2020年河南省郑州市高考数学第三次质量预测试卷（文科）（三模）

一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
I.(5 分)已知集合A = {1, 2, 4, 8}, 3={)*=log 小.正A},则 AC1B=(
A. {1, 2}
B. {0, 1, 2, 3}
C. {L 2, 3}
D. {().3}
【解答】解：A = {1, 2, 4, 8}, B={0,1, 2, 3}；
•.•AC8={1, 2).
故选：
2.（5分）己知复数z 满足（2・D z=l+2/3为虚数单位），则z 的虚部为（A. 1
B. - 1
C. 0
D. /
)
【解答】解：由（2・i ） z=l+2n
l+2i (l+20(2+i) Si 得2 =打=(2r)(2+i) =5='
则Z 的虚部为1.
故选：A.
3.（5分）函数y=A- - 2lr, （.veR ）的部分图象可能是（
【解答】解：显然原函数是偶函数，立即排除D.取x=0,则），排除A・
故选：C.
4.（5分）在△A8C 中，角A, B, C 所对的边分别为s b 9c 若=c ・ bcosA .则
7T A.—
6
7T B.-47T c.—
3n D・—
12
【解答】解:•/v ；3</sinB=c - bcos4,
角B 等于（
)
由正弦定理可得：V^sia4sinB=sinC - sinFcosA.
/. V3sia4sinB+sinBco5i4 = sinC,
VsinC=s in(A+B)=sin/lcosB+coSsinB,
/.V3sin4sin5=siMcosB，
VsinA^O.
.•.V5sinB=cos8，可得taiiB=孕,
VBE(0.n).
••・b=m
故选：
5.（5分）两个非零向量b满足诺+刎=福一州=2局,则向量b与，方夹角为（
5 A.一7T
6
n
B.-
6
2
C.-7T
3
n
D.-
3
【解答】解：•.•两个非零向量"，E满足馈+；1=苻一；1=2赤如图.
设OA=a.OB=b.贝lj OC=a+b9BA=a—b9
则四边形OAC8为矩形BA=2OA.OB=yj^OA.
设向量b与a-b夹角为S则NOBA=n・。

，
Acos(n-0)=需=孕，An-0=9=举,
DA L。

6.（5分）下列说法正确的是（）
A.命题p.g都是假命题.则命题LpNq”为苴命题
B.将函数y=sin2A的图象I：所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到y=sin4x
C. VcpeR.函数y=sin（lv+<p）都不是奇函数
D.函S（/（x）=sm（2x-j）的图象关于直线』=普对称
【解答】解：选项A,因为〃是假命题.所以">是真命题.但g是假命题，所以命题“「
pAg ”为假命题，即A 错误；
选项B.将函数y=sin2r 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到y=siiu.即
8错误：
选项G 例如，当叩=0时，函数y=sin2t.是奇函数，即C 铠误；
选项D, /•（窖）=sin （2x 零—?）= si 昭=1,所以其图象关于直线人=翌对称，即。

正确.故选:D.
7. （5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1・粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三
）
棱锥的外接球的体枳为（
• • 4 1 ■• II 00
•
;:: • ••• e • 1< • «
It ：］—1
• ••I .一
r !
十!
1，•・1r
■
•A. v^6n B
Sx/fin:
C. 32归n
D. 64v©n
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图如图所示：
A
该几何体为三棱锥体- BCD.所以几何体的外接球的半径设为r,
WO ： （2r ） 2=42+22+22.解得 r=屈,
所以§ X 7T X （\/Z ）3 = 8V&7T ,
故选：B.
8. （5分）巳知直线y=kx+m 以V 。

）与抛物线C ：寸=&及其准线分别交于8两点，F
为抛物线的焦点，若2FA=AB.则〃，等于（
）
A.侑
B. 2归
C. 2^2
D. 2而
【解答】解：因为2F4 = /B,
所以点A. B, F 共线，
所以直线），=灯+，〃经过抛物线y 1
2 = 8x 的焦点F （2, 0）,1
C. 0 1)
所以 2k+m=09 m= - 2k 因为抛物线的准线为工=・2,
所噬京+m 得"-2,・2A+m), IW B (・2, -O
因为房1 =&,
所以魔二:二广解得所以 2 （必-2.方）=（-2 -以，-4k -）”），
2
为=孑
一4土’
",
将点A 的坐标代入抛物线方程得：（-琴）2=8x |解得 k= -V3 UV0）,
所以w=・2k =・2 （一有）=2x/3.故选：B.
9. （5分）若函数f （x ） =,
3 X + 2af X>0 在(・8, +8)上是单调函数，则“
0 — 1)* + 3。

一2, x<0
的取值范围是（
A. |1, +8)
B. (1, 3)
D・(1, 2]
【解答】解：当x>0时,f 答）=F・x+2u, :.f （x ） =/- 1 >0在（0, +8）上恒成
立，即/（a ）任<0. +8）上单调递增.又・.•函数/（x ）在（-8, +8）上是单调函数,
••• Q-1X .，解得 1V〃W3. l3a-2 < e° + 2a
故选：B.
10. （5分）若将函数/（a ） =cos （2x+<p ）的图象向右平移巳个单位长度，得到函数& （x ）
6
的图象，旦g （x ）的图象关于原点对称，则kpl 的最小值为（
n ・3
7T A.—
627T C T
57T D.——
6
【解答】解：将函数/（x ） =cos （2x+<p ）的图象向右平移三个单位长度,
得到函数g <.¥)=cos(2v-j+<p)的图象，
,:g(A)的图象关于原点对称，...一§+叩=如+§keZ.
令k=・I,可得Icpl的最小值为二
6
故选：A.
11.(5分)设函数/(x)是奇函数/(x)<a GR)的导函数，当妇>0时，xgf(x)<-/
2
(x)，则使得(x-1)/(.r)>0成立的x的取值范围是()
A.(-1.0)U(0,1)
B.(・8,- 1)u(1.+8)
C・(・ 1,0)U(1,+8) D.(・8.- 1)u(°,1)
【解答】解：根据题意，设g(x)=hix・f3(x>0),
其导数妒(x)=(//«)*fix')+hixf(a)=(x)+/«V(x),
又由当x>0时，f(x>xlnx+f(x) VO.
则有&'(X)=》(x)+inxf f(x)<0,
即函数g(X)在(0,+8)上为减函数，
又由&(1)=加1・/(1)=0,
则在区间(0，1)上，g(X)=lnx-f(x) >0.
又由lnx<0.则f(x)<0,
在区间(1，+8)上，g(x)=hix・f(x)VO,
又由加x>0,则f(x)<0,
则/(X)在(0,1)和(1,+8)上，f(x) VO,
又由/Cr)为奇函数.则在区间(・1,0)和(・8,・1)上，都有/(「>0. -1)/(x)>0=>me；1<0<0
解可得：XV-1或OVxVl,
则X的取值范围是(・8,- 1)U(0.1).
故选：D.
12.(5分)如留，已知双曲线%—号=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Fi,Fi,
过凡的直线/与双曲线C左.右两支交于点8. A.若△ABFi为正三角形，则双曲线C 的渐近线方程为()
y
A.y=±V2.v
B.y=±V3.v D・y=±\<6.r
【解答】解：设AB=BFi=AFi=nu
根据双曲线的定义可知：BFr BFi=2u.即m+AF2-m=AF2=2u.
且AF]・AF2=M,即m-2a=2ib所以m=4a.则BF z=&l
在△"也中.COS5时2=BF】2+B F】2-F*16/+36Q2一疽1
2-4a-6a2*
2BF v BF2
整理得c2=7a29所以h2=c2-a2=6u2.
则b=d所以渐近线方程为y=土、镇,
故选：D.
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
x-y+4>0
13.（5分）已知s y满足约束条件x+2y>0.则z=3.v+y的最大值为
x£l
【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
由z=3.r+y得：y=-3x+z,
将直线y=-3.v向上平移，
可知当直线经过点A<1.5）时，y=・3x+z的截距取得最大值，z的最大值，w=3X 1+5=8,
故答案为：8.
14.（5分）某车间将10名工人平均分成甲.乙两组加工某种零件.在单位时间内每个工人
加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两蛆工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20,则g=11.
甲组
8~7 w20
乙组
n~9~
012 2
【解答】解：甲组工人任单位时间内加工的合格零件数的平均数为20,
即珥=§(17+18+2O+/n+2O+22)=20.
解得m=3；
乙组工人在单位时间内加工的合格零件数的平均数为10.
即=£(10+〃+19+20+21+22)=20.
J□
解得〃=8.
故
故答案为：11.
sin2C
15J5分）在△A8C中，所对的边分别为"、（•二<C<-•上一一-----------,
32a—b sinA—sin2C 〃=2,则sinB=则/?=_V6_.
【就答】解：=.翌C
q—b sinA—sin2C
:.bsinA・Z>sin2C=asin2C・tsin2C,
/.bsinA=“sin2C・由正弦定理可得:sinfisinA=sinAsin2Ct
•.•siMHO.
\sinB=sin2C,
..可得 B=2C,或 B+2C=n,
.•若B=2C,由于<C<p 可得等 可得B+C>n (舍去)，
.•B+2C=m 可得A=G 可得：〃=c=2,
.•？ «V* y <4+CVn,
，•由sinB=弓^.可得cos8=
\ 由余弦定理可得 b= \fa 2 + c 2 - 2acc o s B = j4+4-2X2X2x| = V6.
故答案为：y/6.
16. （5分）设数列｛而｝的前n 项和为Sn,已知“1=3,对任意的正整数«满足5n+i =
日.cos(n —2)n
5/H --------- (2n - 1) ancin±\+iim 贝U ai9=
3
17—'
【解答】解？ ..•队|=&+
°顽；一2）、（2〃- 1）
• f c cos(n-2)n
. .斗+1 - &=---5----( 2〃 - 1) a n a n ^i+un^
• cos(n-2)n
••"/r+1-----3---- * 2；? - 1)(如01+1+〃”，
•
cos(n-2)zr ,今 ［、
. •血+1 - an=----j ----(2〃 - 1 ) 血s+1，
1 cos(n —2)n
(2n- 1)：a n+l
—土=lx 竺尹1 =
a 2 51 c cosO 3------=3X^—= w ；a 2 a 3 s n
a i
35
.1
«n
1j 上—土 =5x 籍a 3 口4 §
5
一
3
1
鱼8
土 =35x 竺拦 a “ 3
•.上— 土 =_土 + 七旦+…+(_ 事 +¥=
-】+3-5+..；31-33+35 =孚
a t a 19 3 3 3 3 3 3
3
18
=—=>a\9= a 19 3
故答案为：一亮
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21藏为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题；共60分
17.（12分）已知数列｛“；,｝是首项“i=四=点的等比数列，设h n=-2-31。

睥〃（〃6N*）.
（I）求数列（如｝的通项公式；
（II）记Cn=异一，求数列（Cn）的前〃项和斗.
如％1
【解答】解：（1）由。

4=忐，"=若=吝，
•••q=土
所以％=（加如=-2-3如’（珈=3n-2.
⑵由⑴，^c n=bn^+i=（3n-2X3n+l）=-
s=L（i二+K「..・+______）=亳__）=工
n3〔4丁 47T T3n-23“+"3〔3n+l J3n+l'
所以数列｛%｝的前〃项和S『亮.
18.<12分）2019年郑开国际马拉松比赛，于2019年3月31日在郑州、开封举行.某学校
本着“我运动，我快乐，我锻炼，我提高”精神，枳极组织学生参加比赛及相关活动，为了了解学生的参与情况，从全校学生中随机抽取了150名学生，对是否参与的情况进行了问卷调查，统计数据如表：
会参与不会参与
男生6040
女生2030（/）根据如表说明，能否有97.5%的把握认为参与马拉松择事与性别有关？
（II）现从参与问卷调查且参与赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人参加2019年马拉松比赛志愿者宣传活动
（/）求男、女学生各选取多少人；
（n）若从这8人中随机选取2人到校广播站开展2019年赛事宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率.
附：胸成）"其中〃=“+"十』
P(K?N知)
加0.10().050.0250.01
2.706
3.841 5.024 6.635
0.005
7.879
【解答】解：⑴因为疝=1S?毅薰嚣携"Q S.357>5.024,
所以有97.5%的把握认为参与乌拉松赛事与性别有关;
（2）（i）根据分层抽样方法得，男生有8x|=6（人），女生有2人,
所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人:
（ii）设抽取的6名男生分别为A,B,C>D,E,F；2名女生为s公
分别记为:
从中抽取两人.
(A.8),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A.〃),
(B,C),(、B,D).(8,E),(B,F),(8,〃)，(B,b),
(C,D),(C,£),(C.F),(C,】)，(C,b),
(D,E),(D,FE,(D,〃)，(D,b).
(E,F),(£,■),(E,b).
(F.〃），（F,》），（〃，b）共28种情形；
其中2男的共15种情形,
(A,b).
所以所求的概率值为p=lj.
19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，ZFCD=120°,
侧而PABL底面ABCD.PB=2\r2.AB=AC=PA=2.
（I）求证：BDL而/MC：
（1【）过AC的平面交PD于点材，若V a/pac=^p acd.求三棱锥P・AMB的体枳.
.\ZR4P=90°,则PAA.AB.
又侧面7M81底面ABCD,而用8CjfitABCD=AB,24u面/M8,
:.PAL^ABCD.
•.•8Du而A8CD.^PALBD,
又VZfiCD=120°.ABCD为平行四边形，
则匕ABC=6(T,又AB=AG
则/M8C为等边三角形，可得ABCD为菱形，则BDA.AC,
又刖CMC=A,:.BDL面P4C：
（II）解：由得M为PB中点,
由（I）知.A8CZ）为菱形.
又AB=AC=2,ZBCD=120°,
:・S mbd=j X2X2X sinl20°=、任
又用上面ABCD,旦积=2.
20.（12分）已知椭圆C：1+—=i（Q〉b〉O）,圆G：J+『=3,圆C2：A v=4.椭
2
a z b'
圆C与圆G、圆6均相切.
（】）求椭圆c的方程：
（II）直线/与圆Q相切同时与椭圆C交于A、8两点，求L4BI的最大值.
【解答】解：（I）由题易知G的半径ri= y[3,C2圆的半径〃=2,
又...椭圆与G、C2同时相切，则[a=r2=2*
lb=Tl=0
则C：
4 3
（1【）①当/斜率为0时，，与椭圆C相切，不符合题意,
②/斜率不为。

时，设/：x=m^n.
原点到/的距离d=~^L==n=g
则后=3,湛+3('),
|x=my+tif
叫y2
I t+t=^
可得：(3w2+4)r+6/wzv+3n2- 12=0,
设A（xi，yi）B（松，V2）,由根与系数的关系得：Ji+y2 =-3捋：4,无无=命二2；j
|砧|=v/^TT/(y1+y2)2-4y1y2 =后TT48(3”；2卢),
J(3m2+4)
用
将3）代入得伊引
om+43jm2+l+f1
^m2+l
令t=则，N1,g（r）=3/+i在［1,+8）上单调递增,
则，=1，即队=0时・\AB\max=V?.
21.(12分)设函数f(a)=//za+2x2-(，〃-l)x,mER.
（/）当m=6时，求函数/（x）的极值:
（H）若关于x的方程/（x）=2『在区间［1,4］上有两个实数解，求实数m的取值范围.
【解答】解:（Z）依题意知/（A-）的定义域为（0,+8）,
当m=6时，/(x)=bix+2x2-5x,
W，(x)=£+4l5=(4x—l)(x—1)
X
令f(x)=0,解得％=1,x1
则为00<§本>1时,尸（幻〉0,尸⑴单调递增，
当;<x<l时，尸（幻VO.f（x）单调递减.
所以当x=l时函数f（x）取得极小值，且极小值为/（I）=・3,
与X时函数/（.、・）取得极大值，且极大值为打；）9 _ 8
.lux
(〃)由，(.¥)=2。

可得btx=(w- I) x.又a>0.所以---
X
=m—1•”梏+】・
ITnx
/M X
令9（x）=l+了。

>0）,则；任）=必
由/ （x ） NO,得 1 WxWc 由/ （X ）W0,得 c4・W4,
•.•g <x）在区间［1, e ］上是增函数.在区间4］上是减函数.
当x=e 时函数& （x ）有最大值，且最大值为g （e ） = l + "
又g(l) = 1, g(4) = 1 + ^2,
当1+岑<血<1 + §时，方程在区间［1, 4］上有两个实数解.
A 实数的取值范国为1 +罗式m <1 + ：・
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题记分.［选修4U ：坐标系与参数方程］
22. m 分）在平面直角坐标系中，直线，的参数方程为5 &二驾为参数），以原点0为极点. X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为（1.0）,曲线
12
P 一 3cos 20+4stn 209
（I ）求曲线G 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程:
（II ）若曲线G 与曲线C2交于A, B 两点,求晚I+IP8I 的取值范用.
【解答】解：（I ）直线/的参数方程为G ： ,X=l + tcos0, （f 为参数），转换为曲线
y = tsinO
Ci 的普通方程为：xsin9 -）cos0 - sinO=O,
12曲线@8=说土芮根据，= ps 抑
X = pcosd 2 v 2整理得普通方程为:- + v = 1;4 3
y+y 2 = p
将｛:二侦堀”为参数）工2 2
代入 — +~ = 1 化简整理得:(sin 20+3) r+6rcos0 - 9=0, 4 3
设A 、8两点对应的参数分别为〃、m
则△ = 36cosS+36 (sin 希+3) =144>0恒成立,
—6cos3 人。

一9
L + 知=~2二-，£1£2 =---- ，sin 3+3 sin 6+3
t --------------- 12:.\PA\ + \PB\ = \h\ + \t 2\ = Ih — 或=+ 6)2 — 40处=折耳
$3’Vsin 20e[0i 1].
所以：IE4I+IP8I€[3, 4].
I 选修4.5：不等式选讲］
23.己知函数f（x）=1/心+11+12"II,巾6R.
（I）当川=3时.求不等式/（a）>4的解集；
（II）若0V,〃V2,且对任意正R，f（x）>余恒成立，求小的最小值.
【解答】解：（I）当m=3时，/（x）=l3.r+ll+IZr-lb
原不等式/（X）>4等价于『玷号,
l-5x>4lx+2>4（Sx>4解得：x<-|或无解或
所以,/.v»4的解集为（一8,（5分）
4
^
U
♦
+
(II )V0<w<2.：.---，m+2〉0,m—2<0.
m l
WJ/W=|mx+l|+|2x-l|=<J(m+2)x,%V-幸夕(m—2)x+2.—§式*式§・l(/n+2)x.x->j
所以函数/'（X）在（一8,一［）上单调递减，在［-1, §上单调递减，在（，+8）上单调递增.
所以当x=i时，.f（x）取得最小值，/（x）mrn=/（7）=1+T-
因为对任意X e R./（%）>奈恒成立，
JVrlil/（x）m,n=1+y>嘉.
又因为s>0,所以，后+W3N0,
解得4（mW-3不合题意）.
所以m的最小值为1..................................（10分）。