2015年高考仿真模拟卷江苏卷数学(三)

2015年高考仿真模拟卷·数学卷（三）注意事项:1．本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟.2. 答题前，请您务必将自己的学校、、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．（2015·市十三校高三第二次联考（理）·2）函数1的定义域为__________.2．（2015·市闵行区高三一模（理）·1）已知集合A={x||x﹣|＞}，U=R，则UC A=．3．（2015·锡常镇高三调研一（理）·2）若复数512im+-（i为虚数单位）为纯虚数，则实数m=．4．（2015·市闵行区高三一模（理）·8）已知集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是．5．（2015·市区高三一模（理）改编·5）某商场每天上午10 点开门，晚上 19 点停止进入．在如图所示的框图中，t表示整点时刻，a（t ）表示时间段[t-1，t）进入商场人次，S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框可以填．6．（2015·市闵行区高三一模（理）·6）已知θ∈（，π），sin﹣cos=，则cosθ=．7．（2015·枣庄市高三一模（理）·15）若曲线()21:02a C y x a => 与曲线2:x C y e =有唯一的公共点，则实数a 的值为 ．8．（2015·高三下二模（理）改编·4）已知0>a ，实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ，若yx z +=2的最小值为1，则=a ．9．（2015·、、高三二模·9） 已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为2，前n 项和为n S ．若544k k S a +-=（k *∈N ），则k 的值为 ． 10．（2015·市高三第二次质量预测（理）改编·12）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点分别是,,21F F 过2F 的直线交双曲线的右支于P ,Q 两点，若||||211F F PF =,且||2||322QF PF =,则双曲线的离心率为 ．11．（2015·高三第二次适应性测试（理）·11）已知ABCDEF 为正六边形，若向量(3,1)AB =-，则=-DE DC ；EC FE += （用坐标表示）． 12．（2015·市十三校高三第二次联考（理）·14）在平面直角坐标系中有两点，以原点为圆心，r > 0为半径作一个圆，与射线交于点M ，与x 轴正半轴交于N ，则当r 变化时， |AM |+| BN |的最小值为__________． 13．（2015·高三第二次适应性测试（理）·14）若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的围是 ．14．（2015·威海市高三一模（理）·14）已知偶函数f （x ）满足f （x+1）=﹣，且当x∈[﹣1，0]时，f （x ）=x 2，若在区间[﹣1，3]，函数g （x ）=f （x ）﹣log a （x+2）有4个零点，则实数a 的取值围是 ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（2015·高三一模（理）·16）（本小题满分14 分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知（sinB ﹣cosB ）（sinC ﹣cosC ）=4cosBcosC ．（Ⅰ） 求角A 的大小；（Ⅱ） 若sinB=psinC ，且△ABC 是锐角三角形，数p 的取值围．16．（2015·省“江淮十校”高三4月联考（理）·18）（本小题满分14 分）一个正四棱锥和一个正三棱锥的所有棱长都相等，如下左图，将他们全等的两面重合在一起拼成一个多面体ABCDEF，如下右图（I）求证：AE//BF;（II）过A、D、F三点作截面，将此多面体上下两部分，求上下两部分的体积比．17．（2015·市高三二模·17）（本小题满分14分）右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP（单位：OP⊥，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知5.6 AB=MP,10=m ）,记通风窗EFGH 的面积为S （单位：2m ） （1）按下列要求建立函数关系式：（i ）设()POF rad θ∠=，将S 表示成θ的函数； （ii ）设()MN x m =，将S 表示成x 的函数；（2）试问通风窗的高度MN 为多少时？通风窗EFGH 的面积S 最大？18．（2015·市巴蜀中学高三二模（理）·21）（本小题满分16 分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点、上顶点分别为,A B 、坐标原点到直线AB 的距离为PBN ACDGOF E HM第17题图43，且2.a b=（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左焦点1F的直线l交椭圆于M N、两点，且该椭圆上存在点P,使得四边形(MONP图形上的字母按此顺序排列）恰好为平行四边形，求直线l的方程．xPNOF1M19．（2015·东北三校高三第二次联合考试·21）（本小题满分16 分）20．（2015·、、高三二模·9）（本小题满分16分）设{}n a是公差为d的等差数列，{}n b是公比为q（1q≠）的等比数列．记n n nc a b=+．（1）求证：数列{}1n n c c d +--为等比数列； （2）已知数列{}n c 的前4项分别为4，10，19，34． ① 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；② 是否存在元素均为正整数的集合A ={1n ，2n ，…，} k n （4k ≥，k *∈N ），使得数列1n c ，2n c ，…，k n c 为等差数列？证明你的结论．数学Ⅱ（附加题）21．［选做题］请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）10. （2015·省“五个一名校联盟”质量监测（一）（理）·22）（本小题满分10分）如图，四边形ABCD接于⊙O,BD是⊙O的直径，CDAE⊥于点E,DA平分BDE∠. （Ⅰ）证明：AE是⊙O的切线（Ⅱ）如果24==AEAB，,求CD.B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）（2015·市高三二模）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=aA23，A的逆矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-1311bA（1）求a,b的值；（2）求A的特征值．C ．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）（2015·第一次高考模拟（理）·23）（本小题满分10分）已知直线l的参数方程为1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-．（1）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值，并求出P 点的坐标．D ．（本小题满分10分，不等式选讲）（2015·高三二模）已知不等式2|1|a b x ++≤-对于满足条件1222=++c b a 的任意实数c b a ,,恒成立,数x 的取值围．［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（2015·八所重点中学4月份联考（理）·19）（本小题满分10分）已知集合{1,2,3,4}A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，i i f ≠)(。

设1a 、2a 、3a 、4a 是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表12341234()()()()a a a a f a f a f a f a ⎛⎫⎪⎝⎭，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两不同的数表． （1）求满足条件的不同的数表的数；（2）若i a i =（4,3,2,1=i ），从所有数表中任意抽取一，记ξ为表中)(i f a i >的个数，求ξ的分布列及期望．23．（2015·市高三二模）（本小题满分10分）已知,m n N*∈，定义(1)(2)(1)()!n n n n n m f m m ---+=记 6()ma f m =，求1212a a a +++的值；（2）记 (1)()m mn b mf m =-，求12n b b b +++所有可能值的集合．2015年高考仿真模拟卷·数学卷（三）参考答案与解析1．（0，1]．【命题立意】令被开方数大于等于0，然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x的围，写出集合区间形式即为函数的定义域．【解析】∴0＜x≤1∴函数的定义域为（0，1],故答案为：（0，1]．【举一反三】求解析式已知的函数的定义域应该考虑：开偶次方根的被开方数大于等于0；对数函数的真数大于0底数大于0小于1；分母非0．2．[﹣1，4]【命题立意】本题考查补集及其运算．【解析】由A中不等式变形得：x﹣＞或x﹣＜﹣，解得：x＞4或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），∵U=R，∴UC A= [﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]．3．-1【命题立意】本题考查了纯虚数的概念和复数运算.【解析】∵551012i5im m-+=+-，∴1+m=0，解得m=-1.4．【命题立意】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．【解析】集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n=23=8，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m=5，∴“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率：p=．故答案为：．5．t≤18【命题立意】本题考查了算法和程序框图．【解析】模拟执行程序，可得t=10，S=0满足条件，t=11，S=a（11）满足条件，t=12，S=a （11）+a （12）…满足条件，t=18，S=a （11）+a （12）+a （13）+a （14）+a （15）+a （16）+a （17）+a （18） 由题意，晚上 19 点停止进入，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值， 故判断框可以填：t≤18． 6．【命题立意】 本题考查二倍角的余弦，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的符号的正确选取． 【解析】∵θ∈（，π），sin﹣cos=，∴1﹣sinθ=，∴sinθ=，∵θ∈（，π），∴cosθ=﹣=﹣．故答案为：．7．22e a ≥【命题立意】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有根的条件，是中档题.【解析】函数2y 2a x =的导数为'y ax =，x y e =的导数为'x y e =， ∵函数2y 2a x =与xy e =有相同的公共切线，设公切线与函数2y 2a x =切于点211(,)2a x x ，公切线与函数xy e =切于点22(,)xx e ，则对应的切线斜率相等即21xax e =，同时切线斜率2211212x a e x k ax x x -==-,将21x e ax =代入 得2111212a ax x ax x x -=-，整理得21112x x =+，则1211211x x e ea x x +==，设112()x e f x x +=， 则函数的导数11221(1)2''()x ex y f x x +-==，则当x>2时，'()0f x >，当02x<<时，'()0f x<，即当2x=时，函数112xeyx+=取得极小值，同时也是最小值，则最小值为11222(2)22e ef+⨯==，则22ea≥，故答案为22ea≥.8．12【命题立意】本题旨在考查线性规划的应用.【解析】作出不等式组表示的平面区域:由图可得在点()1,2B a-处取得最小值1，从而得到1221a⨯-=，解得1a2=.9．7【命题立意】本题考查了等差数列的通项公式，前n项和公式．【解析】根据题意得，()42122na n n=+-=+，()242232nn nS n n++==+∴()25325244k kS a k k k+-=+-++=⎡⎤⎣⎦，解得k=7()k*∈N．10．75【命题立意】本题考查双曲线的定义、性质，考查计算能力，难度较大．．【解析】设椭圆)0(12222>>=+babyax的焦距为c2，则cFFPF2||||211==，由椭圆的定义知，acPF22||2-=，因为||2||322QFPF=，所以acQF33||2-=，所以acQF-=3||1，过点2F作12PFAF⊥，垂足为A，所以acPAAF-==||||2，acacacQA4433||-=-+-=，在2AQF Rt ∆和2APF Rt ∆中，由勾股定理得，221221||||||||PA PF QA QF -=-， 所以2222)()2()44()3(a c c a c a c --=---，因为ac e =， 所以071252=+-e e ，解得57=e 或1=e （舍去）．11．)2,32(;32-【命题立意】正六边形的性质，平面向量的坐标运算，容易题. 【解析】 正六边形ABCDEF 中，(3,1)AB =-，则2)1()3(||22=-+=AB ，∴32)21(22222120cos ||||2||||||2222=-⨯⨯⨯-+=⋅⋅-+=- DE DC DC DC DE DC ，2(23,2)EC FE DC ED FE DC FD DC DF FC AB +=++=+=-===-.12．27 ．【命题立意】本题考查两点间距离公式的应用，考查学生转化思想,推理和证明及分析解决问题的能力．【解析】由题意，设M （a ，﹣a ）（a ＜0），则r=﹣2a ，N （﹣2a ，0）．∴|AM|+|BN|=+设2a=x ，则|AM|+|BN|=+，可以理解为（x ，0）与（﹣，）和（﹣1，）的距离和， ∴|AM|+|BN|的最小值为（﹣，）和（﹣1，﹣）的距离，即2． 故答案为：2．13．]0,2[-【命题立意】考查一元二次方程的根的判别式，容易题.【解析】令y x a -=2代入02422=+++y y x x 得04822=++-a a ax x ，由一元二次方程必有解，则0)(32)4(22≥+--a a a ，解得02≤≤-a ，即y x +2的围是]0,2[-.14．[5，+∞）【命题立意】本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系． 【解析】函数f （x ）满足f （x+1）=﹣，故有f （x+2）=f （x ），故f （x ）是周期为2的周期函数．再由f （x ）是偶函数，当x∈[0，1]时，f （x ）=x 2，可得当x∈[﹣1，0]时，f （x ）=x 2，故当x∈[﹣1，1]时，f （x ）=x 2，当x∈[1，3]时，f （x ）=（x ﹣2）2．由于函数g （x ）=f （x ）﹣log a （x+2）有4个零点，故函数y=f （x ）的图象与y=log a （x+2）有4个交点，所以可得1≥log a （3+2）， ∴实数a 的取值围是[5，+∞）． 故答案为：[5，+∞）． 15．3π；【命题立意】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理的应用． 【解析】（Ⅰ） 由题意得…（4分）∴…（7分）（Ⅱ）…（10分）∵△ABC 为锐角三角形，且 ∴…（14分）∴．…（15分）16．（I ）略 （II ）1:2【命题立意】本题旨在考查空间中两直线平行的判定，以及几何体的体积【解析】证明：（Ⅰ）由题意知，△ABE 、△CBE 和△BEF 都是正三角形， 取BE 的中点O ，连AO 、FO 、CO 、AC,则BE ⊥AO ，BE ⊥FO ，BE ⊥CO ，∴∠AOC 、∠FOC 分别是二面角A-BE-C 和二面角F-BE-C 的平面角，…………3分 设AB ＝2a ,则AO ＝FO ＝CO ＝a 3,AC=a 22,在△AOC 中，31332)22()3()3(cos 222-=⨯⨯-+=∠a a a a a AOC ，在△FOC 中，31332)3()3(cos 222=⨯⨯-+=∠aa a a a FOC∴∠AOC+∠FOC ＝0180,即二面角A-BE-C 与二面角F-BE-C 互补，…………………5分 所以ABFE 四点共面，又AB=BF=FE=EA ，故AE ∥BF.………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，四边形ABFE 四边形CDEF 都是菱形，所以过三点ADF 的截面把多面体分成三棱锥A-DEF 和四棱锥F-ABCD ， 连BD 、FD 则BCD F ABD F BCD F ABCD F V V V V ----=+=2＝DEF A CDF B V V --=22所以截面把多面体分成上、下两部分的体积比为１:２.…………………………………12分 17．（1）（i ）S ＝10sin θ（20cos θ－7），0＜θ＜θ0，其中cos θ0＝720（ii ） S ＝x 351－28x －4x 2，0＜x ＜6．5（2）MN ＝x ＝4．5m 时，通风窗的面积最大【命题立意】本题旨在考查函数的应用．【解析】（1）由题意知，OF ＝OP ＝10，MP ＝6．5，故OM ＝3．5． （i ）在Rt △ONF 中，NF ＝OF sin θ＝10sin θ，ON ＝OF cos θ＝10cos θ． 在矩形EFGH 中，EF ＝2MF ＝20sin θ，FG ＝ON －OM ＝10cos θ－3．5， 故S ＝EF ×FG ＝20sin θ（10cos θ－3．5）＝10sin θ（20cos θ－7）． 即所求函数关系是S ＝10sin θ（20cos θ－7），0＜θ＜θ0，其中cos θ0＝720．………… 4分 （ii ）因为MN ＝x ，OM ＝3．5，所以ON ＝x ＋3．5． 在Rt △ONF 中，NF ＝OF 2－ON 2＝100－(x ＋3.5)2＝3514－7x －x 2． 在矩形EFGH 中，EF ＝2NF ＝351－28x －4x 2，FG ＝MN ＝x ， 故S ＝EF ×FG ＝x 351－28x －4x 2．即所求函数关系是S ＝x 351－28x －4x 2，0＜x ＜6．5． ………… 8分 （2）方法一：选择（i ）中的函数模型： 令f （θ）＝sin θ（20cos θ－7），则f ′（θ）＝cos θ（20cos θ－7）＋sin θ（－20sin θ）＝40cos 2θ－7cos θ－20．………… 10分由f ′（θ）＝40cos 2θ－7cos θ－20＝0，解得cos θ＝45，或cos θ＝－58．因为0＜θ＜θ0，所以cos θ＞cos θ0，所以cos θ＝45．设cos α＝45，且α为锐角，则当θ∈（0，α）时，f ′（θ）＞0 ，f （θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f ′（θ）＜0 ，f （θ）是减函数，所以当θ＝α，即cos θ＝45时，f （θ）取到最大值，此时S 有最大值．即MN ＝10cos θ－3．5＝4．5m 时，通风窗的面积最大． ………… 14分 方法二：选择（ii ）中的函数模型：因为S ＝x 2(351－28x －4x 2) ，令f （x ）＝x 2（351－28x －4x 2）， 则f ′（x ）＝－2x （2x －9）（4x ＋39）． ……… 10分因为当0＜x ＜92时 ，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，当92＜x ＜132时，f ′（x ）＜0，f（x ）单调递减，所以当x ＝92时，f （x ）取到最大值，此时S 有最大值．即MN ＝x ＝4．5m 时，通风窗的面积最大． ………… 14分18．（1）221168x y +=（2）x =- 【命题立意】本题考查椭圆的基本概念及直线方程．【解析】（1）直线AB 的方程为0,bx ay ab +-=坐标原点到直线AB 的距离为222216,33a b a b ⇒=+又,a =解得4,a b ==故椭圆的方程为221168x y +=（2）由（1）可求得椭圆的左焦点为1(F - 易知直线l 的斜率不为0,故可设直线:l x my =-点1122(,)(,),M x y N x y 、因为四边形MONP 为平行四边形，所以12121212(,)(,),OP OM ON x x y y P x x y y =+=++⇒++联立2222(2)802160x my m y x y ⎧=-⎪⇒+--=⎨+-=⎪⎩ ⇒21221212121264(1)02()m x x m y y y y x x m y y ⎧∆=+>⎧-⎪+=⎪⎪⎪++=⇒⎨⎨⎪⎪+=⎪⎪+=+-⎩⎩,因为点1212(,)P x x y y ++在椭圆上，所以2222121222()2()16()2()1622x x y y m m -+++=⇒+=⇒++m =那么直线l的方程为x =-19．（1）1=a （2）略（3）(]1,∞-【命题立意】本题的旨意考查导数的综合应用. 【解析】（1）()21634xa e x f x -+='- 依题意得：()()[]121341211-=⎪⎭⎫⎝⎛--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅'a f 解得：1=a（2）当43-=a 时：()x e x f x 11+=- ()211x e x f x -='∴-()0231>+=''∴-xe xf x 对()+∞∈,1x 成立即：()x f '在()+∞,1上为增函数又()01='f ，故()0>'x f 对()+∞∈,1x 成立()x f ∴在()+∞,1上为增函数（2）1≥x∴由()()x g x f ≥得：()0322112131231≥-+-+--⋅-a x a x ax ex x 设()=x h ()a x a x ax e x x 322112131231-+-+--⋅- ()1≥x()()1121-+--+='∴-a x ax ex x h x()()[]1111---+=-x a e x x ()1≥x设()()111---=-x a ex k x ()1≥x ()a ex k x -='∴-1①当1≤a 时：()o x k ≥'对[),1+∞∈x 成立 又()01=k 故()o x k ≥ 即：()0≥'x h 又()01=h 故()0≥x h ②当1>a 时：由()0='x k 得1ln 1>+=a x 当()a x ln 1,1+∈时：()0<'x k又()01=k 故：()0<x k 即：()0<'x h 又()01=h 故()0<x h 这与已知不符 综上所述：实数a 的取值围为(]1,∞-20．（I ）略（II ）①32n a n =-，132n n b -=⋅②假设不成立，从而不存在满足题意的集合A 【命题立意】本题考查了等差数列，等比数列，通项公式等，考查了学生的方程思想． 【解析】（1）证明：依题意，()()111n n n n n n c c d a b a b d +++--=+-+- ()()11n n n n a a d b b ++=--+-(1)0n b q =-≠， …… 3分从而2111(1)(1)n n n n n n c c d b q q c c d b q ++++---==---，又211(1)0c c d b q --=-≠，所以{}1n n c c d +--是首项为1(1)b q -，公比为q 的等比数列． …… 5分 （2）① 法1：由（1）得，等比数列{}1n n c c d +--的前3项为6d -，9d -，15d -，则()29d -=()()615d d --，解得3d =，从而2q =， …… 7分 且11114 3210 a b a b +=⎧⎨++=⎩，，解得11a =，13b =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． …… 10分 法2：依题意，得1111211311410219334a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，， …… 7分 消去1a ，得1121132116915d b q b d b q b q d b q b q +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩，，，消去d ，得2111321112326b q b q b b q b q b q ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，， 消去1b ，得2q =，从而可解得，11a =，13b =，3d =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． …… 10分② 假设存在满足题意的集合A ，不妨设l ，m ，p ，r A ∈()l m p r <<<，且l c ，m c ， p c ，r c 成等差数列，则2m p l c c c =+，因为0l c >，所以2m p c c >， ① 若1p m >+，则2p m +≥，结合①得，112(32)32(32)32m p m p --⎡⎤-+⋅>-+⋅⎣⎦13(2)232m m ++-+⋅≥，化简得，8203m m -<-<， ②因为2m ≥，m *∈N ，不难知20m m ->，这与②矛盾， 所以只能1p m =+， 同理，1r p =+，所以m c ，p c ，r c 为数列{}n c 的连续三项，从而122m m m c c c ++=+， 即()11222m m m m m m a b a b a b +++++=+++，故122m m m b b b ++=+，只能1q =，这与1q ≠矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A ． …… 16分（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分．） 21．A （Ⅰ）见解析（Ⅱ）433【命题立意】本题考查三角形相似的证明，考查圆的切线的性质，考查弦切角定理，属于基础．【解析】（Ⅰ）连结OA ，则OA ＝OD ，所以∠OAD ＝∠ODA ，又∠ODA ＝∠ADE ，所以∠ADE ＝∠OAD ，所以OA ∥CE ． 因为AE ⊥CE ，所以OA ⊥AE ． 所以AE 是⊙O 的切线．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE ∽△BDA ， 所以AE AD ＝AB BD ，即2AD ＝4BD，则BD ＝2AD ， 所以∠ABD ＝30°，从而∠DAE ＝30°， 所以DE ＝AE tan 30°＝233．由切割线定理，得AE 2＝ED ·EC ， 所以4＝233（233＋CD ），所以CD ＝433．21．B （1）a ＝1，b ＝－23 （2）λ1＝1，λ2＝3【命题立意】本题旨在考查矩阵．【解析】（1）因为A A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤302a ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 b 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 023＋ab a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001．所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，23＋ab ＝0．解得a ＝1，b ＝－23． …………………… 5分（2）由（1）得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3021， 则A 的特征多项式f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－30－2 λ－1＝（λ－3）（ λ－1）． 令f （λ）＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝3． ………………… 10分21．C （1）ρcosθ﹣ρsinθ=1，y=x 2（2）8，11,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【命题立意】本题考查了参数方程化为普通方程．极坐标方程化为平面直角坐标方程．点到直线的距离公式，本题难度不大，属于基础题．【解析】（1）∵1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴x﹣y=1．∴直线的极坐标方程为：ρcosθ﹣ρsinθ=1．cos cossin sin 144ππθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． ∵2sin 1sin θρθ=-，∴2sin cos θρθ=， ∴ρcos 2θ=sinθ，∴（ρcosθ）2=ρsinθ，即曲线C 的普通方程为y=x 2．（2）设P （x 0，y 0），200y x =，∴P到直线的距离：2013x d ⎛⎫-+ ⎪=． ∴当012x =时，min 8d =，∴此时11,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴当P 点为11,24⎛⎫⎪⎝⎭时，P到直线的距离最小，最小值为8． 21．D 33≥-≤x x 或【命题立意】本题考查了柯西不等式．【解析】因为2222()(112)()4a b a b c +≤++++=，所以2a b ++≤， 又|1-|22x c b a ≤++对任意实数c b a ,,恒成立,故2max |-1|()2x a b ≥+=， 解得33≥-≤x x 或 ．22．（1）216；（2）2。