2021-2022年高考数学大一轮复习板块命题点专练八文
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 两条直线的位置关系
√A.6x－4y－3＝0
C.2x＋3y－2＝0
B.3x－2y－3＝0 D.2x＋3y－1＝0
解析 因为抛物线 y2＝2x 的焦点坐标为12，0， 直线 3x－2y＋5＝0 的斜率为32， 所以所求直线 l 的方程为 y＝32x－21，
化为一般式，得6x－4y－3＝0.
4.已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三 角形，则实数m的取值集合为
解析 由题意得，点 P 到直线的距离为|4×4－35×a－1|＝|15－5 3a|. 又|15－5 3a|≤3，即|15－3a|≤15，解得 0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0,10].
4.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则
29
|PQ|的最小值为__1_0___.
题型二 两直线的交点与距离问题
自主演练
1.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－
1 2
x＋2的交点位于第一象限，则实
数k的取值范围是__－__16，__12__.
解析
y＝kx＋2k＋1， 由方程组y＝－12x＋2，
x＝22－k＋41k， 解得y＝62kk＋＋11.
(若 2k＋1＝0，即 k＝－12，则两直线平行)
知识梳理
一、两条直线的平行与垂直 1.两条直线平行 (1)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ k1＝k2 . (2)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. 2.两条直线垂直 (1)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔ k1·k2＝－1 . (2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
2021-2022年高三数学第一轮复习章节测试8-3 北师大版
2021-2022年高三数学第一轮复习章节测试8-3 北师大版一、选择题1．下列命题中：(1)平行于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行；(3)垂直于同一直线的两平面平行；(4)垂直于同一平面的两直线平行．其中正确的个数有( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] (2)(3)(4)正确．2．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．20 [答案] B[解析] 根据题意可出现以下如图两种情况可求出BD 的长分别为245或24. 3．已知两条直线m 、n ，两个平面α、β.给出下面四个命题：①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α；②α∥β，m α，n β⇒m ∥n ；③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α；④α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β. 其中正确命题的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③[答案] C[解析] 两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故①正确；两平面平行，分别在这两平面内的两直线可能平行，也可能异面，故②错；m ∥n ，m ∥α时，n ∥α或n α，故③错；由α∥β，m ⊥α得m ⊥β，由m ⊥β，n ∥m 得n ⊥β，故④正确．4．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外的一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，则四边形EFBC是( )A．空间四边形 B．平行四边形C．梯形D．以上都有可能[答案] C[解析] ∵BC綊AD，由线面平行性质定理知BC∥EF，又EF<AD，∴四边形BCEF为梯形．5．已知两条互不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；③若m ⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3[分析] 本题考查线面的位置关系．虽然是一道单选题，但更似一道多选题，对所述四个命题的判断有一个出错就不可能产生正确结果．[答案] B[解析] 命题①是正确的；命题②不正确，很容易找到反例；命题③也不正确，可以构造出α∥β的情形；命题④也不正确，可以构造出α⊥β的情形．6．(xx·浙江理)设m，l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m[答案] B[解析] 两平行线中一条垂直于一个平面，另一条边垂直于这个平面，故选B. 7．(xx·江西)如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°[答案] C[解析] ∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，PQ∥平面DAC.又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，PQ⊂平面ABC，∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD.故选项A、B、D正确，C错误．8．如图所示，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为( )A．K B．H C．G D．B′[答案] C[解析] 如图所示，若取K点为P点，连接FK，则FK∥CC′.故CC′∥面KEF而其他侧棱AA′、BB′均与CC′平行．故此时与面PEF平行的有3条棱．若取H点为P点，可以得面HEF∥面ABC∥面A′B′C′，则与面PEF平行的棱有上下底面中的6条棱；若取G点为P点，AB∥EF，A′B′∥EF，故只有棱AB，A′B′与面PEF平行；若取B′点为P点，AB∥EF，只有棱AB与面PEF平行．二、填空题9．在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．[答案] 平面ABC与平面ABD[解析] 连BN延长交CD于点E，连AM并延长也与CD交于E点(因为E为CD中点)，又EMAM＝ENBN＝12，故MN∥AB.10．已知平面α∩β＝m，直线n∥α，n∥β，则直线m、n的位置关系是________．[答案] m∥n[解析] 在α内取点A∉m，则点A与n确定一平面θ，且θ∩α＝a.同理可作平面γ且γ∩β＝b.∵n∥α，n∥β，∴n∥a，n∥b.∴a∥b.∵a⃘β，bβ，∴a∥β.∵aα，α∩β＝m，∴a∥m，∴n∥m.11．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是______(写出所有符合要求的图形序号)．[答案] ①③[解析] 如图①，∵MN∥AD，NP∥AC，∴平面MNP∥平面ADBC，∴AB∥平面MNP.如图②，假设AB∥平面MNP，设BD∩MP＝Q，则NQ为平面ABD与平面MNP的交线，∴AB∥NQ，∵N为AD的中点，∴Q为BD的中点，但由M、P分别为棱的中点知，Q为BD的14分点，矛盾，∴AB∥\ 平面MNP.如图③，∵BD綊AC，∴四边形ABDC为平行四边形，∴AB∥CD，又∵M、P为棱的中点，∴MP∥CD，∴AB∥MP，从而可得AB∥平面MNP.如图④，假设AB∥平面MNP，并设直线AC∩平面MNP＝D，则有AB∥MD，∵M为BC中点，∴D 为AC中点，这样平面MND∥平面AB，显然与题设条件不符，∴AB∥\ 平面MNP.三、解答题12．(xx·天津和平模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1，底面为边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.当点M在何位置时，BM∥平面AEF?[解析] 方法一：如图，取AE的中点O，连接OF，过O作OM⊥AC于点M.因为侧棱A1A⊥底面ABC，所以侧面A1ACC1⊥底面ABC.所以OM⊥底面ABC.又因为EC ＝2FB ＝2，所以OM ∥FB 綊12EC. 所以四边形OMBF 为矩形．故BM ∥平面AEF ，…此时点M 为AC 的中点．方法二：如图，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ 、PB 、BQ.因为EC ＝2FB ＝2，所以PE 綊BF ，所以PQ ∥AE 、PB ∥EF.故平面PBQ ∥平面AEF ，所以BQ ∥平面AEF ，故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．13．已知正方体ABCD －A1B1C1D1，AA1＝2，E 为棱CC1的中点．求证：(1)B1D1⊥AE ；(2)AC ∥平面B1DE.[证明] (1)连接BD ，则BD ∥B1D1，∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD.∵CE ⊥平面ABCD ，∴CE ⊥BD.又AC∩CE＝C ，∴BD ⊥平面ACE.∵AE ⊂平面ACE ，∴BD ⊥AE.∴B1D1⊥AE.(2)取BB1的中点F ，连接AF 、CF 、EF.∵E 、F 是CC1、BB1的中点，∴CE 綊B1F.∴四边形B1FCE 是平行四边形．∴CF ∥B1E.∵E 、F 是CC1、BB1的中点，∴EF 綊BC.又BC 綊AD ，∴EF 綊AD.∴四边形ADEF 是平行四边形，∴AF ∥ED.∵AF∩CF＝F ，B1E∩ED＝E ，∴平面ACF ∥平面B1DE.又AC ⊂平面ACF ，∴AC ∥平面B1DE.14．(xx·陕西文)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ；(2)求三棱锥E －ABC 的体积V.[解析] 本题考查线面平行的判定，三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，推理论证能力．(1)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD，又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，则EG⊥平面ABCD，且EG＝12 PA.在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，∴AP＝AB＝2，EG＝22，∴S△ABC＝12AB·BC＝12×2×2＝2，∴VE—ABC＝13S△ABC·EG＝13×2×22＝13.15．(文)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱BB1和DD1中点．(1)求证：平面FB1C1∥平面ADE；(2)试在棱DC上求一点M，使D1M⊥平面ADE；[解析] (1)可证AD∥平面FB1C，AE∥平面FB1C1∵AD∩AE＝A，AD，AE平面ADE∴平面ADE∥平面FB1C1.(2)M应是DC的中点，此时∵B1C1⊥平面DD1C1C，D1M平面DD1C1C，∴B1C1⊥D1M由平面几何知识FC1⊥D1MFC1∩B1C1＝C1，FC1，B1C1平面FB1C1∴D1M⊥平面FB1C1，又由(1)知平面ADE∥平面FB1C1∴D1M⊥平面ADE.(理)已知四边形ABCD是等腰梯形，AB＝3，DC＝1，∠BAD＝45°，DE⊥AB(如图1)．现将△ADE 沿DE折起，使得AE⊥EB(如图2)，连接AC，AB，设M是AB的中点．(1)求证：BC⊥平面AEC；(2)判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由．[解析] (1)在图1中，过C作CF⊥EB于F，∵DE⊥EB，∴四边形CDEF是矩形，∵CD＝1，EF＝1.∴四边形ABCD是等腰梯形，AB＝3.∴AE＝BF＝1.∵∠BAD＝45°，∴DE＝CF＝1.连接CE，则CE＝CB＝ 2.∵EB＝2，∴∠BCE＝90°.则BC⊥CE.在图2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED＝E，∴AE⊥平面BCDE.∵BC平面BCDE，∴AE⊥BC.∵AE∩CE＝E，∴BC⊥平面AEC.(2)用反证法．假设EM∥平面ACD.∵EB∥CD，CD平面ACD，E B⃘平面ACD，∴EB∥平面ACD.∵EB∩EM＝E，∴平面AEB∥平面ACD.而A∈平面AEB，A∈平面ACD，与平面AEB∥平面ACD矛盾．∵假设不成立．∴EM与平面ACD不平行． S 32125 7D7D 絽30423 76D7 盗A22917 5985 妅H`)27744 6C60 池28553 6F89 澉34526 86DE 蛞h32571 7F3B 缻。
2021届高考数学一轮专题重组卷第一部分专题八数列课件理
答案
解析
7．(2019·重庆市重点中学联考)已知{an}是首项为 32 的等比数列，Sn 是
其前 n 项和，且SS63＝6645，则数列{|log2an|}的前 10 项和为(
)
A．58 B．56 C．50 D．45
答案 A
答案
解析 设数列{an}的公比为 q，根据题意知S6－S3S3＝614＝q3，所以 q＝14， 从而有 an＝32·14n－1＝27－2n，所以 log2an＝7－2n，所以|log2an|＝|2n－7|，所以 数 列 {|log2an|}的 前 10 项和等于 5＋ 3＋ 1＋ 1＋ 3＋ 5＋ 7＋ 9＋ 11＋ 13＝ 3×25＋1＋7×12＋13＝58.故选 A.
S4－2S2＝3，则 S6－S4 的最小值为( )
1 A.4
B．3
C．4
D．12
答案 D
答案
解析 根据题意，设该等比数列的首项为 a1，公比为 q，
若 S4－2S2＝3，则有 S4－2S2＝a1＋a2＋a3＋a4－2(a1＋a2)＝(a3＋a4)－(a1
＋a2)＝(q2－1)(a1＋a2)＝3，又由数列{an}为正项的等比数列，则 q>1，则(a1
A．an＝n2－(n－1) B．an＝n2－1
C．an＝nn＋ 2 1
D．an＝nn2－1
答案 C
答案
解析 设此数列为{an}，则由题意可得 a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10， a5＝15，…
仔细观察数列 1,3,6,10,15，…可以发现： 1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4， 15＝1＋2＋3＋4＋5， …
解析
14．(2019·江苏南通市重点中学模拟)设 y＝f(x)是一次函数，f(0)＝1，且 f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则 f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝________.
2021-2022年高考数学大一轮复习板块命题点专练二文
2021年高考数学大一轮复习板块命题点专练二文命题点一 函数的概念及其表示命题指数：☆☆☆☆难度：中、低题型：选择题、填空题1.(xx·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 22－x ，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：选C ∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.2．(xx·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x 解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.3．(xx·浙江高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )的图象如图，由图象知．满足f (f (a ))≤2时，得f (a )≥－2，而满足f (a )≥－2时，a ≤ 2.答案：(－∞， 2 ]命题点二 函数的基本性质命题指数：☆☆☆☆☆难度：中题型：选择题、填空题A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e x解析：选D A 选项定义域为R ，由于f (－x )＝1＋－x 2＝1＋x 2＝f (x )，所以是偶函数．B 选项定义域为{x |x ≠0}，由于f (－x )＝－x －1x＝－f (x )，所以是奇函数．C 选项定义域为R ，由于f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x＝f (x )，所以是偶函数．D 选项定义域为R ，由于f (－x )＝－x ＋e －x＝1ex －x ，所以是非奇非偶函数．2．(xx·湖南高考)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选C 用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.3．(xx·湖南高考)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，得－1<x <1，则函数的定义域为(－1,1)．又∵f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．f ′(x )＝11＋x ＋11－x，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0,1)上为增函数．4．(xx·全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：选C f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选C.5．(xx·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞解析：选A ∵f (－x )＝ln(1＋|－x |)－11＋－x 2＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数．∵当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x2，在(0，＋∞)上y ＝ln(1＋x )递增，y ＝－11＋x 2也递增，根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)⇔|x |>|2x －1|⇔x 2>(2x －1)2⇔3x 2－4x＋1<0⇔13<x <1.故选A.6．(xx·四川高考)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.解析：∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－4＝－2，f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2.答案：－2命题点三 函数的图象命题指数：☆☆☆☆☆难度：高、中 题型：选择题、填空题1.(xx·福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：选D 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0的图象如图所示，由图象知只有D 正确．2．(xx·北京高考)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．ex －1C ．e－x ＋1D. e－x －1解析：选D 与曲线y ＝e x关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，函数y ＝e －x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f (x )的图象，即f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.3．(xx·全国乙卷)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为()解析：选D ∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数， 又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B. 设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x. 又g ′(0)<0，g ′(2)>0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.4．(xx·全国甲卷)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B ∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.5．(xx·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2. 答案：－2。
2021-2022年高三数学一轮复习 专项训练 命题、逻辑用语(含解析)
2021年高三数学一轮复习专项训练命题、逻辑用语（含解析）1、已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )．A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题解析由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m ＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．答案D2、命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是( )．A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0解析“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.答案D3．(xx·重庆卷)命题“若p，则q”的逆命题是( )．A．若q，则p B．若p，则q C．若q，则p D．若p，则q解析根据原命题与逆命题的关系可得：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，故选A.答案A4．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )．A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．答案A5．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )．A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.答案C6．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )．A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析否命题既否定题设又否定结论，故选B.答案B1、如果a＝(1，k)，b＝(k,4)，那么“a∥b”是“k＝－2”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件因为a∥b，所以1×4－k2＝0，即4＝k2，所以k＝±2.所以“a∥b”是“k＝－2”的必要不充分条件．答案：B2、(xx·北京卷)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析由sin φ＝0可得φ＝kπ(k∈Z)，此为曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分不必要条件．答案A3、若集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－2＜x＜a}，则“A∩B≠∅”的充要条件是( )．A．a＞－2 B．a≤－2 C．a＞－1 D．a≥－1解析(1)A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－2＜x＜a}，如图所示：∵A∩B≠∅，∴a＞－1.4、函数f (x )＝⎩⎨⎧ log 2x ，x ＞0，2x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )．A ．a ≤0或a ＞1B ．0＜a ＜12C.12＜a ＜1 D ．a ＜0 解析：因为f (x )＝⎩⎨⎧ log 2 x ，x ＞0，2x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充要条件为a ≤0或a ＞1.由选项可知，使“a ≤0或a ＞1”成立的充分条件为选项D.答案D5、“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( )．A ．－1＜k ＜3B ．－1≤k ≤3C ．0＜k ＜3D ．k ＜－1或k ＞3解析 “直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点”等价于|1－0－k |2＜2，解得k ∈(－1,3)．四个选项中只有(0,3)是(－1,3)的真子集，故充分不必要条件可以是0＜k ＜3. 答案 C6、已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且p 是q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．解析：∵p 是q 的必要而不充分条件，∴p 是q 的充分而不必要条件，由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，由p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2， 解得－2≤x ≤10，∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵p 是q 的充分而不必要条件，∴PQ ，∴⎩⎨⎧ m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥ 10，或⎩⎨⎧ m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，即m ≥9或m ＞9.∴m ≥9.故实数m 的取值范围是[9，＋∞)．7．(xx·山东卷)给定两个命题p ，q .若p 是q 的必要而不充分条件，则p 是q 的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由q ⇒p 且p q 可得p ⇒q 且qp ，所以p 是q 的充分而不必要条件．答案 A8．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且q 的一个充分不必要条件是p ，则a 的取值范围是( )．A ．[1，＋∞) B．(－∞，1]C ．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]解析 由x 2＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由q 的一个充分不必要条件是p ，可知p 是q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．故a ≥1.答案 A9．设a ∈R ，则“a ＝2”是“直线y ＝－ax ＋2与y ＝a 4x －1垂直”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 若直线y ＝－ax ＋2与y ＝a 4x －1垂直，则有－a ×a 4＝－1，即a 2＝4，所以a ＝±2.所以“a ＝2”是“直线y ＝－ax ＋2与y ＝a 4x －1垂直”的充分不必要条件，选A. 答案 A10．不等式x －1x＞0成立的一个充分不必要条件是( )． A ．－1＜x ＜0或x ＞1 B ．x ＜－1或0＜x ＜1C ．x ＞－1D ．x ＞1解析 画出直线y ＝x 与双曲线y ＝1x的图象(图略)，两图象的交点为(1,1)，(－1，－1)，依图知x －1x ＞0时，－1＜x ＜0或x ＞1，显然x ＞1⇒x －1x ＞0；但x －1x＞0x ＞1. 答案 D11．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件． 解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14.答案 充分不必要12．判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假．解 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根．逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0.判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a ＜0，∴a ＜－14＜0. ∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题．13．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0(a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 p ：x 2－8x －20≤0⇔－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0⇔1－a ≤x ≤1＋a .∵p ⇒q ，qp ，∴{x |－2≤x ≤10}{x |1－a ≤x ≤1＋a }．故有⎩⎨⎧ 1－a ≤－2，1＋a ≥10，a >0，且两个等号不同时成立，解得a ≥9.因此，所求实数a 的取值范围是[9，＋∞)．12．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 ∵p 是q 的必要不充分条件，∴q ⇒p ，且p q 等价于p ⇒q ，且q p .记p ：A ＝{x ||4x －3|≤1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤1，q ：B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0|＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，则 从而⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥1，a ≤12，且两个等号不同时成立，解得0≤a ≤12. 故所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.。
2021-2022年高考数学大一轮复习板块命题点专练十文
2021年高考数学大一轮复习板块命题点专练十文甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．答案：A3．(xx·陕西高考)观察下列等式：1－12＝12，1－12＋13－14＝13＋14，1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16，…据此规律，第n 个等式可为_________________________________________．解析：等式的左边的通项为12n －1－12n ，前n 项和为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；右边的每个式子的第一项为1n ＋1，共有n 项，故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n． 答案：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)1．(xx·江西高考)已知数列{a n } 的前 n 项和 S n ＝2，n ∈N *． (1)求数列{a n } 的通项公式；(2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N * ，使得 a 1，a n ，a m 成等比数列．解：(1)由S n ＝3n 2－n 2，得a 1＝S 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，当n ＝1时也适合．所以数列{a n }的通项公式为：a n ＝3n －2．(2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1·a m ，即(3n －2)2＝1·(3m －2)，即m ＝3n 2－4n ＋2，而此时m ∈N *，且m >n ．所以对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．2．(xx·北京高考节选)已知数列{a n }满足：a 1∈N *，a 1≤36，且a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n ＞18(n ＝1,2，…)．记集合M ＝{a n |n ∈N *}．(1)若a 1＝6，写出集合M 的所有元素；(2)若集合M 存在一个元素是3 的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数． 解：(1)6,12,24．(2)证明：因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k 是3的倍数．由a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n >18可归纳证明对任意n ≥k ，a n 是3的倍数．如果k ＝1，则M 的所有元素都是3的倍数．如果k >1，因为a k ＝2a k －1或a k ＝2a k －1－36，所以2a k －1是3的倍数，于是a k －1是3的倍数．类似可得，a k －2，…，a 1都是3的倍数．从而对任意n ≥1，a n 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数．综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数．n ，n ∈N ，n ≥2．(1)证明：函数F n (x )＝f n (x )－2在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内有且仅有一个零点(记为x n )，且x n ＝12＋12x n ＋1n ； (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (x )，比较f n (x )和 g n (x )的大小，并加以证明．解：(1)证明：F n (x )＝f n (x )－2＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －2， 则F n (1)＝n －1＞0，F n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋11－12－2＝－12n ＜0， 所以F n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内至少存在一个零点． 又F n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1＞0，故F n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内单调递增，所以F n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内有且仅有一个零点x n ． 因为x n 是F n (x )的零点，所以F n (x n )＝0，即1－x n ＋1n 1－x n －2＝0，故x n ＝12＋12x n＋1n ． (2)由题设，f n (x )＝1＋x ＋x 2＋…＋x n， g n (x )＝n ＋1x n ＋12，x ＞0．当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )．当x ≠1时，用数学归纳法可以证明f n (x )＜g n (x )．①当n ＝2时，f 2(x )－g 2(x )＝－12(1－x )2＜0， 所以f 2(x )＜g 2(x )成立．②假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即f k (x )＜g k (x )．那么，当n ＝k ＋1时，f k＋1(x )＝f k (x )＋x k ＋1＜g k (x )＋x k ＋1＝k ＋11＋x k 2＋x k ＋1＝2x k ＋1＋k ＋1x k ＋k ＋12．又g k ＋1(x )－2x k ＋1＋k ＋1x k ＋k ＋12＝kx k ＋1－k ＋1x k ＋12，令h k (x )＝kx k ＋1－(k ＋1)x k ＋1(x ＞0)， 则h k ′(x )＝k (k ＋1)x k －k (k ＋1)x k －1 ＝k (k ＋1)x k －1·(x －1)．所以当0＜x ＜1时，h k ′(x )＜0，h k (x )在(0,1)上递减； 当x ＞1时，h k ′(x )＞0，h k (x )在(1，＋∞)上递增． 所以h k (x )＞h k (1)＝0，从而g k ＋1(x )＞2x k ＋1＋k ＋1x k ＋k ＋12． 故f k ＋1(x )＜g k ＋1(x )，即n ＝k ＋1时不等式也成立． 由①和②知，对一切n ≥2的整数，都有f n (x )＜g n (x )．。
2022版高考数学一轮复习考案8理 8文第八章解析几何综合过关规范限时检测含解析新人教版
第八章 综合过关规范限时检测(时间：120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2021·吉林长春实验中学期末)设△ABC 的一个顶点是A (－3，1)，∠B ，∠C 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为( B )A ．y ＝2x ＋5B ．y ＝2x －5C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝12x ＋52[解析] A 关于y ＝x 的对称点为A 1(1，－3)，A 关于x ＝0的对称点为A 2(3,1)，又A 1、A 2都在BC 上，∴k BC ＝2.∴BC 的方程为y ＋3＝2(x －1)，即y ＝2x －5.故选B.2．(2021·四川南充模拟)已知直线x －my ＋4m －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相切，则m ＝( D ) A ．0 B ．－43C ．0或－43D ．0或43[解析] 由题意可知|4m －2|1＋m2＝2，解得m ＝0或43，故选D.3．(2021·云南昆明一中摸底)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 2＝1的渐近线的距离为( B )A ．12B ．22C ．32D ．2[解析] 因为抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线为x ±y ＝0， 所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 d ＝|1±0|12＋12＝22，故选B. 4．(2021·广西钦州一中月考)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( C )A ．72B ．52C ．3D ．2[解析] 如图所示：过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →， 所以|PQ ||PF |＝34，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3.故选C.5．(2021·四川达州诊断)直线2x ＋y －a ＝0被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0所截得弦长为4，则实数a ＝( A )A ．5或－5B ．0或 5C ．0或－5D ．5或55[解析] 由题意知圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5的圆心到直线的距离为5－4＝1，即|－2＋2－a |5＝1，解得a ＝±5，故选A ． 6．(理)(2021·安徽皖南八校联考)已知双曲线的渐近线方程是3x ±y ＝0，且与椭圆x 2＋2y 2＝8有共同焦点，则双曲线的方程为( B )A ．2x 2－2y 23＝1 B ．x 2－y 23＝1 C ．x 2－y 24＝1 D ．x 2－y 29＝1 (文)(2021·三湘名校联盟联考)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的一个焦点为(－3,0)，则其渐近线方程为( D )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±255xD ．y ＝±52x[解析] (理)椭圆x 2＋2y 2＝8，即x 28＋y 24＝1的焦点为(±2,0)．可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，可得a 2＋b 2＝4.由渐近线方程是3x ±y ＝0，可得ba＝3，解得a ＝1，b ＝3，则双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选B.(文)a 2＋5＝9，a ＝2，∴渐近线方程为y ＝±52x .故选D.7．(2021·陕西百校联盟联考)已知椭圆C ：x 28＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，且MA →＝AN →，若|OA |＝|AF 2|，则直线l 的斜率为( B )A ．±1B ．±12C ．±13D ．±14[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 218＋y 212＝1，x 228＋y222＝1两式相减可得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)8＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)2＝0，则k OA ·k MN ＝－14；因为|OA |＝|AF 2|，故k OA ＝－k MN ，解得是k MN ＝±12，故直线l 的斜率为±12.8．(2019·高考天津卷)已知抛物线y 2＝4x的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( D )A ．2B ．3C ．2D ． 5[解析] 抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1， 双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，则有A ⎝⎛⎭⎫－1，b a ，B ⎝⎛⎭⎫－1，－b a ， ∴|AB |＝2b a ，2ba＝4，b ＝2a ， ∴e ＝c a＝a 2＋b 2a＝ 5.故选D. 9．(2021·黑龙江哈尔滨模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点与圆M ：(x－2)2＋y 2＝5的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为22，则双曲线的离心率为( A )A ．2B ．2C ．3D ．3[解析] 由已知，c ＝2，渐近线方程为bx ±ay ＝0，因为圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为22，所以圆心M 到渐近线的距离为r 2－(2)2＝3＝2b a 2＋b 2＝2bc＝b ，故a ＝c 2－b 2＝1，所以离心率为e ＝ca＝2.故选A ．10. (2021·广东实验中学阶段测试)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c ，下列结论错误的是( C )A ．卫星向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小[解析] 由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为a －c ，最大值为a ＋c ，所以A 正确；根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B 正确；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即a －c a ＋c ＝1－e 1＋e ＝－1＋21＋e 越小，则e 越大，椭圆越扁，故C 不正确；因为运行速度是变化的，向径是变化的，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D 正确；故选C.11．(2021·广东联考)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则抛物线C 2的方程为( C )A ．y 2＝3xB ．y 2＝2xC ．y 2＝33xD ．y 2＝8x[解析] 如图，OC 1＝2，AB ＝23，取AB 的中点H ，连C 1H ，则C 1H ⊥AB ，且OH ＝3，∴∠C 1OB ＝30°，从而C 1H ＝1，∴∠BOx ＝60°，∴B (3，3)，又点B 在抛物线y 2＝2px 上，∴P ＝y 22x ＝923＝332，∴抛物线C 2的方程为y 2＝33x ，故选C.12．(2021·湖南省六校联考)已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2e 1＋e 22的最小值为( C )A ．6B ．3C ．6D ． 3[解析] 设椭圆长轴2a 1，双曲线实轴2a 2，由题意可知：|F 1F 2|＝|F 2P |＝2c ， 又∵|F 1P |＋|F 2P |＝2a 1，|F 1P |－|F 2P |＝2a 2， ∴|F 1P |＋2c ＝2a 1，|F 1P |－2c ＝2a 2， 两式相减，可得：a 1－a 2＝2c ，∵2e 1＋e 22＝2a 1c ＋c 2a 2＝4a 1a 2＋c 22ca 2， ∴2e 1＋e 22＝4(2c ＋a 2)a 2＋c 22ca 2＝8ca 2＋4a 22＋c 22ca 2＝4＋2a 2c ＋c 2a 2≥4＋22a 2c ·c2a 2＝6， 当且仅当2a 2c ＝c2a 2时取等号，∴2e 1＋e 22的最小值为6，故选C. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．(理)(2021·广东广州综合测试)斜率为33的直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，若直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝4相切，则p ＝ 12 .(文)(2021·河北石家庄五校联合体质检)圆心在x 轴负半轴上，半径为4，且与直线x ＋3y －5＝0相切的圆的方程为 (x ＋3)2＋y 2＝16 .[解析] (理)斜率为33的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0， 直线l 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －p 2，即x －3y －p2＝0， ∵直线l 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝4相切，圆心为(2,0)，半径为2，∴⎪⎪⎪⎪2－p 23＋1＝2，解得p ＝12或p ＝－4(舍去)．故答案为：12.(文)设圆心坐标为(a,0)(a <0)，则由题意知|a －5|12＋(3)2＝4，解得a ＝－3，故所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝16.14．(2021·山西八校联考改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的左支交于A ，B 两点，且AF 1→＝3F 1B →，∠ABF 2＝90°，则C 的离心率是102. [解析] 如图，不妨设|F 1B |＝1，则|AB |＝4，|F 2B |＝2a ＋1，|F 2A |＝2a ＋3，在Rt △ABF 2中，由勾股定理得16＋(2a ＋1)2＝(2a ＋3)2，解得a ＝1.在Rt △F 1BF 2中，|F 1B |＝1，|F 2B |＝2a ＋1＝3， |F 1F 2|＝2c ，∴1＋9＝4c 2， ∴c ＝102，∴e ＝c a ＝102. 15．(2020·安徽1号卷A10联前盟联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 、N 在抛物线上，且M 、N 、F 三点共线，点P 在准线l 上，若PN →＝NM →，则p |MF |＝ 23.[解析] 分别过点M ，N 作准线的垂线，垂足分别为M 1，N 1，则|MM 1|＝|MF |，|NN 1|＝|NF |，∴|PN ||PM |＝|NN 1||MM 1|＝|NF ||MF |＝12设|NF |＝m ，则|MF |＝2m ，从而|PN |＝3m ， ∴m p ＝3m 4m ＝34，则m ＝34p ， ∴p |MF |＝p 2m ＝23. 16．(2021·山东日照联考)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M N 的离心率为 2 .[解析] 由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ＋3c ，再根据椭圆定义得c ＋3c ＝2a ，所以椭圆M 的离心率为c a ＝21＋3＝3－1.双曲线N 的渐近线方程为y ＝±nm x ，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π3，∴n 2m 2＝tan 2π3＝3，∴e 2＝m 2＋n 2m 2＝m 2＋3m 2m 2＝4，∴e ＝2.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2021·江苏徐州学情调研)在①离心率为3，且经过点(3,4)；②离心率为12，且焦距为 2.这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线l存在，求出l 的方程；若问题中的直线l 不存在，说明理由．问题：已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1(m ，n ≠0)的焦点在x 轴上， ，是否存在过点P (－1,1)的直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点？注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计算．[解析] 选条件①：由题设得曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线， 设m ＝1a 2，n ＝－1b 2(a >0，b >0)，所以C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2a2＝39a 2－16b 2＝1，解得a 2＝1，b 2＝2，所以C 的方程为x 2－y 22＝1， 1°当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1， 与曲线C 有且仅有一个交点(－1,0)，不符合题意； 2°当直线l 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，即y ＝k (x ＋1)＋1， 入x 2－y 22＝1得(2－k 2)x 2－2k (k ＋1)x －(k 2＋2k ＋3)＝0(*)， 若2－k 2＝0，即k ＝±2时，方程(*)有且仅有一解，不符合题意； 若2－k 2≠0，即k ≠±2时，其判别式Δ＝[2k (k ＋1)]2－4(k 2－2)(k 2＋2k ＋3)＝8(2k ＋3)>0，则k >－32，所以方程(*)有两个不同实数解时， k >－32且k ≠±2，于是x 1＋x 2＝－－2k (k ＋1)2－k 2＝2·(－1)＝－2，解得k ＝－2，与k >－32且k ≠±2矛盾！所以，不存在直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点． 选条件②：由题设得曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆， 设m ＝1a 2，n ＝1b2(a >b >0)，所以C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题设得⎩⎨⎧a 2－b 2a 2＝142a 2－b 2＝2，解得a 2＝4，b 2＝3，所以C 的方程为x 24＋y 23＝1，1°当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1， 代入x 24＋y 23＝1得y ＝±32，P (－1,1)不是线段AB 的中点，不符合题意； 2°当直线l 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，即y ＝k (x ＋1)＋1， 代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8k (k ＋1)x ＋4(k 2＋2k －2)＝0，其判别式Δ＝[8k (k ＋1)]2－4·(3＋4k 2)·4(k 2＋2k －2)＝16(5k 2－6k ＋6)>0， 于是x 1＋x 2＝－8k (k ＋1)3＋4k 2＝2·(－1)＝－2，解得k ＝34，故y ＝34(x ＋1)＋1＝34x ＋74，即3x －4y ＋7＝0，所以存在直线l ：3x －4y ＋7＝0，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点． 18．(本小题满分12分)(2021·安徽蚌埠质检)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，过抛物线C 的焦点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，|PQ |＝4.(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点F 的坐标和准线l 的方程；(2)过点F 的直线与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，直线OA 与准线l 交于点M .连接MF ，过点F 作MF 的垂线与准线l 交于点N .求证：O ，B ，N 三点共线(O 为坐标原点)．[解析] (1)|PQ |＝2p ＝4，则p ＝2， 故抛物线C 的方程为y 2＝4x ， 其焦点F 坐标为(1,0)， 准线l 方程为x ＝－1.(2)设直线AB ：x ＝ty ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1y 2＝4x，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， 直线OA ：y ＝y 1x 1x ，由y 21＝4x 1得y ＝4y 1x ， 故M ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－4y 1.直线MF 的斜率k MF ＝－4y 1－0－1－1＝2y 1，直线FN 的斜率k FN ＝－y 12.直线FN ：y ＝－y 12(x －1)，则N (－1，y 1)，直线ON 的斜率k ON ＝－y 1， 直线OB 的斜率k OB ＝y 2x 2，由y 22＝4x 2得k OB ＝4y 2， 则k OB －k ON ＝4y 2－(－y 1)＝4＋y 1y 2y 2＝4－4y 2＝0.∴O ，B ，N 三点共线．19．(本小题满分12分)(2019·天津高考卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．[解析] (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4， c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M,0)． 设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0,2)， 则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k4＋5k 2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k 24＋5k2，进而直线OP 的斜率y P x P ＝4－5k2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝⎛⎭⎫－k 2＝－1， 化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.20．(本小题满分12分)(理)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若P ，Q 的中点为N ，在线段OF 2上是否存在点M (m,0)，使得MN ⊥PQ ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．(文)(2021·广西钦州、崇左质检)如图，已知焦点在x 轴上的椭圆C 的长轴长为4，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，椭圆C 的左、右两个顶点分别为A 、B ，点P 是椭圆上与A ，B 不重合的任意一点，点Q 和点P 关于x 轴对称，直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证：P ，M 两点的横坐标之积为定值．[解析] (理)(1)由e ＝12得a ＝2c ，|AF 1|＝2，|AF 2|＝2a －2，由余弦定理得，|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos 60°＝|F 1F 2|2， 解得c ＝1，a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)存在这样的点M .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)， 由F 2(1,0)，设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，故x 0＝x 1＋x 22＝4k 24k 2＋3，又点N 在直线PQ 上，所以y 0＝－3k 4k 2＋3，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 24k 2＋3，－3k 4k 2＋3.因为MN ⊥PQ ，所以k MN ＝0－－3k4k 2＋3m －4k 24k 2＋3＝－1k， 整理得m ＝k 24k 2＋3＝14＋3k 2∈⎝⎛⎭⎫0，14，所以存在点M (m,0)，使得MN ⊥PQ ， m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，14. (文)(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2c a ＝12a 2＝b 2＋c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1b ＝3，由于椭圆焦点在x 轴上，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设P (m ，n )，则Q (m ，－n )， m 24＋n 23＝1⇒n 2＝3⎝⎛⎭⎫1－m 24. 依题意可知－2<m <2，且m ≠0. 直线AP 的方程为y ＝nm ＋2(x ＋2)，直线BQ 的方程为y ＝n2－m (x －2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝n m ＋2(x ＋2)y ＝n2－m(x －2)解得⎩⎨⎧x ＝4m ，y ＝2nm，即M ⎝⎛⎭⎫4m ，2n m .所以P ，M 两点的横坐标之积为m ·4m ＝4.即P 1M 两点的横坐标之积为定值．21．(本小题满分12分)(理)(2021·浙江金色联盟百校联考)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点F 到抛物线准线的距离为2，若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点也为F ，离心率为12.(1)求抛物线方程和椭圆方程；(2)若不经过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝－3(O 为坐标原点)，直线l 与椭圆交于C ，D 两点，求△CDF 面积的最大值．(文)(2021·河南洛阳期中联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，其左，右焦点分别是F 1，F 2，过F 1的直线AB 与椭圆相交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l ：y ＝x ＋t 与椭圆相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求t 的取值范围.[解析] (理)(1)由已知得，p ＝2，F (1,0)， ∴c ＝1，e ＝c a ＝12，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以抛物线方程为y 2＝4x ， 椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 方程为：my ＝x ＋n ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，my ＝x ＋n ，消去x 得，y 2－4my ＋4n ＝0， 由Δ＝(4m )2－4·4n ＝16m 2－16n >0即m 2－n >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4n ，因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)216＋y 1y 2＝16n 216＋4n ＝n 2＋4n ＝－3，所以n ＝－3或n ＝－1(舍去)， 所以直线l 方程为：my ＝x －3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，my ＝x －3，消去x 得，(3m 2＋4)y 2＋18my ＋15＝0. 设C (x C，y C)，D (x D，y D)，则⎩⎪⎨⎪⎧y C＋y D＝－18m3m 2＋4，y C y D＝153m 2＋4，所以S △CDF ＝12|EF |·|y C －y D |＝12×2×|y C －y D |＝|y C －y D |＝(y C ＋y D)2－4yC yD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－18m 3m 2＋42－603m 2＋4＝43·3m 2－53m 2＋4.令3m 2－5＝t (t >0)，则m 2＝t 2＋53，所以S (t )＝43·t t 2＋9＝43t ＋9t ≤436＝233，当且仅当t ＝3时，即m ＝±423时，取最大值233. (文)(1)由椭圆的定义知4a ＝8，∴a ＝2. ∵c a ＝12，∴c ＝1. 从而b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，3x 2＋4y 2－12＝0.得7x 2＋8tx ＋4t 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝－8t 7，x 1x 2＝4t 2－127，由Δ＝642－28(4t 2－12)>0，解得t 2<7.①∵坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外， ∴OM →·ON →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0.则x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋t )(x 2＋t )＝2x 1x 2＋t (x 1＋x 2)＋t 2＝7t 2－247>0，解得t 2>247.②综合①②可知247<t 2<7，解得－7<t <－2427或2427<t <7.∴t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－2427∪⎝⎛⎭⎫2427，7.22．(本小题满分12分)(理)(2021·云南玉溪质检)如图，在平面直角坐标系中，已知点F (－2,0)，直线l ：x ＝－4，过动点P 作PH ⊥l 于点H ，∠HPF 的平分线交x 轴于点M ，且|PH |＝2|MF |，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点N (0,2)作两条直线，分别交曲线C 于A ，B 两点(异于N 点)．当直线NA ，NB 的斜率之和为2时，直线AB 是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．(文)(2021·山西八校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，12，且两个焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)．(1)求C 的方程；(2)设圆D ：x 2＋y 2＝r 2(b <r <a )，若直线l 与椭圆C ，圆D 都相切，切点分别为A 和B ，求|AB |的最大值．[解析] (理)(1)设P (x ，y )，由已知PH ∥FM ， ∴∠HPM ＝∠FMP ，∵∠HPM ＝∠FPM ，∴∠FMP ＝∠FPM ，∴|MF |＝|PF |，∴|PF ||PH |＝|MF ||PH |＝22，即(x ＋2)2＋y 2|x ＋4|＝22， 化简得x 28＋y 24＝1，∴曲线C 的方程为x 28＋y 24＝1(y ≠0)．(2)当直线AB 的斜率存在时， 设其方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠2)， 且设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y 24＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0， 由已知Δ>0，∴x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k2，由已知k NA ＋k NB ＝2，得kx 1＋m －2x 1＋kx 2＋m －2x 2＝2，整理得2(k －1)x 1x 2＋(m －2)(x 1＋x 2)＝0， ∴2(k －1)2m 2－81＋2k 2＋(m －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 2＝0， 整理得(m －2)(4k －2m －4)＝0. ∵m ≠2，∴m ＝2k －2，∴直线AB 的方程为y ＝kx ＋2k －2，即y ＋2＝k (x ＋2)． ∴直线AB 过定点(－2，－2)．当直线AB 的斜率不存在时，设其方程为x ＝n ， 且设A (n ，y 1)，B (n ，y 2)， 其中y 1＝－y 2. 由已知k NA ＋k NB ＝2，得y 1－2n ＋y 2－2n ＝y 1＋y 2－4n ＝－4n＝2，∴n ＝－2，∴直线AB 的方程为x ＝－2， 此时直线AB 也过定点(－2，－2)． 综上所述，直线AB 恒过定点(－2，－2)． (文)(1)由题意c ＝3，所以a 2＝b 2＋3， C 的方程可化为x 2b 2＋3＋y 2b2＝1(b >0)．因为C 经过点⎝⎛⎭⎫3，12，所以3b 2＋3＋14b 2＝1， 解得b 2＝1或b 2＝－34(舍去)．所以a 2＝4，于是C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设l ：y ＝kx ＋m ，代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＝16(4k 2＋1－m 2)＝0， 得m 2＝1＋4k 2①，设A (x 0，y 0)，则x 0＝－4km 4k 2＋1＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝1m .因为l 与圆D 相切，所以圆心D 到l 距离为|m |1＋k 2＝r ，即m 2＝r 2(1＋k 2)②，由①②得m 2＝3r 24－r 2，k 2＝r 2－14－r 2.所以圆D 的切线长|AB |＝x 20＋y 20－r 2＝⎝⎛⎭⎫－4k m 2＋⎝⎛⎭⎫1m 2－r 2＝5－⎝⎛⎭⎫4r 2＋r 2.因为4r 2＋r 2≥24r 2·r 2＝4，当r ＝2时取等号，因为r ＝2∈(1,2)，所以|AB |的最大值为1.。
2022年高考数学大一轮复习资料：8
8.2 直线的方程一、选择题1．下列四个命题：①经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示；②经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(x 2－x 1)(x －x 1)＝(y 2－y 1)(y－y 1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b ＝1表示；④经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：对命题①④，方程不能表示倾斜角是90°的直线，对命题③，当直线平行于一条坐标轴时，则直线在该坐标轴上截距不存在，故不能用截距式表示直线．只有②正确． 答案：B 2．经过点P (2，－1)，且在y 轴上的截距等于它在x 轴上的截距的2倍的直线l 的方程( )A ．2x ＋y ＝2B ．2x ＋y ＝4C ．2x ＋y ＝3D ．2x ＋y ＝3或x ＋2y ＝0解析：当截距不等于零时，设l 的方程x a ＋y 2a ＝1，点P 在l 上，∴2a －12a＝1， 则a ＝32.∴l 的方程为2x ＋y ＝3.当截距等于零时，设l 的方程为y ＝kx ， 又点P 在l 上，∴k ＝－12.∴x ＋2y ＝0. 答案：D3．已知动点P (x ，y )，若lg y ，lg |x |，lg y －x 2成等差数列，则点P 的轨迹图形是( )解析：由已知设：lg y ＋lg y －x 2＝2lg|x |⇒y (y －x )＝2x 2⇒(x ＋y )(2x －y )＝0 ⇒x ＝－y 或x ＝12y (x ≠0，y >0，y >x )． 答案：C4．点A (a ＋b ，ab )在第一象限内，则直线bx ＋ay －ab ＝0不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >0，ab >0，即a >0，b >0.由bx ＋ay －ab ＝0知y ＝－b a x ＋b . ∴该直线的斜率k <0且在y 轴上的截距b >0，故该直线一定不经过第三象限． 答案：C二、填空题5．直线y ＝12x 关于直线x ＝1对称的直线方程是________． 解析：在所求直线上任取一点坐标为(x ，y )，则关于直线x ＝1对称点的坐标是(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2－x ，y 0＝y ， ∴y 0＝12x 0，即y ＝12(2－x )， 整理得：x ＋2y －2＝0.(也可以用点斜式求解)答案：x ＋2y －2＝06．过点(2,3)，且在坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有________．解析：过(2,3)点斜率为1的一条；过(2,3)点斜率为－1的一条；过(2,3)点和原点的一条，因此共3条．答案：3条7．已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是__________．解析：y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1,0)的直线，k PB ＝0，k PA ＝1－00－(－1)＝1. ∴k 的取值范围是[0,1]．答案：[0,1]三、解答题8．过点P (2,1)作直线l 交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点，当PA ·PB ＝4时，求直线l 的方程． 解答：设直线l ：y －1＝k (x －2)，k ≠0.分别令y ＝0和x ＝0，得A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )， ∴PA ·PB ＝ ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(4＋4k 2)＝ 8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＝4，所以，k 2＝1，即k ＝±1.又由题意，可知k <0，∴k ＝－1，这时直线l 的方程是x ＋y －3＝0.9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16. 解答：(1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83. 直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．过点P (2,1)作直线l 交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为原点．求：(1)当△AOB 面积最小时的直线l 的方程；(2)当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程；(3)当|PA |·|PB |最小时，求直线l 的方程．解答：(1)显然l 的斜率是存在的，设l 的方程为x a ＋y b＝1. 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＞0，2a ＋1b ＝1，设S ＝12ab ， 由1＝2a ＋1b ≥22ab ＝21S ， ∴S ≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝2时，S 最小，此时l 的方程为x ＋2y －4＝0. (2)设l 的方程为y －1＝k (x －2)，则A (2k －1k，0)，B (0，1－2k )(k ≠0，否则矛盾)， 依题意⎩⎪⎨⎪⎧1－2k ＞0，2k －1k＞0，∴k ＜0. ∴|OA |＋|OB |＝3－1k －2k ＝3＋(－2k )＋(－1k )≥3＋2 2.当且仅当k ＝±22，又k ＜0，故当k ＝－22时等号成立， 此时l 的方程为2x ＋2y －2－22＝0.(3)设∠BAO ＝α(0＜α＜π2)，则|PA |＝1sin α，|PB |＝2cos α，∴|PA |·|PB |＝4sin 2α， 当α＝π4时|PA |·|PB |最小，此时l 的方程为x ＋y －3＝0.1．过P (－1,2)点且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线的条数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：共有4条；在一、三象限围成三角形面积为5的直线各一条；在第二象限围成三角形面积为5的直线有两条．答案：D2．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P (2,3)，求过两点Q 1(a 1，b 1)、Q 2(a 2，b 2)(a 1≠a 2)的直线方程．分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答．解答：∵P (2,3)在已知直线上，∴2a 1＋3b 1＋1＝0,2a 2＋3b 2＋1＝0.∴2(a 1－a 2)＋3(b 1－b 2)＝0，即b 1－b 2a 1－a 2＝－23. ∴所求直线方程为y －b 1＝－23(x －a 1)，∴2x ＋3y －(2a 1＋3b 1)＝0，即2x ＋3y ＋1＝0. 点评：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙．3．直线l 过点P (－4,3)，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且|AP |∶|BP |＝5∶3，求l 的方程．解答：设所求直线l 的方程为y －3＝k (x ＋4)，令y ＝0，则x ＝－3k－4；令x ＝0，则y ＝4k ＋3.∴A 、B 两点的坐标分别为(－3k－4,0)，(0,4k ＋3)，由|AP |∶|BP |＝5∶3，得1＋k 2|－4＋3k ＋4|1＋k 2|4－0|＝53，解得k ＝±920.直线l 的方程为9x －20y ＋96＝0或9x ＋20y －24＝0.。
2022年高考数学大一轮复习资料：8
【方法规律】
1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k
＝
，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x1≠x2)时，根据该公式可
求出经过两点的直线的斜率．当x1＝x2，y≠y2时，直线的斜率不存在，此时直
线的倾斜角为90°.
2．求斜率可用k＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联 系不可分割， 牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记， 存在与否需讨论”．
3．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两 条直线l1，l2.l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在， 那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意．
4．建议老师要注意引导学生讨论斜率不存在的情况．
(本题满分5分)若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线 l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
解析：由倾斜角范围画出正切函数图象，如图 ∴倾斜角范围应是 答案：D
1. 应注意两条直线的位置关系包括三种：平行、重合、相交． 2．若用直线的斜率判定两条直线的平行、垂直等问题要注意其斜
率不存在的情况． 3．可利用直线的方向向量或法向量判定两直线的平行或垂直．
【例2】 已知两条直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8. 当m分别为何值时，l1与l2： (1)相交？(2)平行？(3)垂直？ 解答：当m＝－5时，显然，l1与l2相交； 当m≠－5时，易得两直线l1和l2的斜率分别为 它们在y轴上的截距分别为 (1)由k1≠k2，得
答案：B
【分析点评】
对直线斜率和倾斜角的考查一般都是基本问题，要熟练掌握已知两点坐标求 直线斜率的方法，能够通过直线的斜率判断两直线的位置关系，能够根据倾 斜角确定斜率；同时也能根据斜率确定相应的倾斜角，还要注意数形结合思 想方法的运用.
2021高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2022高考试题汇编 第八章 立体几何
第八章 立体几何第一节 空间几何体及其表面积和体积题型85 空间几何体的表面积与体积1.（2017江苏6）如图所示，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 ．1.解析 设球O 的半径为r ，由题意212V r r =π⋅，3243V r =π，所以1232V V =．故填32．2．（2022天津理10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .2.解析 设正方体的边长为a ，则226183a a =⇒=.外接球直径为正方体的体对角线，所以233==R a ，344279πππ3382==⨯=V R . 3.（2107全国1卷理科16）如图所示，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，DBC △，ECA △，FAB △分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC △，ECA △，FAB △，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当ABC △的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3cm ）的最大值为_______.O ED CBAO O 1O 2 ⋅⋅⋅3.解析 由题意，联结OD ，交BC 于点G ，如图所示，则OD BC ⊥，3OG BC =， 即OG 的长度与BC 的长度成正比.设OG x =，则23BC x =，5DG x =-，三棱锥的高222225102510h DG OG x x x x =-=-+-=-，21233332ABC S x x x =⋅⋅=△， 则21325103ABC V S h x x =⋅=-△45=32510x x -.令()452510f x x x =-，50,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3410050f x x x '=-，令()0f x '>，即4320x x -<，2x <，当()0f x '<，得522x <<，所以()f x 在()0,2上单调递增，在52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.故()()280f x f =≤，则380415V ⨯=≤，所以体积的最大值为3415cm .题型86 旋转体的表面积、体积及球面距离4.（2107全国3卷理科8）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）. A ．πB ．3π4C ．π2D ．π44．解析 如图所示，由题可知球心在圆柱体的中心处，圆柱体上、下底面圆的半径 221312r ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，则圆柱体的体积23ππ4V r h ==.故选B.题型87 几何体的外接球与内切球第二节 空间几何体的直观图与三视图题型88 斜二测画法与直观图——暂无 题型89 空间几何体的三视图5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）. A.π12+ B. π32+ C. 3π12+ D. 3π32+5.解析 由三视图可知，直观图是由半个圆锥与一个三棱锥构成，半圆锥体积为()2111=13232S π⨯π⨯⨯=，三棱锥体积为211=213=132S ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，所以几何体体积1212S S S π=+=+．故选A ．6.（2022全国1卷理科7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）.A.10B.12C.14D.166. 解析 由三视图可画出立体图，如图所示，该多面体只有两个相同的梯形的面， ()24226S =+⨯÷=梯，6212S =⨯=全梯.故选B.7.（2107全国2卷理科4）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）. A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π7．解析 该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，如图所示． 2211π310π3663π22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上.故选B.4668.（2017北京理7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）. A.32 B.23 C.22 D.28. 解析 几何体四棱锥如图所示，最长棱为正方体的体对角线，即22222223l =++=.故选B.9.（2022山东理13）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .9. 解析 该几何体的体积为21112211242V π=π⨯⨯⨯+⨯⨯=+．第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系题型90 证明“点共面”“线共面”“点共线”或“线共点” ——暂无 题型91 截面问题——暂无10.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分 的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．ABC D A 1B 11D 1容器ⅠGH O E F 1G 1H 1O 1容器Ⅱ10.解析 （1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC 的平面图形．因为107AC =40AM =，所以()224010730MC =-=，从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ， 过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1（2）如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥． 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，111O O E G ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==． 因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==， 从而2211 GG KG GK =+22243240=+=．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=， 于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭． 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则22P Q ⊥平面EFGH ，故2212P Q =，从而22220sin PQ EP NEG==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：107AC =40AM =，所以()224010730CM =-=，1112PQ =，所以由11AP A Q CM △△∽，111PQ AP CM AM=，即1123040AP =，解得116AP =． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．题型92 异面直线的判定——暂无第四节 直线、平面平行的判定与性质题型93 证明空间中直线、平面的平行关系11.（2107浙江19（1））如图所示，已知四棱锥P ABCD -，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点. （1）证明：//CE 平面PAB .11.解析 （1）如图所示，设PA DE 的中点为F ，联结EF ，FB .A BCDPE因为E ，F 分别为PD ，PA 的中点，所以//EF AD ，且1=2EF AD . 又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//EF BC ，且=EF BC ，所以四边形BCEF 为平行四边形，所以//CE BF ，又BF ⊂平面PAB ，所以//CE 平面PAB .H QPN F DBCEA12.（2017江苏15）如图所示，在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥，BC BD ⊥， 平面ABD ⊥平面BCD ， 点,E F （E 与,A D 不重合）分别在棱,AD BD 上，且EF AD ⊥． 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD AC ⊥．ABDCEF12.解析 （1）在平面ABD 内，因为AB AD ⊥，EF AD ⊥，且点E 与点A 不重合，所以//EF AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥. 又AB AD ⊥，BCAB B =，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC .又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥.13.（2022全国2卷理科19）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，o 90BAD ABC ∠=∠=， E 是PD 的中点. （1）求证：直线//CE 平面PAB ；EM DCBAP13．解析 （1）令PA 的中点为F ，联结EF ，BF ，如图所示．因为点E ，F 为PD ，PA 的中点，所以EF 为PAD △的中位线，所以=1//2EF AD ．又因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥．又因为12AB BC AD ==，所以=1//2BC AD ，于是=//EF BC ．从而四边形BCEF 为平行四边形，所以CE BF ∥．又因为BF PAB ⊂面，所以CE ∥平面PAB .Oz yxPM F ED CA题型94 与平行有关的开放性、探究性问题第五节 直线、平面垂直的判定与性质题型95 证明空间中直线、平面的垂直关系14.（2017江苏15）如图所示，在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥，BC BD ⊥， 平面ABD ⊥平面BCD ， 点,E F （E 与,A D 不重合）分别在棱,AD BD 上，且EF AD ⊥． 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD AC ⊥．ABDCEF14.解析 （1）在平面ABD 内，因为AB AD ⊥，EF AD ⊥，且点E 与点A 不重合，所以//EF AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥. 又AB AD ⊥，BCAB B =，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC .又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥.15.（2022全国1卷理科18（1））如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ；DCBAP15. 解析 （1）证明：因为90BAP CDP ∠=∠=，所以PA AB ⊥，PD CD ⊥.又因为AB CD ∥，所以PD AB ⊥.又因为PD PA P =，PD ，PA ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD .又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .16.（2022全国3卷理科19（1））如图所示，四面体ABCD 中，ABC △是正三角形，ACD △是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =．（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；16．解析 ⑴如图所示，取AC 的中点为O ，联结BO ，DO . 因为ABC △为等边三角形，所以BO AC ⊥，AB BC =.由AB BC BD BD ABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，得ABD CBD ≅△△，所以AD CD =，即ACD △为等腰直角三角形， 从而ADC ∠为直角.又O 为底边AC 中点，所以DO AC ⊥. 令AB a =，则AB AC BC BD a ====，易得2a OD =，3a OB = 所以222OD OB BD +=，从而由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=，即OD OB ⊥. 由OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面，所以OD ⊥平面ABC . 又因为OD ⊂平面ADC ，由面面垂直的判定定理可得平面ADC ⊥平面ABC .BEC DAO题型96 与垂直有关的开放性、探索性问题——暂无第六节 空间向量与立体几何题型97 空间向量及其运算 题型98 空间角的计算17.（2022全国2卷理科10）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）.A 3B 15C 10D 3 17．解析 设M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 的中点，则1AB 和1BC 的夹角为MN 和NP 夹角或其补角（异面线所成角为π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，）.可知1152MN AB ==1122NP BC ==，取BC 的中点Q ，联结,,PQ MQ PM ，则可知PQM △为直角三角形．1=PQ ，12MQ AC =.在ABC△中，2222cosAC AB BC AB BC ABC=+-⋅⋅∠1 4122172⎛⎫=+-⨯⨯⋅-=⎪⎝⎭，即7=AC，则7MQ=，则在MQP△中，2211MP MQ PQ=+=.在PMN△中，222cos2MN NP PMPNMMN NP+-∠=⋅⋅222521110522⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-⋅⋅.又异面直线所成角为π2⎛⎤⎥⎝⎦，，则其余弦值为10．故选C.18.（2107山东理17）如图所示，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是DF的中点.（1）设P是CE上的一点，且AP BE⊥，求CBP∠的大小；（2）当3AB=，2AD=，求二面角E AG C--的大小.18.解析（1）因为AP BE⊥，AB BE⊥，AB，AP⊂平面ABP，AB AP A=，所以BE⊥平面ABP.又BP⊂平面ABP，所以BE BP⊥.又120EBC∠=︒，所以30CBP∠=︒.（2）以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.Gz yxPFE DC BA由题意得(0,0,3)A ，(2,0,0)E ，3,3)G ，(3,0)C -，则(2,0,3)AE =-，(1,3,0)AG =，(2,0,3)CG =.设111(,,)x y z =m 是平面AEG 的一个法向量，由00AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，可得111123030x z x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，取12z =，可得平面AEG 的一个法向量(3,3,2)m =. 设222(,,)x y z =n 是平面ACG 的一个法向量，由00AG CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，可得222230230x x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，取22z =-，可得平面ACG 的一个法向量(3,3,2)=--n . 从而1cos ,2⋅==⋅m n m n m n ，易知二面角E AG C --为锐角.因此所求的角为60︒.19.（2017江苏22）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，且2AB AD ==，13AA =120BAD ∠=︒． （1）求异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值； （2）求二面角1B A D A --的正弦值．A 1B 1C 1D 1ABCD19.解析 在平面ABCD 内，过点A 作AE AD ⊥，交BC 于点E ． 因为1AA ⊥平面ABCD ，所以1AA AE ⊥，1AA AD ⊥．如图所示，以{}1,,AE AD AA 为正交基底，建立空间直角坐标系A xyz -．EDCBAD 1C 1B A 1xyz因为2AB AD ==，13AA =120BAD ∠=︒． 则()0,0,0A ，)3,1,0B -，()0,2,0D ，)3,0,0E，(13A ，13,1,3C ．（1）(13,1,3A B =--，(13,1,3AC =，则111111cos ,A B AC A B AC A B AC ⋅=3,1,33,1,3177--⋅==-．因此异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为17． （2）平面1A DA 的一个法向量为()3,0,0AE =．设(),,x y z =m 为平面1BA D 的一个法向量，又(13,1,3A B =--，()3,3,0BD =-，则100A B BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即330330x y z x y --=+=⎪⎩． 不妨取3x =，则3y =，2z =，所以()3,2=m 为平面1BA D 的一个法向量. 从而cos ,AE AE AE ⋅=m m m(3,0,03,23434⋅==⨯，设二面角1B A D A --的大小为θ，则3cos 4θ=． 因为[]0,θ∈π，所以27sin 1cos θθ=-=． 因此二面角1B A D A --7． 20.（2022全国1卷理科18）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA PD AB DC ===，90APD ∠=，求二面角A PB C --的余弦值.DCBAP20. 解析 （1）证明：因为90BAP CDP ∠=∠=，所以PA AB ⊥，PD CD ⊥.又因为AB CD ∥，所以PD AB ⊥.又因为PD PA P =，PD ，PA ⊂平面PAD ，所以AB ⊥ 平面PAD .又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .（2）取AD 的中点O ，BC 的中点E ，联结PO ，OE ，因为AB CD ∥，所以四边形ABCD 为平行四边形，所以OE AB ∥.由（1）知，AB ⊥平面PAD ，所以OE ⊥平面PAD .又PO ，AD ⊂平面PAD ，所以OE PO ⊥，OE AD ⊥.又因为PA PD =，所以PO AD ⊥，从而PO ，OE ，AD 两两垂直.以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，设2PA =，所以()002D -，，，()220B ，，，()002P ，，，()202C -，，， 所以()022PD =--，，，()222PB =-，，，()2200BC =-，，.设()x y z =n ,,为平面PBC 的一个法向量， 由00PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得2220220x y z x ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩. 令1y =，则2z =，0x =，可得平面PBC 的一个法向量()012=n ,,. 因为90APD ∠=︒，所以PD PA ⊥，又知AB ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以PD AB ⊥，又PA AB A =，所以PD ⊥平面PAB . 即PD 是平面PAB 的一个法向量，()022PD =--,,， 从而3cos 23PD PD PD ⋅===-⋅n n n,. 由图知二面角A PB C --为钝角，所以它的余弦值为3-.21.（2022全国2卷理科19）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，o 90BAD ABC ∠=∠=， E 是PD 的中点. （1）求证：直线//CE 平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成的锐角为45，求二面角M AB D --的余弦值.EM DCBAP21．解析 （1）令PA 的中点为F ，联结EF ，BF ，如图所示．因为点E ，F 为PD ，PA的中点，所以EF 为PAD △的中位线，所以=1//2EF AD ．又因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥．又因为12AB BC AD ==，所以=1//2BC AD ，于是=//EF BC ．从而四边形BCEF 为平行四边形，所以CE BF ∥．又因为BF PAB ⊂面，所以CE ∥平面PAB .（2）以AD 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设1AB BC ==，则()000O ，，，()010A -，，，()110B -，，，()100C ，，，()010D ，，，(003P ，，．点M 在底面ABCD 上的投影为M '，所以M M BM ''⊥，联结BM '．因为45MBM '∠=，所以MBM '△为等腰直角三角形．因为POC △为直角三角形，33OC OP =，所以60PCO ∠=． 设MM a '=，3CM '=，31OM '=．所以3100M ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭，，． 222231610133BM a a a a ⎛⎫'=++=+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭．从而32112OM '==-． 所以2100M ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭，，26102M ⎛- ⎝⎭，，26112AM ⎛=- ⎝⎭，，(100)AB =，，． 设平面ABM 的法向量11(0)y z =，，m ，则1160AM y ⋅=+=m ，所以(062)=-，m ，易知平面ABD 的一个法向量为(001)=，，n ，从而10cos ,⋅==⋅m n m n m n ．故二面角M AB D --10． Oz yxPM F ED CA22.（2022全国3卷理科19）如图所示，四面体ABCD 中，ABC △是正三角形，ACD △是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =．（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角––D AE C 的余弦值．22．解析 ⑴如图所示，取AC 的中点为O ，联结BO ，DO . 因为ABC △为等边三角形，所以BO AC ⊥，AB BC =.由AB BC BD BD ABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，得ABD CBD ≅△△，所以AD CD =，即ACD △为等腰直角三角形， 从而ADC ∠为直角.又O 为底边AC 中点，所以DO AC ⊥. 令AB a =，则AB AC BC BD a ====，易得2a OD =，3a OB = 所以222OD OB BD +=，从而由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=，即OD OB ⊥. 由OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面，所以OD ⊥平面ABC . 又因为OD ⊂平面ADC ，由面面垂直的判定定理可得平面ADC ⊥平面ABC .BEC DAO⑵由题意可知V V D ACE B ACE --=，即B ，D 到平面ACE 的距离相等，即点E 为BD 的中点. 以O 为坐标原点，OA 为x 轴正方向，OB 为y 轴正方向，OD 为z 轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3a B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,4a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 易得324a a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 设平面AED 的法向量为()1111=,,x y z n ，平面AEC 的法向量为()2222=,,x y z n ，则1100AE AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，取()13,1,3=n ；220AE OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，取()20,1,3=-n .设二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角，则12127cos 7θ⋅==⋅n n n n .z OADC EBxy23.（2022北京理16）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，//PD 平面MAC ，6PA PD ==，4AB =．（1）求证：M 为PB 的中点； （2）求二面角B PD A --的大小；（3）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．23.解析 （1）设,AC BD 的交点为E ，联结ME . 因为PD ∥平面MAC ，平面MAC平面PBD ME =，所以PD ME ∥.因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点，所以M 为PB 的中点.MP EDCBA（2）取AD 的中点O ，联结OP ，OE . 因为PA PD =，所以OP AD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD . 因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP OE ⊥.因为ABCD 是正方形，所以OE AD ⊥.如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -，则2)P ，(2,0,0)D ，(2,4,0)B -，(4,4,0)BD =-，(2,0,2)PD =.设平面BDP 的法向量为(,,)x y z =n ，则00BD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即440220x y x z -=⎧⎪⎨=⎪⎩. 令1x =，则1y =，2z =2)=n .平面PAD 的法向量为(0,1,0)=p ，所以1cos ,||||2⋅==<>n p n p n p .由题知二面角B PD A --为锐角，所以它的大小为3π. P ME D CB A z xyO（3）由（1）知21,M ⎛- ⎝⎭，(2,4,0)C ，2(3,2,)MC =. 设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则26sin cos ,9MC MC MCα⋅===<>n n n . 所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为69. 24.（2022天津理17）如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=.点D E N ，，分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =.（1）求证：//MN 平面BDE ； （2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 7，求线段AH 的长.NM ED CBAP24.解析 如图所示，以A 为坐标原点，{},,AB AC AP 为基底，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意可得(000)A ，，，(200)B ，，，(040)C ，，，(004)P ，，，(002)D ，，，(022)E ，，，(001)M ，，，(120)N ，，．（1）证明：()0,2,0DE =，()2,0,2DB =-.设(,,)x y z =n 为平面BDE 的一个法向量， 则0DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20220y x z =⎧⎨-=⎩，不妨设1z =，可得(1,0,1)=n .又()1,2,1MN =-，可得0MN ⋅=n ，因为MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ． （2）易知1(1,0,0)=n 为平面CEM 的一个法向量.设2(,,)x y z =n 为平面EMN 的一个法向量，则220EM MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，因为(0,2,1)EM =--，(1,2,1)MN =-，所以2020y z x y z --=⎧⎨+-=⎩. 不妨设1y =，可得2(4,1,2)=--n . 因此有121212cos ,|||21⋅==n n n n |n n ，于是1215sin ,=n n . 所以二面角C EM N --15. zyxA B C D EM NP（3）依题意，设()04AH h h =，则H （0，0，h ），进而可得(1,2,)NH h =--，(2,2,2)BE =-.由已知得2||7cos ,||||523NH BE NH BE NH BE h ⋅===+⨯，整理得2102180h h -+=， 解得85h =或12h =.所以线段AH 的长为85或12. 25.（2107浙江19）如图所示，已知四棱锥P ABCD -，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点. （1）证明：//CE 平面PAB ；（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.25.解析 （1）如图所示，设PA DE 的中点为F ，联结EF ，FB . 因为E ，F 分别为PD ，PA 的中点，所以//EF AD ，且1=2EF AD . 又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//EF BC ，且=EF BC ，所以四边形BCEF 为平行四边形，所以//CE BF ，又BF ⊂平面PAB ，所以//CE 平面PAB .H QPN MF DBCEA（2）分别取BC ，AD 的中点为M ，N .联结PN 交EF 于点Q ，联结MQ .因为E ，F ，N 分别是PD ，PA ，AD 的中点，所以Q 为EF 的中点，在平行四边形BCEF 中，//MQ CE .由PAD △为等腰直角三角形，得PN AD ⊥.A BCDPE由DC AD ⊥，N 是AD 的中点，所以12ND AD BC ==，且BC DN ∥,所以四边形BCDN 是平行四边形，所以CD BN ∥，所以BN AD ⊥.又BNPN N =,所以AD ⊥平面PBN ，由//BC AD ，得BC ⊥平面PBN ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBN . 过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，联结MH .MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以QMH ∠是直线CE 与平面PBC 所成的角.设1CD =.在PCD △中，由2PC =，1CD =，2PD =，由余弦定理得2CE =，又BC ⊥平面PBN ，PB ⊂平面PBN ，所以BC PB ⊥.在PBN △中，由1PN BN ==，223PB PC BC =-=，QH PB ⊥,Q 为PN 的中点，得14QH =. 在Rt MQH △中，14QH =，2MQ =，所以2sin 8QMH ∠=， 所以直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是28. 26．（2107浙江9）如图所示，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==，分别记二面角––D PR Q ，––D PQ R ，––D QR P 的平面角为α，β，γ，则（ ）.A ．γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βγα<<26.解析 如图所示，设点D 在底面ABC 内的射影为O ，判断O 到PR ，PQ ，QR 的距离，O 到哪条线段的距离越小，对应的二面角就越大.显然有,αβ,γ均为锐角．1P 为三等分点，O 到1PQR △三边的距离相等．动态研究问题：1P P ，所以O 到QR 的距离不变，O 到PQ 的距离减少，O 到PR 的距离变大．所以αγβ．O P 1R QC题型99 空间距离的计算——暂无题型100 与空间角、空间距离有关的开放性、探索性问题——暂无27.（2022全国3卷理科16）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在的直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成30角； ②当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成60角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60；其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）.27．解析 由题意知，a ，b ，AC 三条直线两两相互垂直，作出图像如图所示．不妨设图中 所示的正方体的边长为1，故1AC =，2AB =AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则点A 保持不变，点B 的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD 为x 轴 正方向，CB 为y 轴正方向，CA 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量(0,1,0)=a ，1=a ．B 点起始坐标为(0,1,0) ，直线b 的方向单位向量(1,0,0)=b ，1=b ．设B 点在运动过程中的坐标()cos ,sin ,0B θθ'， 其中θ为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈.那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=-，2AB '= 设AB '与直线a 所成夹角为π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则(cos ,sin ,1)(0,1,0)22cos sin 2AB θθαθ⎡-⋅==∈⎢'⎣⎦a ， 所以ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故③正确，④错误．设AB '与直线b 所成夹角为π[0,]2β∈，(cos ,sin ,1)(1,0,0)2cos cos 2AB AB AB θθβθ'⋅-⋅===''b b b . 当AB '与直线a 夹角为60︒时，即π3α=， 2sin 223πθα 因为22cos sin 1θθ+=，所以2cos θ=．从而21cos cos 22βθ=． 因为π0,2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π=3β，此时AB '与b 的夹角为60︒．所以②正确，①错误．故填② ③.C (O )ba θz yxB 'DBA28.（2022天津理17）如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=.点D E N ，，分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =.（1）求证：//MN 平面BDE ； （2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 7，求线段AH 的长.NM ED CBAP28.解析 如图所示，以A 为坐标原点，{},,AB AC AP 为基底，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意可得(000)A ，，，(200)B ，，，(040)C ，，，(004)P ，，，(002)D ，，，(022)E ，，，(001)M ，，，(120)N ，，．（1）证明：()0,2,0DE =，()2,0,2DB =-.设(,,)x y z =n 为平面BDE 的一个法向量， 则0DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20220y x z =⎧⎨-=⎩，不妨设1z =，可得(1,0,1)=n .又()1,2,1MN =-，可得0MN ⋅=n ，因为MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ． （2）易知1(1,0,0)=n 为平面CEM 的一个法向量.设2(,,)x y z =n 为平面EMN 的一个法向量，则220EM MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，因为(0,2,1)EM =--，(1,2,1)MN =-，所以2020y z x y z --=⎧⎨+-=⎩. 不妨设1y =，可得2(4,1,2)=--n . 因此有121212cos ,|||21⋅==n n n n |n n ，于是1215sin ,=n n . 所以二面角C EM N --15. （3）依题意，设()04AH h h =，则H （0，0，h ），进而可得(1,2,)NH h =--，(2,2,2)BE =-.由已知得2||7cos ,||||523NH BE NH BE NH BE h ⋅===+⨯，整理得2102180h h -+=， 解得85h =或12h =.所以线段AH 的长为85或12.zyxA B C D EM NP题型101 立体几何中的最值问题探究与扩展——暂无。
高考数学大一轮复习板块命题点专练八文
板块命题点专练（八）n 1n A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0D ．a 1d >0解析：选C ∵数列{2a 1a n }为递减数列，a 1a n ＝a 1[a 1＋(n －1)d ]＝a 1dn ＋a 1(a 1－d )，等式右边为关于n 的一次函数，∴a 1d <0．2．(2014·全国卷Ⅱ)数列 {a n }满足 a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1 ＝________．解析：将a 8＝2代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 7＝12；再将a 7＝12代入a n ＋1＝11－a n，可求得a 6＝－1；再将a 6＝－1代入a n ＋1＝11－a n，可求得a 5＝2；由此可以推出数列{a n }是一个周期数列，且周期为3，所以a 1＝a 7＝12．答案：123．(2014·安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22．过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________．解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14． 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14．答案：14n 10100A ．100B ．99C ．98D ．97解析：选C 法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3．又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98．故选C ． 法二：∵{a n }是等差数列，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3．在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5． 故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98．故选C ．2．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：选A ∵a 1＋a 5＝2a 3，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3， ∴a 3＝1， ∴S 5＝a 1＋a 52＝5a 3＝5，故选A ．3．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84解析：选B ∵a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21， ∴3＋3q 2＋3q 4＝21．∴1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2或q 2＝－3(舍去)． ∴a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42．4．(2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A ．172B ．192C ．10D ．12解析：选B ∵{a n }的公差为1， ∴S 8＝8a 1＋8×8－12×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6．又∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192．5．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1．∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1．又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列． ∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n．答案：－1n6．(2016·全国乙卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0．(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14．(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)． 因此{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12． 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1．7．(2016·全国甲卷)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35.当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35＜2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2≤2n ＋35＜3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35＜4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4≤2n ＋35＜5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.8．(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3． (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3．②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2．又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3． 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为a n ＝2n ＋1． (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1n ＋n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3．设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝nn ＋．9．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1， 则a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1．两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1． 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ．(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1． 由(1)知，a 3＝λ＋1． 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4．故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1．所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2．因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．1．(2016·天津高考)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且a 1－a 2＝a 3，S 6＝63．(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q ． 由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q2，解得q ＝2或q ＝－1．又由S 6＝a 1·1－q61－q ＝63，知q ≠－1，所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1．所以a n ＝2n －1．(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n)＝n －12，即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列．设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n ) ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2nb 1＋b 2n2＝2n 2．2．(2016·四川高考)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q ＞0，n ∈N *．(1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e 21＋e 22＋…＋e 2n ．解：(1)由已知S n ＋1＝qS n ＋1，得S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1．又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1，n ∈N *都成立．所以数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． 从而a n ＝qn －1．由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3，所以a 3＝2a 2，故q ＝2．所以a n＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)可知a n ＝qn －1，所以双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋qn －．由e 2＝1＋q 2＝2，解得q ＝3， 所以e 21＋e 22＋…＋e 2n＝(1＋1)＋(1＋q 2)＋…＋[1＋q 2(n －1)]＝n ＋[1＋q 2＋…＋q2(n －1)]＝n ＋q 2n －1q 2－1＝n ＋12(3n －1)．敬请批评指正。
2021-2022年高三数学一轮总复习板块命题点专练八数列推理与证明理
2021年高三数学一轮总复习板块命题点专练八数列推理与证明理1．(xx·江苏高考)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 前10项的和为________．解析：由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝n －12＋n2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式，∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．∴1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.答案：20112．(xx·全国卷Ⅱ)数列 {a n }满足 a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1 ＝________.解析：将a 8＝2代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 7＝12；再将a 7＝12代入a n ＋1＝11－a n，可求得a 6＝－1；再将a 6＝－1代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 5＝2；由此可以推出数列{a n }是一个周期数列，且周期为3，所以a 1＝a 7＝12.答案：123.(xx·安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案：14命题点二 等差数列与等比数列 难度：中、低命题指数：☆☆☆☆☆1n n 135，则S 5＝________.解析：法一：∵a 1＋a 5＝2a 3，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3， ∴a 3＝1，∴S 5＝5a 1＋a 52＝5a 3＝5.法二：∵a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d ) ＝3a 1＋6d ＝3，∴a 1＋2d ＝1， ∴S 5＝5a 1＋5×42d ＝5(a 1＋2d )＝5.答案：52．(xx·陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．解析：设数列首项为a 1，则a 1＋2 0152＝1 010，故a 1＝5.答案：53．(xx·广东高考)若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________.解析：∵a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝a ·c ＝(5＋26)(5－26)＝1. 又b ＞0，∴b ＝1. 答案：14．(xx·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________.解析：∵a 2，a 3，a 7成等比数列， ∴a 23＝a 2a 7，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.① 又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1.② 由①②解得a 1＝23，d ＝－1.答案：23－15．(xx·北京高考)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？ 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ∈N *)． (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16， 所以q ＝2，b 1＝4. 所以b 6＝4×26－1＝128. 由128＝2n ＋2得n ＝63，所以b 6与数列{a n }的第63项相等．6．(xx·天津高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和． 解：(1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ， 由题意知q >0.由已知，有⎩⎨⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2－8＝0，解得q 2＝4. 又因为q >0，所以q ＝2，所以d ＝2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *； 数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由(1)有c n ＝(2n －1)·2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ， 上述两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝2n ＋1－3－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)·2n －3，所以S n ＝(2n －3)·2n＋3，n ∈N *.1．(xx·湖南高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .解：(1)证明：由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2. 又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1.故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n .(2)由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3. 于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列； 数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列． 因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1. 于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1) ＝3(1＋3＋…＋3n －1) ＝33n－12， 从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝33n－12－2×3n －1＝32(5×3n －2－1)．综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧325×3－1，n 是奇数，323－1，n 是偶数.2．(xx·江苏高考)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列． (1)证明：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列．(2)是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由．解：(1)证明：因为2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1,2,3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列．(2)不存在，理由如下：令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0)． 假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列， 则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4.令t ＝da，则1＝(1－t )(1＋t )3，且(1＋t )6＝(1＋2t )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜t ＜1，t ≠0，化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.将t 2＝t ＋1代入(*)式，得t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－14.显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列.1．(xx·山东高考)观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；……照此规律，当n∈N*时，C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－1＝________.解析：观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－1＝4n－1.答案：4n－12．(xx·陕西高考)观察下列等式：1－12＝12，1－12＋13－14＝13＋14，1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16，…，据此规律，第n个等式可为__________________________________________________．解析：等式的左边的通项为12n －1－12n， 前n 项和为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；右边的每个式子的第一项为1n ＋1，共有n 项， 故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n. 答案：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)1．(xx·北京高考节选)已知数列{a n }满足：a 1∈N *，a 1≤36，且a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n ＞18(n ＝1,2，…)．记集合M ＝{a n |n ∈N *}．(1)若a 1＝6，写出集合M 的所有元素；(2)若集合M 存在一个元素是3 的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数． 解：(1)6,12,24.(2)证明：因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k 是3的倍数．由a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n >18可归纳证明对任意n ≥k ，a n 是3的倍数．如果k ＝1，则M 的所有元素都是3的倍数．如果k >1，因为a k ＝2a k －1或a k ＝2a k －1－36，所以2a k －1是3的倍数，于是a k －1是3的倍数．类似可得，a k－2，…，a1都是3的倍数．从而对任意n≥1，a n是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数．综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数．。
2020版高考数学一轮复习板块命题点专练(八)数列文(含解析)苏教版(2021-2022学年)
板块命题点专练(八) 数列命题点一数列的概念及表示1.（2016·上海高考)无穷数列{ａｎ｝由ｋ个不同的数组成，S n为｛aｎ｝的前n项和.若对任意n∈N*,Ｓn∈｛2，３}，则k的最大值为___＿____.解析：由S n∈｛2,3｝,得a1＝Ｓ1∈{2,3｝．将数列写出至最多项,其中有相同项的情况舍去,共有如下几种情况:①a1=２,a２＝0,a3=1,a４＝-1；②a1=2，a2=１,a3=0,a4=－1；③ａ１=2，a２=１，a3＝－１,a4=0;④ａ1=3，a２＝０,a3=－1，ａ４＝１;⑤a1＝3,a2=－1，a３=0，a4＝1;⑥a1＝3,a2=-１,a3=1，a4=0。
最多项均只能写到第4项，即k maｘ＝４。
答案:４２．(2０14·全国卷Ⅱ)数列 {ａn}满足a n＋1＝错误!，a８=2,则a1 =__＿___＿_．解析:将a8=2代入a n+1＝错误!,可求得a7=错误!未定义书签。
;再将a7＝错误!代入a n＋1=错误!，可求得a6＝-1；再将ａ6＝－1代入a n+1=错误!，可求得ａ5=2；由此可以推出数列｛ａn}是一个周期数列,且周期为3，所以a1＝ａ7=错误!.答案：错误!未定义书签。
命题点二等差数列与等比数列１.(2018·北京高考)设｛a n}是等差数列，且a1＝3，a2＋ａ5=36，则{a n｝的通项公式为____＿___.解析：法一：设数列{ａn}的公差为ｄ。
∵ａ２＋a5=3６,∴(a１+ｄ)+（a１＋4d）=2a1＋５d=36。
∵ａ1=3,∴ｄ=6，∴a n=6n－3。
法二:设数列{a n}的公差为d,∵a2＋a5＝a１＋a6=36,a1=3,∴a６=33，∴d=＼ｆ（a6－a１，５)＝6,∴ａn＝6n－3.答案：aｎ＝6n-３2．(2017·江苏高考)等比数列{a n｝的各项均为实数，其前n项和为S n.已知S３＝错误!未定义书签。
2021-2022年高三数学一轮总复习板块命题点专练一集合与常用逻辑用语理
2021年高三数学一轮总复习板块命题点专练一集合与常用逻辑用语理1．(xx·江苏高考)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．解析：∵A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5}，∴A∪B中元素个数为5.答案：52．(xx·全国卷Ⅰ改编)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为________．解析：集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.答案：23．(xx·浙江高考改编)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1<x≤2}，则(∁R P)∩Q ＝________.解析：由x2－2x≥0，得x≤0或x≥2，即P＝{x|x≤0或x≥2}，所以∁R P＝{x|0＜x＜2}＝(0,2)．又Q＝{x|1＜x≤2}＝(1,2]，所以(∁R P)∩Q＝(1,2)．答案：(1,2)4．(xx·湖北高考改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为________．解析：A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}＝{(x，y)|x＝±1，y＝0；或x＝0，y＝±1；或x＝0，y＝0}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}＝{(x，y)|x＝－2，－1，0,1,2；y＝－2，－1,0,1,2}．A⊕B表示点集．由x1＝－1,0,1，x2＝－2，－1,0,1,2，得x1＋x2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．同理，由y1＝－1,0,1，y2＝－2，－1,0,1,2，得y1＋y2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．当x1＋x2＝－3或3时，y1＋y2可以为－2，－1,0,1,2中的一个值，分别构成5个不同的点，当x1＋x2＝－2，－1,0,1,2时，y1＋y2可以为－3，－2，－1，0,1,2,3中的一个值，分别构成7个不同的点，故A⊕B共有2×5＋5×7＝45(个)元素．答案：455．(xx·辽宁高考改编)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A ∪B)＝________.解析：∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}．∴∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．答案：{x|0＜x＜1}6．(xx·福建高考改编)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．解析：若①正确，则②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)．综上，符合条件的有序数组的个数是6.答案：61．(xx·天津高考改编)设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：|x－2|<1⇔1<x<3.由于{x|1<x<2}是{x|1<x<3}的真子集，所以“1<x<2”是“|x－2|<1”的充分不必要条件．答案：充分不必要2．(xx·四川高考改编)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：y＝log2x(x>0)为增函数，当a >b >1时，log 2a >log 2b >0；反之，若log 2a >log 2b >0，结合对数函数的图象易知a >b >1成立，故“a >b >1”是“log 2a >log 2b >0”的充要条件．答案：充要3．(xx·重庆高考改编)“x ＞1”是“log (x ＋2)＜0”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：∵x ＞1⇒log (x ＋2)＜0，log (x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，∴“x ＞1”是“log (x ＋2)＜0”的充分不必要条件．答案：充分不必要4．(xx·山东高考)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.答案：15．(xx·安徽高考改编)设p ：1＜x ＜2，q ：2x ＞1，则p 是q 成立的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由2x ＞1，得x ＞0，所以p ⇒q ，但q ⇒/p ，所以p 是q 的充分不必要条件 答案：充分不必要6．(xx·北京高考改编)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的________(填序号)．①充分而不必要条件；②必要而不充分条件；③充分必要条件；④既不充分也不必要条件．解析：{a n }为递增数列，则a 1＞0时，q ＞1；a 1＜0时，0＜q ＜1.q ＞1时，若a 1＜0，则{a n }为递减数列．故“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．答案：④7．(xx·福建高考改编)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的________(填序号)． ①充分而不必要条件；②必要而不充分条件；③充分必要条件；④既不充分又不必要条件．解析：若k ＝1，则直线l ：y ＝x ＋1与圆相交于(0,1)，(－1,0)两点，所以△OAB的面积S △OAB ＝12×1×1＝12，所以“k ＝1”⇒“△OAB 的面积为12”；若△OAB 的面积为12，则k ＝±1，所以“△OAB 的面积为12”⇒/ “k ＝1”，所以“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件． 答案：①1．(xx·陕西高考改编)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断中，真命题的是________________．解析：原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．答案：逆否命题2．(xx·山东高考改编)设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是__________________．解析：根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．答案：若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤03．(xx·陕西高考改编)设z 是复数，则下列命题中的真命题是________(填序号)． ①若z 2≥0，则z 是实数；②若z 2＜0，则z 是虚数；③若z 是虚数，则z 2≥0；④若z 是纯虚数，则z 2＜0.解析：实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由z 2≥0，得⎩⎨⎧ ab ＝0，a 2－b 2≥0，则b ＝0，故序号①为真，同理序号②为真；序号③为假，序号④为真．答案：①②④命题点四 全称量词和存在量词难度：低命题指数：☆☆☆☆1．(xx·全国卷Ⅰ改编)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为________．解析：因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，n 2>2n ”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n ”．答案：∀n ∈N ，n 2≤2n2．(xx·浙江高考改编)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是________________________．答案：∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 03．(xx·四川高考改编)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则綈p 为________．解析：因为全称命题的否定是存在性命题，所以命题p 的否定为綈p ：∃x ∈A,2x ∉B .答案：∃x ∈A,2x ∉B4．(xx·湖北高考改编)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是________．解析：全称命题的否定是特称命题：∃x∈R，x2＝x.答案：∃x∈R，x2＝x。
2021-2022年高考数学一轮复习 集合 单元测试题
2021-2022年高考数学一轮复习 集合 单元测试题一、选择题1．设全集U=R ，A={x ∈N ︱1≤x ≤10}，B={ x ∈R ︱x 2+ x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为（ ）A ．{2}B ．{3}C ．{－3，2}D ．{－2，3}2．当xR ，下列四个集合中是空集的是（ ）A. {x|x 2-3x+2=0}B. {x|x 2＜x}C. {x|x 2-2x+3=0} C. {x|sinx+cosx=}3．设集合，集合，若, 则等于（ ）A. B.C. D.4．设集合，，则下列关系中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为M-P={x|xM 且xp},则M-（M-P ）等于（ ）A. PB. MPC. MPD. M6．已知{}{}2230,A x x x B x x a =--<=<, 若/, 则实数的取值范围是( )A. B. C. D.7.集合M ＝{x ｜x ＝sin ，n ∈Z}，N ＝{ x ｜x ＝cos ，n ∈Z }，M ∩N ＝ （ ）A ．B ．C ．{0}D ．8.已知集合M ＝{x ｜}，N ＝{x │}，则（ ） A ．M ＝N B ．M NC ．M ND ．MN ＝φ 9． 设全集∪＝{x ｜1≤x <9，x ∈N}，则满足{}{}1,3,5,7,81,3,5,7U C B ⋂=的所有集合B 的个数有 （ ）A ．1个B ．4个C ．5个D ．8个10．已知集合M ＝{(x ，y )︱y ＝}，N ＝{(x ，y )︱y ＝x ＋b }，且M ∩N ＝，则实数b应满足的条件是（ ）A ．︱b ︱≥B ．0＜b ＜C ．－3≤b ≤D ．b ＞或b ＜－3二、填空题11．设集合,{2121}B x k x k =-≤≤+,且，则实数的取值范围是 .12．设全集U=R ，A=(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则右图中阴影部分表示的集合为 .13．已知集合A=，那么A 的真子集的个数是 .14．若集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛==R x ,121y |y S x ，，则等于 . 15．满足的集合A 的个数是_______个.16．已知集合，函数22()log (22)f x ax x =-+的定义域为Q.（1）若12[,),(2,3]23P Q P Q ==-，则实数a 的值为 ； （2）若，则实数a 的取值范围为 .三、解答题17．已知函数的定义域集合是A,函数22()lg[(21)]g x x a x a a =-+++的定义域集合是B（1）求集合A 、B（2）若AB=B,求实数的取值范围．18．设，集合，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若，求的值.19．设集合，{}012322<--+-=m m mx x x B .(1)当时，求A 的非空真子集的个数；(2)若B=，求m 的取值范围；(3)若，求m 的取值范围.20. 对于函数f(x)，若f(x)＝x ，则称x 为f(x)的“不动点”，若，则称x 为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即}，.(1) 求证：AB(2) 若2()1(,)f x ax a R x R =-∈∈，且，求实数a 的取值范围.一、选择题1．答案：A2．答案：C3．答案：A4．提示：，.答案： D5．答案：B6．答案：B7. 由与的终边位置知M＝{，0，}，N＝{－1，0，1}，故选C.8.C9.D10.D11．提示:, ∴,答案：12．答案：，图中阴影部分表示的集合为,13．答案：1514. 答案：15. 答案：716. 答案：；17. 解：（1）A＝…………B＝……………（2）由AB＝B得AB，因此……………所以,所以实数ａ的取值范围是……………18. 解：，由，当时，，符合；当时，，而，∴，即∴或.19. 解：化简集合A=，集合B 可写为{}0)12)(1(<--+-=m x m x x B(1){}5,4,3,2,1,0,1,2,--=∴∈A Z x ,即A 中含有8个元素，A 的非空真子集数为 （个）.(1)显然只有当m-1=2m+1即m=--2时，B=.(2)当B=即m=-2时，；当B 即时（ⅰ）当m<-2 时，B=(2m-1,m+1),要 只要⎩⎨⎧≤≤-⇒≤--≥+62351212m m m ，所以m 的值不存在； （ⅱ）当m>-2 时,B=（m-1,2m+1）,要只要⎩⎨⎧≤≤-⇒≤+-≥-2151221m m m . 综合，知m 的取值范围是：m=-2或20.证明(1).若A ＝，则AB 显然成立；若A ≠，设t ∈A ，则f(t)＝t ，f(f(t))＝f(t)＝t ，即t ∈B ，从而 AB. 解 (2)：A 中元素是方程f(x)＝x 即的实根.由 A ≠，知 a ＝0 或即B 中元素是方程即 的实根由AB ，知上方程左边含有一个因式，即方程可化为0)1)(1(222=+-+--a ax x a x ax因此，要A ＝B ，即要方程①要么没有实根，要么实根是方程 ②的根.若①没有实根，则，由此解得若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 ，代入①有 2ax ＋1＝0. 由此解得，再代入②得 由此解得 .故 a 的取值范围是F=b 20895 519F 冟28123 6DDB 淛37331 91D3 釓439479 9A37 騷w21788 551C 唜20810 514A 兊8/27146 6A0A 樊。
2021-2022年高考数学一轮复习第八章解析几何课时分层作业五十九8.10圆锥曲线的综合问题理
2021年高考数学一轮复习第八章解析几何课时分层作业五十九8.10圆锥曲线的综合问题理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(xx·六安模拟)已知双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线C的右支交于P,Q两点,且点P的横坐标为2,则△PF1Q的周长为( ) A. B.5 C. D.4【解析】选A.因为c===2,所以F2(2,0).因为点P的横坐标为2,所以PQ⊥x轴.由-y2=1,解得y=±,所以|PQ|=.因为点P,Q在双曲线C上,所以|PF1|-|PF2|=2,|QF1|-|QF2|=2,所以|PF1|+|QF1|=4+|PF2|+|QF2|=4+|PQ|=4+=,所以△PF1Q的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|=+=.2.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是该椭圆上的任意一点,则|PF1|·|PF2| 的最大值是( )A.9B.16C.25D.【解析】选C.根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10,根据基本不等式可知|PF1||PF2|≤=25,所以最大值为25.3.(xx·秦皇岛模拟)设P是椭圆+=1上一点,M,N分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为( )A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12【解析】选C.如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆定义知|PA|+|PB|=2a=10,连接PA,PB分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|-2R=8;连接PA,PB并延长,分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最大,最大值为|PA|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分别为8,12.【变式备选】如果方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是( )A.3<m<4B.m>C.3<m<D.<m<4【解析】选D.由椭圆方程可知m-3>4-m>0,所以<m<4.4.(xx·九江模拟)抛物线y2=12x上的点与直线3x-y+5=0的最近距离为( )A. B. C. D.【解析】选B.抛物线上的点到直线的距离d==[(y-2)2+16]≥=.当且仅当y=2时,等号成立.【一题多解】本题还可以采用以下方法:选B.如图,若将直线3x-y+5=0平移,则移到刚好与抛物线y2=12x相切时,切点到直线的距离最小.设与3x-y+5=0平行的切线为3x-y+t=0,代入抛物线方程得y2-4y+4t=0,Δ=16-16t=0,所以t=1,所以最近距离d==.5.(xx·赣州模拟)设F1,F2是椭圆+=1(0<b<2)的左、右焦点,过F1的直线l交椭圆于A, B两点,若|AF2|+|BF2|最大值为5,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.【解析】选A.因为|AF1|+|AF2|=4, |BF1|+|BF2|=4,所以△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=8,显然,当|AB|最小时, |AF2|+|BF2|有最大值,而|AB|min ==b2,所以, 8-b2=5,解得b2=3, c2=1,从而e=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知抛物线x2=8y上有一条长为10的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为________.【解析】由题意知,抛物线的准线l:y=-2,过点A作AA1⊥l交l于点A1,过点B作BB1⊥l交l于点B1,设弦AB的中点为M,过点M作MM1⊥l交l于点M1,则|MM1|==,因为|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|≥10.所以|AA1|+|BB1|≥10,2|MM1|≥10,即|MM1|≥5.故点M到x轴的距离d≥3.故AB的中点到x轴的最短距离为3.答案:37.(xx·洛阳模拟)若双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴端点到直线y=a2x的距离为1,则双曲线的离心率的最小值为________.【解析】因为双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴端点(0,b)或(0,-b)到直线y=a2x的距离为1,所以=1,即b2=1+a4,所以离心率e=====≥=,当且仅当a2=,即a=1,b=时取等号.答案:8.(xx·长治模拟)已知椭圆+=1和直线l:x-y+9=0,在l上任取一点M,则经过点M且以椭圆的焦点F1,F2为焦点,长轴最短的椭圆的方程为________.【解析】因为F1(-3,0),F2(3,0),易知F1关于l:x-y+9=0的对称点F1′(-9,6),所以F1′F2的方程为x+2y-3=0.所以得交点M(-5,4),即过M(-5,4)的椭圆,长轴最短.由|MF1|+|MF2|=2a,则2a=6,所以a2=45,又c2=9,所以b2=36.故所求椭圆的方程为+=1.答案:+=1三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,已知F(,0)为椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,B1,B2,A为椭圆的下、上、右三个顶点,△B2OF与△B2OA的面积之比为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)试探究在椭圆C上是否存在不同于点B1,B2的一点P满足下列条件:点P在y轴上的投影为Q,PQ的中点为M,直线B2M交直线y+b=0于点N,B1N的中点为R,且△MOR的面积为.若不存在,请说明理由;若存在,求出点P的坐标.【解析】(1)由已知得===.又c=,所以a=2,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)假设存在满足条件的点P,设其坐标为P(x0,y0)(x0≠0),则Q(0,y0),且M.又B2(0,1),所以直线B2M的方程为y=x+1.因为x0≠0,所以y0≠1,令y=-1,得N.又B1(0,-1),则R,所以|MR|==.直线MR的方程为y-y0=-,即2yy0+x0x-2=0,所以点O到直线MR的距离为d==1,所以S△MOR=|MR|·d=×1=,解得y0=,又+=1,所以x0=±,所以存在满足条件的点P,其坐标为.10.(xx·武邑模拟)已知圆F1:(x+1)2+y2=16,定点F2(1,0),A是圆F1上的一动点,线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点.(1)求P点的轨迹C的方程.(2)四边形EFGH的四个顶点都在曲线C上,且对角线EG,FH过原点O,若k EG·k FH=-,求证:四边形EFGH的面积为定值,并求出此定值.【解析】(1)因为P在线段F2A的中垂线上,所以|PF2|=|PA|.所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|AF1|=4>|F1F2|,所以轨迹C是以F1,F2为焦点的椭圆,且c=1,a=2,所以b=,故轨迹C的方程为+=1.(2)不妨设点E,H位于x轴的上方,则直线EH的斜率存在,设EH的方程为y=kx+m,E(x1,y1),H(x2,y2).联立得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,则x1+x2=-,x1x2=.①由k EG·k FH==-,得==-.②由①,②,得2m2-4k2-3=0.③设原点到直线EH的距离为d=,|EH|=|x1-x2|=,S四边形EFGH=4S△EOH=2|EH|·d=,④由③,④,得S四边形EFGH=4,故四边形EFGH的面积为定值,且定值为4.1.(5分)已知抛物线y2=2x的弦AB的中点的横坐标为,则|AB|的最大值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3,利用抛物线的定义可知,|AF|+|BF|=x1+x2+1=4,由图可知|AF|+|BF|≥|AB|,|AB|≤4,当直线AB过焦点F时,|AB|取得最大值4.【变式备选】(xx·西宁模拟)在平面直角坐标系xOy中, P是椭圆+=1上的一个动点,点A,B,则|PA|+|PB|的最大值为( )A.5B.4C.3D.2【解析】选A.因为椭圆方程为+=1,所以焦点坐标为B和B′,连接PB′,AB′,根据椭圆的定义,得|PB|+|PB′|=2a=4,可得|PB|=4-|PB′|,因此|PA|+|PB|=|PA|+=4+, 因为|PA|-|PB′|≤|AB′|,所以|PA|+|PB|≤2a+|AB′|=4+1=5,当且仅当点P在AB′延长线上时,等号成立,综上所述,可得|PA|+|PB|的最大值为5.2.(5分)(xx·三明模拟)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则(其中e为椭圆C的离心率)的最小值为( )A. B. C. D.【解析】选C.本题主要考查椭圆的定义与性质、点到直线的距离公式,考查了逻辑推理能力与计算能力.因为点Q为线段PF2的中点,所以OQ是三角形PF1F2的中位线,则|PF1|=2|OQ|=2b,则|PF2|=2a-2b,且PF1与PF2垂直,则4b2+4(a-b)2=4c2,解得2a=3b,e=,所以=≥,当且仅当a=时,等号成立.3.(5分)设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是________.【解析】以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则|FM|>p,即y0+>p,所以y0>,即y0>2.答案:(2,+∞)4.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),右顶点为A,且|AF|=1.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若动直线l:y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P,且与直线x=4交于点Q,问:是否存在一个定点M(t,0),使得·=0?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由c=1,a-c=1,得a=2,所以b=.故椭圆C的标准方程为+=1.(2)由得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,得m2=3+4k2.设P(x P,y P),则x P=-=-,y P=kx P+m=-+m=,即P.因为M(t,0),Q(4,4k+m),所以=,=(4-t,4k+m).所以·=·(4-t)+(4k+m)=t2-4t+3+(t-1)=0恒成立,所以得t=1.所以存在点M(1,0)符合题意.5.(13分)(xx·成都模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴端点到右焦点F(1,0)的距离为2.(1)求椭圆C的方程.(2)过点F的直线交椭圆C于A,B两点,交直线l:x=4于点P,若|PA|=λ1|AF|,|PB|=λ2|BF|,求证:λ1-λ2为定值.【解析】(1)由题意有:c=1,且=2,所以a=2,b2=a2-c2=3.所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意直线AB过点F(1,0),且斜率存在,设方程为y=k(x-1),将x=4代入得P点坐标为(4,3k).由消元得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ>0且方法一:因为|PA|=λ1|AF|,所以λ1==,同理λ2==,且与异号.所以|λ1-λ2|=====0.所以λ1-λ2为定值0.方法二:由题意,当x1>1>x2时,有=λ1,且=-λ2,所以(x1-4,y1-3k)=λ1(1-x1,-y1),且(x2-4,y2-3k)=-λ2(1-x2,-y2), 所以λ1=,同理λ2=-,从而λ1-λ2=+=-1--1-=-2-=-2+=-2+=0.当x1<1<x2时,同理可得λ1-λ2=0.所以λ1-λ2为定值0.方法三:由题意直线AB过点F(1,0),设方程为x=my+1(m≠0),将x=4代入得P点坐标为,由消元得(3m2+4)y2+6my-9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ>0且因为|PA|=λ1|AF|,所以λ1===.同理λ2==,且与异号, 所以|λ1-λ2|====0.又当直线AB与x轴重合时,λ1-λ2=0,所以λ1-λ2为定值0.【变式备选】如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明:动点D在定直线上.(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.【解析】(1)因为直线AB过定点M(0,2),由题意知直线AB的斜率一定存在,所以可设直线AB的方程为y=kx+2.由得x2-4kx-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=-8.又直线AO的方程为y=x,直线BD的方程为x=x2,联立解得D点的坐标为.又x1x2=-8,=4y1,所以====-2,所以动点D在定直线y=-2上.(2)由题意可知,切线l的斜率存在且不为0.设切线l的方程为y=ax+b(a≠0),代入x2=4y,化简得x2-4ax-4b=0.因为l为切线,所以Δ=(-4a)2+16b=0,化简得b=-a2,所以切线l的方程为y=ax-a2.分别令y=2,y=-2得N1,N2点的坐标为N1,N2,则|MN2|2-|MN1|2=+42-=8, 所以|MN2|2-|MN1|2为定值8.。
2021-2022年高考数学大一轮复习 第八章 解析几何同步练习 文
2021-2022年高考数学大一轮复习第八章解析几何同步练习文1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．掌握确定直线位置的几何要素．3．掌握直线方程的几种形式(点斜式，两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．(2)直线的斜率①定义：当直线l的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.2．直线方程的五种形式点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距xa＋yb＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x＝x1＋x22，y＝y1＋y22，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．1．明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．(2)待定系数法，具体步骤为：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( )(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )(4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(6)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．( )(7)不经过原点的直线都可以用xa＋yb＝1表示．( )(8)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×(7)×(8)√2．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )A．1 B．4C．1或3 D．1或4解析： ∵k MN ＝m －4－2－m＝1，∴m ＝1.答案： A3．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°解析： 由直线方程得y ＝3x ＋a ，所以斜率k ＝3， 设倾斜角为α，所以tan α＝3，又因为0°≤α＜180°， 所以α＝60°. 答案： B4．已知直线l 的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在x 轴上的截距为2，则直线l 的方程是________．解析： 由3sin α＝cos α，得tan α＝13，∴直线l 的斜率为13.又直线l在x 轴上的截距为2，∴直线l 与x 轴的交点为(2,0)，∴直线l 的方程为y －0＝13(x －2)，即x －3y －2＝0. 答案： x －3y －2＝05．经过两点M (1，－2)，N (－3,4)的直线方程为________．解析：经过两点M(1，－2)，N(－3,4)的直线方程为y＋24＋2＝x－1－3－1，即3x ＋2y＋1＝0.答案：3x＋2y＋1＝0直线的倾斜角与斜率自主练透型1．若经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y等于( ) A．－1 B．－3C．0 D．2解析：由k＝－3－2y－12－4＝tan3π4＝－1.得－4－2y＝2，∴y＝－3.答案：B2．(xx·青岛模拟)若ab＜0，则过点P⎝⎛⎭⎪⎫0，－1b与Q⎝⎛⎭⎪⎫1a，0的直线PQ的倾斜角的取值范围是________．解析：k PQ＝－1b－00－1a＝ab＜0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫π2，π.答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π1.在解决斜率或倾斜角的取值范围问题时，应先考虑斜率是否存在或倾斜角是否为π2这一特殊情形．2．求倾斜角α的取值范围的一般步骤是： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角α的取值范围．直线的方程分层深化型 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解析： (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0＜α＜π)， k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，适合题意； 当斜率存在时，设斜率为k ， 则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.1．求适合下列条件的直线方程．(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14倍．解析： (1)由题意，所求直线的斜率k 存在且k ≠0，设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k，令x ＝0，得y ＝2－3k ，由已知3－2k＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.2．求过点A (1，－1)与直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于点B 且|AB |＝5的直线方程． 解析： 过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点的坐标为(1,4)，此时|AB |＝5， 即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －1，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行) 则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.由已知⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.3．(xx·湖南长沙一模)过点(1,3)作直线l ，若经过点(a,0)和(0，b )，且a ∈N *，b ∈N *，则可作出的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析： 由题意得1a ＋3b＝1⇒(a －1)(b －3)＝3，又a ∈N *，b ∈N *，故有两个解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝4.答案： B在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．直线方程的综合利用互动讲练型直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程．解析： 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －4＝k (x －1)(k ＜0)．令y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫1－4k，0；令x ＝0，可得B (0,4－k )．|OA |＋|OB |＝⎝⎛⎭⎪⎫1－4k ＋(4－k )＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－k ＋4－k ≥5＋4＝9.∴当且仅当－k ＝4－k 且k ＜0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值． 这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.在本例条件下，若|PA |·|PB |最小，求l 的方程． 解析： |PA |·|PB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋16·1＋k 2＝－4k (1＋k 2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k ＋－k ≥8(k ＜0)．∴当且仅当1－k ＝－k 且k ＜0，即k ＝－1时，|PA |·|PB |取最小值． 这时l 的方程为x ＋y －5＝0.直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．A 级 基础训练1．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析： 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线 AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．答案： D2．(xx·山西太原质检)设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α，若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α＋45°，则( )A ．0°≤α≤180°B ．0°≤α<135°C ．0°≤α＜180°D ．0°＜α＜135°解析： ∵⎩⎪⎨⎪⎧0°＜α＜180°，0°≤α＋45°＜180°.∴0°＜α＜135°. ∴选D ． 答案： D3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析： 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2.当y ＝0时，x ＝a ＋2a， ∴a ＋2a＝a ＋2， 解得a ＝－2或a ＝1. 答案： D4．直线Ax ＋By －1＝0在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．A ＝3，B ＝1 B ．A ＝－3，B ＝－1C ．A ＝3，B ＝－1D ．A ＝－3，B ＝1解析： 将直线Ax ＋By －1＝0化成斜截式y ＝－A Bx ＋1B.∵1B＝－1，∴B ＝－1，故排除A ，D ．又直线3x －y ＝33的倾斜角α＝π3，∴直线Ax ＋By －1＝0的倾斜角为2α＝2π3，∴斜率－A B ＝tan 2π3＝－3，∴A ＝－3，故选B ． 答案： B5．若直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为( )A ．3x ＋4y ＋15＝0B ．x ＝－3或y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0解析： 若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线的距离为52－42＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k －32k 2＋1，解得k ＝－34，此时该直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0.答案： D6．已知m ≠0，则过点(1，－1)的直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率为________． 解析： ∵点(1，－1)在直线ax ＋3my ＋2a ＝0上，∴a －3m ＋2a ＝0，∴m ＝a ≠0，∴k ＝－a 3m ＝－13.答案： －137．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． 解析： 设直线的倾斜角为θ，依题意知，k ＝－33cos α； ∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33， 即tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π.答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π8．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析： b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值． ∴b 的取值范围是[－2,2]． 答案： [－2,2]9．已知直线过点P 1(2,3)和点P 2(1，m )，且m 满足方程m 2－4m ＋3＝0，求该直线方程． 解析： 由题意，因为m 满足方程m 2－4m ＋3＝0， 则m ＝1或m ＝3.若m ＝1，则直线方程可写为y －31－3＝x －21－2，即2x －y －1＝0；若m ＝3，则直线方程的斜率为0，直线方程可写为y ＝3.因此符合条件的直线方程为2x －y －1＝0或y ＝3.10．设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值： (1)直线l 的斜率为1；(2)直线l 在x 轴上的截距为－3.解析： (1)因为直线l 的斜率存在，所以m ≠0，于是直线l 的方程可化为y ＝－1mx ＋2m －6m .由题意得－1m＝1，解得m ＝－1.(2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.B 级 能力提升1．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析： 直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0的斜率k 1＝－a ，在y 轴上的截距为－b ；直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0的斜率k 2＝－b ，在y 轴上的截距为－a .在选项A 中l 2的斜率－b ＜0，而l 1在y 轴上截距－b ＞0，所以A 不正确．同理可排除C 、D ．答案： B2．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为__________．解析： 设所求直线的方程为x a ＋y b＝1， ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2，或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程． 答案： x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝03．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解析： (1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －3＝6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.所以直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|(－6b )·b |＝6，∴b ＝±1. ∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 4．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解析： (1)证明：证法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．证法二：设直线l 过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k (1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.第二节 两直线的位置关系1．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行．(2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．2．两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 3．三种距离公式(1)点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)间的距离： |AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22.(2)点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.常见的四大直线系方程(1)过定点P (x 0，y 0)的直线系A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0(A 2＋B 2≠0)，还可以表示为y －y 0＝k (x －x 0)(斜率不存在时可视为x ＝x 0)．(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (3)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )．(4)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案： (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√2．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析： 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.答案： A3．已知点P (－1,1)与点Q (3,5)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y －4＝0D ．x ＋y ＝0解析： 线段PQ 的中点坐标为(1,3)，直线PQ 的斜率k PQ ＝1，∴直线l 的斜率k l ＝－1，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0.答案： C4．直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________．解析： 因为两直线的交点在y 轴上，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43在第一条直线上，所以C ＝－4.答案： －45．已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为________．解析： ∵直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与直线l 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32. 答案： 32两条直线的平行与垂直自主练透型1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析： 直线2x －3y ＋4＝0的斜率是23，由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，又因直线l 过点(－1，2)，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案： A2．(xx·广东惠州二调)“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0， 即a ＝－2或a ＝1，所以“a ＝1”是“直线l 1与直线l 2平行”的充分不必要条件． 答案： A3．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析： 由题意知，l 的倾斜角为3π4，∴k ＝tan 3π4＝－1，设l 1的斜率为k 1，∴k 1＝2＋13－a ＝33－a，∵l 1与l 垂直，∴k ·k 1＝－1，∴a ＝0.又∵l 2：2x ＋by ＋1＝0与l 1平行，∴－2b＝1，∴b ＝－2，∴a ＋b ＝－2. 答案： B两直线平行、垂直的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． (2)已知两直线的一般方程两直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0中系数A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2与垂直、平行的关系：A 1A 2＋B 1B 2＝0⇔l 1⊥l 2；A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0⇔l 1∥l 2.两直线的交点分层深化型求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解析： 法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，即P (0,2)．∵l ⊥l 3，∴k l ＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. ∵l 与l 3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， ∴λ＝11，∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0， 即4x ＋3y －6＝0.1．(xx·浙江温州十校联考)过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________．解析： 联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得交点P (1，－3)．设过点P 且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为3x ＋y ＋m ＝0，则3×1－3＋m ＝0，解得m ＝0.答案： 3x ＋y ＝02．过点P (3,0)作一条直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，求此直线l 的方程．解析： 法一：设直线l 的方程为y ＝k (x －3)， 将此方程分别与l 1，l 2的方程联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －3，2x －y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －3，x ＋y ＋3＝0.解之，得x A ＝3k －2k －2和x B ＝3k －3k ＋1，∵P (3,0)是线段AB 的中点， 由x A ＋x B ＝6得3k －2k －2＋3k －3k ＋1＝6，解得k ＝8. 故直线l 的方程为y ＝8(x －3)， 即8x －y －24＝0.法二：设l 1上的点A 的坐标为(x 1，y 1)， ∵P (3,0)是线段AB 的中点，则l 2上的点B 的坐标为(6－x 1，－y 1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－y 1－2＝0，6－x 1＋－y 1＋3＝0.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝113，y 1＝163.∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫113，163，由两点式可得l 的方程为8x －y －24＝0.3．已知直线l 1：2x ＋3y ＋8＝0，l 2：x －y －1＝0，l 3：x ＋ky ＋k ＋12＝0，分别求满足下列条件的k 的值：(1)l 1，l 2，l 3相交于一点； (2)l 1，l 2，l 3围成三角形．解析： (1)直线l 1，l 2的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝02x ＋3y ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2，即直线l 1，l 2的交点为P (－1，－2)．又点P 在直线l 3上，所以－1－2k ＋k ＋12＝0，解得k ＝－12.(2)由(1)知k ≠－12.当直线l 3与l 1，l 2均相交时，有⎩⎪⎨⎪⎧2k －3≠0k ＋1≠0，解得k ≠32且k ≠－1，综上可得k ≠－12，且k ≠32，且k ≠－1.1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．2．求经过两直线交点的直线方程，利用直线系方程，会给解题带来方便． 距离问题互动讲练型已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解析： 设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2， 即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87.已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．解析： ∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0， 把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0， ∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18.故所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0. (2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为2x －4y －1＝0，∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22.故所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.求点到直线的距离时，要注意把直线方程化成一般式的形式；求两条平行线之间的距离时，可先把两平行线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可转化成点到直线距离求解．对称问题互动讲练型已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解析： (1)设A ′(x ，y )，由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M 的对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.在本例条件下，求直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．解析： 设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0. 即2x －3y －9＝0. 对称问题的解题策略解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．A 级 基础训练1．(xx·广东六校一联)如果直线(2a ＋5)x ＋(a －2)y ＋4＝0与直线(2－a )x ＋(a ＋3)y －1＝0互相垂直，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．2，－2D ．2,0，－2解析： 由题意可知(2a ＋5)(2－a )＋(a －2)(a ＋3)＝(2－a )·[(2a ＋5)－(a ＋3)]＝－(a －2)(a ＋2)＝0，解得a ＝±2，故选C ．答案： C2．已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12B ．12或－6 C ．－12或12D ．0或12解析： 依题意得|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1，∴|3m ＋5|＝|m －7|，∴3m ＋5＝m －7或3m ＋5＝7－m . ∴m ＝－6或m ＝12.故应选B ．答案： B3．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( ) A ．12 B ．－12C ．2D ．－2解析： ∵l 2，l 1关于y ＝－x 对称， ∴l 2的方程为－x ＝－2y ＋3.即y ＝12x ＋32.∴l 2的斜率为12.答案： A4．(xx·广东模拟)若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2 解析： ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)． ∴m ＋n ＝0. 答案： A5．(xx·湖北八市联考)已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M ∩N ＝∅，则a ＝( )A ．－6或－2B ．－6C ．2或－6D ．－2解析： 易知集合M 中的元素表示的是过(2,3)点且斜率为3的直线上除(2,3)点外的所有点，要使M ∩N ＝∅，则N 中的元素表示的是斜率为3且不过(2,3)点的直线，或过(2,3)点且斜率不为3的直线，∴－a2＝3或2a ＋6＋a ＝0，∴a ＝－6或a ＝－2.答案： A6．经过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程为________．解析： ∵y ′＝6x －4，∴y ′|x ＝1＝2，∴所求直线的方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.答案： 2x －y ＋4＝07．直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1,0)对称，则b ＝________. 解析： 法一：由题知，点A 不在直线x ＋2y －3＝0上， ∴两直线平行， ∴－12＝－a 4，∴a ＝2.又点A 到两直线距离相等， ∴|1－3|5＝|2＋b |25， ∴|b ＋2|＝4， ∴b ＝－6或b ＝2.∵点A 不在直线x ＋2y －3＝0上， ∴两直线不能重合， ∴b ＝2.法二：在直线x ＋2y －3＝0上任取两点P 1(1,1)，P 2(3,0)，则P 1，P 2关于点A 的对称点P 1′，P 2′都在直线ax ＋4y ＋b ＝0上，∵易知P 1′(1，－1)，P 2′(－1,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝0，－a ＋b ＝0，∴b ＝2. 答案： 28．设直线l 经过点A (－1,1)，则当点B (2，－1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为________．解析： 设点B (2，－1)到直线l 的距离为d ， 当d ＝|AB |时取得最大值， 此时直线l 垂直于直线AB ，k l ＝－1k AB ＝32， ∴直线l 的方程为y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0.答案： 3x －2y ＋5＝09．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解析： (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0. 又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b＝1－a .①又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .②联立①②可得：a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.10．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解析： 设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)． ∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×x ′＋x 2－y ′＋y2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.B 级 能力提升1．(xx·洛阳统考)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解析： 因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排除A 、B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C ，故选D ．答案： D2．(xx·四川卷)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析： 由题意可知点A 为(0,0)，点B 为(1,3)．又∵直线x ＋my ＝0的斜率k 1＝－1m，直线mx －y －m ＋3＝0的斜率k 2＝m ，∴k 1k 2＝－1.∴两条动直线互相垂直．又由圆的性质可知，动点P (x ，y )的轨迹是圆， ∴圆的直径为|AB |＝12＋32＝10. ∴|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝|AB |22＝5.当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立． ∴|PA |·|PB |的最大值是5.答案： 53．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解析： (1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，解得λ＝2或λ＝12. ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． ∴d max ＝|PA |＝10.4．A ，B 两个工厂距一条河分别为400 m 和100 m ，A ，B 两工厂之间距离500 m ，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供A ，B 两工厂用水，要使供水站到A ，B 两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？解析： 如图，以小河所在直线为x 轴，过点A 的垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点A (0,400)，点B (a,100)．过点B 作BC ⊥AO 于点C ．在△ABC 中，AB ＝500，AC ＝400－100＝300， 由勾股定理得BC ＝400， ∴B (400,100)．点A (0,400)关于x 轴的对称点A ′(0，－400)， 由两点式得直线A ′B 的方程为y ＝54x －400.令y ＝0，得x ＝320，即点P (320,0)．故供水站(点P)在距O点320 m处时，到A，B两厂铺设的水管长度之和最短．第三节圆的方程1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b)，半径：r 一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2，半径：12D2＋E2－4F点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.1．待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4F ＞0.( )(3)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( ) 答案： (1)√ (2)√ (3)√2．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A ．14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析： 由D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4－20m ＞0， 解得m ＞1或m ＜14，故选B ．答案： B3．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞1或a ＜－1 D ．a ＝±1解析： ∵点(1,1)在圆内，∴(1－a )2＋(1＋a )2<4，即－1＜a ＜1. 答案： A4．圆(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0的圆心坐标为________． 解析： 整理配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝454，所以圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 5．(xx·陕西卷)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为____________．解析： 因为(1,0)关于y ＝x 的对称点为(0,1)，所以圆C 是以(0,1)为圆心，以1为半径的圆，其方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案： x 2＋(y －1)2＝1确定圆的方程自主练透型1．(xx·山东潍坊一模)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4解析： 因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，选D ．答案： D2．过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43的圆的方程为________________．解析： 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.① 将P ，Q 点的坐标分别代入①得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20， ②D －3E －F ＝10. ③令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0.④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1、y 2是方程④的两根， 所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.⑤ 解②③⑤组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. 答案： x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.3．已知圆心为C 的圆经过点A (0，－6)，B (1，－5)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆的标准方程．解析： 法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－62－6E ＋F ＝012＋－52＋D －5E ＋F ＝0，D －E －2＝0消去F 得⎩⎪⎨⎪⎧D ＋E －10＝0D －E －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6E ＝4，代入求得F ＝－12，所以圆的方程为x 2＋y 2＋6x ＋4y －12＝0， 标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 法二：因为A (0，－6)，B (1，－5)， 所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－112，直线AB 的斜率k AB ＝－5－－61－0＝1，因此线段AB 的垂直平分线l 的方程是y ＋112＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即x ＋y ＋5＝0.圆心C 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0x －y ＋1＝0的解，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝－2，所以圆心C 的坐标是(－3，－2)． 圆的半径长r ＝|AC |＝0＋32＋－6＋22＝5，所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 . (2)待定系数法：若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值．与圆有关的最值问题分层深化型 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值．解析： 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3(如图1)．所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图2)． 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.1．已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________．解析： 设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值．由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33. 答案：33 －332．若本例中的条件不变．(1)求点P (x ，y )到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值． (2)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解析： (1)∵圆心(2,0)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为d ＝|6＋12|5＝185， ∴P (x ，y )到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值为185＋3，最小值为185－ 3. (2)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．。
2022新高考大一轮复习第八章直线的方程(格式)
§8.1 直线的方程（挖空）删掉后边黑色背景1．直线的方向向量设A ，B 是直线上的两点，则AB →就是这条直线的方向向量． 2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴作为基准， 与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α(α≠90°)． (2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，其斜率k ＝y2－y1x2－x1.4．直线方程的五种形式微思考（删除）1．直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？ 提示 不对．设直线的倾斜角为α，斜率为k .2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．题型一 直线的倾斜角与斜率（去掉背景，左对齐，空格2字符） 例1 (1)已知两点A (－1,2)，B (m,3)，且m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π6，π2 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3C.⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3 答案 D解析 ①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，∵k ＝1m ＋1∈(－∞，－3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， ∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3. 综合①②知直线AB 的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.(2)(2020·安阳模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12答案 D解析 直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2,1)， ∵k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12， 又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交， ∴－2≤k ≤12.（引申改为例题，补充完整，题号顺延）本例(2)直线l 改为y ＝kx ，若l 与线段AB 相交，则k 的取值范围是 ． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[3，＋∞) 解析 直线l 过定点P (0,0)， ∵k P A ＝3，k PB ＝12，∴k ≥3或k ≤12.思维升华 （都删除）(1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法．(2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k ＝tan α的单调性． 跟踪训练1 (1)(2021·宿州模拟)若图中直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2 答案 D解析 因为直线l 2，l 3的倾斜角为锐角，且直线l 2的倾斜角大于直线l 3的倾斜角，所以0<k 3<k 2.直线l 1的倾斜角为钝角，斜率k 1<0，所以k 1<k 3<k 2.(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 ． 答案 (－∞，－3 ]∪[1，＋∞) 解析 如图所示，当直线l 过点B 时，k 1＝3－00－1＝－3.当直线l 过点A 时，k 2＝1－02－1＝1，∴要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3 ]∪[1，＋∞)．题型二 求直线的方程例2 (1)(2021·荆门期末)经过点P (2，－3)，且倾斜角为45°的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋5＝0 D ．x －y －5＝0答案 D解析 倾斜角为45°的直线的斜率为tan 45°＝1，又该直线经过点P (2，－3)，所以用点斜式求得直线的方程为y ＋3＝x －2，即x －y －5＝0.（2）已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －3y －2＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y －6＝0 答案 D解析 设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k ′＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3，又点M (2,0)，所以y ＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0.3．经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v ＝(－3,2)的直线方程为 ． 答案 2x ＋3y －5＝0解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，解得x ＝1，y ＝1，∴直线过点(1,1)，∵直线的方向向量v ＝(－3,2)， ∴直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.4．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为 ． 答案 x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 解析 由题意可设直线方程为x a ＋y b ＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. 思维升华 (1)求直线方程一般有以下两种方法：①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程．②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程．(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用．题型三 直线方程的综合应用命题点1 直线过定点问题（保留）例2 已知k ∈R ，写出以下动直线所过的定点坐标： (1)若直线方程为y ＝kx ＋3，则直线过定点 ；(2)若直线方程为y ＝kx ＋3k ，则直线过定点 ； (3)若直线方程为x ＝ky ＋3，则直线过定点 ． 答案 (1)(0,3) (2)(－3,0) (3)(3,0)解析 (1)当x ＝0时，y ＝3，所以直线过定点(0,3)． (2)直线方程可化为y ＝k (x ＋3)，故直线过定点(－3,0)． (3)当y ＝0时，x ＝3，所以直线过定点(3,0)． 命题点2 与直线有关的多边形面积的最值例3 已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程． 解 方法一 设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)， 则可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )．∵与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k －1k >0，1－2k>0⇒k <0.于是S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·2k －1k ·(1－2k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4－1k －4k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ·－4k＝4. 当且仅当－1k ＝－4k ，即k ＝－12时，△AOB 面积有最小值为4，此时，直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二 设所求直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则2a ＋1b ＝1.又∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab ≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4.此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1.本例中，当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程．解 方法一 由本例知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)．∴|MA |·|MB |＝1k2＋1·4＋4k2 ＝21＋k2|k|＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－k＋1－k≥4. 当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二 由本例知A (a ,0)，B (0，b )，a >0，b >0，2a ＋1b ＝1.∴|MA |·|MB |＝|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.思维升华 (1)直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征，对照得到定点坐标． (2)求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．跟踪训练2 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．(1)证明 直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2,1)．(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k>0，解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·1＋2k 2k＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，8∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.课时精练删除，选择填空不留空，解答题留空）1．(2020·清远期末)倾斜角为120°且在y 轴上的截距为－2的直线方程为( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝－3x －2 C ．y ＝3x ＋2 D ．y ＝3x －2答案 B解析 斜率为tan 120°＝－3，利用斜截式直接写出方程，即y ＝－3x －2.2．(2021·菏泽模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a 等于( ) A ．1±2或0 B.2－52或0C.2±52D.2＋52或0答案 A解析 由题意知k AB ＝k AC ，即a2＋a 2－1＝a3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1±2.3．(2020·广东七校联考)若过点P (1－a ,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,1) B ．(－1,2)C ．(－∞，0)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案 A解析 由题意知2a －1－a 3－1＋a <0，即a －12＋a<0，解得－2<a <1.4．(2021·北京丰台区模拟)若直线y ＝ax ＋c 经过第一、二、三象限，则有( ) A ．a >0，c >0 B ．a >0，c <0 C ．a <0，c >0D ．a <0，c <0答案 A解析 ∵直线y ＝ax ＋c 经过第一、二、三象限， ∴直线的斜率a >0，在y 轴上的截距c >0.5．直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3 答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.6．(多选)在下列四个命题中，错误的有( ) A ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B ．直线倾斜角的取值范围是[0，π)C ．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α 答案 ACD解析 对于A ，当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，∴A 错误； 对于B ，直线倾斜角的取值范围是[0，π)，∴B 正确；对于C ，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，∴C 错误； 对于D ，一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在，D 错误． 故选ACD.7．(多选)若直线过点A (1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．2x －y ＝0D ．x －y －1＝0答案 ABC解析 当直线经过原点时，斜率为k ＝2－01－0＝2，所求的直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x ±y ＝k ，把点A (1,2)代入可得1－2＝k ，或1＋2＝k ， 求得k ＝－1，或k ＝3，故所求的直线方程为x －y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0. 综上知，所求的直线方程为 2x －y ＝0，x －y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0.8．(多选)垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是( ) A ．4 B ．－4 C ．3 D ．－3答案 CD解析 设直线方程是4x ＋3y ＋d ＝0，分别令x ＝0和y ＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－d 3，－d 4，所以6＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 3×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 4＝d224.所以d ＝±12，则直线在x 轴上的截距为3或－3.9．直线l 过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 011，b )在l 上，则b 的值为 ． 答案 2 023解析 直线l 的方程为y －－15－－1＝x －－12－－1，即y ＋16＝x ＋13，即y ＝2x ＋1. 令x ＝1 011，得y ＝2 023，∴b ＝2 023.10．设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，若直线l 的斜率为－1，则k ＝ ；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k ＝ . 答案 5 1解析 因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5.直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1.11．已知三角形的三个顶点A (－5,0),B (3，－3)，C (0,2),则BC 边上中线所在的直线方程为 ．答案 x ＋13y ＋5＝0解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y＋5＝0.12．(八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________． 答案 13，－3解析 方法一 设正方形一边所在直线的倾斜角为α，其斜率k ＝tan α.则其中一条对角线所在直线的倾斜角为α＋π4，其斜率为tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4.依题意知：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2， 即tan α＋tanπ41－tan α·tanπ4＝tan α＋11－tan α＝2，∴tan α＝13， ∴正方形一边的斜率k ＝13，可知相邻一边所在直线的斜率为－3.方法二 正方形两条相邻边与对角线的夹角为 π4，设正方形的边所在直线的斜率为k ，则由夹角公式得tan π4＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －21＋2k ⇒k ＝13或k ＝－3.13．已知P (－3,2),Q (3,4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ →的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点)，则a 的取值范围是 ． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－13解析 直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A (0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：k PQ ＝13，k AQ ＝73，k l ＝－a .若l 与PQ 延长线相交，由图可知k PQ <k l <k AQ ，解得－73<a <－13.14．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1nn ＋1(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线xn ＋1＋yn ＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为 ． 答案 45 解析 由a n ＝1nn ＋1可知a n ＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又知S n ＝910，所以1－1n ＋1＝910，所以n ＝9.所以直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45.15．(多选)已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R )，则下列命题正确的是( ) A ．直线的倾斜角是π－αB ．无论α如何变化，直线不过原点C ．直线的斜率一定存在D ．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 答案 BD解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R ，所以A 不正确；当x ＝y ＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B 正确；当α＝π2时，直线斜率不存在，C 不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－sin α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－cos α＝1|sin 2α|≥1，所以D 正确．16.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程是 ．答案 (3＋3)x －2y －3－3＝0 解析 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0·－3n －1＝n －0·m －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0),所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。
2021-2022年高考数学一轮复习第八章解析几何第三节圆的方程习题理
2021年高考数学一轮复习第八章解析几何第三节圆的方程习题理[基础达标]一、选择题(每小题5分,共30分)1.如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于y=x对称,那么必须有()A.D=EB.D=FC.E=FD.D=E=F1.A【解析】由已知可得圆心在直线y=x上,则D=E.2.已知动点M到定点(8,0)的距离等于M到(2,0)的距离的2倍,那么动点M的轨迹方程是() A.x2+y2=32 B.x2+y2=16C.(x-1)2+y2=16D.x2+(y-1)2=162.B【解析】设M(x,y),则=2,化简得x2+y2=16.3.已知圆心在x轴上,半径是5,且以A(5,4)为中点的弦长是2,则这个圆的标准方程是()A.(x-3)2+y2=25B.(x-7)2+y2=25C.(x±3)2+y2=25D.(x-3)2+y2=25或(x-7)2+y2=253.D【解析】由圆的几何性质求得圆心C到点A的距离为2,设C(a,0),则(a-5)2+16=20,解得a=3或7,所以这个圆的标准方程是(x-3)2+y2=25或(x-7)2+y2=25.4P,Q分别为直线x-y=0和圆x2+(y-6)2=2上的点,则|PQ|的最小值为()A.2B.3C.4D.44.A【解析】利用圆的几何性质求解.圆心(0,6)到直线x-y=0的距离为=3,圆的半径为,则|PQ|min=3=2.5C经过(1,0),(3,0)两点,且与y轴相切,则圆C的方程为() A.(x-2)2+(y±2)2=3 B.(x-2)2+(y±)2=3C.(x-2)2+(y±2)2=4D.(x-2)2+(y±)2=45.D【解析】因为圆C经过(1,0),(3,0)两点,所以圆心必在这两点连线的垂直平分线上,故圆心可设为(2,b),而圆与y轴相切,故r=2,于是圆的方程为(x-2)2+(y-b)2=4,代入点(1,0)可得b=±,即圆的方程为(x-2)2+(y±)2=4.6.若坐标原点在圆(x-m)2+(y+m)2=4的内部,则实数m的取值范围是()A.-1<m<1B.- <m<C.- <m<D.- <m<6.C【解析】由题意可得(0-m)2+(0+m)2<4,即2m2<4,解得-<m<.二、填空题(每小题5分,共20分)7.若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则实数a的值为.7.-1【解析】令a2=a+2得a=-1或2,代入方程验证得a=-1.8C的圆心C在直线x-2y-1=0上,且圆C经过两点A(0,4),B(2,2),则圆C的方程为.8.(x+5)2+(y+3)3=74【解析】由圆心C在直线x-2y-1=0上,可设C(2m+1,m),圆C经过两点A(0,4),B(2,2),则CA=CB,即(2m+1)2+(m-4)2=(2m-1)2+(m-2)2,解得m=-3,则圆心C(-5,-3),半径为,圆C的方程为(x+5)2+(y+3)2=74.9O的方程是x2+y2-8x-2y+10=0,则过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是.9.x+y-3=0【解析】圆O的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=7,因为最短弦所在的直线为过点M且与OM垂直的直线,又k OM=1,则最短弦的斜率为-1,方程为x+y-3=0.10C的半径为1,圆心在第一象限且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是.10.(x-2)2+(y-1)2=1【解析】设圆心C(a,1),a>0,圆C的半径为1,与直线4x-3y=0相切,则d==1,a>0,解得a=2,所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.三、解答题(共20分)11.(10分C过两点A(0,4),B(4,6),且圆心在直线x-2y-2=0上.(1)求圆C的标准方程;(2)求直线l:15x+8y=0被圆C的截得的弦长.11.【解析】(1)由已知可得线段AB的垂直平分线为2x+y-9=0,联立方程解得则圆心C(4,1),半径r==5,故所求圆C的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=25.(2)圆心C到直线l的距离d==4,所以弦长为2=6.12.(10分)(xx·江苏淮安中学月考)已知圆O:x2+y2=4.(1)直线l1: x+y-2=0与圆O相交于A,B两点,求|AB|;(2)如图,设M(x1,y1),P(x2,y2)是圆O上的两个动点,点M关于原点的对称点为M1,点M关于x 轴的对称点为M2,如果直线PM1,PM2与y轴分别交于(0,m)和(0,n),问m·n是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.12.【解析】(1)由于圆心O(0,0)到直线x+y-2=0的距离d=,圆的半径r=2,故|AB|=2=2.(2)由于M(x1,y1),P(x2,y2)是圆O上的两个动点,则可得M1(-x1,-y1),M2(x1,-y1),且=4, =4.由已知可得直线PM1的方程为,令x=0,得y=m=,直线PM2的方程为,令x=0,得y=n=.故m·n==4,显然为定值.[高考冲关]1.(5分)已知直线ax+by+c-1=0(bc>0)经过圆x2+y2-2y-5=0的圆心,则的最小值是()A.9B.8C.4D.21.A【解析】因为圆x2+y2-2y-5=0的圆心(0,1)在直线ax+by+c-1=0(bc>0)上,所以b+c=1,b>0,c>0,则 (b+c)=5+≥5+2=9,当且仅当b=,c=时取等号,故的最小值是9.2.(5分)过圆x2+y2=4外的一点P(4,2)作圆的两条切线,切点为A,B,则△PAB的外接圆方程为() A.(x-4)2+(y-2)2=5 B.(x-2)2+(y-1)2=20C.(x-4)2+(y-2)2=20D.(x-2)2+(y-1)2=52.D【解析】设圆x2+y2=4的圆心为点O,则△PAB的外接圆即为四边形OAPB的外接圆,也即以OP为直径的外接圆,所以圆心坐标为(2,1),半径r=|OP|=,所以△PAB的外接圆方程为(x-2)2+(y-1)2=5.3.(5分)(xx·合肥质检)过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA,OB,若在该圆上存在一点C,使得=a+b (a,b∈R),则以下说法正确的是()A.点P(a,b)一定在单位圆内B.点P(a,b)一定在单位圆上C.点P(a,b)一定在单位圆外D.当且仅当ab=0时,点P(a,b)在单位圆上3.B【解析】设A,B分别是单位圆与x,y轴正方向的交点,则A(1,0),B(0,1),则C(a,b),又点C在圆上,则a2+b2=1,即点P(a,b)一定在单位圆上.4.(5分)(xx·黑龙江佳木斯一中调研)已知实数x,y满足x2+y2-4x+6y+12=0,则|2x-y-2|的最小值是()A.5-B.4-C. -1D.54.A【解析】圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=1,|2x-y-2|=,表示圆上的点(x,y)到直线2x-y-2=0的距离的倍.又圆心(2,-3)到直线2x-y-2=0的距离为,则|2x-y-2|的最小值是×(-1)=5-.5.(5分)若x,y满足x2+y2-4x-6y+12=0,则x2+y2的最小值为.5.14-2【解析】点(x,y)在圆(x-2)2+(y-3)2=1上,故点(x,y)到原点的距离的平方即为x2+y2,最小值为(-1)2=14-2.6.(5分)(xx·湖南长郡中学一模)圆心在曲线y= (x>0)上,且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为.6.(x-1)2+(y-2)2=5【解析】设圆心P (x>0),点P到直线2x+y+1=0的距离d=,当且仅当2x=,即x=1时,r min=,∴圆心P(1,2),面积最小的圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.7.(10分)已知圆M经过A(1,-2),B(-1,0)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为2.(1)求圆M的方程;(2)若P为圆内一点,求经过点P且被圆M截得的弦长最短时的直线l的方程.7.【解析】(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0,则圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D;令x=0,得y2+Ey+F=0,则圆在y轴上的截距之和为y1+y2=-E;由题意有-D-E=2,即D+E=-2,又A(1,-2),B(-1,0)两点在圆上,则解得故所求圆M的方程为x2+y2-2x-3=0.(2)由(1)知,圆M的方程为(x-1)2+y2=4,圆心为M(1,0).当直线l过定点P且与过此点的圆的半径垂直时,l被圆截得的弦长最短,此时k PM=,则k l=-=-2,于是直线l的方程为y-=-2(x-2),即4x+2y-9=0.8.(10分)(xx·徐州质检)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-3,4),B(9,0),C,D分别为线段OA,OB上的动点,且满足AC=BD.(1)若AC=4,求直线CD的方程;(2)证明:△OCD的外接圆恒过定点(异于原点O).8.【解析】(1)因为A(-3,4),所以OA==5,又因为AC=4,所以OC=1,所以C,由BD=4,得D(5,0).所以直线CD的斜率为=-,所以直线CD的方程为y=- (x-5),即x+7y-5=0.(2)设C(-3m,4m)(0<m≤1),则OC=5m.则AC=OA-OC=5-5m,因为AC=BD,所以OD=OB-BD=5m+4,所以D点的坐标为(5m+4,0)又设△OCD的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有解得D=-(5m+4),F=0,E=-10m-3,所以△OCD的外接圆的方程为x2+y2-(5m+4)x-(10m+3)y=0,整理得x2+y2-4x-3y-5m(x+2y)=0.令所以 (舍)或所以△OCD的外接圆恒过定点(2,-1).。
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2021年高考数学大一轮复习板块命题点专练八文命题点一 数列的概念及表示命题指数：☆☆☆☆难度：中、低题型：选择题、填空题2．(xx·全国卷Ⅱ)数列 {a n }满足 a n ＋1＝1－a n，a 8＝2，则a 1 ＝________．解析：将a 8＝2代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 7＝12；再将a 7＝12代入a n ＋1＝11－a n，可求得a 6＝－1；再将a 6＝－1代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 5＝2；由此可以推出数列{a n }是一个周期数列，且周期为3，所以a 1＝a 7＝12．答案：123．(xx·安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22．过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________．解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14． 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14．答案：14命题点二 等差数列与等比数列命题指数：☆☆☆☆☆难度：中、低题型：选择题、填空题、解答题n 10100A ．100 B ．99 C ．98D ．97解析：选C 法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3．又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98．故选C ． 法二：∵{a n }是等差数列，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3．在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5． 故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98．故选C ．2．(xx·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：选A ∵a 1＋a 5＝2a 3，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3， ∴a 3＝1， ∴S 5＝5a 1＋a 52＝5a 3＝5，故选A ．3．(xx·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84解析：选B ∵a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21， ∴3＋3q 2＋3q 4＝21．∴1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2或q 2＝－3(舍去)． ∴a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42．4．(xx·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A ．172B ．192C ．10D ．12解析：选B ∵{a n }的公差为1， ∴S 8＝8a 1＋8×8－12×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6． 又∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192．5．(xx·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1．∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1．又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n．答案：－1n6．(xx·全国乙卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0．(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14．(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)． 因此{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12． 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1．7．(xx·全国甲卷)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35.当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35＜2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2≤2n ＋35＜3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35＜4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4≤2n ＋35＜5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.8．(xx·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3． (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3．②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2．又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3． 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为a n ＝2n ＋1． (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3．设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n32n ＋3．9．(xx·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1， 则a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1．两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1． 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ．(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1． 由(1)知，a 3＝λ＋1． 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4．故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1．所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2．因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．命题点三 数列的综合应用命题指数：☆☆☆难度：高、中题型：解答题1．(xx·天津高考)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且a 1－a 2＝a 3，S 6＝63．(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q ． 由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q2，解得q ＝2或q ＝－1．又由S 6＝a 1·1－q61－q ＝63，知q ≠－1，所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1．所以a n ＝2n －1．(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n)＝n －12， 即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列．设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n ) ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2nb 1＋b 2n2＝2n 2．2．(xx·四川高考)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q ＞0，n ∈N *．(1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e 21＋e 22＋…＋e 2n ．解：(1)由已知S n ＋1＝qS n ＋1，得S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1．又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1，n ∈N *都成立．所以数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． 从而a n ＝qn －1．由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3，所以a 3＝2a 2，故q ＝2．所以a n＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)可知a n ＝qn －1，所以双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q2n －1．由e 2＝1＋q 2＝2，解得q ＝3， 所以e 21＋e 22＋…＋e 2n＝(1＋1)＋(1＋q 2)＋…＋[1＋q 2(n －1)]＝n ＋[1＋q 2＋…＋q2(n －1)]＝n ＋q 2n －1q 2－1＝n ＋12(3n －1)．。