最新人教版高中数学必修4第三章《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》课后集训1
最新人教版高中数学必修4第三章《两角和与差的正弦》
3.1.2 两角和与差的正弦1．两角和与差的正弦公式两角和的正弦公式：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(S α＋β) 两角差的正弦公式：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(S α－β) 【自主测试1－1】sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°的值是( )A ．－12B ．12C ．32D ．－32答案：A【自主测试1－2】sin 105°＝________.答案：6＋242．旋转变换公式已知点P (x ，y )，与原点的距离保持不变，逆时针旋转θ角到点P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x cos θ－y sin θ，y ′＝x sin θ＋y cos θ. 【自主测试2－1】已知点M (－1,6)，与坐标原点保持距离不变，按顺时针旋转90°得到点M ′的坐标为________．答案：(6,1)【自主测试2－2】已知向量OB ＝(1,3)，绕原点按逆时针旋转60°得到向量'OB的坐标为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－332，3＋323．辅助角公式形如a sin x ＋b cos x (a ，b 不同时为0)的式子可以化为一个三角函数式．即a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中cos φ＝aa 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2.【自主测试3－1】函数y ＝sin x ＋cos x 的最小正周期是( )A ．π2B ．πC ．2πD ．4π解析：∵y ＝sin x ＋cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4sin x ＋sin π4cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴最小正周期为T ＝2π1＝2π.答案：C【自主测试3－2】已知3cos x －sin x ＝－65，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝( ) A ．45 B ．－45 C ．35 D ．－35 答案：D1．对两角和与差的正弦公式的正确理解 剖析：(1)公式中的α，β均为任意角． (2)与两角和与差的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β.(3)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如sin(2π－α)＝sin 2πcos α－cos 2πsin α＝0³cos α－1³sin α＝－sin α，当α或β中有一个角是π2的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便． (4)使用任何一个公式都要注意它的逆向、多向变换，还要掌握整体思想等，这是灵活使用公式的前提，特别是三角函数公式．如化简sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β，不要将sin(α＋β)和cos(α＋β)展开，而是采用整体思想，进行如下变形：sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α，这也体现了数学中的整体原则．(5)记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数的积，连接符号与左边的连接符号相同．归纳总结两角和与差的正、余弦公式虽然形式、结构不同．但它们的本质是相同的：cos(α＋β)cos(α－β)sin(α＋β),sin(α－β)，所以在理解公式的基础上，只要记住中心公式cos(α＋β)的由来及其表达方式就可掌握其他三个公式了．这要作为一种数学思想、一个数学方法来仔细加以体会．2．解读辅助角公式剖析：(1)a sin x ＋b cos x (a ，b 不同时为0)中的角x 必须为同一个角，否则不成立． (2)通过化单角(x )为复角(x ＋θ)，达到减少函数名称，合二为一的目的．最终化为一个(复)角的一种三角函数，有利于进一步研究相关性质．(3)化简的形式不唯一． 由于选用的辅助角不一样，所以化简的结果也会不相同，这实际上是由化简过程中采用的公式决定的．如f (x )＝3sin x ＋cos x 可以写成f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6还可以写成f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.3．有关三角函数的最值问题的求法剖析：一般地，三角函数的求最值问题可归结为以下几种情况： (1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的函数，利用sin α的值域求最值；(2)形如y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d的函数，可通过数形结合法，将y 看成是两点连线的斜率，确定斜率的最值即可；(3)可化为形如y ＝a (sin x －b )2＋c 或y ＝a (cos x －b )2＋c 的函数，利用换元法转化为二次函数在特定区间上的最值问题；(4)求形如f (x )＝a sin x ＋b cos x (ab ≠0)的函数的最值，通常化归为求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 的最值．题型一 利用两角和与差的正弦公式求值【例题1】已知cos φ＝45，在下列情况下，分别求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ的值． (1)φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2；(2)φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π. 分析：在已知cos φ＝45和φ的取值范围的前提下，要求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ，只需把sin φ求出再应用公式即可得出．解：(1)∵cos φ＝45，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin φ＝1－cos 2φ＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝sin π3cos φ－cos π3sin φ＝32³45－12³35＝43－310. (2)∵cos φ＝45，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π， ∴sin φ＝－1－cos 2φ＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝sin π3cos φ－cos π3sin φ＝32³45－12³⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝43＋310. 反思在cos φ已知的前提下，sin φ要根据φ的取值范围才能唯一确定．如果φ不能确定，则一定要分情况讨论．题型二 三角函数式的化简【例题2】化简：sin A ＋2Bsin B－2cos(A ＋B )．分析：解答本题若用两角和与差的正余弦公式展开，则计算复杂．对题中各角之间的关系进行分析后，我们选定(A ＋B )和B 作为基本量，则有A ＋2B ＝(A ＋B )＋B ，抓住了这些关系后，再恰当地运用公式，问题便不难解决了．解：原式＝sin[ A ＋B ＋B ]－2cos A ＋B sin Bsin B＝sin A ＋B cos B －cos A ＋B sin B sin B＝sin[ A ＋B －B ]sin B ＝sin A sin B.反思在做三角函数题时，角度变换是三角恒等变换的首选方法，但具体怎样来变换，我们主要是分析它们之间的关系，以便通过角度变换，减少不同角的个数．这其中，寻找一个或几个基本量是快速定位这类题目解法的关键．题型三 公式在三角形中的应用【例题3】在△ABC 中，若sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C ．分析：借助C ＝π－A －B 转化，再利用公式求解．解：∵cos B ＝513，∴B 为锐角，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1213.∵sin A ＝35，0＜A ＜π，∴当A 为锐角时，cos A ＝1－sin 2A ＝45，此时cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665，当A 为钝角时，sin A ＝35＜32，∴A ＞120°.又∵cos B ＝513＜12，∴B ＞60°，∴A ＋B ＞180°与三角形内角和等于180°矛盾．∴cos C ＝1665.反思解决与三角形有关的问题时要注意： (1)三角形的内角和等于180°；(2)创设条件使之能运用两角和与两角差的三角函数公式； (3)常用结论：A ＋B ＋C ＝180°，sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sin A ＋B 2＝cos C2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan(A ＋B )＝－tan C ．〖互动探究〗若把本例中的“cos B ”改为“sin B ”，结果又如何？解：∵sin A ＝35，0＜A ＜π，∴当A 为锐角时，cos A ＝1－sin 2A ＝45.∵sin B ＝513＜35＝sin A ，∴B 为锐角，∴cos B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝35³513－45³1213＝－3365， 当A 为钝角时，cos A ＝－45，cos B ＝1213，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝35³513－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45³1213＝6365.题型四 辅助角公式的应用【例题4】已知函数f (x )＝sin x －3cos x ，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期与值域；(2)求f (x )的单调递增区间．分析：解答本题时，可把a sin x ＋b cos x 化简成a 2＋b 2sin(x ＋θ)的形式求解．解：f (x )＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3－cos x sin π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈R . (1)T ＝2π1＝2π，f (x )的值域为[－2,2]．(2)由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )． 反思研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数的性质，都要先把其化为整体角的正弦函数形式或余弦函数形式，方法是提取a 2＋b 2，逆用公式S α±β，C α±β，特别注意角的范围对三角函数值的影响．题型五 易错辨析 【例题5】已知向量MN＝(3，－1)，将此向量绕其始点，顺时针旋转30°后所得向量MN ′→的坐标为________．错解：由旋转变换公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x cos 30°－y sin 30°，y ′＝x sin 30°＋y cos 30°，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝33＋12，y ′＝3－32，所以MN ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋12，3－32.错因分析：没有考虑到是顺时针旋转30°，在代入公式时，角的度数为－30°. 正解：由旋转变换公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3cos －30° － －1 sin －30° ，y ′＝3sin －30° ＋ －1 cos －30° ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝33－12，y ′＝－3＋32，所以MN ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33－12，－3＋32.1．(2012²山东邹城质检)sin 75°cos 30°－cos 75°sin 30°的值为( )A ．1B ．12C ．22D ．32答案：C2．已知sin(α＋β)＝14，sin(α－β)＝13，则tan α∶tan β＝( )A ．－17B ．17C ．－7D ．7解析：由sin(α＋β)＝14，sin(α－β)＝13，得sin αcos β＋cos αsin β＝14，①sin αcos β－cos αsin β＝13.②由①＋②，得2sin αcos β＝712.③由①－②，得2cos αsin β＝－112.④故由③④，得tan αtan β＝－7.答案：C3．(2012²山东鱼台期末)在△ABC 中，如果sin A ＝2sin C cos B ，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 答案：C4．sin α＋30° －sin α－30° cos α＝________.解析：sin α＋30° －sin α－30°cos α＝sin αcos 30°＋cos αsin 30°－ sin αcos 30°－cos αsin 30°cos α＝2cos αsin 30°cos α＝2sin 30°＝1.答案：15．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.解析：3sin x －3cos x ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝23(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝23sin(x ＋φ)，∴cos φ＝32，sin φ＝－12.又φ∈(－π，π)，∴φ＝－π6.答案：－π66．是否存在x 使得函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)存在最小值？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由．解：∵x ＋40°＝(x ＋10°)＋30°，∴y ＝sin(x ＋10°)＋cos[(x ＋10°)＋30°]＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋10°)cos 30°－sin(x ＋10°)sin 30° ＝12sin(x ＋10°)＋cos 30°cos(x ＋10°) ＝sin 30°sin(x ＋10°)＋cos 30°cos(x ＋10°) ＝cos(x ＋10°－30°)＝cos(x －20°)．∵－1≤cos(x －20°)≤1，∴函数的值域为[－1,1]， ∴当y min ＝－1时，x －20°＝k ²360°＋180°，k ∈Z ， 此时，x ＝k ²360°＋200°，k ∈Z .。
数学人教A版必修4课后集训： 3.1.2两角和与差的正弦、
课后集训基础达标1.若tanα=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)的值是（ ） A.-1 B.51-C.75D.71 解析：tan(β-2α)=tan ［(β-α)-α］ =7123123tan )tan(1tan )tan(=⨯+-=∙-+--ααβααβ,∴应选D. 答案：D 2.︒-︒-︒-︒50tan 20tan 1)50tan(20tan 的值是（ ）A.-3B.3C.-33D.33解析：原式=330tan 120tan 50tan 150tan 20tan =︒=︒-︒+︒︒.∴应选B. 答案：B3.3tan23°tan97°-tan23°-tan97°等于( )A.2B.23C.3D.0 解析：原式=3tan23°tan97°-(tan23°+tan97°) =3tan23°tan97°-tan120°(1-tan23°tan97°) =3tan23°tan97°+3-3tan23°tan97° =3,∴应选C.答案：C4.在△ABC 中，已知tanA,tanB 是方程3x 2+8x-1=0的两个根，则tanC 等于（ ） A.2 B.-2 C.4 D.-4 解析：∵tanA,tanB 是方程3x 2+8x-1=0的两个根， ∴tanA+tanB=38-,tanA·tanB=-31.∵tanC=tan ［π-(A+B)］=-tan(A+B)=31138tan tan 1tan tan +--=-+-Ba B A =2.∴应选A.答案：A5.若0＜α＜2π,0＜β＜2π,且tanα=71,tanβ=43,则α+β等于（ ） A.6π B.4π C.3π D.43π解析：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+=437114371⨯-+=1.∵0＜α＜2π,0＜β＜2π,∴0＜α+β＜π.∴α+β=4π.∴应选B. 答案：B 6.tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=_______________. 解析：原式=tan10°tan20°+tan60°(tan20°+tan10°)=tan10°tan20°+tan60°·tan30°·（1-tan20°tan10°)=tan10°tan20°+1-tan20°tan10°=1. 答案：1 综合运用 7.︒+︒-15tan 3115tan 3等于（ ）A.1B.33C.3D.-1 解析：∵tan60°=3， ∴原式=︒∙︒+︒-︒15tan 60tan 115tan 60tan=tan(60°-15°)=1. 答案：A8.已知α+β=π43,则（1-tanα）(1-tanβ)的值等于（ ）A.2B.-2C.1D.-1 解析：tan(α+β)=1tan tan 1tan tan -=∙-+βαβα,∴tanα+tanβ=-(1-tanα·tanβ). ∴(1-tanα)(1-tanβ)＝1-(tanα+tanβ)+tanαtanβ =1+1-tanα·tanβ+tanα·tanβ =2.答案：A9.已知tan(α+4π)=3,则tanα＝____________________. 解析：tanα=tan(α+4π-4π)=.2131134tan)4tan(14tan)4tan(=+-=∙++-+ππαππα 答案：21拓展探究10.已知A 、B 、C 是斜△ABC 的内角，求证： （1）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC; (2)tan2A tan 2B +tan 2B tan 2C +tan 2C tan 2A =1. 思路分析：(1)考虑到A 、B 、C 是△ABC 的内角，即A+B+C=π,利用tan(A+B)=tan(π-C); (2)考虑到2A +2B =2π-2C ,利用tan(2A +2B )=tan(2π-2C).证明:(1)∵A 、B 、C 是△ABC 的内角， ∴A+B+C=π,即A+B=π-C, 由题知，A 、B 、C 都不为2π,两边取正切，得 tan(A+B)=tan(π-C). ∴BA BA tan tan 1tan tan -+=-tanC.去分母，移项，整理，得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.(2)∵2A +2B +2C =2π, ∴2A +2B =2π-2C . ∴tan(2A +2B )=tan(2π-2C ).∴.2tan12tan 212tan2tan C B A an B A =-+ 去分母，移项，整理，得 tan2A tan 2B +tan 2B tan 2C +tan 2C tan 2A =1. 备选习题 11.当α=40°时，)tan()2tan(1)tan()2tan(βαβαβαβα-+--++=____________.解析：原式=tan3α=tan3×40° =tan120°=-tan60°=-3. 答案：-312.已知sinα=53,(90°＜α＜180°),cosβ=1312(270°＜β＜360°),求tan(α+β)和tan(α-β)的值. 解：∵sinα=53,90°＜α＜180°,∴cosα=-54,∴tanα=43-.∵cosβ=1312,270°＜β＜360°,∴sinβ=-135. ∴tanβ=125-.∴tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+3356165167)125)(43(112543-=--=-----=. tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-=6316)125)(43(112543-=--++-. 13.求︒︒︒+︒+︒40tan 20tan 120tan 40tan 20tan 的值.解：原式=︒∙︒︒+︒∙︒-︒40tan 20tan 120tan )40tan 20tan 1(60tan=︒∙︒︒-︒︒︒-︒40tan 20tan 60tan 40tan 20tan 60tan 60tan=︒︒︒∙︒︒-40tan 20tan 40tan 20tan 60tan=-tan60°=-3.14.如下图所示，三个相同的正方形相接，试计算α+β+γ的大小.解：设正方形边长为1，则tanα=31,tanβ=21,tanγ=1,且α、β、γ均为锐角. ∴tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+=.13213121=⨯-+而α+β∈(0,π),∴α+β=4π. 又由tanγ=1及γ∈(0,2π)知γ=4π，∴α+β+γ=2π.15.已知△ABC 中，tanB+tanC+3tanB·tanC=3,且3tanA+3tanB=tanA·tanB-1,试判断△ABC 的形状.解:tanB+tanC+3tanB·tanC=3, ∴3tan tan 1tan tan =∙-+CB CB ,即tan(B+C)=3.①又∵3tanA+3tanB=tanA·tanB-1,∴=∙-+B A B A tan tan 1tan tan -33.∴tan(A+B)=-33.② 又∵A 、B 、C 为△ABC 的内角， ∴B+C=60°,A+B=150°. ∴A=120°,B=C=30°.∴△ABC 为等腰且为钝角三角形. 16.设cosα=-55,tanβ=21,π＜α＜π23,0＜β＜2π.求α-β的值.解法1：∵π＜α＜π23,0＜β＜2π, ∴2π＜α-β＜π23,于是选择α-β的正弦函数值. ∵cosα=-55,π＜α＜π23，∴sinα=-552. ∵tanβ＝31,0＜β＜2π, ∴cos 2β=1099111tan 112=+=+β， 即cosβ=10103,sinβ=1010. ∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ =-552×10103-(-55)×1010=-22. ∵2π＜α-β＜π23, ∴α-β=π45.解法2：以上同解法1.∵cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =-55×10103+(-552)×1010=-22. ∵tanβ=31＜1, ∴0＜β＜4π. ∴π43＜α-β＜π23. ∴α-β=π45.解法3：∵cosα=-55,π＜α＜π23,∴sinα=-552. ∴tanα=55552cos sin --=αα=2.则tan(α-β)=.135353121312tan tan 1tan tan ==⨯--=∙+-βαβα ∵π＜α＜π23,0＜β＜2π,∴2π＜α-β＜π23. ∴α-β=π45.说明：本题选择正弦函数、正切函数都比较简单，因为这两个函数在α-β∈(2π,π23)上是单调的，即求得的角只有一个解，省去缩小角的范围的麻烦，而选择余弦函数，由于它在（2π,π23）上不单调，若不进一步缩小角的范围，就会产生增根.。
最新人教版高中数学必修4第三章《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》课堂导学1
课堂导学三点剖析1.两角和与差的正切【例1】 已知tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求tan2α,tan2β,tan(2α+4π). 思路分析：想办法利用已知条件中的角α+β与α-β表示所求式中的角,不难看出2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),tan(2α+4π)用tan2α表示出来. 解：tan2α=tan ［(α+β)+(α-β)］ =.7435135)tan()tan(1)tan()tan(-=⨯-+=-+--++βαβαβαβα tan2β=tan ［(α+β)-(α-β)］ =.8135135)tan()tan(1)tan()tan(=⨯+-=-++--+βαβαβαβα tan(2α+4π)=1137417412tan 12tan 1=+-=-+αα. 2．两角和与差的正切公式的运用【例2】计算下列各式的值：（1）tan15°+tan75°; (2)︒+︒-15tan 115tan 1; (3)︒︒-︒+︒19tan 41tan 119tan 41tan ; (4))6tan()3tan(1)6tan()3tan(ααπαπα++++-+; (5).12tan 3112tan 3ππ+- 解：（1）tan15°+tan75°=tan(45°-30°)+tan(45°+30°) =︒-︒++︒+︒-30tan 130tan 130tan 130tan 1 =331331331331-+++-=13313113-+++-=2)13(2)13(22++- =2-3+2+3=4;(2)原式=︒︒+︒-︒15tan 45tan 115tan 45tan =tan(45°-15°) =tan30°=33; (3)原式=tan(41°+19°)=tan60°=3;(4)原式=tan ［(α+3π)-(α+6π)］ =tan 6π=33; (5)原式=12tan 3tan 112tan 3tan ππππ+-=tan(3π-12π) =tan 4π=1. 3.给值求角问题 【例3】 已知α,β,γ都是锐角，且tanα=21,tanβ=51,tanγ=81,求α+β+γ的值. 错解:因为tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+ =.97512115121=⨯-+ tan(α+β+γ)=819718197tan )tan(1tan )tan(⨯-+=+-++γβαγβα=1. ∵α、β、γ都是锐角，∴0＜α+β+γ＜π23, 故：α+β+γ=4π或45π. 正解:因为tan(α+β)=97.tan ［(α+β)+γ］=1.由已知γ＜β＜α.又因0＜21＜33, 所以0＜γ＜β＜α＜6π,得0＜α+β+γ＜2π. 故α+β+γ=4π. 各个击破题演练1 已知tanx=41,tany=-3,求tan(x+y)的值. 解：tan(x+y)=.711)3(411341tan tan 1tan tan -=-⨯--=-+y x y x 变式提升1已知tanα=71,tanβ=31,求tan(α+2β). 解：tan(α+β)=21317113171tan tan 1tan tan =∙-+=∙-+βαβα, tan(α+2β)=tan ［(α+β)+β］ =312113121tan )tan(1tan )tan(∙-+=∙+-++ββαββα=1. 类题演练2利用和(差)角公式化简: (1)θθθθtan 2tan 1tan 2tan +-； (2)θθtan 1tan 1+-. 解：(1)原式=tan(2θ-θ)=tanθ.(2)原式=θθπtan 4tan 1tan 4tan+-=tan(4π-θ). 变式提升2(1)求tan50°-tan20°-33tan50·tan20°的值. 解∵tan50°-tan20°=tan30°(1+tan50°·tan20°),∴tan50°-tan20°-33tan50°·tan20° =tan30°(1+tan50°tan20°)-33tan50°·tan20° =tan30°+tan30°·tan50°tan20°-33tan50°·tan20° =tan30°=33. (2)化简：tan(18°-x)tan(12°+x)+3［tan(18°-x)+tan(12°+x)］解：tan30°=tan ［(18°-x)+(12°+x)］ =33)12tan()18tan(1)12tan()18tan(=+︒-︒-+︒+-︒x x x x . ∴tan(18°-x)+tan(12°+x) =33［1-tan(18°-x)tan(12°+x)］. ∴原式=1.温馨提示tanα±tanβ=tan(α±β)(1 tanαtanβ)这一公式变形在解题中经常用到，只要题目中有tanα+tanβ或tanα-tanβ,一般用正切公式的变形，整体代入都能凑效.类题演练3已知α、β都是锐角,且tanα=21,tanβ=31,求α+β. 解：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+ =.13213121=∙-+∵α、β均为锐角，∴0°＜α+β＜180°∴α+β=45°.变式提升3已知tanα=3(1+m),3(tanα·tanβ+m)+tanβ=0,且α、β都是锐角，求α+β.解：由已知可得 tanα=3+3m,①tanβ=-3tanαtanβ-3m.② 由①+②可得 tanα+tanβ=3(1-tanαtanβ), ∴βαβαtan tan 1tan tan -+=tan(α+β)=3. 又∵0＜α＜2π,0＜β＜2π, ∴0＜α+β＜π,∴α+β=3π.。
最新人教版高中数学必修4第三章两角和与差的正弦、余弦、正切公式2
以-β 替换 β 代入 T(α+β)
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KEQIAN YUXI DAOXUE
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KETANG HEZUO TANJIU
预习交流 1
上述公式中,α,β 都是任意的吗? 提示:正弦、余弦的公式中,角是任意的;而在 T(α±β)中,α,β,α± β 都不 等于 kπ+ (k∈Z),同时 1+tanαtanβ≠0,1-tanαtanβ≠0.
3 2
; ; ; .
; ④
1 2
③0
cos(α-β)
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
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问题导学 当堂检测
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问题 3:两角和与差的正切公式变形形式较多,例如: tanα± tanβ=tan(α± β)(1∓ tanαtanβ), tanαtanβ=1tan������+tan������ tan(������+������)
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两角和与差的正弦、余弦、正切公式
名称 C(α-β) C(α+β) S(α+β) S(α-β) T(α+β) T(α-β) 以-β 替换 β 代入 C(α-β) 以 -α 替换 α
3 2
章末整合提升
人教A版高中数学必修四课件第三章3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
S(α＋β)：sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β
.
S(α－β)：sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β
.
前置学习
3．两角互余或互补 π
(1)若 α＋β＝ 2 ，其 α、β 为任意角，我们就称 α、β 互余．例 如：π4－α 与 π4＋α 互余，π6＋α 与 π3－α 互余．
解 ∵α∈0，2π，β∈－2π，0，∴α－β∈(0，π)． ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.
∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝45×7102＋35×－ 102＝
解析
f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－3π.
∴f(x)∈[－2,2]．
前置学习
4．已知锐角
α、β
满足
sin
α＝2 5 5，cos
β＝
1100，则
3π α＋β＝__4___.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
∴cos α＝ 55，sin β＝31010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
B．－2 5 5
C．
5 5
D．－
5 5
解析 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝
2 2 (cos
B＋
1－cos2B)
＝
22×
1100＋3
10 10
＝2
两角和与差的正弦余弦正切公式课后练习
3.1.1 两角和与差的余弦基础巩固 新人教A 版必修4一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0B ．12C ．32D ．－122．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2xD ．－cos2y4．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于( ) A ．0B ．12C ．32D ．15．sin π12－3cos π12的值是( )A ．0B ．－ 2C ． 2D ．26．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B ．3365 C ．－6365D ．6365二、填空题7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π3)＝________.8．已知cos x －cos y ＝14，sin x －sin y ＝13，则cos(x －y )＝________.三、解答题9．已知sin α＋sin β＝sin γ，cos α＋cos β＝cos γ.求证：cos(α－γ)＝12.一、选择题1．函数y ＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期是( ) A ．π B ．π2C ．π4D ．2π2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( ) A ．x ≤y B ．x >y C ．x <yD ．x ≥y4．(2014·山东潍坊重点中学高一期末测试)函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] 二、填空题5．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sinπ6sin π3 cos π6的值是________． 6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝________.三、解答题7．已知cos(α－30°)＝1517，30°<α<90°，求cos α的值．8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．9．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．。
[最新]人教版数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(教、学案)
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sin cos __________;
sin cos __________ _ .
3 cos x sin x =_____________.
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案 一、学习目标 1. 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式， 了解公式间的内在联系。 2. 能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。 学习重难点： 1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
(A)
10
(C)
5
1
4、若 cos
,
5
(B)
6
(D)
4
3 ,2 ,则 sin
2
________ . 3
5、 3 tan15 _________. 1 3 tan15
6、cos
cos sin
sin
_________ .
参考答案
1
1、
2
2、C
3、 A
26 3
4、
10
5、 1
6、 cos
1. 已知 tan
sin cos cos sin
4
4
24 2 252
3 72 5 10
cos 4
cos cos sin sin
4
4
两结果一样，我们能否用第一章知识证明？
24 2 25 2
tan tan
31
tan
4
4
7
4 1 tan tan
1
3
4
4
3 72 5 10
例 2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
第十三页，共31页。
例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
第七页，共31页。
探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互 化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
第八页，共31页。
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与 差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式 （2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
第二十一页，共31页。
1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关
人教版高中数学必修4第三章三角恒等变换-《3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式》教案(1)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式考纲要求：① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．② 能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．③ 能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．知识梳理)_____(__________)cos()_____(__________)cos(.1φαβαβαβα+-=+=-C C ，)_____(__________)sin()_____(__________)sin(.φαβαβαβα+-=+=-S S ，)_____(__________)tan()_____(__________)tan(.φαβαβαβα+-=+=-T T ，前面4个公式对任意的αβ都成立，而后面的两个公式成立的条件是,,2,Z k k ∈+≠ππβα且满足）（βαππβα+∈+≠+T Z k k ,,2，满足）（βαππβα-∈+≠-T Z k k ,,2否则不成立,当βαtan tan 、)tan(βα±的值不存在时，不能用)(βα±T 处理有关的问题应改用诱导公式或其它方法来解决。
2.要辩证的看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的变换：)()(2,)(βαβααββαα-++=-+=)()(2αββαα--+=等等3.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等如)(βα±T 可变形为：1)tan(tan tan )tan(tan tan 1tan tan ),tan tan 1)(tan(tan tan ---=++-=±=±βαβαβαβαβαβαβαβα 4.222222sin ,cos ,)(sin(cos sin b a b ba ab a x b a x b x a y +=+=++=+=θθθ为常数）其中典型例题：题型一、求值问题 例1.设12cos(),sin(),,0292322βαππαβαπβ-=--=<<<<且， 求cos()2αβ+的值。
人教课标版高中数学必修四《两角和(差)的正弦、余弦、正切公式》教案-新版
3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、教学目标：（一）核心素养本节课是三角恒等变形的基础，是正弦线、余弦线、诱导公式的延伸，通过本节课的学习，了解两角和与差的正弦、余弦和正切公式的重要性，通过公式的推导，培养学生探索精神，进一步提高学生的推理能力和运算能力，使学生体会一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用.（二）教学目标1.两角和的余弦公式的推导及应用；2.两角和与差的正弦公式的推导及应用；3.两角和与差的正切公式的推导及应用；4.运用公式进行化简、求值、证明.（三）学习重点1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导；2．熟练掌握公式的应用.（四）学习难点公式的推导及综合运用，合理选取公式，熟练掌握公式的逆用.二、教学过程（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第128页至第131页．（2）想一想：利用两角差的余弦公式如何推导两角和的余弦公式？如何熟记和角公式与差角公式？2．预习自测（1）sin(3045)________+=.．解析：【知识点】两角和的正弦公式的应用【数学思想】逻辑推理【解题过程】12sin(3045)sin 30cos 45cos30sin 452+=+=⨯+=点拨：熟记公式（2）cos55cos5sin 55sin 5________-=. 答案：12． 解析：【知识点】两角差的余弦公式 【数学思想】逻辑推理【解题过程】1cos55cos5sin 55sin 5cos(555)cos 602-=+== 点拨：熟记公式（3）若tan()24a π-=，则tan _______a =.答案：3-．解析：【知识点】两角差的正切公式的应用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】tan tantan 14tan()241tan 11tan tan 4παπααπαα---===+⨯+，所以tan 3α=- 点拨：注意公式的逆用（4）已知3sin 5α=-a 是第四象限角，求sin(),cos(),tan()444πππααα-+-的值.；7- 解析：【知识点】两角和与差的弦、切公式的应用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】因为3sin 5α=- a 是第四象限角，所以43cos ,tan 54αα==-，利用公式可得：sin()4πα-=cos()4πα+=tan()74πα-=-点拨：熟记公式. (二)课堂设计1．知识回顾（1）两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-的推导； （2）公式()C αβ-的应用. 2．问题探究探究一 从公式()C αβ-出发，如何探求两角和的余弦公式()C αβ+？ ●活动 从公式()C αβ-出发，引导学生推导余弦公式()C αβ+我们已经知道两角差的余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，其中αβ、是任意角.大胆猜想两角和的余弦公式呢？从角αβ+与αβ-的关系进行联想，我们容易知道()+=αβαβ--，再根据诱导公式，所以[]cos()cos ()cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=- 于是我们得到了两角和的余弦公式，简记作()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-【设计意图】引导学生发现和探究新知，培养学生探索知识的能力． 探究二 如何用αβ、的正、余弦来表示()sin αβ± ●活动① 回顾两角和与差的余弦公式和诱导公式()C αβ-：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-sin()cos ,cos()sin 22ππαααα-=-=【设计意图】引导学生思维上的转变.●活动② 利用两角和与差的余弦公式推导两角和与差的正弦公式sin()cos ()cos ()cos()cos sin()sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦得到两角和与差的正弦公式，简记作()S αβ+；()S αβ-.()S αβ+：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ()S αβ-：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-【设计意图】让学生掌握公式的推导过程. 探究三 探究如何推导两角和与差的正切公式 ●活动① 怎样用αβ、的正切表示()tan αβ±()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-当cos cos 0αβ≠时，分子和分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 我们得到两角和与差的正切公式，简记作()T αβ+；()T αβ-.()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()T αβ-：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+注意：)(2,2,2z ∈+≠+≠+≠+k k k a k ππβππππβα【设计意图】引导学生探究：化切为弦，化未知为已知，再化弦为切，利用单角的正切来表示和差的正切.●活动② 理解6个和、差角公式的内在联系【设计意图】借助对公式的更深入的理解，是学生能更加灵活运用公式.●活动③ 巩固基础，检查反馈例1 ①已知3cos ,(,)52πθθπ=-∈，求sin()3πθ+的值②已知12sin ,13θθ=-是第三象限角，求cos()6πθ+的值【知识点】和角公式的正确使用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】①4sin 25πθπθ∈∴==（，）413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=②θ是第三象限角，5cos 13θ∴==-5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=【思路点拨】熟记公式 【答案】①sin()3πθ+=；②cos()6πθ+= 同类训练 已知tan 3α=，求tan()4πα+的值.【知识点】两角和的正切公式的应用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】tan tan314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯- 点拨：熟记公式答案：tan()24πα+=-例2 求下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos 72sin 42- （2）cos 20cos 70sin 20sin 70-（3）1tan151tan15+-【知识点】公式的逆用 【数学思想】归纳推理【解题过程】（1）sin 72cos 42cos 72sin 42-=1sin(7242)sin 302-== （2）cos 20cos 70sin 20sin 70-=cos(2070)cos900+==（3）1tan151tan15+-=tan 45tan15tan(4515)tan 6031tan 45tan15+=+==-【思路点拨】正确认识公式的正用和逆用 【答案】12，0 同类训练 计算：（1）sin 7cos37sin 83sin 37︒︒-︒︒（2）21tan 75tan 75 -︒︒答案：12-；-解析：【知识点】和、差角公式 【数学思想】归纳推理 【解题过程】（1）sin 7cos37sin 83sin 37︒︒-︒︒=1sin 7cos37cos 7sin 37sin(737)sin(30)2︒︒-︒︒=︒-︒=-=-（2）tan 75tan(4530)2=+==原式=-点拨：利用公式可求特殊角的三角函数值 例3 化简：（1）1cos 2x x（2cos x x +【知识点】和、差角公式的逆用 【数学思想】转化思想【解题过程】1cos cos cos sin sin cos()2333x x x x x πππ-=-=+1cos cos )2(cos sin sin cos )2sin()2666x x x x x x x πππ+=+=+=+ 点拨：从题目所给是结构可以看出，它们呈现和（差）角公式的部分形态，所以可以考虑对公式进行变形使用，事实上，此处只需要进行逆用公式即可.答案：cos()3x π+；2sin()6x π+同类训练 化简（1cos )x x -（2x x -【知识点】公式的逆用 【数学思想】转化思想cos )2sin()4x x x π-=-)3x x x π-=+点拨：对和（差）角公式进行正确地逆用.事实上，对公式正确逆用，这是学好任何一个数学公式的必经之路.答案：2sin()4x π-；)3x π+●活动5 强化提升、灵活应用 例4 已知3123,cos(),sin()24135πβαπαβαβ<<<-=+=-，求cos 2α的值 答案：3365-解析：【知识点】使用和差角公式时，利用角的关系化异角为同角 【数学思想】化归思想【解题过程】33,2442ππβαππβ<<<∴-<-<- 30,42ππαβπαβ∴<-<<+<5sin()134cos()5αβαβ∴-==+= 33cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()65ααβαβαβαβαβαβ∴=-++=-+--+=-点拨：常见角的变换：2()()ααβαβ=++- ()ααββ=+-2(),2()αβαβααβαβα+=++-=-+()(),()()222222αββααββααβαβ+-=---=+-+同类训练 已知αβ、是锐角，且11sin )14ααβ=+=-，求sin β解析：【知识点】合理使用和差角公式 【数学思想】转化思想【解题过程】α是锐角，且sin α=1cos 7α∴== 又11cos(),014αβαβπ+=-<+<，sin()αβ∴+==sin sin()sin()cos cos()sin βαβααβααβα∴=+-=+-+=点拨：善于抓住角的关系进行角的转化 3.课堂总结 知识梳理两角和与差的正弦、余弦、正切公式及推导()C αβ-：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-()S αβ+：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ()S αβ-：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- ()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()T αβ-：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+重难点归纳（1）利用和差角公式求一些特殊角的三角函数值； （2）利用角的变换求值；（3）能解决形如：sin cos y a x b x =+的函数问题；（4）利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角恒等变换 （三）课后作业 基础型 自主突破1．sin(17)cos(28)sin(28)cos(17)x x x x +-+-+的值是（ ）A ．12 B ．12-C ．D ．答案：D解析：【知识点】公式的简单应用【解题过程】原式=2sin(1728)sin 45x x ++-== 点拨：熟记公式2．已知123cos ,(,2)132πααπ=∈，则cos()4πα+等于（ ）ABCD ．答案：B解析：【知识点】公式的正用【解题过程】5sin 13α==-，cos()cos cos sin sin 444πππααα+=-=点拨：计算角的三角函数值时需注意角的范围3．在△ABC 中，sin sin cos cos A B A B <，则△ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰三角形 答案：B解析：【知识点】公式的灵活运用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】cos cos sin sin 0A B A B -> cos()0A B ∴+>cos()0C π∴->，即cos 0,cos 0C C -><，2C ππ∴<<点拨：利用三角形内角和定理进行角的转换 4．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（ ）A ．最大值为1，最小值为1-B ．最大值为1，最小值为21- C ．最大值为2，最小值为2-D ．最大值为2，最小值为1-【知识点】公式的逆用【数学思想】归纳推理【解题过程】1()2(sin )2sin()23f x x x x π==+，[,]22x ππ∈-，则5[,]366x πππ+∈- ()f x ∴最大值为2，最小值为1-点拨：先转化成sin()y x ωϕ=+的形式答案：D5．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值（ ） A ．21 B ．22 C ．22- D ．22±【知识点】公式的灵活运用【数学思想】转化的思想【解题过程】因为2tan()7,tan tan 3αβαβ+=⋅=所以tan tan tan(),1tan tan αβαβαβ++=-⋅ 7tan tan 3αβ+= 所以1tan 2,tan 3αβ==或1tan ,tan 23αβ==；所以tan()αβ-等于1或1-则cos()αβ-=点拨：利用切化弦解决问题答案：D6．已知tan()2,4πα+=则212sin cos cos ααα+的值为________. 答案：23解析：【知识点】三角函数中“1”的替换【数学思想】转化思想 【解题过程】1tan tan()241tan πααα++==- 1tan 3α∴= 222221sin cos tan 122sin cos cos 2sin cos cos 2tan 13αααααααααα++∴===+++ 点拨：熟悉齐次分式的切化弦能力型 师生共研7．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B =______. 答案：3π解析：【知识点】公式的灵活运用【数学思想】逻辑推理【解题过程】tan tan tan tan()(1tan tan )tan A B C A BA B C ++=+⨯-+ tan (1tan tan )tan tan tan tan tan tan tan tan tan C A B CC A B C C A B C =-⨯-+=-++==2tan tan tan B A C ==tan 60B B ∴=∴=点拨：熟悉公式的变形8．若13cos cos sin sin ,cos(),55αβαβαβ-=-=则tan tan _______αβ=. 答案：12解析：【知识点】利用公式进行和差化积【数学思想】转化思想【解题过程】13cos cos sin sin ,cos cos sin sin ,55αβαβαβαβ-=+= 两式相加得：2cos cos 5αβ=，两式相减得：1sin sin 5αβ=，sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ== 点拨：找到角的关系，进行恒等变换探究型 多维突破9．已知(0,)αβπ∈、且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值 答案：34π- 解析：【知识点】灵活运用公式【数学思想】归纳推理思想【解题过程】()1tan tan 3ααββ=-+=⎡⎤⎣⎦()tan(2)tan 1αβαβα∴-=-+=⎡⎤⎣⎦11tan tan (0,)37αβαβπ=<=->∈、 50,6622ππαβπππαβ∴<<<<∴-<-<-324παβ∴-=- 点拨：求三角函数值时要确定角的范围10．已知向量a =(cos ,sin )αα，b =(cos ,sin )ββ，|a -b |= (1)求cos()αβ-的值(2)若0,022ππαβ<<-<<，且5sin 13β=-，求sin α的值 答案：35；3365 解析：【知识点】灵活运用公式【数学思想】归纳推理思想【解题过程】由|a -b|==，即4322cos(),cos()55αβαβ--=-= 由0,022ππαβ<<-<<，得0αβπ<-<，又35cos(),sin ,513αββ-==- 所以412sin(),cos ,513αββ-==[]33sin sin ()sin()cos cos()sin 65ααββαββαββ=-+=-+-= 点拨：三角恒等变形与向量的紧密联系自助餐1．若sin()cos cos()sin ,m αβααβα---=且β为第三象限角，则cos β的值为（ ）AB．CD．答案：B解析：【知识点】公式的简单应用【数学思想】【解题过程】由题知：sin()sin ,cos mm αβαββ--=∴=-==点拨：正确使用诱导公式2．αβγ、、都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan （ ） A ．3π B ．4πC ．π65 D ．π45 答案：B解析：【知识点】两角和的正切公式【数学思想】整体代换 【解题过程】11tan ,tan 25αβ==7tan()1904αβπαβ∴+=<∴<+<tan()tan 3tan()1,(0,)1tan()tan 4αβγπαβγαβγαβγ++∴++==++∈-+ 4παβγ∴++=点拨：角的合理转化3．若A 、B 是△ABC 的内角，且(1tan )(1tan )2+A B +=，则A B +等于_____. 答案：4π解析：【知识点】两角和与差的正切公式的逆用【数学思想】转化思想【解题过程】由题知1tan tan tan tan 2+A B A B ++=，则tan tan 1tan tan A B A B +=- tan tan tan()11tan tan A B A B A B +∴+==-且A 、B 是 △ABC 的内角，故4A B π+=点拨：求角的大小可以先求这个角的某个三角函数值4．已知cos()sin 6παα-+=则7sin()________6πα+=. 答案：45- 解析：【知识点】和角公式的逆用【数学思想】建模思想【解题过程】13cos()sin sin sin sin 622πααααααα-+=++=+=14cos )sin()sin()266574sin()sin()sin()6665ππααααπππαπαα+=+=∴+=∴+=++=-+=- 点拨：学会处理sin cos y a x b x =+型的函数问题5．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π解析：【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用【数学思想】转化思想【解题过程】原式=sin[(3)]cos[(3)]cos(3)sin(3)242664cos(3)sin(3)cos(3)sin(3)46641sin[(3)(3)]sin()64642x x x x x x x x x x ππππππππππππππ-+⋅-+-++=++-++=+-+=-== 点拨：解题时诱导公式可帮助三角函数名的转化6．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.答案：2解析：【知识点】求根公式【数学思想】化归思想 【解题过程】设22150(2sin 50)4(sin 50)2sin(5045)x ±---==± 12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====3275tan )2tan(+==- αβ点拨：利用本章的公式进行恒等变形.。
高中数学课时训练(人教版必修四)第三章 3.1 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
数学·必修4(人教A 版)第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式基础提升1．已知sin α＝45，cos(α＋β)＝－35，α、β都是第一象限的角，则sin β等于( )A.2425B.725C.2425或725 D ．－2425答案：A2．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2解析：因为f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.故当x ＝π3时，函数取得最大值为2.故选B.答案：B3．已知α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析：∵α＋β＝π4，∴由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝1，可得tan α＋tan β＝1－tan αtan β，故原式可化为1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝1＋()1－tan αtan β＋tan αtan β＝2.故选C.答案：C4．已知tan α＝4, tan β＝3，则tan(α＋β)＝( ) A.711 B －711 C. 713 D ．－713解析：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝4＋31－12＝－711，故选B.答案：B5．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 14°＋22cos 14°＝2sin 59°，b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 16°＋22cos 16°＝2sin 61°， c ＝62＝2×32＝2sin 60°. ∵sin 59°<sin 60°<sin 61°， ∴a <c <b ，故选B. 答案：B巩固提高6.已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈ZD. ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z答案：B 7.sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°等于( )A ．2＋ 3B ．2－ 3C ．1＋32D ．1－32解析：原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°－cos 15°sin 8°＋cos 15°sin 8°cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8° ＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝sin 15°cos 15°＝sin (45°－30°)cos (45°－30°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32－22×1222×32＋22×12＝3－13＋1 ＝4－232＝2－ 3.故选B.答案：B8．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为( )A ．0 B.45 C ． 0或45 D ．0或±45解析：由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧cos α·cos β－sin α·sin β＝45， ①cos α·cos β＋sin α·sin β＝－45， ②①＋②得：2cos αcos β＝0， ∴cos αcos β＝0，故选A.答案： A9．已知函数 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值；解析：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13×5π4－π6＝2sin π4＝ 2.(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013， f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．解析：(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝ 2sin α＝1013， ∴sin α＝513， ∵f (3β＋2π)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋2π3－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β＝65，∴cos β＝35，又α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝1213，sin β＝1－cos 2β＝45，∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. (1)求tan ()α＋β的值；解析：由已知条件即三角函数的定义可知cos α＝210，cos β＝255， 因α为锐角，故sin α>0， 从而sin α＝1－cos 2α＝7210， 同理可得 sin β＝1－cos 2β＝55， 因此tan α＝7，tan β＝12.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)求α＋2β的值．解析：tan(α＋2β)＝tan ＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)·tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1，又0<α<π2，0<β<π2，故0<α＋2β<3π2，从而由 tan(α＋2β)＝－1， 得α＋2β＝3π4.。
最新-2021高中数学必修四课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1 精讲优练课型 精品
【总结提升】 1.两角和的余弦公式的应用技巧 (1)应用两角和的余弦公式要区分三角函数的名称和符号，不能混淆， 即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ. (2)要灵活进行正用、逆用两角和的公式计算或化简.
13
2
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【解析】因为 cos 5 ， ( ，)，
13
2
所以 sin 1 cos2 1 ( 5 )2 12，
13 13
所以 cos( ) coscos sinsin
6
6
6
5 3 12 1 5 3 12 .
13 2 13 2
26
答案： 5 3 12
26
【知识探究】 知识点1 两角和的余弦公式 观察如图所示内容，回答下列问题：
2
2
24 2
42
因为 cos( ) 1，sin( ) 2，
29
2
3
所以 sin( ) 1 cos2 ( ) 1 1 4 5，
2
2
81 9
cos( ) 1 sin2 ( ) 1 4 5，
2
2
93
所以
cos
2
cos
(
) 2
( 2
)
cos( )cos( ) sin( )sin( )
答案：3 4 3 .
10
4.cos 71°sin 11°-sin 71°cos 11°=________.
【解析】cos 71°sin 11°-sin 71°cos 11°=sin(11°-71°) =-sin 60°= .3
2
【基础练习】《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》(数学人教版必修4)(20200722180401)
7．【答案】 A
8．【答案】 C
9. 【答案】 C
10．【答案】 A
5
1
解析： tan A＋ tan B＝ 3， tan A· tan B＝ 3，
5
5
∴tan( A＋ B) ＝ 2，∴ tan C＝－ tan( A＋ B) ＝－ 2，
∴ C 为钝角．
11．【答案】 A
解析：原式＝ tan 10 ° tan 20 °＋ 3tan 20 °＋ 3 tan 10 °
《两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式》
基础练习
成都二十中 谢波老师
1．计算 sin 43 c°os 13 －°cos 43 s°in 13 的°结果等于 ( )
1
3
2
3
A. 2
B. 3
C. 2
D. 2
2． sin 245 s°in 125 ＋°sin 155 s°in 35 的°值是 ( )
3
1
1
3 ＝ 3(tan 10 °＋ tan 20 °＋ 3 tan 10 ° tan 20 ° )
＝ 3tan 30 °＝ 1. 12．【答案】 B
解析： tan( A＋ B) ＝－ tan C＝－ tan 120 °＝ 3，
23
tan A＋ tan B
3
1
∴tan( A＋ B) ＝ 1－ tan Atan B＝ 3 ，即 1－ tan Atan B＝ 3，解得 tan A· tan B＝3.
π xcos 4 － cos xsin
π 4＝
π 2sin x－ 4 .
A ．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．无法确定
11．化简 tan 10 ta°n 20 ＋°tan 20 ta°n 60 ＋°tan 60 ta°n 10 的°值等于 ( )
人教版高中数学必修四知识讲解,巩固练习：专题3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式知识1．两角差的余弦公式（1）公式内容：对于任意角α，β，有cos（α–β）=____________________．简记为C（α–β）．（2）公式推导：①利用三角函数线推导．②利用向量法推导．2．两角和的余弦公式（1）公式内容：对于任意角α，β，有cos（α+β）=____________________．简记为C（α+β）．（2）公式推导：在公式C（α–β）中，将β用–β来替换，并且注意到cos（–β）=cos β，sin（–β）=–sin β，于是cos（α+β）=cos[α–（–β）]=cos αcos（–β）+sin αsin（–β）=cos αcos β–sin αsin β．即cos（α+β）=cos αcos β–sin αsin β．3．两角和与差的正弦公式（1）公式内容：对于任意角α，β，有sin（α±β）=____________________．简记为S（α±β）．（2）公式推导：运用差角的余弦公式C（α–β）及诱导公式，可得sin（α+β）=cos[π2–（α+β）]=cos[（π2–α）–β]=cos（π2–α）cos β+sin（π2–α）sin β=sin αcos β+cos αsin β．运用差角的余弦公式C（α+β）及诱导公式，可得sin（α–β）=cos[π2–（α–β）]=cos[（π2–α）+β]=cos（π2–α）cos β–sin（π2–α）sin β=sin αcos β–cos αsin β．4．两角和与差的正切公式（1）公式内容：tan（α±β）=____________________（α，β，α±β≠π2+kπ，k∈Z）．简记为T（α±β）．（2）公式推导：当cos （α+β）≠0时，将公式S （α+β），C （α+β）的两边分别相除， 有tan （α+β）=c s o in s c cos sin os cos si i n s n αβαβαβαβ-+，若cos αcos β≠0，将上式的分子、分母分别除以cos αcos β， 得tan （α+β）=tan tan 1tan tan αβαβ+-．在T （α+β）中，将β用–β来替换，可得tan （α–β）=tan[α+（–β）]=tan tan()1tan tan()αβαβ+---=tan tan 1tan tan αβαβ-+．5．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S 2α：sin 2α=____________________．（2）C 2α：cos 2α=cos 2α–sin 2α=____________________=1–2sin 2α． （3）T 2α：tan 2α=____________________（α≠k π+π2且α≠π2k +π4，k ∈Z ）． 6．二倍角公式的变形应用 （1）倍角公式的逆用： S 2α：2sin αcos α=sin 2α；sin α=sin 22cos αα； C 2α：cos 2α–sin 2α=2cos 2α–1=1–2sin 2α=cos 2α； T 2α：22tan 1tan αα-=tan 2α；2tan α=tan 2α（21tan α-）． （2）配方变形：1±sin 2α=22sin cos αα+±2sin αcos α=（sin α±cos α）2． （3）因式分解变形：cos 2α=cos 2α–sin 2α=（cos α+sin α）（cos α–sin α） （4）升幂公式：1+cos α=2cos 22α；1–cos α=2sin 22α； 1+sin α=（sin2α+cos 2α）2；1–sin α=（sin 2α–cos 2α）2． （5）降幂公式： sin 2α=1cos22α-；cos 2α=1cos22α+；sin αcos α=12sin 2α． （6）三倍角公式： sin 3α=3sin α–4sin 3α； cos 3α=4cos 3α–3cos α；（简记为：正弦三减四，余弦四减三，立方总在四后边）tan 3α=323tan tan 13tan ααα--．知识参考答案：1．cos αcos β+sin αsin β 2．cos αcos β–sin αsin β 3．sin αcos β±cos αsin β4．tan tan 1tan tan αβαβ±5．（1）2sin αcos α（2）2cos 2α–1（3）22tan 1tan αα-重点重点1．熟练应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式；2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式； 3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；难点 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；易错掌握三角函数的和差公式，二倍角公式的正用、逆用是解决问题的关键．1．两角和与差的正、余弦公式 【例1】cosπ12的值为 A ．622+ B ．624- C ．624+ D ．3【答案】C 【解析】cosπ12=cos （ππ–34）=cos ππcos 34+sin ππsin 3412322222=⨯+⨯624+=．故选C ． 【解题必备】S （α±β）：sin （α±β）=sin αcos β±cos αsin β． C （α±β）：cos （α±β）=cos αcos βsin αsin β．【例2】求值：sin460°sin （–160°）+cos560°cos （–280°）． 【答案】–12【解析】sin460°sin （–160°）+cos560°cos （–280°） =–sin100°sin160°+cos200°cos280° =–sin80°sin20°–cos20°cos80° =–（cos80°cos20°+sin80°sin20°） =–cos （80°–20°） =–cos60° =–12． 2．两角和与差的正切公式【例3】已知π2tan 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________．【答案】9427+ 【解析】由π2tan 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得tan α=ππtan()44α-+=ππtan()tan 44ππ1tan()tan 44αα-+--=2142114+-⨯=4242+-=9427+．【解题必备】T （α±β）：tan （α±β）=tan tan 1tan tan αβαβ±（α，β，α±β≠π2+k π，k ∈Z ）．3．二倍角的正弦、余弦、正切公式 【例4】已知1cos23α=，则tan 2α=A ．23B ．2C ．34D ．12【答案】D【解析】∵1cos23α=，∴cos 2α–sin 2α=13，又∵cos 2α+sin 2α=1，∴cos 2α=23，sin 2α=13，∴tan 2α=22sin 1cos 2αα=．故选D ．【解题必备】S 2α：sin 2α=2sin αcos α． C 2α：cos 2α=cos 2α–sin 2α=2cos 2α–1=1–2sin 2α． T 2α：tan 2α=22tan 1tan αα-（α≠k π+π2且α≠π2k +π4，k ∈Z ）．【例5】若tan（α+π4）=–3，则cos2α+2sin2α=A．95B．1C．–35D．–75【答案】B【解析】由tan（α+π4）=tan11tanαα+-=–3，解得tanα=2，∴cos2α+2sin2α=2222cos sincos sinαααα-++224sin coscos sinαααα=+221tan1tanαα-++24tan1tanαα+=14421414-⨯+++=1．故选B．4．三角函数式的化简（1）三角函数式的化简原则①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的转化，再使用公式．②二看“函数名”，看函数名之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．③三看式子“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．（2）三角函数式的化简要求①使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；②式子中的分母尽量不含三角函数；③尽量使被开方数不含三角函数等．（3）三角函数式的化简方法①异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化；②“1”的代换，三角公式的正用、逆用．【例6】已知cos（x–π6）=33，则cos x+cos（x–π3）=A．–1 B．1C．233D．3【答案】B【解析】∵cos（x–π6）=33，∴cos x+cos（x–π3）=cos x+12cos x+32sin x=3（32cos x+12sin x）=3cos（x–π6）=333⨯=1．故选B．【例7】已知cos（π4+x）=35，若1712π<x<74π，求2sin22sin1?tanx xx+的值．【答案】–28 75．【解析】解法一：由1712π<x<74π，得53π<x+π4<2π．又cos（π4+x）=35，所以sin（π4+x）=–45，所以cos x=cos[（π4+x）–π4]=cos（π4+x）cosπ4+sin（π4+x）sinπ4=35×24–25×22=–2 10，从而sin x=–7210，tan x=7．则2 sin22sin1tanx xx+-=2 2sin cos2sin1tanx x xx+-=2 72272 2()()+2() 10101017-⋅---=–28 75．解法二：由解法一得tan（π4+x）=–43．又sin2x=–cos（π2+2x）=–cos2（π4+x）=–2cos2（π4+x）+1=–1825+1=725．则2 sin22sin1tanx xx+-=2 sin22sinsin1cosx xxx+-=2sin2cos 2sin cos cos sin x x x x x x +- =sin2(sin cos )cos sin x x x x x +- =sin2x ·1tan 1tan x x +-=sin2x ·tan （x+π4）=725×（–43） =–2875． 5．求角时选择三角函数类型不当导致错误 【例8】已知sin α=55，sin β=1010，α和β都是锐角，则α+β= A ．π4B ．π3 C ．π4或3π4D ．3π4【答案】A【解析】因为α和β都是锐角，且sin α=55，sin β=1010，所以cos α=255，cos β=31010，cos （α+β）=cos αcos β–sin αsin β=255×31010–55×1010=22．又α+β∈（0，π），所以α+β=π4．故选A ．基础训练1．sin15°+cos15°的值为 A ．62 B ．62-C ．22D ．22-2．若sin αsin β=1，则cos （α–β）的值为 A ．0B ．1C ．±1D ．–13．把ππsin sin 44x x ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可化简为 A ．2cos x B ．2sin x C ．2sin x -D ．2cos x -4．计算sin15°sin75°的结果是 A ．12 B ．14C ．624- D ．624+ 5．已知1sin23α=，则2π4cos α⎛⎫+ ⎪⎝⎭= A ．16 B ．13C ．23D ．1223± 6．已知直线3x –y +1=0的倾斜角为α，则tan （α+π4）= A ．–2 B ．–12C ．2D ．127．已知sin （α+π2）=13，则cos2α= A ．–79 B ．79C ．–19D ．198．sin57sin27cos30cos27︒-︒︒︒=A ．12 B ．32 C ．–12D ．–329．已知α，β为第二象限的角，cos（π4α-）=35-，sin（β+π4）=513，则sin（α+β）的值为A．3365B．–6365C．6365D．3365-10．若2tanα=1，tanβ=–2，则tan（α+β）=__________．11．若2tanα=tan420°，则πtan3α⎛⎫+⎪⎝⎭=__________．12．计算：sin163°sin223°+sin253°sin313°．能力提升13．已知sin（α–π6）=23，则cos（α+π3）+sin（α+5π6）=A．0 B．4 3C．–43D．2314．化简cos2（7π–28x）–cos2（2x+7π8）=A．–22sin x B．22sin xC．–22cos x D．22cos x15．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点P（–1，–2），则tan2θ等于A．45B．–45C．43D．–4316．若sin cossin5cosαααα+-=3，则cos2α=A ．–2425B ．–6365 C ．2425D ．72517．已知sin （π6–α）=63，则cos （2α+2π3）=A ．–23B ．–13 C ．23D ．1318．若π4sin 65x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-19．若()1sin 26αβ-=，()1sin 22αβ+=，则sin2αcos β= A ．23 B ．13C ．16D ．11220．已知cos α=35，cos （α–β）=7210，且0<β<α<π2，那么β=A ．π12B ．π6C ．π4D ．π321．若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为A ．13-B ．79-C ．13D ．7922．已知3cos 5α=-，ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．（1）求πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）求tan2α的值．23．（1）设α为锐角，若cos（π6α+）=45，求sin（2π3α+）的值；（2）已知：cos（π2+α）=3sin（5π4α+），求πtan8πtan8α⎛⎫+⎪⎝⎭的值．24．已知ππ2α<<，4sin5α=．（1）求tan2α的值；（2）求πcos24α⎛⎫-⎪⎝⎭的值．25．已知α，β都是锐角，sinα=13，sin（2α–β）=45．（1）求cosβ的值；（2）求sin（α–β）的值．真题练习26．[2018全国卷Ⅲ文]已知sinα–cosα=43，则sin2α=A．79-B．29-C．29D．7927．[2019山东模拟]函数f（x）=（3sin x+cos x）（3cos x–sin x）的最小正周期是A．π2B．πC．3π2D．2π28．[2018全国卷Ⅰ文]已知θ是第四象限角，且sin（θ+π4）=35，则tan（θπ4-）=__________．29．[2019浙江模拟]已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（35 -，45-）．（1）求sin（α+π）的值；（2）若角β满足sin（α+β）=513，求cosβ的值．参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 13A B D B B A A A B C14 15 16 17 18 19 20 21 26 27A DB D D BC B A B 1．【答案】A【解析】解法一：sin15°+cos15°=62626442+-+=，故选A．解法二：（sin15°+cos15°）2=31sin302+︒=，所以sin15°+cos15°的值为3622=，故选A．2．【答案】B【解析】由sin αsin β=1，得cos αcos β=0，∴cos （α–β）=cos αcos β+sin αsin β=0+1=1．故选B ． 3．【答案】D 【解析】ππsin sin 44x x ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=sin x cos π4–cos x sin π4–（sin x cos π4+cos x sin π4）=–2cos x sin π4=–2cos x ．故选D ． 4．【答案】B【解析】sin15°sin75°=sin15°cos15°=12sin30°=14．故选B ． 5．【答案】B【解析】∵1sin23α=，∴2π11cos 21π1sin2123cos 42223ααα⎛⎫++- ⎪-⎛⎫⎝⎭+==== ⎪⎝⎭．故选B ． 6．【答案】A【解析】∵直线3x –y +1=0的倾斜角为α，∴tan α=3，则tan （α+π4）=tan 11tan αα+-=–2，故选A ． 7．【答案】A 【解析】sin （α+π2）=13=cos α，则cos2α=2cos 2α–1=2×19–1=–79，故选A ． 8．【答案】A 【解析】sin57sin27cos30sin27cos30sin30cos27sin27cos30cos27cos27︒-︒︒︒︒+︒︒-︒︒=︒︒=sin30°=12．故选A ． 9．【答案】B【解析】∵α，β为第二象限的角，cos （π4α-）=35-，sin （β+π4）=513， ∴π4α-为钝角，β+π4为钝角， ∴sin （π4α-）=2π41cos 45α⎛⎫--= ⎪⎝⎭，cos （β+π4）=–2π1sin 4β⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=–1213，则sin （α+β）=sin[（π4α-）+（β+π4）] =sin （π4α-）cos （β+π4）+cos （π4α-）cos （π4α-）=412513⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭+（–35）•513=–6365，故选B ．10．【答案】3 4 -【解析】∵2tanα=1，∴tan12α=，又tanβ=–2，∴tan（α+β）=()12tan tan3211tan tan4122αβαβ-+==---⨯-．故答案为：34 -．11．【答案】33-【解析】∵2tanα=tan420°=tan60°=3，∴tanα=32，∴π3tan tan3π32tanπ331tan tan1332ααα++⎛⎫+==⎪⎝⎭-⋅-⋅=–33，故答案为：33-．12．【答案】1 2【解析】sin163°sin223°+sin253°sin313°=sin（180°–17°）sin（180°+43°）+sin（180°+73°）sin（360°–47°）=–sin17°sin43°+sin73°sin47°=–sin17°sin43°+cos17°cos43°=cos（17°+43°）=cos60°=12．13．【答案】C【解析】由于sin（α–π6）=23，则π2πs i n c o s63αα⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=–cos（π3α+）=–23，所以cos（α+π3）+sin（α+5π6）=1331cos sin sin cos2222αααα--+=cos3sinαα-=2cos（π3α+）=–43，故选C．14．【答案】A【解析】cos2（7π–28x）–cos2（2x+7π8）=7π7π1cos1cos44–22x x⎛⎫⎛⎫+-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=12[cos x cos 7π4+sin x sin 7π4–（cos x cos 7π4–sin x sin 7π4）] =12•2sin x sin 7π4=–12•2•sin x sin π4=–22sin x ，故选A ．15．【答案】D【解析】∵角θ的终边经过点P （–1，–2），∴x =–1，y =–2，r =|OP |=5， ∴sin θ=25y r -=，cos θ=15x r -=，tan θ=yx =2，则tan2θ=22tan 1tan θθ-=–43．故选D ． 16．【答案】B【解析】若sin cos tan 1sin 5cos tan 5αααααα++=--=3，则tan α=8，∴cos2α=222222cos sin 1tan cos sin 1tan αααααα--=++=–6365，故选B ． 17．【答案】D【解析】∵sin （π6–α）=63，则cos （2α+2π3）=–cos[π–（2α+2π3）]=–cos （π3–2α）=–1+22π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故选D ． 18．【答案】D【解析】∵sin （π6–x ）=–sin （x –π6）=45，∴sin （x –π6）=–45，∴sin （2x +π6）=sin （2x –π3+π2）=cos （2x –π3）=cos[2（x –π6）]=1–2sin 2（x –π6）=1–2×（–45）2=–725．故选D ． 19．【答案】B【解析】由()1sin 26αβ-=，可得sin2αcos β–cos2αsin β=16；由()1s i n 22αβ+=，可得sin2αcos β+cos2αsin β=12．两式相加，得2sin2αcos β=112623+=，所以sin2αcos β=13．故选B ． 20．【答案】C【解析】由0<β<α<π2，得到0<α–β<π2，因为cos α=35，cos （α–β）=cos （β–α）=7210，所以sin α=241cos 5α-=，sin （β–α）=–sin （α–β）=–()21cos αβ--=–210，则cos β=cos[（β–α）+α]=cos （β–α）cos α–sin （β–α）sin α=7210×35–（–210）×4522=，所以β=π4．故选C ． 21．【答案】B【解析】∵π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴cos （π3α+）=13，∴2πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos2（π3α+）=2π2cos 13α⎛⎫+-=⎪⎝⎭1219⨯-=79-．故选B ． 22．【答案】（1）210；（2）247． 【解析】（1）∵3cos 5α=-，ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴sin 241cos 5αα=-=，∴πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos αcos π4+sin αsin π324224525210=-⨯+⨯=； （2）∵tan α=4sin 453cos 35αα==--， ∴tan2α=2282tan 24341tan 71()3αα-==---． 23．【解析】（1）因为α为锐角，cos （π6α+）=45， 所以sin （π6α+）=35， 则sin （2π3α+）=2sin （π6α+）cos （π6α+）=234245525⨯⨯=．（2）由已知得cos （π2+α）=3sin （5π4α+），则–sin α=–3sin （π4α+），即sin α=3sin （π4α+），所以sin[（π8α+）–π8]=–3sin[（π8α+）+π8]，所以ππππ2sin cos 4cos sin 8888αα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得：πtan 82πtan 8α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-． 24．【解析】（1）由ππ2α<<，4sin 5α=，得cos α=–231sin 5α-=-，∴4tan 3α=-． ∴282tan 243tan2161tan 719ααα-===--； （2）∵2247cos212sin 12()525αα=-=-⨯=-，4324sin22sin cos 25525ααα⎛⎫=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，∴πcos 24α⎛⎫-⎪⎝⎭ππcos2cossin2sin 44αα=⋅+⋅ 72242252252⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 31250=-． 25．【解析】因为α，β都是锐角()14sin sin 235ααβ=-=，， 所以222cos 1sin 3αα=-=， 且()πππ302cos 24225ααβαβ<<-<-<-=，，， 所以42sin22sin cos 9ααα==， 227cos2cos sin 9ααα=-=， （1）()cos cos 22βααβ⎡⎤=--⎣⎦()()cos2cos 2sin2sin 2ααβααβ=-+-2116215+=；（2）()()sin sin 2αβαβα⎡⎤-=--⎣⎦()()sin 2cos cos 2sin αβααβα=---82315-=． 26．【答案】A【解析】将sin α–cos α=43的两边进行平方，得sin 2α–2sin αcos α+cos 2α=169，即sin2α=79-，故选A ． 27．【答案】B【解析】通性通法由题意，得f （x ）=3sin x cos x 3-sin 2x +3cos 2x –sin x cos x =sin2x +3cos2x =2sin （2x +π3）．故该函数的最小正周期T =2π2=π．故选B ． 光速解法由题意，得f （x ）=2sin （x +π6）×2cos （x +π6）=2sin （2x +π3）．故该函数的最小正周期T =2π2=π．故选B ． 28．【答案】43-【解析】方法一：因为sin （θ+π4）=35，所以cos （θπ4-）=sin[π2+（θπ4-）]=sin （θ+π4）=35，因为θ为第四象限角，所以π2-+2k π<θ<2k π，k ∈Z ，所以3π4-+2k π<θπ4-<2k ππ4-，k ∈Z ，所以sin （θπ4-）=231()5--=45-，所以tan （θπ4-）=πsin()4πcos()4θθ--=43-． 方法二：因为θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35，所以θ+π4为第一象限角，所以cos （θ+π4）=45，所以tan （θπ4-）=πsin()4πcos()4θθ--=ππcos[()]24ππsin[()]24θθ-+-+-=πcos()4πsin()4θθ+-+=43-． 29．【解析】（1）由角α的终边过点P （35-，45-），得sin α=45-，所以sin （α+π）=–sin α=45．（2）由角α的终边过点P （35-，45-），得cos α=35-，由sin （α+β）=513，得cos （α+β）=±1213．由β=（α+β）–α，得cos β=cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α，所以cosβ=5665或cosβ=1665．。
人教A版高中数学必修四课后训练{3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式}
课后训练1．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝( )A ．12B ．2D ．12-2．已知π1sin 64α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos αsin α的值为( ) A ．14-B ．12C ．2D ．－13．若sin α－sin β＝12-，cos α－cos β＝12-，则cos(α－β)的值为( )A ．12BC D ．1 4．在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．36．化简：2cos1050cos50︒︒︒＝__________． 7．若α，β均为锐角，且cos α＝1，cos(α＋β)＝1114-，则cos β＝__________．8．在△ABC 中，若tan A ＋tan B A tan B ，则角C 等于________．9．已知函数f (x )＝π2cos 6x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π． (1)求ω的值；(2)设α，β∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，565π35fα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，5165π617fβ⎛⎫-=⎪⎝⎭，求cos(α＋β)的值．10．若35sinπ+413α⎛⎫=⎪⎝⎭，π3cos45β⎛⎫-=⎪⎝⎭，且0＜α＜π4＜β＜3π4，求cos(α＋β)的值．参考答案1答案：A 解析：原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝12． 2答案：B 解析：cos αα＝ππ2cos cos sin sin 33αα⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭＝π2cos 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π12sin =62α⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 3答案：B 解析：将sin α－sin β＝1，cos α－cos β＝12-平方后相加得2－2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2，2－2cos(α－β)＝2， ∴cos(α－β)4答案：A 解析：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，∴2cos B sin A ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ．∴－sin A cos B ＋cos A sin B ＝0．即sin(B －A )＝0．又∵0＜A ＜π，0＜B ＜π，∴A ＝B ，故选A ．5答案：A 解析：因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tanβ＝3，tan α·tan β＝2，而tan(α＋β)＝tan tan 3=1tan tan 12αβαβ+-⋅-＝－3，故选A ． 6答案：1 解析：＝12cos5050502cos50⎛⎫︒︒︒ ⎪⎝⎭︒＝cos50cos50︒︒ ＝1．7答案：12 解析：∵α为锐角，且cos α＝17， ∴sin α． ∵α与β均为锐角，且cos(α＋β)＝1114-， ∴sin(α＋β)． ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝11111472-⨯+． 8答案：π3 解析：由已知，得tan A ＋tan B (tan A tan B －1)，即tan tan =1tan tan A B A B +-∴tan(A ＋B )＝∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )∴C ＝π3． 9答案：解：(1)由于2π==10πT ω，所以15ω=． (2)515π5π=2cos 5π3536f αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ＝π2cos 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－2sin α＝65-， 所以3sin 5α=． 又515π5π=2cos 5π6566f ββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ＝2cos β＝1617， 所以cos β＝817． 因为α，β∈π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以cos α45，sin β1517， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝4831513=51751785⨯-⨯-． 10答案：解：∵π3π044αβ<<<<， ∴3π3π+<π44α<，ππ024β-<-<． 又已知3π5sin 413α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π3cos 45β⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴3π12cos 413α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π4sin 45β⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．∴cos(α＋β)＝πsin()2αβ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦＝3ππsin44αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝3ππ3ππsin cos cos sin4444αβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5312433 13513565⎛⎫⎛⎫⨯--⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．。
高中数学人教A版必修四课时训练：3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 Word版含答案.docx
第三章三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1 两角差的余弦公式课时目标 1.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.2.掌握两角差的余弦公式．两角差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝____________________________，其中α、β为任意角．一、选择题 1．cos15°cos105°＋sin15°sin105°＝( )A ．－12B.12C ．0D ．12．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得( ) A ．cos αB ．cos βC ．cos(2α＋β)D ．sin(2α＋β) 3．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得( ) A.12B ．－12C.32D ．－324．若cos(α－β)＝55，cos2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )A.π6B.π4C.3π4D.5π65．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( )A ．－55B.55C.11525D. 56．若sin α＋sin β＝1－32，cos α＋cos β＝12，则cos(α－β)的值为( )A.12B ．－32C.34D ．1 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．cos15°的值是________．8．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.9．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．10．已知α、β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β的值为________．三、解答题11．已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．12．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．能力提升13．已知cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos α＋β2的值．14．已知α、β、γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值．1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1 两角差的余弦公式答案知识梳理cos αcos β＋sin αsin β 作业设计 1．C 2.B3．A [原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝12.]4．C [sin(α－β)＝－255(－π2<α－β<0)．sin2α＝31010，∴cos(α＋β)＝cos [2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝1010·55＋⎝⎛⎭⎫31010·⎝⎛⎭⎫－255＝－22，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.]5．B [∵sin(π＋θ)＝－35，∴sin θ＝35，θ是第二象限角，∴cos θ＝－45.∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，∴cos φ＝－255， φ是第三象限角，∴sin φ＝－55.∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－255＋35×⎝⎛⎭⎫－55＝55.]6．B [由题意知⎩⎨⎧sin α＋sin β＝1－32 ①cos α＋cos β＝12②①2＋②2⇒cos(α－β)＝－32.] 7.2＋648.83解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝83.9．－12解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ ①cos α＋cos β＝－cos γ②①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－12.10．－π4解析 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝255，sin β＝31010，∵sin α<sin β，∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255·1010＋55·31010＝22，∴α－β＝－π4.11．解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝43， ∴sin α＝437，cos α＝17.∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－1114，∴sin(α＋β)＝5314.∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.12．解 ∵π2<α－β<π，cos(α－β)＝－45，∴sin(α－β)＝35.∵32π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－35， ∴cos(α＋β)＝45.∴cos2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝45×⎝⎛⎭⎫－45＋⎝⎛⎭⎫－35×35＝－1.∵π2<α－β<π，32π<α＋β<2π，∴π2<2β<3π2，∴2β＝π，∴β＝π2. 13．解 ∵π2<α<π，∴π4<α2<π2.∵0<β<π2，∴－π2<－β<0，－π4<－β2<0.∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2. 又cos(α－β2)＝－19<0，sin(α2－β)＝23>0， ∴π2<α－β2<π，0<α2－β<π2. ∴sin(α－β2)＝1－cos 2(α－β2)＝459.cos(α2－β)＝1－sin 2(α2－β)＝53.∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β)＝(－19)×53＋459×23＝7527. 14．解 由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝12，∴β－α＝±π3.∵sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴β－α＝π3.。
高中数学人教A版必修四课时训练：3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2(一) 含答案
24 3
4
3
作业设计
1．A
2．B [原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35°
＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°
1 ＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－ .]
2
4
3
3．C [∵cos α＝ ，cos(α＋β)＝ ，
5
5
3
4
∴sin α＝ ，sin(α＋β)＝ .
＋β)时，不要将 cos(α＋β)和 sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋
β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.
3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意，灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角
与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．
1
3
π
5．B [f(x)＝(1＋ 3tan x)cos x＝cos x＋ 3sin x＝2( cos x＋ sin x)＝2sin(x＋ )，
2
2
6
π ∵0≤x< ，
2
π π 2π ∴ ≤x＋ < .
6 63
∴f(x)max＝2.] 6．C [∵sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B
( )π
2
此时，由 sin x＋ ＝－ ，
42
π 解得 x＝2kπ－π 或 x＝2kπ－ ，k∈Z.
2
1
当 t＝
2，即 sin x＋cos x＝
2时，f(x)max＝
2＋ . 2
( ) ( ) π
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课后集训基础达标1.已知α、β为锐角，且cos （α+β）=1312，cos （2α+β）=53，那么cosα的值是（ ） A.6556 B.-6556 C.259 D.-259解析：∵α、β为锐角，∴α+β∈（0，π），2α+β∈（0，π23）.又cos （α+β）=1312，cos （2α+β）=53，∴sin （α+β）=135，sin （2α+β）=54，cosα=cos ［（2α+β）-（α+β）］=cos （2α+β）cos （α+β）+sin （2α+β）sin （α+β）=1312×53+135×54=6556.∴选A. 答案：A 2.当-2π≤x≤2π时，函数f （x ）=sinx+3cosx 的（ ） A.最大值是1，最小值是-1 B.最大值是1，最小值是-21C.最大值是2，最小值是-21D.最大值是2，最小值是-1 解析：f （x ）=sinx+3cosx=2（21sinx+23cosx ） =2sin （x+3π）. ∵-2π≤x≤2π，∴-6π≤x+3π≤65π.从而-1≤2sin （x+3π）≤2.∴选D. 答案：D3.若（4tanα+1）（1-4tanβ）=17，tanαtanβ≠-1,则tan （α-β）的值为（ ） A.41 B.21C.4D.12 解析：∵（4tanα+1）（1-4tanβ）=17， tanαtanβ≠-1，∴4tanα-4tanβ=16+16tanαtanβ. ∴βαβαtan tan 1tan tan +-=4=tan （α-β）.∴选C. 答案：C4.在△ABC 中，若2cosB·sinA=sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 解析：sinC=sin ［π-（A+B ）］=sin （A+B ）， ∴2cosB·sinA=sin （A+B ）. ∴可得sinAcosB-cosAsinB=0， 即sin （A-B ）=0，A=B.∴三角形为等腰三角形，故选答案C. 答案：C 5.sin15°sin75°的值是_________________. 解析：原式=sin （45°-30°）sin （45°+30°） =（sin45°cos30°-cos45°sin30°）（sin45°cos30°+cos45°sin30°） =（4246-）×（4246+）=41. 答案：416.αααcos )30sin()30sin(︒--︒+的值为_________________.解析：原式=.1cos cos 212cos 30sin cos 30cos sin 30sin cos 30cos sin =⨯=︒+︒-︒+︒ααααααα答案：1综合运用7.a=sin12°+cos12°与b=2sin56°的大小关系是（ ）A.a=bB.a ＜bC.a ＞bD.a≤b 解析：化简a=2sin （12°+45°）=2sin57°，∴a ＞b. 答案：C8.在△ABC 中，已知cosA=135，sinB=53，则cosC 等于（ ） A.6516 B.6556 C.6516或6556 D.6516-解析：cosC=cos ［π-（A+B ）］=-cos （A+B ）=-cosAcosB+sinAsinB.因为cosA=135，所以A 必为锐角，所以sinA=1312.因为sinB=53，若B 为钝角，则π43＜B ＜π65，3π＜A ＜2π，所以13[]12π＜A+B ＜34π，所以B 不可能为钝角，故B 必为锐角.所以cosB=54，则cosC=-135·54+1312·53=6516. 答案：A 9.如下图，△ABC 中，∠BAC=45°，BC 边上的高AD 将BC 分成2 cm 和3 cm 两段，求△ABC 的面积.解：设∠BAD=α，∠CAD=β，AD=x.在Rt △ADB 中，tanα=x AD BD 2=. 在Rt △ADC 中，tanβ=xAD DC 3=. tan45°=,132132tan tan 1tan tan =∙-+=∙-+xx x x βαβα即652-x x =1. 解这个方程，得x=6或x=-1（舍）， 故S △ABC =21×5×6=15（cm 2）. 拓展探究10.（探究题）是否存在锐角α、β，使α+2β=π32①，tan 2α·tanβ=（2-3）②同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由.解：假设存在锐角α，β，则由①式得tan （2α+β）=3tan 2tan1tan 2tan=∙-+βαβα③.将②式代入③得tan2α+tanβ=3-3.所以tan 2α，tanβ是方程x 2-（3-3）x+（2-3）=0的两个根.解得x 1=1，x 2=2-3.又0＜2α＜4π，所以tan 2α≠1.所以tan 2α=2-3，tanβ=1，tanα=tan （2α+2α）·.33)32(1)32(22tan12tan222=---⨯=-αα 所以α=6π，β=4π.所以存在α=6π，β=4π使①②式同时成立.备选习题11.已知tanα、tanβ是一元二次方程x 2+33x+4=0的两个根，α，β∈（-2π，2π），求α+β. 解：易知tan （α+β）=3， ∵α，β∈（-2π，2π），又∵tanα+tanβ=-33＜0，tanα·tanβ=4＞0，∴tanα＜0，tanβ＜0. ∴α∈（-2π，0），β∈（-2π，0）. ∴α+β∈（-π，0）. ∴α+β=-π32. 12.已知sin （2α+β）+2sinβ=0，求证： tanα=3tan （α+β）.证明：由条件得：sin ［（α+β）+α］+2sin ［（α+β）-α］=0，∴sin （α+β）·cosα+cos （α+β）·sinα+2sin （α+β）·cosα-2cos （α+β）·sinα=0. ∴sinα·cos （α+β）=3cosα·sin （α+β）. ∴)cos()sin(3cos sin βαβααα++=. 即：tanα=3tan （α+β）.13.求证：tan （α+β）-tan （α-β）-tan2β=tan （α+β）·tan （α-β）tan2β. 证明：由角之间的关系观察到2β=（α+β）-（α-β），所证等式可由tan2β=tan ［（α+β）-（α-β）］变形而得到. ∵tan2β=tan ［（α+β）-（α-β）］ =,)tan()tan(1)tan()tan(βαβαβαβα-++--+∴tan2β［1+tan （α+β）·tan （α-β）］=tan （α+β）-tan （α-β）. ∴tan2β+tan （α+β）tan （α-β）tan2β=tan （α+β）-tan （α-β）. ∴tan （α+β）-tan （α-β）-tan2β=tan （α+β）·tan （α-β）tan2β.14.tanα，tanβ是方程ax 2-（2a+1）x+（a+2）=0的两根，求tan （α+β）的取值范围.解析：因为tanα、tanβ是方程ax 2-（2a+1）x+（a+2）=0的两根，则有Δ=（2a+1）2-4a （a+2）≥0且a≠0.解得a≤41且a≠0, ∴a 的取值范围是（-∞，0）∪（0，41］. 由根与系数关系知tanα+tanβ=a a 12+，tanα·tanβ=aa 2+. 于是tan （α+β）=βαβαtan tan 1tan tan -+=,212122112--=-+=+-+a a aa a a由于-a-21≥-41-21=43-.且-a-21≠-21，∴tan （α+β）的取值范围是［43-，-21）∪（-21，+∞）.15.已知sin （α+β）=21，sin （α-β）=31，求)tan(tan tan tan )tan(2βαββαβα+--+的值. 解：∵sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=21， sin （α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=31， ∴两式相加得sinαcosβ=125，两式相减得cosαsinβ=121. ∴βαβαsin cos cos sin =5，即βαtan tan =5.∴)tan(tan )tan tan 1)(tan()tan()tan(tan tan tan )tan(22βαββαβαβαβαββαβα+-+-+=+--+ βαββαtan tan tan tan tan 2===5.。