江西省南昌市第二中学高一数学下学期第一次月考试题

南昌二中2015—2016学年度下学期第一次月考
高一数学试卷
一、 选择题
1. 在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++L ，则k = A ．22 B ．23 C ．24 D ．25
2. 在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，∠A＝30°，则c 等于
A ．25
B ．5
C ．25或5
D ．10或5
3. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52
S S =
A.11
B.5
C.8-
D. 11-
4. 数列}{n a 中，),()
1(2
,211*+∈++==N n n n a a a n n 则=10a
A. 3.4
B. 3.6
C. 3.8
D. 4
5. 已知△ABC 的面积为2
3
，且3,2==c b ，则∠A 等于
A ．30°
B ．30°或150°
C ．60°
D ．60°或120° 6. 已知数列{}n a 的通项公式是478n a n =-+，{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 达到最大值时,n 的值是
A ．17
B ．18
C ．19
D ．20 7. 若cos ,sin c a B b a C ==,则△ABC 是
A.等腰三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
8. 在数列{}n a 中,已知122,7a a ==，2n a +等于*
1()n n a a n N +⋅∈的个位数,则2016a 的值是
A.8
B.6
C.4
D.2
9. 已知{}n a 为递增数列，对任意的n N +∈，都有2
n a n n λ=+恒成立，则λ 的取值范围为
A.7(,)2
-+∞ B.(0,)+∞
C.(2,)-+∞、
D.(3,)-+∞
10.如图所示，,,D C B 三点在地面的同一直线上，CD a =，从,D C 两点测得A 的仰角
分别是,()αβαβ<，则点A 离地面的高AB 等于
A ．
cos cos cos()a αβ
βα-
B ．cos cos sin()a αββα-
C ．sin sin cos()
a αββα-
D ．
sin sin sin()
a αβ
βα-
11.有两个等差数列{}n a ，{}n b ，其前n 项和分别为n S 和n T ，若
321
n n s n T n =+，则121419
131719
a a a a
b b b b +++=+++
A ．2719
B ．1813
C ．
10
7
D ．
1713
12. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边，三边a 、b 、c 成等差数列，且
B ＝4π，则｜cosA 一cos
C ｜的值为 A.4
2
B.2
C. 22
D.
4
2
2
二、填空题
13. 若{}n a 是等差数列，首项120152016201520160,0,0a a a a a >+>⋅<，则使0n S >成立的最大正整数n 是____________.
14.在正项等比数列{}n a 中，5671
,32
a a a =+=，则满足1212n n a a a a a a +++>L L 的
最大正整数n 的值为 ．
15. 已知数列{}n a 满足*1
11
21,
,n n n na a a n n N a ++-==∈，则数列{}n a 的通项公式是_____.
16. 在锐角三角形ABC 中，1
tan 2
A =， D 为边BC 上的点，ABD ∆与ACD ∆的面积
分别为2和4．过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅=u u u r u u u r
．
三、解答题
17.已知递增等比数列{}n a 的第三项，第五项，第七项的积为512，且这三项分别减去
1,3,9后成等差数列.
（1）求{}n a 的首项和公比；
（2）设222
12n n S a a a =+++L ，求n S .
18.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．向量()
,3m a b =r
与()cos ,sin n =A B r
平行．
（1）求A ； （2）若7a =
，2b =求ABC ∆的面积．
19.已知函数3()(30)3
x
f x x x x =
≠-≠+且，数列{}n x 的通项公式由*1()(2,)n n x f x n n N -=≥∈确定.
（1）求证：1
{}n x 是等差数列；
（2）当11
2
x =时，求100x .
20. 问：是否存在这样的一个三角形，同时具有以一下两个性质：①三边是连续的三个自然数；②最大角是最小角的2倍.若存在，求出此三角形的三边边长；若不存在，请说明理由.
21.如图，已知动点A 、B 分别在射线CP 、CQ （不含端点C ）上运动，120PCQ ∠=o
.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .
（1）若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值；
（2）若3c =
，ABC θ∠=，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值.
22. 函数2*2
(,1)1x x n
y n N y x -+=∈≠+且的最大值为n a ，最小值为n b ，且1
4()2
n n n c a b =⋅-.
（1）求函数{}n c 的通项公式；
（2）若数列{}n d 的前n 项和为n S ，且满足1n n S d +=.设数列{}n n c d ⋅的前n 项和
为n T ，求证：5n T <.
南昌二中2015—2016学年度下学期第一次月考
高一数学试卷参考答案
1-6 ACDCDC 7-12 BBDDD A
13. 4030 14. 12 15.
2(1)n n + 16. 16
15
-
17. （1）由3
3575512a a a a ⋅⋅==，得58a =
设公比为q ，则2
3728,8a a q q ==，由题意得：2282(83)(1)(89)q q -=-+- 解得：22122
q q ==或（舍），∵{}n a 是递增数列，∴2
2q =，2q =（舍负）
又∵4
51148a a q a === ∴12a =
(2)2
12
1
[2(2)]2
n n n a -+=⨯= ∴24(12)
2 4.12
n n n S +-=
=--
18. 【答案】（I ）3π；（II ）332
．
解法二：由正弦定理，得
72sin sin
3
=
B
，
从而21sin 7
B =
， 又由a b >，知A B >，所以27cos 7
B =.
故()321
sinC sin A B sin sin cos cos sin 33314
B B πππ⎛⎫
=+=B +
=+= ⎪
⎝
⎭ 所以C ∆AB 的面积为133bc sinA 2
2
=.
考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.
19. (1)∵*1113()(2,)3n n n n x x f x n n N x ---==
≥∈+ ∴111
3111
33n n n n x x x x ---+==+
即
11113n n x x --=为常数*(2,)n n N ≥∈，∴1{}n
x 是等差数列 （2）由（1）知1{}n x 成以公差1
3
d =的等差数列，首项112x =
∴111(1)n n d x x =+-⋅，则100112(1001)353x =+-⋅= ∴100135
x =.
20. 【解析】设三角形的三边长依次为1,,1+-n n n ，对应角依次为A B A 2,,;由正弦定
理，得1
1sin 2sin -+=n n A A ，则11cos 2-+=n n A ，又由余弦定理得11
)1()1()1(2
22-+=
+--++n n n n n n n ，化简得2)1()1)(4(+=-+n n n ，
解得5=n ，即存在这样的三角形，边长依次为4,5,6.
21. （1）∵a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2，∴4,2a c b c =-=-，
又∴120PCQ ∠=o
，也即1
cos 2
C =-
，由余弦定理得：2221
(4)(2)2(4)(2)()2
c c c c c =-+--⋅-⋅-⋅-，化简得：29140c c -+=
解得：72c c ==或，又∵40a c =->，∴7c =.
（2）在ABC ∆中，由正弦定理得
3
2sin(60)sin a b θθ===-o
∴2sin(60),2sin a b θθ=-=o
，∴ABC ∆的周长
()2sin 2sin(60)3f a b c θθθ=++=+-+o 060θ<<o o ）
()2sin 2(sin 60cos cos 60sin )3sin 332sin(60)3
f θθθθθθθ=+-+==+o o o
∵060θ<<o o ∴当30θ=o
时，ABC ∆的周长()23Max f θ=.
22. （1）由2*2
(,1)1
x x n
y n N y x -+=∈≠+且，得2(1)0y x x y n -⋅++-= ∵,1x R y ∈≠且，∴14(1)()0y y n ∆=---≥
化简得：2
44(1)410y n y n -++-≤.
由题意可知：n a ，n b 是方程2
44(1)410y n y n -++-=的两根，
∴14n n a b n ⋅=-
， ∴1
4()432
n n n c a b n =⋅-=-.
（2）由1n n S d +=……①
得：111n n S d +++=……② 由②－①，得：112
n n d d +=
∴数列{}n d 成等比数列，公比12q =，又由①，令1n =，得112
d = ∴1111()()222n n
n d -=
⋅=， ∴43
2n n n
n c d -⋅= ∴12111
1()5()(43)()222
n n T n =⨯+⨯++-⨯L …………③
231111111()5()(47)()(43)()22222
n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯L ………④ 由③－④得：231
111111
4[()()()](43)()222222n n n T n +=++++--⨯L
化简得：45
552
n n
n T +=-<.。