苏科版七年级数学下册教案10.4三元一次方程组

10.4三元一次方程组
教学目标
1．理解三元一次方程组的含义．
2．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．
3．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路．
教学重点
1．使学生会解简单的三元一次方程组．
2．通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想．
教学难点
针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．
导入新课
前面我们学习了二元一次方程组的解法．有些问题，可以设出两个未知数，列出二元一次方程组来求解．实际上，有不少问题中含有更多的未知数．大家看下面的问题．
推进新课
一、研究探讨
出示引入问题
小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张．
1．题目中有几个未知数，你如何去设？
2．根据题意你能找到等量关系吗？
3．根据等量关系你能列出方程组吗？
请大家分组讨论上述问题．
（教师对学生进行巡回指导）
学生成果展示：
1．设1元，2元，5元各x 张，y 张，z 张．（共三个未知数）
2．三种纸币共12张；三种纸币共22元；1元纸币的数量是2元纸币的4倍．
3．上述三种条件都要满足，因此可得方程组12,2522,4.x y z x y z x y ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩
师：这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？
（学生小组交流，探索如何消元．）
可以把③分别代入①②，便消去了x ，只包含y 和z 二元了：
8,412,512,2,42522,6522. 2.x y y z y z y y y z y z z =⎧++=+=⎧⎧⎪=⎨⎨⎨++=+=⎩⎩⎪=⎩
即解得 解此二元一次方程组得出y 、z ，进而代回原方程组可求x ．
教师对学生的想法给予肯定并总结解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．
即三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元一元一次方程
二、例题讲解
例1：解三元一次方程组347,239,5978.x z x y z x y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩
（让学生独立分析、解题，方法不唯一，可分别让学生板演后比较．）
解：②×3+③，得11x+10z=35．
①与④组成方程组
347,5, 111035. 2. x z x
x z z
+==
⎧⎧
⎨⎨
+==-⎩⎩
解得
把x=5， z=-2代入②，得y=1
3
．
因此，三元一次方程组的解为
5,
1
,
3
2. x
y
z
=
⎧
⎪⎪
=
⎨
⎪
=-⎪⎩
归纳：此方程组的特点是①不含y，而②③中y的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理．•反之用代入法运算较烦琐．
例2：在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，b，•c的值．
（师生一起分析，列出方程组后交由学生求解．）
解：由题意，得三元一次方程组
0, 423, 25560.
a b c
a b c
a b c
-+=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪++=
⎩
②-①，得a+b=1，④
③-①，得4a+b=10．⑤
④与⑤组成二元一次方程组
1, 410.
a b
a b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
．
解得
3,
2 a
b
=⎧
⎨
=-⎩
把a=3，b=-2代入①，得c=-5．
因此3,2,5.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
，
答：a=3，b =-2，c=-5．
知能训练
1．解下列三元一次方程组：
29,34,(1)3,(2)2312,247; 6.22,2,:(1)15.5,(2)3,
12.5; 1.x y x y z y z x y z z x x y z x x y y z z -=--+=⎧⎧⎪⎪-=+-=⎨⎨⎪⎪+=++=⎩⎩
==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨⎪⎪==⎩⎩解
2．甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大，乙数的13等于丙数的12，求这三个数． 解：设甲、乙、丙三个数分别为x 、y 、z ，则35,10,25,
15,10.,32
x y z x x y y y z z ⎧⎪++==⎧⎪⎪-==⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎩解得 即甲、乙、丙三数分别为10、15、10．
课堂小结
1．学会三元一次方程组的基本解法．
2．掌握代入法，加减法的灵活选择，体会“消元”思想．
布置作业
习题10.4
备课资料
参考例题
1．已知方程组326,22,622,,,2341,62533351x y z ax by cz x y z x y z ax by cz x y z ax by cz -+=++=⎧⎧⎪⎪+-=--+=-⎨⎨⎪⎪++=-+=⎩⎩
与关于的方程组相
同，求a ，b ，c 的值．
2．解方程组:3:2,:5:4,66.x y y z x y z =⎧⎪=⎨⎪++=⎩
3．在y=ax 2
+bx+c 中，当x=1，2，3时，y=0，3，28，求a ，b ，c 的值．当x =-1时，y•的值是多少？
答案：
1．分析：因为两个方程组的解相同，即x ，y ，z 取值相同，可求解第一个方程组中的x ，y ，z ，代入第二个方程组后，求解a ，b ，c ． 解：解方程组1,326,3622,2,6253, 1.x x y z x y z y x y z z ⎧=⎪-+=⎧⎪⎪+-=-=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎪⎩
解得 1222,,322,322,
2341,641,313351,65 1.9,1,21.
a b c x ax by cz y ax by cz a b c z ax by cz a b c a b c ⎧-+=⎧⎪=⎪++=⎧⎪⎪⎪⎪=--+=-++=-⎨⎨⎨⎪⎪⎪=-+=⎩++=⎪⎪⎩⎪⎩
=⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩把解得 2．提示：将①②变为x=32y ，z=45
y 后求解．
答案：
30,
20,
16. x
y
z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
3．解：由题意，得
0,11, 423,30, 9328.19.
a b c a
a b c b
a b c c
++==
⎧⎧
⎪⎪
++==-
⎨⎨
⎪⎪
++==
⎩⎩
解得
所以y=11x2-30x+19．
所以当x=-1时，y=11×（-1）2-30×（-1）+19=60．。