湘教版八年级上册数学第2章单元测试卷

第2章达标测试卷
一、选择题(每题3分，共24分)
1．下列长度的三根木棒能组成三角形的是( )
A．3，4，8 B．4，4，8 C．5，6，10 D．6，7，14 2．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C等于( )
A．100° B．80° C．60° D．40°
3．如图，△ABC≌△BDE，若AB＝12，ED＝5，则CD的长为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于1
2
AB的长为半径作弧，连接弧的
交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至M，则∠B CM 的度数为( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
5．下列命题是假命题的是( )
A．有两个角为60°的三角形是等边三角形
B．等角的补角相等
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．同位角相等
6．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC ＝45°，则∠ACE等于( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
7. 我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平
面内两条伞骨所成的角(∠BAC)，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．为了证明这个结论，我们的依据是( )
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
8．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD交BE于点F，若BF ＝AC，则∠ABC等于( )
A．45° B．48° C．50° D．60°
二、填空题(每题4分，共32分)
9．如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为________．
10．要说明命题“任何数a的平方都是正数”是假命题，可以举的反例是a＝________．11．根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是______________．(填写正确的序号)
①AB＝5，BC＝4，∠A＝60°；②AB＝5，BC＝6，AC＝7；
③AB＝5，∠A＝50°，∠B＝60°；
④∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°.
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边BC上的A1处，折痕为CD，则∠A1DB＝________度．
13．如图，∠A＝∠E，AC⊥BE，AB＝EF，BE＝10，CF＝4，则AC＝________．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，DE是BC的垂直平分线，△ABD 的周长为14cm，则△ABC的面积是________ cm2.
15．如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是△ABC的高，AE是∠BAC 的平分线，则∠DAE＝________.
16．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AD 的延长线于E，交AC的延长线于F.则结论：①AD＝BF；②AC＋CD＝AB；③BE ＝CF; ④BF＝2BE，其中正确的结论是_______________．(填序号)
三、解答题(17～20题每题8分，21题12分，共44分)
17．如图，△ABD≌△CBD，若∠A＝80°，∠ABC＝70°，求∠ADC的度数．
18．如图，D是△ABC的BC边上的一点，AD＝BD，∠ADC＝80°.
(1)求∠B的度数；
(2)若∠BAC＝70°，判断△ABC的形状，并说明理由．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：DE＝DF.
20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，F分别为AB，AC的中点，
ED⊥AB，GF⊥AC，若BC＝15cm，求EG的长．
21．已知：如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.
(1)求证：AD＝BE.
(2)求∠AEB的度数．
(3)拓展探究：如图②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.
①∠AEB的度数为________°；
②探索线段CM，AE，BE之间的数量关系为__________________．
答案
一、1.C 2.B 3.C 4.B 5.D
6．A ：∵在等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，即AD 是BC 的垂直平分
线．∴BE ＝CE ，∴∠EBC ＝∠ECB ＝45°.∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°，∴∠ACE ＝∠ACB －∠ECB ＝15°.
7．A ：根据伞的结构易知AE ＝AF ，DE ＝DF ，AD ＝AD ，∴△ADE ≌△ADF (SSS)，
∴∠DAE ＝∠DAF ，即AP 平分∠BAC . 8．A ：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，
∴∠ADB ＝∠ADC ＝∠BEC ＝∠AEF ＝90°，∴∠FBD ＋∠BFD ＝90°， ∠AFE ＋∠CAD ＝90°， 又∵∠BFD ＝∠AFE ， ∴∠FBD ＝∠CAD ，
在△FDB 和△CAD 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠DBF ＝∠DAC ，∠BDF ＝∠ADC ，BF ＝AC ，
∴△FDB ≌△CDA ，∴DA ＝DB ， ∴∠ABC ＝∠BAD ＝45°. 二、9.17
：(1)若3为腰长，7为底边长，由于3＋3＜7，所以三角形不存在；
(2)若7为腰长，3为底边长，则符合三角形的两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为7＋7＋3＝17. 10．0 11.②③ 12.10 13．6 ：∵AC ⊥BE ，
∴∠ACB ＝∠ECF ＝90°，
在△ABC 和△EFC 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠ACB ＝∠ECF ，∠A ＝∠E ，AB ＝EF ，
∴△ABC ≌△EFC (AAS)，
∴AC ＝EC ，BC ＝CF ＝4.
∵EC ＝BE －BC ＝10－4＝6，∴AC ＝EC ＝6. 14．24 ：∵DE 是BC 的垂直平分线，∴BD ＝DC .
∵△ABD 的周长为14cm ，
∴BD ＋AD ＋AB ＝14cm ，∴AB ＋AD ＋CD ＝14cm ，∴AB ＋AC ＝14cm. ∵AC ＝8cm ，∴AB ＝6cm.
∵∠BAC ＝90°，∴△ABC 的面积是12AB ×AC ＝1
2×6×8＝24(cm 2)．
15．10°
16．①②④ ：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠FAE .∵BE ⊥AD ，∴∠AEB ＝∠AEF
＝90°，∴∠F ＋∠FAE ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠F ＋∠FBC ＝90°，∠BCF ＝∠ACD ＝90°，∴∠FBC ＝∠FAE .在△ACD 和△BCF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠ACD ＝∠BCF ，
AC ＝BC ，
∠DAC ＝∠FBC ，∴△ACD ≌△BCF (ASA)，∴AD ＝BF ，CD ＝CF .在△AEB 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠BAE ＝∠FAE ，
AE ＝AE ，
∠AEB ＝∠AEF ，
∴△AEB ≌△AEF (ASA)，∴AB ＝AF ，BE ＝EF ，∴BF ＝2BE . ∵CD ≠EF ，∴CF ≠BE .
∵AC ＋CF ＝AF ，∴AC ＋CD ＝AF ，∴AC ＋CD ＝AB .∴正确的有①②④. 三、17.解：∵△ABD ≌△CBD ，∴∠C ＝∠A ＝80°，
∴∠ADC ＝360°－∠A －∠ABC －∠C ＝360°－80°－70°－80°＝130°. 18．解：(1)∵在△ABD 中，AD ＝BD ，∴∠B ＝∠BAD .
∵∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，∠ADC ＝80°，∴∠B ＝1
2∠ADC ＝40°.
(2)△ABC 是等腰三角形．
理由：∵∠B ＝40°，∠BAC ＝70°，∴∠C ＝180°－∠B －∠BAC ＝70°， ∴∠C ＝∠BAC ，∴BA ＝BC ，∴△ABC 是等腰三角形．
19．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .
∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°. ∵点D 为BC 的中点，∴DB ＝DC ， 在△DBE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠B ＝∠C ，∠BED ＝∠CFD ，DB ＝DC ，
∴△DBE ≌DCF (AAS)，∴DE ＝DF . 20．解：如图，连接AE ，AG ，
∵D 为AB 的中点，ED ⊥AB ，∴EB ＝EA ， ∴∠B ＝∠BAE .
∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°， ∴∠B ＝1
2×(180°－120°)＝30°，
∴∠BAE ＝30°，∴∠AEG ＝60°. 同理可证：∠AGE ＝60°， ∴△AEG 为等边三角形， ∴AE ＝EG ＝AG .
又∵AE ＝BE ，AG ＝GC ， ∴BE ＝EG ＝GC ，
又∵BE ＋EG ＋GC ＝BC ＝15 cm ， ∴EG ＝5 cm.
21．(1)证明：∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形， ∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°， ∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ， ∴∠ACD ＝∠BCE .
在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，
∴△ACD ≌△BCE (SAS)，∴AD ＝BE . (2)解：由(1)知△ACD ≌△BCE ，
∴∠ADC ＝∠BEC . ∵△DCE 为等边三角形， ∴∠CDE ＝∠CED ＝60°. ∵点A ，D ，E 在同一直线上， ∴∠ADC ＝120°，∴∠BEC ＝120°，
∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝120°－60°＝60°. (3)①90 ②AE ＝BE ＋2CM
：(3)①∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形， ∴AC ＝BC ，CD ＝CE ， ∠ACB ＝∠DCE ＝90°， ∠CDE ＝∠CED ＝45°，
∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ，即∠ACD ＝∠BCE ，
在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，
∴△ACD ≌△BCE (SAS)， ∴∠BEC ＝∠ADC .
∵点A ，D ，E 在同一直线上， ∴∠ADC ＝180°－45°＝135°， ∴∠BEC ＝135°，
∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝135°－45°＝90°.
②由∠DCE ＝90°，CD ＝CE ，CM ⊥DE ，易得CM ＝DM ＝EM ， ∴DE ＝DM ＋EM ＝2CM . ∵△ACD ≌△BCE (已证)， ∴BE ＝AD ，
∴AE ＝AD ＋DE ＝BE ＋2CM.。