甘肃省嘉峪关一中2014届高三下学期六模考试数学(文)试

嘉峪关市一中2013-2014学年高三第六次模拟考试
数学（文）试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设集合={|2}S x x >-，={|41}T x x -≤≤，则S T =（ ）
A ．[4,)-+∞
B ．(2,)-+∞
C ．[4,1]-
D ．(2,1]- 【答案】A
【KS5U 解析】因为集合={|2}S x x >-，={|41}T x x -≤≤，所以S T =[4,)-+∞。

2. 已知i 是虚数单位，则
31i
i
-=+（ ） A. 2+i B. 2-i C. 1+2i D. 1-2i 【答案】D 【KS5U 解析】
()()
()()
311211i i i i i --=-+-。

3．函数x
x x f 2)1ln()(-+=的零点所在的区间是（ ） A ．)1,2
1( B ．)1,1(-e C ．)2,1(-e D ．),2(e
【答案】C
【
KS5U
解
析
】
因
为
22(1)ln(11)1011f e e e e -=-+-
=-<--，
2
(2)ln(21)ln 3102
f =+-=->，所以函数x
x x f 2
)1ln()(-+=
的零点所在的区间是)2,1(-e 。

4.e ,4为单位向量，当e a ,的夹角为3
2π
时，a 在e 上的投
影为（ ）
A.2
B. 2-
C. 32
D.32- 【答案】B
【KS5U 解析】a 在e 上的投影为21cos
4232a π⎛⎫
=⨯-=- ⎪⎝⎭。

5．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）
A. 2 B .4 C.8 D. 16 【答案】C
【KS5U 解析】第一次循环：21,11k
S S k k =⋅==+=； 第二次循环：22,12k
S S k k =⋅==+=；
第三次循环：28,13k
S S k k =⋅==+=，此时3k <不成立，结束循环，此时输出的S 的值为8.
6.
（ ）
B ．
3
C
D ．
85
【答案】C 【KS5U
解析】因为5204103
30
2301
10
3100
x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
=，所以
()()()()()2222
22182053104330333023
10131005S ⎡⎤=
⨯⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=⎣
⎦，
所以这100。

7. 在区间[]0,10内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[]0,10内的概率是（ ）
A ．110
B
C ． 40
π D ．4
π
【答案】C
【KS5U 解析】在区间[]0,10内随机取出两个数，设这两个数为,x y ，则010
010x y ≤≤⎧⎨
≤≤⎩
，若这
两个数的平方和也在区间[]0,10内，则22010
010010x y x y ⎧≤≤⎪
≤≤⎨⎪≤+≤⎩
，画出其可行域，由可行域知：
这两个数的平方和也在区间[]0,10内的概率是
1
10410040
ππ⨯
=。

8设)(x f y =是一次函数，若，13f 4f 1f 10f 成等比数列且)(),(),(,)(=则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于（ ）
A ．n(2n+3)
B ．n(n+4)
C ．2n(2n+3)
D ．2n(n+4)
【答案】A
【KS5U 解析】由已知可得，f （x ）=kx+b ，（k ≠0），∵f （0）=1=k ×0+b ，∴b=1． ∵f （1），f （4），f （13）成等比数列，且f （1）=k+1，f （4）=4k+1，f （13）=13k+1． ∴k+1，4k+1，13k+1成等比数列，即（4k+1）2=（k+1）（13k+1），即16k 2+1+8k=13k 2+14k+1，从而解得k=0（舍去），k=2，
f （2）+f （4）+…+f （2n ）=（2×2+1）+（4×2+1）+…+（2n ×2+1）=（2+4+…+2n ）×2+n =4×(1)
2
n n ++n=3n+2n 2。

9、某三棱锥的三视图如上右图所示，该三棱锥的体积是（ ）
A.38
B.4
C.2
D.3
4
【答案】B
【KS5U 解析】由三视图知：该几何体的为三棱锥，其中该三棱锥的底面面积为1
4362
⨯⨯=，三棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为1
6243
V =
⨯⨯=。

10、⎩
⎨⎧>-≤-=0,230
,2)(2x x x x x f ，若ax x f ≥|)(|在]1,1[-∈x 上恒成立，实数a 的取值范围是（C ）
A. ),0[]1,(+∞--∞
B. ]1,0[
C. ]0,1[-
D. )0,1[- 【答案】C
【KS5U 解析】画出函数y |()|y f x ax ==和的图像，有图像可知：要使ax x f ≥|)(|，需函数y |()|f x =的图像在函数y ax =的图像的上方，当函数y ax =的图像过点（-1,1）时，
a=-1,所以实数a 的取值范围是]0,1[-。

11．定义式子运算为
12142334
a a a a a a a a =-将函
数sin (cos x
f x x 的图像向左平移(0)n n >个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则n 的最小值为（ ）
A ．
6
π
B ．
3
π
C ．
56π D ．23
π
【答案】C
【KS5U
解析】(sin 2cos 6f x x x x π⎛
⎫-=+ ⎪⎝
⎭,将其图像向左平移n 各单位得到函数2cos 6y x n π⎛
⎫
=++
⎪⎝
⎭
，因为其为偶函数，所以,,,66n k k Z n k k Z ππππ+=∈=-+∈即，又因为(0)n n >，所以n 的最小值为56
π。

12．已知()f x 为R 上的可导函数，且满足()'()f x f x >，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是（ ） A .(0)()a f f a e >
B . (0)()a f f a e
< C . ()(0)a
f a e f > D . ()(0)a f a e f <
【答案】D
【KS5U 解析】令()()x f x F x e =，因为()'()f x f x >，所以2()()
()0x x x
e f x e f x F x e
'-'=<，所以函数()()x f x F x e =在R 上单调递减，所以对任意正实数a ，()
()x f x F x e
=
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13、
设,x y 满足约束条件20
44000
x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪
⎨≥⎪⎪
≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值
【答案】.1
【KS5U 解析】画出约束条件2044000
x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨
≥⎪⎪≥⎩的可行域，由可行域知目标函数(0,0)z ax by a b =+>>过点（2,4）时，取最大值，且最大值为6，即
246,23
a b a b +=+=所以，所以
333125254log ()log log 13333b a a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
+=++≥+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，当且仅当,a 1,b 1b a a b ===即时
等号成立，所以
312log ()
a b +的最小值1. 14、在正三棱锥S-ABC 中，侧面SAB 、侧面SAC 、侧面SBC 两两垂直，且侧棱SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积为____ _. 【答案】36∏
【KS5U 解析】在正三棱锥S-ABC 中，侧面SAB 、侧面SAC 、侧面SBC
两两垂直，所以正三棱锥S-ABC 的三条侧棱两两互相垂直，且
SA=
正三棱锥S-ABC 的外接球即为棱长为的正方体的外接球．则外接球的直径26R ==，所以外接球的半径为：3．故正三
棱锥S-ABC 的外接球的表面积S=4•πR 2=36π。

15.如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点A 、D 为双曲线的焦点，其余四个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率为 ． +1
【KS5U 解析】设正六边形ABCDEF 的边长为1，中心为O ，以AD 所在直线为x 轴，以O 为原点，建立直角坐标系，则c=1，
在△AEF
中，由余弦定理得AE 2=AF 2+EF 2-2AF •EFcos120°=1+1-2（-
1
2
）=3，
16. 函数3
2)(x x f =，等差数列{}n a 中，6852=++a a a ，则=)()...()(921a f a f a f _______. 【答案】64
【KS5U 解析】因为等差数列{}n a 中，6852=++a a a ，所以52a =，所以
19
+63
129()()...()2
264a f a f a f a +===…a 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos a A b C c B =+．
（1）求角A 的大小；
（2）若6,8a b c =+=，求ABC ∆的面积．
18、（本小题满分12分）.某种产品的广告费支出x 与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：
(3)在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值
不超过5的概率．(参考数据： 1
2
2
1
()()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x
n x
--
∧
=-
=--=
-∑∑)
20．（本题满分12分）已知动圆过定点A (0,2), 且在x 轴上截得的弦长为4. (1) 求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（2）点P 为轨迹C 上任意一点，直线l 为轨迹C 上在点P 处的切线，直线l 交直线：y ＝－1于点R ，过点P 作PQ ⊥l 交轨迹C 于点Q ，求△PQR 的面积的最小值. 21．（本题满分12分）已知函数()ln f x x x =,2()3g x x ax =-+-． （1）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值； （2）若存在01[,](x e e e
∈是自然对数的底数， 2.71828)e =，使不等式002()()
f x
g x ≥成立，求实数a 的取值范围．
选考题：请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

本题满分10分．
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，,D E 分别为ABC ∆边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC ∆的
外接圆于,F G 两点。

若//CF AB ，证明： （1）CD BC =； （2）BCD
GBD ∆∆。

23.、（本小题满分10分）在直角坐标系中，以原点为极点,错误！未找到引
用源。

轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，已知过点错误！未找到引用源。

的直线错误！未找到引用源。

的参数方程为错误！未找到引用源。

（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点。

（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；
（2）若错误！未找到引用源。

成等比数列,求错误！未找到引用源。

的值 24、（本小题满分10分）
已知函数R m x m x f ∈--=|,2|)(，且0)2(≥+x f 的解集为]1,1[-。

（1）求m 的值；
（2）解关于x 的不等式124x x m ++->
参考答
一、选择题
A D C
B
C C C A B C C
D 二、填空题
13.1 14.36∏ 15.
-1 16.64
三、解答题
17（1）由2cos cos cos a A b C c B =+及余弦定理或正弦定理可得1
cos 2A =
(4)
分
所以3
A π
= ……5分
(2) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，得b 2＋c 2－bc ＝36．又b ＋c ＝8，所以bc ＝28
3
． ……9分 由三角形面积公式S ＝12bcsin A ，得△ABC 的面积为73
3． ……12分
18、解：（1）
，
，
6.5b ∧
= 于是可得：，
，
因此，所求回归直线方程为：
(2）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，
(万元)，即这种产品的销售收入大约为
82.5万元。

（3）
基本事件：（30，40），（30，60），（30，50），（30，70），（40，60），（40，50），（40，70），（60，50），（60，70），（50，70）共10个，
两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的有（60，50），
所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为
19、解：（1）在长方体1111ABCD-A B C D 中，因为11A B ⊥面11A D DA ，所以111A B AD ⊥． 在矩形11A D DA 中，因为12AA =AD=，所以11AD A D ⊥． 所以1AD ⊥面11A B D .
（2）当点P 是棱1AA 的中点时，有DP ∥平面1B AE ． 理由如下：在1AB 上取中点M ，连接PM,ME ． 因为P 是棱1AA 的中点，M 是1AB 的中点，
C 1
A 1
B 1
C
B
D 1
A
D
P
M E
所以PM ∥11A B ，且111
2
PM A B =． 又DE ∥11A B ，且111
2
DE A B =
．所以 PM ∥DE ，且PM DE =，
所以四边形PMED 是平行四边形， 所以DP ∥ME ． 又DP ⊄面1B AE ，ME ⊂面1B AE ，所以DP ∥平面1B AE ． 11
12
AP A A == 20（1）'()ln 1f x x =+ …… 1分
()f x ∴在1(0,)e 为减函数，在1
(,)e +∞为增函数
①当1t e <时，()f x 在1[,)t e 为减函数，在1
[,2]t e
+为增函数，
min 11
()()f x f e e ∴==- …… 4分
②当1
t e
≥时，()f x 在[,2]t t +为增函数，min ()()ln f x f t t t ∴== …… 6分
（2）由题意可知，22ln 30x x x ax +-+≥在1
[,]e e
上有解，即
22ln 332ln x x x a x x x x ++≤=++在1[,]e e
上有解
令3
()2ln h x x x x
=++，即max ()a h x ≤ …… 9分
2222
2323(3)(1)
'()1x x x x h x x x x x
+-+-=+-== ()h x ∴在(0,1)为减函数，在(1,)+∞为增函数，则在1
(,1)e
为减函数，在(1,)e 为增函
数 …… 13分
113
()23,()2h e h e e e e e
∴=-++=++
max 3
()()2a h x h e e e
∴≤==++ …… 12分
21（1）设C (x ,y )，|CA |2－y 2＝4，即x 2＝4y .
∴动圆圆心的轨迹C 的方程为x 2＝4y . …… 4分
（2）C 的方程为x 2
＝4y ，即y ＝14x 2，故y '＝12x ，设P （t ,t 24），
PR 所在的直线方程为y －t 24＝t 2(x －t )，即y ＝t 2x －t 2
4，则点R 的横坐标x R ＝t 2－42t ，|PR |＝
1＋t 2
4|x R －t |＝4＋t 2(t 2＋4)4|t|
； …… 8分 PQ 所在的直线方程为y －t 24＝－2t (x －t )，即y ＝－2t x ＋2＋t 2
4，
由⎩
⎨⎧y ＝－2t x ＋2＋t 2
4
y ＝14x
2 ，得x 24＋2t x －2－t 24＝0，由x P ＋x Q ＝－8t 得点Q 的横坐标为x Q ＝－8
t －t ，
|PQ |＝
1＋4
t 2|x P －x Q |＝1＋4t 2|8
t ＋2t |＝2t 2＋4(t 2＋4)t 2
，…… 10分 ∴S △PQR ＝1
2|PQ ||PR |＝(t 2＋4)34t 2|t |，不妨设t ＞0 ，记f (t )＝t 2＋4t ,(t ＞0)，则当t=2时，f (t )min ＝4.
由S △PQR ＝1
4[f (t )]3，得△PQR 的面积的最小值为16. ……12分
22、证明：（1）、因为,D E 分别为,AB AC 的中点，所以//DE BC ，又已知//CF AB ，
故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF BD AD ==，
而//CF AD ，连结AF ，所以ADCF 是平行四边形，故AF CD =，因为//CF AD ，所以AF BC =，故CD BC =
（2）、因为//FG BC ，故GB CF =，由（Ⅰ）可知CF BD =，所以GB BD =，而
DGB EFC DBC ∠=∠=∠，故DGB
DBC ∆∆
23、解：（1）C: 02:,22
=--=y x l ax y （2）将直线的参数表达式代入抛物线得
a
t t a t t a t a t 832,22280
416)224(2121212
+=+=+∴=+++-
|||||,||||,|||2121t t MN t PN t PM -===
212
21212215)(||||t t t t t t t t =+⇒=- 代入得 1=a
24、解：（1）∵(2)f x m x x +=-≥0,≤∴m ，
∴0m m x m >⇒-<< (2)0111f x x m +≥⇔-≤≤⇒=
（2）当1x ≤-时，原不等式可化为：124x ->，解之得：3
2
x <- 当12x -<≤时，原不等式可化为：34>，此时不等式无解 当2x >时，原不等式可化为：214x ->，解之得：52
x > 综上：此不等式的解集为352
2x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩
⎭
或。