人教备战中考数学压轴题专题一元二次方程的经典综合题含答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2
﹣（2k +1）x +4（k ﹣
1
2
）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10． 【解析】 【分析】
分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论． 【详解】
当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()2
14421402k k ⎛⎫-++-
= ⎪⎝⎭
解得：5
2
k = 当5
2
k =
时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，
∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；
当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣1
2
）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝
32
， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，
∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10． 【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．
2．已知关于x 的一元二次方程()2
2
2130x k x k --+-=有两个实数根．
()1求k 的取值范围；
()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．
【答案】（1）13
4
k ≤
；（2）2k =-．
【解析】 【分析】
()1根据方程有实数根得出()()
22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得．
()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方
程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：()
1关于x 的一元二次方程()2
2
2130x k x k --+-=有两个实数根，
0∴≥，即()()22
[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，
解得134
k ≤
． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，
()
22
2222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 22
1223x x +=，
224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，
13
4
k ≤
， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】
本题考查了一元二次方程2
ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，
方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．
3．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点. （1）求k 的取值范围；
（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是3
2
-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-3
4
；（2）k=﹣1 【解析】
试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；
（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.
试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点， ∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．
∴△=b2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k2+1）＞0．
解得k＜-3
4
；
（2）当y=0时，x2-（2k-1）x+k2+1=0．则x1+x2=2k-1，x1•x2=k2+1，
∵=== 3
2
-，
解得：k=-1或k=
1
3
-（舍去），
∴k=﹣1
4．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．
（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）
（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程
中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨5
2
m%，购买数量和原计划一样：“美团”网
上的购买价格比原有价格下降了9
20
m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在
两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15
2
m%，求出m的值．
【答案】（1）120；（2）20．
【解析】
试题分析：（1）本题介绍两种解法：
解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；
解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；
（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”
网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+5
2
m%），在“美团”网上的购买实际消费
总额：a[120（1﹣25%）﹣9
20
m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划
的预算总额增加了15
2
m%”列方程解出即可．
试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．
答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；
（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，由题意得：
120×0.8a （1﹣25%）（1+
52
m %）+a [120×0.8（1﹣25%）﹣920m ]（1+15m %）=120×0.8a
（1﹣25%）×2（1+ 152m %），即72a （1+ 52
m %）+a （72﹣
9
20m ）（1+15m %）=144a （1+ 15
2m %），整理得：0．0675m 2﹣1.35m =0，m 2﹣20m =0，解得：m 1=0（舍），
m 2=20．
答：m 的值是20．
点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．
5．由图看出，用水量在m 吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m 吨，需要加收．
6．用适当的方法解下列一元二次方程： （1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.
【答案】（1）x 1＝－1＋2x 2＝－1－2
2）y 1＝－14，y 2＝32.
【解析】
试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.
试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1 ∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0
∴=4122-=-⨯
∴x 1＝－1＋
2，x 2＝－1－2
（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0 [(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0 即4y+1=0或-2y+3=0 解得y 1＝－
14，y 2＝32
.
7．已知关于x 的一元二次方程()2
2
11204
x m x m +++
-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184
x x x x m ++=-，求m 的值．
【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m = 【解析】 【分析】
（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题. 【详解】
（1）解：()2
2114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯-
⎪⎝⎭
22218m m m =++-+
29m =+
方程有两个实数根
0∴∆≥，即290m +≥
9
2
m ∴≥-
∴ m 的最小整数值为4-
（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，2
12124
x x m =- 由2
2
212121184x x x x m ++=-
得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭
13m ∴=，25m =-
9
2
m ≥-
3m ∴=
【点睛】
本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.
8．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法． 例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？
我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n 中黑点的个数分别是 、 ．
请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：
（1）第5个点阵中有 个圆圈；第n 个点阵中有 个圆圈． （2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．
【答案】60个，6n个；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．
【解析】
分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；
（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，
第2个图中3为一块，分为6块，余1；
按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，
（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．
详解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，
故答案为：60个，6n个；
（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，
第2个点阵中有：2×3+1=7个，
第3个点阵中有：3×6+1=17个，
第4个点阵中有：4×9+1=37个，
第5个点阵中有：5×12+1=60个，
…
第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，
故答案为：60，3n2﹣3n+1；
（2）3n2﹣3n+1=271，
n2﹣n﹣90=0，
（n﹣10）（n+9）=0，
n1=10，n2=﹣9（舍），
∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．
点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．
9．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x +a ﹣1＝0． （1）若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；
（2）当a 为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a 的值及方程的根． 【答案】（1）a=1
5，方程的另一根为12
；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】
（1）把x=2代入方程，求出a 的值，再把a 代入原方程，进一步解方程即可；
（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b 2－4ac ＝0求出a 的值，再代入解方程即可． 【详解】
（1）将x ＝2代入方程2
(a 1)x 2x a 10-++-=，得4(a 1)4a 10-++-=，解得：a ＝
1
5
． 将a ＝15代入原方程得24
x 2054x 5-+-=，解得：x 1＝12
，x 2＝2． ∴a ＝
1
5，方程的另一根为12
； （2）①当a ＝1时，方程为2x ＝0，解得：x ＝0.
②当a≠1时，由b 2－4ac ＝0得4－4(a －1)2＝0，解得：a ＝2或0． 当a ＝2时， 原方程为：x 2＋2x ＋1＝0，解得：x 1＝x 2＝－1； 当a ＝0时， 原方程为：－x 2＋2x －1＝0，解得：x 1＝x 2＝1． 综上所述，当a ＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1. 考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.
10．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x 4﹣5x 2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x 2＝y ，那么x 4＝y 2，于是原方程可变为y 2﹣5y +4＝0 ①，解得y 1＝1，y 2＝4． 当y ＝1时，x 2＝1，∴x ＝±1； 当y ＝4时，x 2＝4，∴x ＝±2；
∴原方程有四个根：x 1＝1，x 2＝﹣1，x 3＝2，x 4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
【答案】（1）换元，降次；（2）x1=﹣3，x2=2．
【解析】
【详解】
解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．
由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．
由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．。