新人教版初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》检测卷(答案解析)

一、选择题
1．方程22(1)10m x -+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠±l
B ．m≥-l 且m≠1
C ．m≥-l
D ．m ＞-1且m≠1 2．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（ ） A ．（x ﹣3）2＝3
B ．（x ﹣3）2＝6
C ．（x+3）2＝12
D ．（x ﹣3）2＝12 3．已知4是关于x 的方程()2120x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实
数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ）
A ．7
B ．7或10
C ．10或11
D ．11
4．若关于x 的一元二次方程2(2)210m x x --+=有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．3m <
B ．3m
C ．3m <且2m ≠
D ．3m 且2m ≠ 5．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是
（ ）
A ．1k >-
B ．1k ≥-
C ．0k ≠
D ．1k >-且0k ≠ 6．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（ ）
A ．5000（1+x ）＝6050
B ．5000（1+2x ）＝6050
C ．5000（1﹣x ）2＝6050
D ．5000（1+x ）2＝6050 7．小刚在解关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-．他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2．则原方程的根的情况是（ ）
A ．不存在实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．有一个根是x
D ．有两个相等的实数根 8．方程()55x x x +=+的根为（ ）
A ．15=x ，25x =-
B ．11x =，25x =-
C ．0x =
D ．125x x ==-
9．设m 、n 是一元二次方程2430x x -+=的两个根，则23m m n -+=（ ） A ．1- B ．1 C ．17-
D ．17 10．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A ．15%
B ．40%
C ．25%
D ．20% 11．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A ．290x += B ．24410x x -+= C ．210x x ++=
D ．210x x +-=
12．不解方程，判断方程2x 2+3x ﹣4＝0的根的情况是（ ）
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．只有一个实数根
D ．没有实数根
二、填空题
13．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出x 个小分支，可列方程___________．
14．若关于x 的一元二次方程210(0)ax bx a +-=≠有一根为2020x =，则一元二次方程2(1)(1)1a x b x +++=必有一根为________．
15．解方程：268x x +=-
解：两边同时加_________，得26x x ++________8=-+________
则方程可化为（_______）2=________
两边直接开平方得_____________
即_________或_____________
所以1x =__________，2x =___________．
16．已知关于x 的一元二次方程230x mx +=+的一个根为1，则方程的另一个根为________．
17．已知方程2x 2+4x ﹣3＝0的两根分别为出x 1和x 2，则x 1+x 2+x 1x 2＝_____．
18．已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则
21a
+3β的值为________．
19．已知()0n n ≠是一元二次方程240x mx n ++=的一个根，则m n +的值为______． 20．已知a 为方程210x x -+=的一个根，则代数式2233a a -+的值为_____ 三、解答题
21．解方程：
（1）26160x x +-=．
（2）22430x x --=．
22．解方程：
（1）()2
316x -=
（2）22410x x --=（用公式法解）
23．解方程：2420x x ++=．
24．用适当的方法解一元二次方程：
（1）()229x -=；
（2）2230x x +-=．
25．回答下列问题．
（1
（2
|1-． （3
）计算：102(1)-++． （4）解方程：2(1)90x +-=．
26．已知关于x 的一元二次方程x 2-2x+k=0．
（1）若方程有实数根，求k 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，如果k 是满足条件的最大的整数，且方程x 2-2x+k=0一根的相反数是一元二次方程(m-1)x 2-3mx-7=0的一个根，求m 的值．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得．
【详解】
∵
方程22(1)10m x -+-=是关于x 的一元二次方程，
∴210m -≠，
解得1m ≠±，
10m +≥，
解得：1m ≥-，
∴1m >-且1m ≠，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．D
解析：D
【分析】
先移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可得新答案．
【详解】
由原方程移项得：x2﹣6x＝3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x2﹣6x+9＝12，
配方得；（x﹣3）2＝12．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查配方法的运用，配方法的一般步骤为：移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成；熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键．
3．C
解析：C
【分析】
把x=4代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．
【详解】
解：把x=4代入方程得16-4（m+1）+2m=0，
解得m=6，
则原方程为x2-7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了三角形三边的关系．
4．D
解析：D
【分析】
根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac的意义得到m-2≠0且△≥0，即（-2）2-4×（m-2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程（m-2）x2-2x+1=0有实数根，
∴m-2≠0且△≥0，即（-2）2-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是m≤3且m≠2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两
个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 5．D
解析：D
【分析】
根据一元二次方程根的判别式得到关于k 的不等式，然后求解不等式即可.
【详解】
是一元二次方程，
0k ∴≠．
有两个不相等的实数根，则Δ0>，
2Δ24(1)0k =-⨯-⨯>，
解得1k >-．
1k ∴>-且0k ≠．
故选D
【点睛】
本题考查一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式：
（1）当△=b 2﹣4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△=b 2﹣4ac =0时，方程有有两个相等的实数根；
（3）当△=b 2﹣4ac ＜0时，方程没有实数根.
6．D
解析：D
【分析】
根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．
【详解】
解：设每天的增长率为x ，
依题意，得：5000（1+x ）2＝6050．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
直接把已知数据代入进而得出c 的值，再利用根的判别式求出答案．
【详解】
∵小刚在解关于x 的方程20ax bx c ++=(0a ≠)时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-，
∴()()2
1410c -+⨯-+=，
解得：3c =，
∵核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2，
故原方程中5c =，
则224441540b ac =-=-⨯⨯=-<，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式，正确利用方程的解得出c 的值是解题关键．
8．B
解析：B
【分析】
根据因式分解法解方程即可；
【详解】
()55x x x +=+，
()()550+-+=x x x ，
()()510x x +-=，
11x =，25x =-；
故答案选B ．
【点睛】
本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
根据一元二次方程的根的定义、根与系数的关系即可得．
【详解】
由一元二次方程的根的定义得：2430m m -+=，即243m m -=-， 由一元二次方程的根与系数的关系得：441
m n -+=-
=， 则2234m m n m m m n -+=-++， ()()24m m m n =-++，
34=-+，
1=，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的定义、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
10．D
解析：D
【分析】
设平均每次降价的百分率为x ，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设平均每次降价的百分率为x ，
依题意，得：100（1-x ）2=64，
解得：x 1=0.2=20%，x 2=1.8（不合题意，舍去）．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11．D
解析：D
【分析】
分别求出每个方程的根的判别式即可得到方程的根的情况.
【详解】
A 选项：2049360∆=-⨯=-<，∴该方程没有实数根，故A 错误；
B 选项：()2
44410∆=--⨯⨯=，∴该方程有两个相等的实数根，故B 错误； C 选项：2141130∆=-⨯⨯=-<，∴该方程没有实数根，故C 错误；
D 选项：()2141150∆=-⨯⨯-=>，∴方程有两个不相等的实数根，故D 正确； 故选：D.
【点睛】
此题考查一元二次方程的根的情况，正确求根的判别式的值，掌握一元二次方程的根的三种情况是解题的关键.
12．B
解析：B
【分析】
求出根的判别式，只要看根的判别式△=b 2-4ac 的值的符号就可以了．
【详解】
解：∵△＝b 2﹣4ac ＝9﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
二、填空题
13．1+x+x2=91【分析】如果设每个支干分出x 个小分支根据每个支干又长出同样数目的小分支可知：支干的数量为x 个小分支的数量为x•x=x2个然后根据主干支干和小分支的总数是91就可以列出方程【详解】解
解析：1+x+x 2=91
【分析】
如果设每个支干分出x 个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x 个，小分支的数量为x•x=x 2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程．
【详解】
解：依题意得支干的数量为x 个，
小分支的数量为x•x=x 2个，
那么根据题意可列出方程为：1+x+x 2=91，
故答案为：1+x+x 2=91．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
14．x=2019【分析】对于一元二次方程设t=x+1得到at2+bt=1利用at2+bt-1=0有一个根为t=2020得到x+1=2020从而可判断一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）-1=0必有一
解析：x=2019
【分析】
对于一元二次方程2
(1)(1)1a x b x +++=，设t=x+1得到at 2+bt=1，利用at 2+bt-1=0有一个根为t=2020得到x+1=2020，从而可判断一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）-1=0必有一根为x=2019．
【详解】
解：对于一元二次方程2(1)(1)1a x b x +++=，
设t=x+1，
所以at 2+bt=1，即at 2+bt-1=0，
而关于x 的一元二次方程ax 2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2020，
所以at 2+bt-1=0有一个根为t=2020，
则x+1=2020，
解得x=2019，
所以2(1)(1)1a x b x +++=必有一根为x=2019．
故答案为：x=2019．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解．
15．999x+31x+3=±1x+3=1x+3=-1-2-4【分析】根据配方法求解即可【详解】解：两边同时加9得99则方程可化为1两边直接开平方得x+3=±1即x+3=1或x+3=-1所以-2-4故答案
解析：9 9 9 x+3 1 x+3=±1 x+3=1 x+3=-1 -2 -4
【分析】
根据配方法求解即可．
【详解】
解：两边同时加9，得26x x ++98=-+9，
则方程可化为()2
3x +=1，
两边直接开平方得x+3=±1，
即x+3=1或x+3=-1，
所以1x =-2，2x =-4．
故答案为：9；9；9；x+3；1；x+3=±1；x+3=1；x+3=-1；-2；-4．
【点睛】
本题考查了配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 16．3【分析】先将x=1代入求得m 的值然后解一元二次方程即可求出另一根
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1∴1+m+3=0即m=-4∴（x-1）（x-3）=0x-1=0x-3=0∴x=1或x=3即该方
解析：3
【分析】
先将x=1代入求得m 的值，然后解一元二次方程即可求出另一根．
【详解】
解：∵一元二次方程230x mx +=+的一个根为1
∴1+m+3=0，即m=-4
∴2430x x -+=
（x-1）（x-3）=0
x-1=0，x-3=0
∴x=1或x=3，即该方程的另一根为3．
故答案为3．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，关于x 的一元二次方程
230x mx +=+的一个根为1求得m 的值成为解答本题的关键．
17．﹣【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣＝﹣2x1x2＝﹣然后利用整体代入的方法计算【详解】根据题意得x1+x2＝﹣＝﹣2x1x2＝﹣所以
x1+x2+x1x2＝﹣2﹣＝﹣故答案为：﹣【点睛】本
解析：﹣
72
【分析】 根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣
42＝﹣2，x 1x 2＝﹣32，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
根据题意得x 1+x 2＝﹣42
＝﹣2，x 1x 2＝﹣32， 所以x 1+x 2+x 1x 2＝﹣2﹣
32＝﹣72． 故答案为：﹣
72
． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a ，x 1x 2＝c a
． 18．10【分析】原方程变为（）-3（）-1=0得到β是方程x2-3x-1=0的两根根据根与系数的关系得到关系式代入求出即可【详解】解：∵α2+3α﹣1＝0∴（）-3（）-1=0∵实数αβ满足α2+3α﹣
解析：10
【分析】 原方程变为（
21a
）-3（1a ）-1=0，得到1a 、β是方程x 2-3x-1=0的两根，根据根与系数的关系得到关系式，代入求出即可．
【详解】
解：∵α2+3α﹣1＝0， ∴（21a
）-3（1a ）-1=0， ∵实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1， ∴
1a 、β是方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两根， ∴1a +β＝3， a β ＝﹣1，2131a a
=+， ∴原式＝1+3a +3β＝1+3（1a
+β）＝1+3×3＝10， 故答案为10．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，熟练的根据根与系数的关系进行计算是解题的关键． 19．【分析】根据一元二次方程的解的定义把代入得到继而可得的值【详解】∵是关于x 的一元二次方程的一个根∴即∵∴即故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义因式分解的应用注意：能使一元二次方程左右两 解析：4-
【分析】
根据一元二次方程的解的定义把x n =代入240x mx n ++=得到240n mn n ++=，继而可得m n +的值．
【详解】
∵n 是关于x 的一元二次方程240x mx n ++=的一个根，
∴240n mn n ++=，即()40n n m ++=，
∵0n ≠，
∴4n m ++，即4m n +=-，
故答案为：4-．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义、因式分解的应用．注意：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
20．【分析】把代入已知方程求得然后将其整体代入所求的代数式求值【详解】由题意得：则所以故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义解题时注意整体代入数学思想的应用
解析：5
【分析】
把x a =代入已知方程，求得21a a =-，然后将其整体代入所求的代数式求值．
【详解】
由题意，得：210a a -+=，
则21a a =-，
所以，()2
233231323335a a a a a a -+=--+=-++=． 故答案为：5．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用．
三、解答题
21．（1）18x =-，2
2x =；（2）1x =，2x =． 【分析】
（1）运用因式分解法求解即可；
【详解】
解：（1）26160x x +-=
()()820x x +-=
解得18x =-，22x =．
（2）22430x x --=，
∵2a =，4b =-，3c =-，
∴224(4)42(3)162440b ac -=--⨯⨯-=+=，
x ===
∴1x =，2x =． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程，在解答中注意计算的正确性．
22．（1）11x =21x =-2）11x =+，21x =． 【分析】
（1）两边除以3后再开方，即可得出两个一元一次方程，求解即可；
（2）求出24b ac -的值，代入公式求出即可．
【详解】
解：（1）()2316x -=
方程两边除以3，得：()2
12x -=，
两边开平方，得：1x -=
则：11x =+21x =
（2）22410x x --=
∵2a =，4b =-，1c =-，
∴()()224442124b ac -=--⨯⨯-=
∴x ==，
∴11x =21x =； 【点睛】 本题考查了解一元二次方程的应用，熟悉相关的解法是解题的关键．
23．12x =-22x =-
【分析】
【详解】
∵2420x x ++=，
∴242x x +=-，
∴24424x x ++=-+，
∴()2
22x +=， ∴
2x =-±
∴12x =-22x =-
【点睛】
本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 24．（1）15=x ，21x =-；（2）13x =-，21x =
【分析】
（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．
【详解】
解：（1）∵()2
29x -=，
∴23x -=±，
∴23x -=或23x -=-，
∴15=x ，21x =-．
（2）∴ 1a =，2b =，3c =-，
则()22413160=-⨯⨯-=>△，
∴x = 即13x =-，21x =．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程．通过开平方运算解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．公式法解一元二次方程的一般步骤，把方程化为一般形式确定各系数的值利用
求解．
25．（13；（21+；（3）4；（4）12x =，24x =-． 【分析】
（1）利用用二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式的乘除法则以及绝对值的性质计算，再合并同类二次根式即可； （3）根据零指数幂，负整数指数幂以及完全平方公式计算，再合并同类二次根式即可； （4）移项，利用直接开平方法即可求解．
【详解】
（1
3 3
=+
3 =；
（2
|1
1)
=-
1
=
1
2
=+；
（3
）
1
02
(1)
-
++
121
=+-
4
=-
（4）2
(1)90
x+-=，
移项得：2
(1)9
x+=，
∴13
x+=或13
x+=-，
1
2
x=，
2
4
x=-．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程－直接开平方法，二次根式的混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键．
26．（1）k≤1；（2）2
【分析】
（1）结合题意，根据判别式的性质计算，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，可得k的值，从而计算得方程x2-2x+k=0的根，并代入到
()2
1370
m x mx
---=，通过求解一元一次方程方程，即可得到答案．
【详解】
（1）由题意知：44k
∆=-且0
∆≥
即：4-4k≥0
∴k≤1
（2）k≤1时，k取最大整数1
当k=1时，221
x x
-+的解为：121
x x
==
根据题意，1x =是方程()2
1370m x mx ---=的一个根 ∴()()()2
113170m m -⨯--⨯--= ∴m=2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式、一元一次方程的性质，从而完成求解．。