量良好、自然资源丰富，成为北京的生态涵养区，是其生态屏障
和水源保护地．为降低空气污染，919公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买A型和B型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年载客量如表：
A型B型
价格(万元/台)a b
年载客量(万人/年)60100
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
(1)求a，b的值；
(2)如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆
公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你设计一个方案，使得购车总费用最少．
29.探究题
学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
(1)小明遇到了下面的问题：如图1，l1//l2，点P在l1、l2内部，探究∠A，∠APB，
∠B的关系．小明过点P作l1的平行线，可证∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB=______．
(2)如图2，若AC//BD，点P在AC、BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发
生变化？
请你补全下面的证明过程．
过点P作PE//AC．
∴∠A=______
∵AC//BD
∴______//______
∴∠B=______
∵∠BPA=∠BPE−∠EPA
∴______．
(3)随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．
试构造平行线解决以下问题：
已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了幂的乘方运算和合并同类项，幂的乘方法则是：底数不变，指数相乘．直接利用幂的乘方运算法则计算出结果，然后再合并同类项即可．
【解答】
解：(−a5)2+(−a2)5
=a10−a10
=0．
故选A．
2.【答案】B
【解析】解：∵点C是直线AB上一点，
∴∠ACB=180°，
又∵CD⊥CE，
∴∠DCE=90°，
∴∠1+∠2=180°−90°=90°，
即∠1与∠2互余，
故选：B．
依据∠ACB是平角，∠DCE是直角，即可得出∠1与∠2的关系．
本题主要考查了余角的定义，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．
3.【答案】C
【解析】解：移项得，2x>1+3，
合并同类项得，2x>4，
把x的系数化为1得，x>2．
在数轴上表示为：
．
故选：C ．
先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答此题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：将{x =1y =2
代入方程x −ay =3，得： 1−2a =3，
解得：a =−1，
故选：A ．
将{x =1y =2
代入方程x −ay =3，即可转化为关于a 的一元一次方程，解答即可． 此题考查了二元一次方程的解，对方程解的理解，直接代入方程求值即可．
5.【答案】C
【解析】解：
∵CD//AB ，
∴∠A =∠ACD =35°，
∴∠B =90°−35°=55°，
故选：C ．
由平行线的性质可求得∠A ，再利用直角三角形的性质可求得∠B ．
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了众数、中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此判断即可．
【解答】
解：∵这组数据中1.4出现的次数最多，
∴在每天所走的步数这组数据中，众数是1.4；
每天所走的步数的中位数是：
(1.3+1.3)÷2=1.3
∴在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是1.4、1.3．
故选：D ．
7.【答案】D
【解析】解：设笼中有x 只鸡，y 只兔，
根据题意得：{x +y =352x +4y =94
， 解得：{x =23y =12
． 故选：D ．
设笼中有x 只鸡，y 只兔，根据上有35个头、下有94只脚，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：原式=3a(am −2mn +1)，
故选：D ．
原式分解得到结果，即可作出判断．
此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：0.48×200+0.53×200
=96+106
=202(元)，
故七月份电费支出不超过200元时电费不超过400度，
依题意有0.48×200+0.53(x−200)≤200，
．
解得x≤39612
53
即李叔家七月份最多可用电的度数是396．
故选：C．
先判断出电费是否超过400度，然后根据不等关系：七月份电费支出不超过200元，列不等式计算即可．
本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等关系．
10.【答案】B
【解析】【试题解析】
解：根据题意得：2[a−b+(a−3b)]=4a−8b．
故选：B．
根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.【答案】3(a−1)2
【解析】解：原式=3(a2−2a+1)=3(a−1)2．
故答案为：3(a−1)2．
首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．12.【答案】13
【解析】解：a2+b2=(a+b)2−2ab=13．
先把a+b=5两边平方得(a+b)2=25，展开为a2+2ab+b2=25，再整体代入计算即可．
本题考查了完全平方公式的运用，一般情况下a2+b2与(a+b)2有着内在的联系，此题经常是通过完全平方式和整体代入ab的值来求得a2+b2的值．
13.【答案】7554
【解析】解：根据扇形统计图知：
初一学生数为600×32%=192(人)，
初二学生数为600×33%=198(人)，
初三学生数为600×35%=210(人)；
根据条形统计图知：
初一捐款数为15×192=2880(元)，
初二捐款数为13×198=2574(元)，
初三捐款数为10×210=2100(元)，
则该校共捐款2880+2574+2100=7554(元)；
故答案为：7554．
根据扇形统计图求出初一、初二、初三的人数，再根据每人的捐款数，即可求出该校共捐款的数．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
14.【答案】∠ECD=∠A
【解析】解：添加的条件是：∠ECD=∠A(答案不唯一)．
故答案为：∠ECD=∠A．
根据平行线的判定定理，即可直接写出条件．
本题考查了平行线的判定定理，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”
的思维方式与能力．
15.【答案】−1、0
【解析】解：∵不等式组的解集为−1≤x <1，
∴不等式组的整数解为−1、0，
故答案为：−1、0．
先根据“大小小大中间找”确定出不等式组的解集，继而可得不等式组的整数解． 本题考查的是一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】59
【解析】解：∵∠FOD 与∠BOE 是对顶角，
∴∠COE =∠FOD =28°，
∴∠BOE =90°−∠COE =62°，
∴∠AOE =180°−62°=118°，
∵OG 平分∠AOE ，
∴∠AOG =12∠AOE =12×118°=59°． 故答案为：59．
先根据对顶角的性质求出∠COE 的度数，进而可得出∠AOE 的度数，根据角平分线的定义即可得出结论．
本题考查的是垂线及角平分线的定义，熟知角平分线的定义是解答此题的关键．
17.【答案】−1
【解析】解：x 2+2x +y 2−6y +10=0，
(x 2+2x +1)+(y 2−6y +9)=0，
(x +1)2+(y −3)2=0，
则{x +1=0y −3=0
， ∴x =−1，y =3，
∴x y =(−1)3=−1，
故答案为：−1．
先将x 2+2x +y 2−6y +10=0，整理成平方和的形式，再根据非负数的性质可求出x 、y 的值，进而可求出结论．
本题考查了配方法的应用，初中阶段有三种类型的非负数：(1)绝对值；(2)偶次方；(3)二次根式(算术平方根).当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类题目．
18.【答案】116 1−122021
【解析】解：由题意可知，S 1=12，
S 2=122，
S 3=123，
S 4=1
24=116，
…，
S 2021=1
22021，
剩下部分的面积S 2021=122021，
根据正方形的对折纸片变化图可知，
所以，M =S 1+S 2+S 3+⋯+S 2021=12+122+123+⋯+122021
2M =2(S 1+S 2+S 3+⋯+S 2021)=2(12+122+123+⋯+122021) =1+12+122+123+⋯+122020，
2M −M =1−1
22021，
故答案为：116，1−122021．
根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积进行计算即可得解．
本题考查图形的变化，关键在于观察出各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积．
19.【答案】解：(1)原式=1−9+9
=1；
(2)原式=8x6⋅(−4y3)÷(16x2y2)
=−32x6y3÷(16x2y2)
=−2x4y.
【解析】(1)先分别化简零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，然后再计算；
(2)幂的混合运算，先算乘方，然后算乘除．
本题考查实数的混合运算，幂的混合运算，负整数指数幂，零指数幂的运算，掌握运算顺序和计算法则是解题关键．
20.【答案】解：去分母得，−2x+5+3≤9，
移项得−2x≤9−5−3，
合并同类项得，−2x≤1，
x的系数化为1得，x≥−1
．
2
在数轴上表示为：
．
【解析】先去分母，再移项，合并同类项，把x的系数化为1，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
21.【答案】解：(1)原式=(x−3)2．
(2)原式=(m+n)(m−n)+(m−n)
=(m−n)(m+n+1)．
【解析】(1)直接运用完全平方公式进行因式分解即可；
(2)先运用平方差公式，再运用提公因式法进行因式分解．
本题主要考查了因式分解，解决问题的关键是掌握公式法以及提公因式法．
22.【答案】解：{x −3y =2①2x +y =18②
， ①+②×3得：7x =56，即x =8，
把x =8代入①得：y =2，
则方程组的解为{x =8y =2
．
【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
23.【答案】解：原式=m 2−m +m 2−2m +m −2
=2m 2−2m −2，
=2(m 2−m)−2
∵m 2−m −2=0
∴m 2−m =2，
∴原式=2×2−2=2．
【解析】由m 2−m −2=0可变化为m 2−m =2，将m(m −1)+(m +1)(m −2)转化为2(m 2−m)−2，再将m 2−m 作为一个整体代入，即可求出该式的值．
此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24.【答案】CD ⊥DA ，DA ⊥AB ；
垂直定义；
∠3=∠4，等角的余角相等；
内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的判定以及垂直的定义，解题时注意：内错角相等，两直线平行． 先根据垂直的定义，得到∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，再根据等角的余角相等，得出∠3=∠4，最后根据内错角相等，两直线平行进行判定即可．
【解答】
证明：∵CD ⊥DA ，DA ⊥AB ，
∴∠CDA =90°，∠DAB =90°，(垂直定义)
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°．
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，(等角的余角相等)
∴DF//AE.(内错角相等，两直线平行)
故答案为：CD ⊥DA ，DA ⊥AB ，垂直定义，∠3=∠4，等角的余角相等，内错角相等，两直线平行．
25.
【答案】解：(1)扇形统计图中老年职工所占部分的圆心角度数为360°×20%=72°， 故答案为：72°；
(2)小李的抽样调查的数据能够较好地反映出该单位职工健康情况，
小张的抽样调查的数据只有3个，样本容量太少． 小王的抽样调查的数据主要集中在中青年职工，样本不够全面．
故答案为：小李．
【解析】(1)用360°乘以老年职工所占部分的百分比可得；
(2)根据各个样本的抽取中是否有代表性、随机性和广泛性确定答案即可．
此题主要考查了抽样调查的可靠性以及扇形统计图，正确理解抽样调查的随机性是解题关键．
26.【答案】解：关于x 、y 的方程组为：{
3x +5y =m +2 ①2x +3y =m ②
， 由①−②得：x +2y =2，
∵x 、y 的值之和等于2，
∴{x +2y =2x +y =2
， 解这个方程组得{x =2y =0
， 把{x =2y =0
代入②得：m =4． 答：m 的值是4．
【解析】把原方程组消去m 后，与x +y =2建立新的方程组，求得x ，y 的值后，再代入原方程组中，求得m 的值．
本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．
27.【答案】证明：如图，
∵AE ⊥BC ，FG ⊥BC ，
∴∠AMB =∠GNB =90°，
∴AE//FG ，
∴∠A =∠1；
又∵∠2=∠1，
∴∠A =∠2，
∴AB//CD ．
【解析】本题考查了垂线的性质，平行线的性质及判定，熟记定理是正确解题的关键． 首先由AE ⊥BC ，FG ⊥BC 可得AE//FG ，根据两直线平行，同位角相等及等量代换可推出∠A =∠2，利用内错角相等，两直线平行可得AB//CD ．
28.【答案】解：(1)由题意得：{a +2b =4002a +b =350
， 解这个方程组得：{a =100b =150
． 答：购买A 型公交车每辆需100万元，购买B 型公交车每辆需150万元．
(2)设购买A 型公交车x 辆，购买B 型公交车(10−x)辆，
由题意得：{60x +100(10−x)≥680100x +150(10−x)≤1200
， 解得：6≤x ≤8，
有三种购车方案：①购买A 型公交车6辆，购买B 型公交车4辆；
②购买A 型公交车7辆，购买B 型公交车3辆；
③购买A 型公交车8辆，购买B 型公交车2辆．
故购买A 型公交车越多越省钱，
所以购车总费用最少的是购买A 型公交车8辆，购买B 型公交车2辆．
【解析】(1)根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，
B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；
(2)设购买A型公交车x辆，则B型公交车(10−x)辆，由“购买A型和B型公交车的
总费用不超过1200万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．
此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．
29.【答案】∠A+∠B∠1PE BD∠EPB∠APB=∠B−∠1
【解析】解：(1)如图，过P作PE//l1，
∵l1//l2，
∴PE//l1//l2，
∴∠APE=∠A，∠BPE=∠B，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠A+∠B，
故答案为：∠A+∠B．
(2)如图2，过点P作PE//AC．
∴∠A=∠1，
∵AC//BD，
∴PE//BD，
∴∠B=∠EPB，
∵∠APB=∠BPE−∠EPA，
∴∠APB=∠B−∠1；
故答案为：∠1，PE，BD，∠EPB，∠APB=∠B−∠1；
(3)证明：如图3，过点A作MN//BC，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BAC+∠1+∠2=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．
(1)过P作PE//l1，根据平行线的性质得到∠APE=∠A，∠BPE=∠B，据此可得∠APB=∠APE+∠BPE=∠A+∠B；
(2)过点P作PE//AC，根据平行线的性质得出∠A=∠1，∠B=∠EPB，进而得出∠APB=∠B−∠1；
(3)过点A作MN//BC，根据平行线的性质进行推导即可．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是作平行线构造内错角．。