福建省福州市高一下册第二学期期末联考试题数学含答案【精选】.doc

2019-2020学年度第二学期八县（市）一中期末考联考
高中 一 年 数学 科试卷
考试日期： 7 月 3 日 完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分
一、选择题（每题5分，共60分）
1．已知向量()1,2a =v ，(3,3)b =--r ， (),3c x =v
，若()
2//a b c +v v v ，则x =（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．3-
D ．4-
2．
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田， 下周六步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长 6步，其所在圆的直径是4步，问这块田的面积是（ ）平方步？ A. 6 B.3 C. 12 D. 9
3．若3π1
cos 23
α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2π2πα-≤≤，则sin 2α的值为（ ）
A ．42
9
-
B ．22
9
-
C ．
22
9
D ．
42
9
4．将函数15cos π26x y ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
=对应的曲线沿着x 轴水平方向向左平移2π3个单位，得到 曲线为（ ）
A ．1πcos 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-
B ．1sin 2y x =
C ．1πsin 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
=- D ．1sin 2y x =- 5．化简：21
sin 352cos10cos80-
=o o
o
（ ） A ．2- B ．12
-
C ．1-
D ．1 6．如图所示，向量,,,,,OA a OB b OC c A B C ===u u u v u u u v u u u v u v
v v 在
一条直线上，且4AC CB =-u u u v u u u v
则( )
A. 1322c a b =+v v v
B. 3122c a b =-v v v
C. 2c a b =-+v v v
D. 1433c a b
=-+v v v
7．设向量a r 与b r 满足2a =r ，1b =r ，且()b a b ⊥+r r r ，则向量b r 在向量2a b +r r
方向
上的投影为（ ） A ．12
-
B ．
12
C ．1
D ． 1-
学校 班级 姓名 座号 准考号： .
---------密………封…………装…………订………线----------
8．函数sin 21cos x
y x
=
+的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知非零向量a r ，b r 满足23a b =r r ，2a b a b -=+r r r r ，则a r 与b r
的夹角的余弦值为（ ）
A ．
2
3
B ．
34
C ．
13
D ．
14
10．设sin
5a π
=，cos
10b π
=，5tan
12
c π
=，则（ ）
A ．c b a >>
B ．a c b >>
C ．b a c >> a b c >>
11. ()()22cos 0f x x ωω=->3π,04⎛⎫
⎪⎝⎭
()f x 在区间
2π0,3⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调，则ω的值为（ ） A ．2
B ．
3
8
C ．
103 D ．23 12．平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，·1AB AD =-u u u r u u u r ，点M 在边CD 上，则·MA MB
u u u r u u u r
的最大值为（ ） A ．221
B ．2
C ．5
D 31
二、填空题（每题5分，共20分）
13．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 34
π，cos 3
4π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为 ． 14．若π1tan 43α⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭，则sin cos αα等于 ．
15．当x θ=时，函数()5sin 12cos f x x x =-取得最大值，则cos θ＝________．
16． ①函数()sin π23f x x =+⎛
⎫ ⎪⎝
⎭关于π6x =对称；
②解不等式tan π332x ⎛⎫
≥-
⎪⎝⎭
-的解集为,1223ππππ(),2()k k Z k -++∈；
③在ABC △中，1AB =，3AC =，D 是BC 的中点，则·
4AD BC =u u u v u u u v
；
④已知对任意的x R ∈恒有3()()2
f x f x π
+
=，且()f x 在R 上是奇函数， 若当[0,
]2
x π
∈时，()sin f x x =，则112
(
)42
f π=-.其中命题正确的是___． 三、解答题（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分）
17．已知向量(3,4)OA =-u u u r ，(6,3)OB =-u u u r ，(5,3)OC m m =---u u u r
.
(1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．
18．已知a r ，b r
是两个单位向量.
(1)若|32|3a b -=r r ，求|3|a b +r r
的值；
(2)若a r ，b r 的夹角为3
π
，求向量2m a b =+u r r r 与23n b a =-r r r 的夹角α.
19．已知函数()sin f x x =，先将函数()f x 的图象向右平移
6
π
个单位，再将图象的横坐标扩大3倍，纵坐标扩大2倍得到函数()g x .
(1)求函数()g x 的解析式，并求出5()4
g π
的值； (2)设α，[0,]2πβ∈，10(3)213g πα+=，3cos()5αβ+=，求(32)
2
g βπ+的值.
20．设函数()f x a b =⋅r r ，其中向量()2cos ,1a x =r
，b r ()
m x x +=2sin 3,cos ．
(1)求函数()x f 的最小正周期和在[]π,0上的单调递增区间； (2)当∈x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡6π,0时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围．
21．如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该
曲线段是函数sin()(0,0,(0,))y A x A ωϕωϕπ=+>>∈，[]4,0x ∈-的图象，图象的最高
点为(1,2)B -.边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ．游乐场的后一部分
边界是以O 为圆心的一段圆弧»DE
． (1)求曲线段FGBC 的函数表达式；
(2)如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧»DE
上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值．
22．已知向量()11,,1,sin(2)62a y b x π⎛⎫
==-+ ⎪⎝
⎭r r ，且//a b r r ，设函数()y f x =．
（1）若方程()0f x k -=在[,]2
x π
π∈上恰有两个相异的实根αβ、，写出实数k 的取值范
围,并求αβ+的值．
（2）若()2()1h x f x =-,5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，且()()2cos 43g x h x x λπ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭
求实数λ的值．
2017---2018学年度第二学期八县（市）一中期末考联考
高一数学参考答案
一、选择题：（每小题5 分，共60 分） 二、填空
题：
（每小题 5 分，共20 分）
13. 7π
4
14.
25 15. 1213
- 16. ②③④
三、解答题：（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分）
17. 解：（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线， ………1分
(3,1)AB OB OA -==u u u r u u u r u u u r Q ，(2,1)AC OC OA m m -==--u u u r u u u r u u u r
. …………………3分
3(1)2m m ∴-≠- ∴
． ……………5分 （2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB AC ⊥u u u r u u u r
， ………7分
3(2)(1)0m m ∴-+-= …………………………9分
…………10分 18．解：（1）因为a r ，b r 是两个单位向量，所以||||1a b ==r r ，又|32|3a b -=r r
，
∴222(32)9||124||9a b a a b b -=-+=r r r r r r g ，即1
3
a b =r r g . ………2分
∴|3|a b +===r r ………4分
（2）因为227
(2)(23)2||6||2
m n a b b a b a b a =+-=+-=-u r r r r r r r r r r g g g ， ………6分
||m ====u r ， ………8分
||n ====r ………10分
则71cos 2||||m n m n α-
===-u r r g u
r r ，又因为0απ≤≤，所以23πα=. ………12分 19. 解：（1）由题可知：1()2sin()3
6
g x x π
=-
， ………3分
则515(
)2sin()2sin 2434642
g ππππ=⨯-==⨯= ………5分 （2） 因为110
(3)2sin[(3)]2sin 232613g πππααα+=+-==，
所以5sin 13α=，[0,]2πα∈，则12
cos 13
α=，………7分
又因为3cos()5αβ+=，[0,]αβπ+∈，则4
sin()5
αβ+=， ………9分
所以
3124556
cos cos[()]cos()cos sin()sin 51351365
βαβααβααβα=+-=+++=⨯+⨯=
………11分
所以(32)11562sin[(32)]sin()cos 2236265
g βπππβπββ+=⨯⨯+-=+==
. ..…12分
20. (1)()16π2sin 22sin 3cos 22
++⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+
=++=m x m x x x f …………3分 ∴函数()x f 的最小正周期π=T ， ……………4分
Θπ22π
6π2x π22πk k +≤+≤+-
π6
π
x π3πk k +≤≤+-∴()Z k ∈ ……………6分
∴在[]π,0上的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡π,3π2． …………7分
(2) Θ 当∈x ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡6π,0时，()x f 单调递增
∴当6
π
=x 时，()x f 的最大值等于3+m . …………8分
当0=x 时，()x f 的最小值等于2+m . …………9分
由题设知()4<x f ，即()44<<-x f
∴⎩⎨
⎧->+<+4
24
3m m ， …………11分
解得：16<<-m . ……………………12分
21. (1)由已知条件，得2A =， …………1分
又∵
34T =，212T πω==，∴6
πω=
………2分 又∵当1x =-时，有2sin()2,6y πϕ=-+= ∴23
π
ϕ= …………4分
∴曲线段FGBC 的解析式为[]22sin(),4,063
y x x ππ
=+∈-
(2)如图，3OC =
，1CD =，∴2OD =，6
COD π
∠=
，13
PMP π
∠=
……5分
解法一：作1PP ⊥x 轴于1P 点， ……6分 在1Rt OPP ∆中，12cos OP θ=，12sin PP θ= 在1Rt MPP ∆中，1
11
2sin tan
3
PP MP MP π
θ=
=，∴1
23sin 33MP θ==
……8分
（注：学过正弦定理可以采用解法二求线段OM 的长度）
（解法二：作1PP ⊥x 轴于1P 点，在1Rt OPP ∆中，12sin PP θ=， 在OMP ∆中，
sin120sin(60)
OP OM
θ=-o o
∴sin(60)23sin 2cos 2cos sin12033
OP OM θθ
θθ⋅-==-=-
o o ．） ……8分
……11分
当26
2
π
π
θ+
=
时，即6
π
θ=
23
． ……12分 232cos 3
OM θθ=-
22. 解：（1）()1
sin 262f x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭ …………………1分
Q 方程()0f x k -=在[
,]2
x π
π∈上恰有两个相异的实根
∴题中问题等价于函数()y f x =与y k =的图像在[,]2
x π
π∈上恰有两个不同的交点
用五点法画出()1
sin 262
f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭的图像（草图略）…………………4分 ∴由图可知：1
0.2
k -
<≤ ……………………5分 Q αβ、关于直线56x π=
对称 ∴5.3
παβ=+ ……………………6分 （2）()()2cos 43g x h x x λπ⎛
⎫=+-
⎪⎝⎭4sin 2cos 463x x λππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 24sin 212sin 266x x λπ⎡π⎤⎛⎫⎛
⎫=-+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2
22sin 2216x λλ⎡π⎤⎛⎫=---++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
……………………8分
5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
Q ，于是20263x ππ≤-≤，0sin 216x π⎛
⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭……………9分
①当0λ<时，当且仅当sin 206x π⎛
⎫
-
= ⎪⎝⎭
时，()g x 取得最大值1，与已知不符．10分 ②当01λ≤≤时，当且仅当sin 26x λπ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭
时，()g x 取得最大值2
21λ+， 由已知得2
3212λ+=
，解得1
2
λ=． ……………11分 ③当1λ>时，当且仅当sin 216x π⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
时，()g x 取得最大值41λ-， 由已知得3412λ-=
，解得5
8
λ=，矛盾． ……………12分 综上所述，12
λ=．。