高中数学必修4知识点总结：第三章 三角恒等变换
高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《第三章 三角恒等变换》归纳整合
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专题一
给值求值
给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关 键在于“变角”．使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法 是： (1)将待求式用已知三角函数表示． (2)将已知条件转化从而推出可用的结论． 其中“凑角法”是解决 此类问题的常用技巧．解题时首先是分析已知式与待求式之间 角、函数、结构间的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或 两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值．
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【例 1】 已知 的值． 解
π π 1 sin4＋αsin4－α＝6，且
π sin 4α α∈2，π，求 1＋cos2α
π π 1 ∵sin4＋αsin4－α＝6，
1 x＝3.
1 1－tan2x 1－9 4 tan x tan x ∴tan 2x＝ 2tan x ＝ 2 ＝ 2 ＝9. 1－tan2x 答案 4 9
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5．(2011· 全国高考)已知 ________.
π α∈2，π，sin
5 α＝ 5 ，则 tan 2α＝
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法二
22＋1＋cos 4x 22＋2cos22x 21＋cos22x 右边＝ ＝ 8sin2xcos2x ＝ 4sin2xcos2x ＝ 2sin22x
sin2x＋cos2x2＋cos2x－sin2x2 2sin4x＋cos4x 1 2 ＝ ＝ tan x ＋ 2 2sin2xcos2x 2sin2xcos2x tan x ＝左边． 原式得证．
高中新课程数学(苏教版必修四)《第三章 三角恒等变换》归纳整合课件
1 ＝sin αsin β－cos αcos β＋cos α＋cos β－ 2
2 2 2 2 2 2
1 ＝sin αsin β＋cos α(1－cos β)＋cos β－2
2 2 2 2 2
1 ＝sin αsin β＋cos αsin β＋cos β－2
2 2 2 2 2
1 ＝sin β(sin α＋cos α)＋cos β－ 2
2
3．常用角的变换 在和(差)公式中，需分析已知角与已知角、目标角与已知角间 的关系． 常见角的变换有：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β； 2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(β＋α)－(β－α)； 2α＋β＝(α＋β)＋α；α＋2β＝(α＋β)＋β； α＋β α＋β α＋β＝ 2 ＋ 2 ，
α－β α＋β β α β α ＝α－2－2－β； ＝α＋2－2＋β 2 2
1 1 ＝ (1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β)＋ (1＋cos 2αcos 2β＋ 4 4 1 1 1 1 cos 2α＋cos 2β)－ cos 2αcos 2β＝ ＋ ＝ . 2 4 4 2
法四 原式＝(sin αsin β－cos αcos β)2＋2sin αsin β· cos αcos β 1 －2cos 2αcos 2β 1 1 ＝cos (α＋β)＋ sin 2αsin 2β－ cos 2αcos 2β 2 2
4 1 【例 2】 已知 α，β 为锐角，cos α＝ ，tan(α－β)＝－ ，求 5 3 cos β 的值．
π π 解 ∵0＜α＜2，0＜β＜2， π π ∴－2＜α－β＜2， 1 π 又 tan(α－β)＝－3，∴－2＜α－β＜0. 1 sinα－β 由 tan(α－β)＝－ ＝ ， 3 cosα－β
高二必修四数学三角恒等变换知识点
高二必修四数学三角恒等变换知识点 2019 年
在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。
以下是查词典大学网为大家整理的高二必修四数学三角恒
等变换知识点，希望能够解决您所碰到的有关问题，加油，
查词典大学网向来陪同您。
知识构造：
1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
要点：经过探究和议论沟通，导出两角差与和的三角函数的
十一个公式，并认识它们的内在联系。
难点：两角差的余弦公式的探究和证明。
2. 简单的三角恒等变换
要点：掌握三角变换的内容、思路和方法，领会三角变换的
特色.
难点：公式的灵巧应用 .
三角函数几点说明：
1. 对弧长公式只需求认识，会进行简单应用，不用在应用方
面加深 .
2. 用同角三角函数基本关系证明三角恒等式和求值计算，熟
练副角和 sin 和 cos 的计算 .
3. 已知三角函数值求角问题，达到课本要求即可，不用拓展 .
4. 娴熟掌握函数 y=Asin(wx+j) 图象、单一区间、对称轴、对
称点、特别点和最值 .
第 1 页
5. 积化和差、和差化积、半角公式只作为练习，不要求记忆 .
6. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
最后，希望小编整理的高二必修四数学三角恒等变换知识点
对您有所帮助，祝同学们学习进步。
第 2 页。
人教版高中数学必修4第三章小结
【解】 (1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，
于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝14. (2)由|a|＝|b|，知sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－
2sin2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，
温馨 提 示
请做：单元综合测试(三)
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【例1】 已知sin(π4＋α)sin(4π－α)＝16，α∈(2π，π)，求 1＋sinc4oαs2α的值．
【分析】 先由已知求出cos2α与sin2α的值，再把待 求式化简得到关于cos2α与sin2α的式子，把cos2α与sin2α的 值代入即可．
【解】 ∵sin(π4＋α)sin(4π－α)＝16， ∴sin(π4＋α)·cos(π4＋α)＝16， sin(π2＋2α)＝13，即cos2α＝13. 又α∈(π2，π)，2α∈(π，2π)， ∴sin2α＝－ 1－cos22α＝－ 1－132＝－232，
3 10
.
cos(α－β)＋sinα·sin(α－β)
＝45×
3－ 10
110×35＝9 5010
.
【评析】 变角是给值求值问题最为常见的技巧，因 此对于角的常见变换要熟悉，具体的变角技巧可参见第一 节的相关内容．当然还要熟悉一些互余角的关系．
【例3】 已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝ (1,2)．
∵0<α<2π，0<β<2π，∴－π2<α－β<2π， 又tan(α－β)＝－13，∴－2π<α－β<0. 又∵cosα＝45，0<α<2π，∴sinα＝35. 又tan(α－β)＝－13＝csoinsαα－－ββ，
高中数学必修四 第三章三角恒等变换章末整合
=
2(2+2cos22������) 2sin22������
=
2(1+cos22������) 4sin2������cos2������
(sin2������ + cos2������)2 + (cos2������-sin2������)2
=
2si n2 ������cos2 ������
=
2(sin4������+cos4������) 2sin2������cos2������
求������, ������的值.
解:(1)当 a=1 时,f(x)=2cos2x+2sin xcos x+b
=cos 2x+1+sin 2x+b=
2sin
2������
+
π 4
+ 1 + ������,
则 f(x)的周期为 T=π.
令
2kπ−
π2≤2x+
π4≤2kπ+
π 2
(������
∈Z),
2tan������
tan2������ = 1-tan2������
应用——三角函数式的求值、化简和证明,讨论三角函数的性质
专题一 专题二 专题三 专题四
专题一 三角函数与向量的结合 三角函数与平面向量相结合是近几年来的高考亮点,它常常包括 向量与三角函数化简、求值及证明的结合,向量与三角函数的图象 与性质的结合等几个方面.此类题目主要考查三角函数的图象与性 质,以及三角函数的化简、求值.
高中数学必修四
第三章 三角恒等变换 本章整合
知识总结与综合应用
cos(������-������) = cos������cos������ + sin������sin������
高一数学必修四三角恒等变换知识点
高一数学必修四三角恒等变换知识点两角和差公式⒉两角和与差的三角函数公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβtanα+tanβ(α+β)=——————1-tanα·tanβtanα-tanβtan(α-β)=——————1+tanα·tanβ倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)sin2α=2sinαcosαcos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)2tanαtan2α=—————1-tan^2(α)半角公式⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)1-cosαsin^2(α/2)=—————21+cosαcos^2(α/2)=—————21-cosαtan^2(α/2)=—————1+cosα万能公式⒌万能公式2tan(α/2)sinα=——————1+tan^2(α/2)1-tan^2(α/2)cosα=——————1+tan^2(α/2)2tan(α/2)tanα=——————1-tan^2(α/2)和差化积公式⒎三角函数的和差化积公式α+βα-βsinα+sinβ=2sin—----·cos—---22α+βα-βsinα-sinβ=2cos—----·sin—----22α+βα-βcosα+cosβ=2cos—-----·cos—-----22α+βα-βcosα-cosβ=-2sin—-----·sin—-----22积化和差公式⒏三角函数的积化和差公式sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]9解三角形步骤1.在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。
高中数学必修4第三章_三角恒等变换知识点
111高中数学必修4第三章三角恒等变换知识点⑴商的关系： ① tan y sin x cos ②cotx cos y sin ③sin y cos ta n④cosx .r r⑵倒数关系： tan cot 1⑶平方关系： sin 2 cos 212、两角和与差的正弦、 余弦和正切公式：⑴cos cos cos sin sin:⑵ cos cos cos ⑶sin sin cos cos sin :⑷ sinsin cos ⑸ta ntan tan(tan tantan 1 1 tan tan ⑹ta n tan tan (tan tantan 11 tan tan1、同角关系: cos sintan tan 余弦和正切公式: 3、二倍角的正弦、 sin sin tan tan⑴ si n2 2sin cos 1 sin 2 sin 2 cos 22si n cos (sincos )2⑵ cos2 2 cos.2 sin 2cos 21 1 2si n 2升幕公式 cos 降幕公式 cos 2c 22cos — 2 cos2 1 1 cos 2sinsin 221 cos2⑶tan2羊1 tan 24、万能公式: ① sin 22 ta n 1 tan 2② cos2ta n 2 tan 2 ③ tan 22ta n 1 tan 2④ si n 2tan 21 tan 2⑤ cos 2_____1 tan 25、半角公式cos—2sin —2cos tan2 cossin 1 cos1 cos sin（后两个不用判断符号，更加好用）6、asin bcos . a2b2sin(（其中辅助角与点（a,b）在同一象限，且tanb-)a2。
必修4-第三章三角恒等变换-知识点详解
必修4 第三章三角恒等变换知识点详解3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-2. 倍角公式：()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-3. 正切变形公式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)3.2 简单的三角恒等变换三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）， （2）公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。
人教B版高中数学必修四《第三章 三角恒等变换 本章小结》_3
课题：三角恒等变换【学习目标】1、进一步掌握三角恒等变换的方法。
2、熟练运用三角公式对三角函数式进行化简、求值和证明，培养数学运算核心素养。
3、体会转化与化归思想的应用。
【重点、难点】重点：能运用三角公式进行简单的恒等变换。
难点：三角公式的变形及灵活运用。
【自主学习】1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式()()()()()()cos ______________________;cos ______________________sin ______________________;sin ______________________tan ______________________;tan _____________________αβαβαβαβαβαβ+=-=+=-=+=-= 2、二倍角公式sin 2______________cos 2________________________tan 2______________ααα=====3、升幂公式1cos 2_________;1cos 2_________αα+=-=4、降幂公式22sin cos _________;cos _________;sin _________αααα===5、辅助角公式sin cos __________________y a wx b wx =+=【合作探究】探究活动一给值求值：角的灵活变换思想在三角恒等变换中的应用例1、设32,cos 25θπθπ<<=-，求2sin ,cos ,sin 4θθθ的值。
变式1：已知tan 123ππαβ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 4παβ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值。
【方法规律】：给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的关系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如：()2,2ααααββ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，探究活动二有关证明问题例2、求证：()sin tan tan cos cos αβαβαβ-=-变式2：（2016江门高一调研）已知21)s in(=+βα，31)sin(=-βα．求证：βαtan 5tan =【方法规律】证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简，左右归一或变更论证。
高二必修四数学三角恒等变换知识点
高二必修四数学三角恒等变换知识点在中国现代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。
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等变换知识点，希望可以处置您所遇到的相关效果，加油，查字典大学网不时陪伴您。
知识结构：
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
重点：经过探求和讨论交流，导出两角差与和的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联络。
难点：两角差的余弦公式的探求和证明。
2.复杂的三角恒等变换
重点：掌握三角变换的内容、思绪和方法，体会三角变换的特点.
难点：公式的灵敏运用.
三角函数几点说明：
1.对弧长公式只需求了解，会停止复杂运用，不用在运用方面加深.
2.用同角三角函数基本关系证明三角恒等式和求值计算，熟练主角和sin和cos的计算.
3.三角函数值求角效果，到达课本要求即可，不用拓展.
4.熟练掌握函数y=Asin(wx+j)图象、单调区间、对称轴、对称点、特殊点和最值.
5.积化和差、和差化积、半角公式只作为练习，不要求记忆.
6.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
最后，希望小编整理的高二必修四数学三角恒等变换知识点对您有所协助，祝同窗们学习提高。
高中数学必修4第三章 三角恒等变换知识点归纳
1、同角关系： ⑴商的关系：① tan ③ sin
y sin x cos
② cot ④ cos
x cos y sin
x sin cot r
y cos tan r ⑵倒数关系： tan cot 1
tan tan 1 tan tan tan tan 1 tan tan
（ tan tan tan 1 tan tan ） （ tan tan tan 1 tan tan ）
④ sin 2
tan 2 1 tan 2
⑤ cos 2
6、辅助角公式：
a sin b cos a 2 b 2 sin( )
（其中辅助角 与点 (a, b) 在同一象限，且 tan 7、常数“1”的代换变形：
1 sin 2 cos 2 tan cot sin 90 o tan 45 o
（后两个不用判断符号，更加好用）
4、半角公式
cos
2tan
2
5、万能公式： ① sin 2
2 tan 1 tan 2
② cos 2
1 tan 2 1 tan 2
1 1 tan 2
③ tan 2
2 tan 1 tan 2
⑶平方关系： sin 2 cos 2 1 2、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴ cos cos cos sin sin ； ⑵ cos cos cos sin sin ⑶ sin sin cos cos sin ； ⑷ sin sin cos cos sin ⑸ tan ⑹ tan
高中数学必修4第三章3.2简单的三角恒等变换
一、复习:两角和的正弦、余弦、正切公式:
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan
tan tan 1 tan tan
二sin 2 2sin cos
＝3(cosx 2)2 1 33
又 x 2 , 1 cosx 1 ,
3 当x＝ 2
3
32
时，(cosx) min
1 2
,
y2max＝145
;
当x＝
3
时，(cosx) max
1 2
, ymin＝
1 4.
七、y （a sinx+cosx)+bsinxcosx型
例7 求函数y sinx+cosx+sinxcosx的最值. <分析>注意到（sinx+cosx）2＝1 2sinxcosx.可把sinx+cosx
sin2 1 cos 2
2
降幂升角公式
二、讲授新课：
例1.试以cos表示sin2 ,cos2 ,tan2 .
2
2
2
半角公式
sin 1 cos ,
2
2
cos 1 cos ,
2
2
tan 1 cos .
符号由α所在象限决定. 2
1 cos
2
1．半角公式
sin 1 cos
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
解 在Rt△OBC中,OB=cos,BC=sin 在Rt△OAD中,
高二必修四数学三角恒等变换知识点
高二必修四数学三角恒等变换知识点
在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。
以下是为大家整理的高二必修四数学三角恒等变换知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，一直陪伴您。
知识结构：
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
重点：通过探索和讨论交流，导出两角差与和的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系。
难点：两角差的余弦公式的探索和证明。
2.简单的三角恒等变换
重点：掌握三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点.
难点：公式的灵活应用.
三角函数几点说明：
1.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.
2.用同角三角函数基本关系证明三角恒等式和求值计算，熟练配角和sin和cos的计算.
3.已知三角函数值求角问题，达到课本要求即可，不必拓展.
4.熟练掌握函数y=Asin(wx+j)图象、单调区间、对称轴、对称点、特殊点和最值.
5.积化和差、和差化积、半角公式只作为练习，不要求记忆.
6.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
最后，希望小编整理的高二必修四数学三角恒等变换知识点对您有所帮助，祝同学们学习进步。
苏教版数学高一- 必修4第3章《三角恒等变换》知识整合
三角函数的求值主要有两类题型，给角求值与给值求值．给角求值一般是利用和、差、倍角公式进行变换，使其出现特殊角，若为非特殊角，则应变为可消去或约分的情况，从而求出其值．给值求值一般应先化简所求的式子，弄清实际所求，或变化已知的式子，寻找已知与所求的联系，再求值．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，求cos(α＋β)．分析：由已知条件要求cos(α＋β)，应注意到角之间的关系，α＋β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，可应用两角差的余弦公式求得．解析：由已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π得－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π，－π4，∴π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45.由β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得π4＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝－1213，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝1213，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝513.由⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝α＋β，得 cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513×35＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365. ◎规律总结：给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．变式训练1．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，求tan α·tan β 的值．解析：∵cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝13，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝15，②①＋②得cos αcos β＝415，②－①得sin αsin β＝－115，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－115415＝－14.求sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°的值．解析：方法一 原式＝12(1－cos 40°)＋12(1＋cos 160°)＋32·(sin 100°－sin 60°) ＝1＋12(cos 160°－cos 40°)＋32sin 100°－34＝14－sin 100°sin 60°＋32sin 100° ＝14. 方法二 原式＝sin 220°＋cos 2(60°＋20°)＋3sin20°·cos(60°＋20°)＝sin 220°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 20°－32sin 20°2＋3sin20°·⎝ ⎛ 12cos 20°⎭⎪⎫－32sin 20°＝14sin 220°＋14cos 220° ＝14. 方法三 令M ＝sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°，则其对偶式N ＝cos 220°＋sin 280°＋3cos 20°sin 80°.因为M ＋N ＝(sin 220°＋cos 220°)＋(cos 280°＋sin 280°)＋3·(sin 20°cos 80°＋cos 20°sin 80°)＝2＋3sin 100°，①M －N ＝(sin 220°－cos 220°)＋(cos 280°－sin 280°)＋3(sin20°cos 80°－cos 20°sin 80°)＝－cos 40°＋cos 160°－3sin 60°＝－2sin 100°sin 60°－32＝－3sin 100°－32， ②所以①＋②得2M ＝12，M ＝14，即sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°的值为14.◎规律总结：“给角求值”问题，一般所给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要认真观察，综合三角公式转化为特殊角并且清除非特殊角的三角函数而得解．变式训练2．求3tan 12°－3sin 12°·4cos 212°－2的值．解析：原式＝3tan 12°－32sin 12°cos 24°＝3tan 12°－3·2cos 12°2sin 12°·cos 12°·2cos 24°＝23sin 12°－6cos 12°sin 48°＝43sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°sin 48°＝－43sin 48°sin 48°＝－4 3.一元二次方程mx 2＋(2m －3)x ＋(m －2)＝0的两根为tan α，tan β.求tan(α＋β)的最小值．解析：∵mx 2＋(2m －3)x ＋m －2＝0有两根tan α，tan β，∴⎩⎨⎧Δ＝2m －32－4m m －2≥0，m ≠0.解得m ≤94且m ≠0.由一元二次方程的根与系数的关系得tan α＋tan β＝3－2m m ，tan α·tan β＝m －2m.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3－2mm1－m －2m＝3－2m 2＝32－m ≥32－94＝－34.故tan(α＋β)的最小值为－34.◎规律总结：数学问题解决的过程实质上是一个等价转化的过程，这一点务必引起高度重视．特别是综合题，条件的使用顺序和转化，以及知识之间的联系，在平时的训练中都要认真体会和总结．变式训练3．如下图，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．解析：本题的实质是已知tan α＝13，tan β＝12，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求α＋β. 可通过求tan(α＋β)及(α＋β)的范围来求得α＋β. 由图可知：tan α＝13，tan β＝12且α，β均为锐角．∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝13＋121－13×12＝1.而α＋β∈(0，π)，在(0，π)上正切值等于1的角只有π4，∴α＋β＝π4.规律总结：已知三角函数值求角，分三步进行：①先求角α＋β的某一三角函数值；②确定角所在范围(或区间)；③求角的值．三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角，统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．最后结果要求：(1)能求值尽量求值；(2)三角函数名称尽量少；(3)项数尽量少；(4)次数尽量低；(5)分母、根号下尽量不含三角函数．化简：tan 70°cos 10°·(3tan 20°－1)．分析：先化切为弦，再利用特殊角的特殊值进行转换．解析：tan 70°cos 10°· (3tan 20°－1)． ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎪⎫3·sin 20°cos 20°－1 ＝3cos 10°－cos 10°·sin 70°cos 70° ＝3cos 10°－cos 10°cos 20°2sin 10°cos 10°＝3sin 20°－cos 20°2sin 10°＝sin 20°cos 30°－cos 20°sin 30°sin 10°＝sin 20°－30°sin 10°＝－1.◎规律总结：在三角变换中，有时根据需要，可以将一特殊值还原成某一三角函数值，如：12＝sin π6＝cos π3；1＝tan π4＝sin π2＝2cos π4＝sin 2α＋cos 2α等，如果我们在解题时巧妙地加以运用，往往会出奇制胜．三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式． 证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，采取化繁为简，左右归一，变更命题等方法，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同．条件恒等式的证明则要认真观察、比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径，常用代入法、消去法、两头凑法等．证明：tan 32x －tan x 2＝2sin xcos x ＋cos 2x.证明：左边＝sin 32xcos 32x －sin x2cosx 2＝sin 32x ·cos x 2－cos 32x ·sinx2cos 32x ·cosx 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －x 212⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －x 2 ＝2sin x cos 2x ＋cos x＝右边．即等式成立．方法技巧：证明三角恒等式，一般是从左证右，从右证左，或是两边分头化简得同一结果．同时要注意“切割化弦”、“化异为同”基本原则的应用．变式训练4．已知tan(α＋β)＝2tan β.求证：3sin α＝sin(α＋2β)．证明：由已知tan(α＋β)＝2tan β可得sinα＋βcosα＋β＝2sin βcos β.∴sin(α＋β)cos β＝2cos(α＋β)sin β而sin(α＋2β)＝sin＝sin (α＋β)cos β＋cos(α＋β)sin β＝2cos(α＋β)sin β＋cos(α＋β)sin β＝3cos(α＋β)·sin β. 又sin α＝sin＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝cos(α＋β) sin β∴3sin α＝sin(α＋2β)．设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cos x,1)，b＝(cos x，3sin 2x )，x ∈R ，(1)若f (x )＝1－3且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，求x .(2)若函数y ＝2sin 2x 的图象按向量c ＝(m ，n )⎝ ⎛⎭⎪⎫|m |<π2平移后得到函数y ＝f (x )的图象，求实数m ，n 的值．分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力．解析：(1)依题设，f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1－3，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－32. ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤56π.∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.(2)函数y ＝2sin 2x 的图象按向量c ＝(m ，n )平移后得到函数y ＝2sin ＋n 的图象，即函数y ＝f (x )的图象．由(1)得f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋1，∵|m |<π2，∴m ＝－π12，n ＝1.◎规律总结：涉及三角函数性质的问题时，常通过三角变换将函数式f (x )化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，进而研究相关问题，一定要加强这种训练．向量与三角函数知识的交汇是近几年高考命题的热点，要充分体会向量的工具性作用．变式训练 5．已知向量a ＝(3cos x,2cos x )，b ＝(2sin x ，cos x )，定义函数f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调增区间．解析：(1)f (x )＝a ·b ＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴T ＝2π2＝π.(2)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 得：k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调增区间为： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)．.已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15.(1)求证：tan A ＝2tan B ； (2)设AB ＝3，求AB 边上的高．分析：本题要求能灵活运用两角和与差的有关三角函数公式来求证、求解，且对解三角形也有一定考查．(1)证明：∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝35，sin A cos B －cos A sin B ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＝25，cos A sin B ＝15⇒tan A tan B＝2. ∴tan A ＝2tan B .(2)解析：∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35，∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－34.将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得 2tan 2B －4tan B －1＝0，解得tan B ＝2±62，舍去负值，得tan B ＝2＋62.∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6.设AB 边上的高为CD .则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD2＋6.由AB ＝3，得CD ＝2＋ 6.所以AB 边上的高等于2＋6.◎规律总结：在三角函数的应用问题中，要根据问题的特点，恰当选择使用两角和(差)、倍角公式．同时，要注意数形结合、方程(组)、等价转化等数学思想的运用．变式训练6．已知角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan 2A 的值；(2)求2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．解析：(1)∵OM→·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，∴sin A ＋cos A ＝－15，①两边平方整理得：2sin A cos A ＝－2425.②∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，由①，②解得：sin A ＝35，cos A ＝－45.∴tan A ＝－34，∴tan 2A ＝－247.(2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝cos A －3sin Acos A ＋sin A＝1－3tan A 1＋tan A ＝1－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34 ＝13.。
高中数学必修4(人教A版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习及答案
α 1 − cos α = 2 2 α 1 + cos α = cos2 2 2 α 1 − cos α = tan2 2 1 + cos α α sin α 1 − cos α tan = = 2 1 + cos α sin α sin 2 12 3 例题： 已知 ，α ∈ (π, π) ，求sin 2α ，cos 2α，tan 2α的值． cos α = − 13 2 12 3 解：因为cos α = − ，α ∈ (π, π) ．所以 13 2 − − − − − − − − − − 5 12 2 − − − − − − − − ． sin α = −√1 − cos2 α = −√1 − (− ) =− 13 13 5 12 120
)
C．
1 9
D．
√5 3
答案： B
因为 sin α =
2 1 ，所以 cos (π − 2α) = − cos 2α = − (1 − 2sin 2 α) = − ． 3 9 )
B．−
3. 化简 A．
sin 2 35∘ − sin 20∘
1 2 = (
答案： B
1 2
1 2
C．−1
D．1
4. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 ，延长 BA 至 E，使 AE = 1 ，连接 EC , ED，则 sin ∠CED =
（1）已知 sin α =
= (− cos 83∘ )(− cos 23∘ ) + sin 83∘ sin 23∘ = cos(83∘ − 23∘ ) 1 = cos 60∘ = . 2
sin(
π π π + α) = sin cos α + cos sin α 3 3 3 4 1 3 √3 = × + × 2 5 2 5 4√3 + 3 = 10 π π π − α) = sin cos α − cos cos α 3 3 3 4 1 3 √3 = × − × 2 5 2 5 3 − 4√3 = 10
必修4 第三章 三角恒等变换 期末复习
必修4 第三章《三角恒等变换》期末复习制卷：王小凤 学生姓名【知识结构】【公式及其变形】1．两角和与差的三角函数=±)cos(βα_____________________；=±)sin(βα _____________________ =±)tan(βα_________________★辅助角的三角函数公式：)sin(cos sin 22θ±+=±x b a x b x a(其中a b =θtan . 一般地，θ3,4,6πππ取以下三个特殊角) 2．二倍角公式sin2α=__________________；cos2α= __________ = __________ = ______________ tan2α= ____ __3．降幂公式：2sin α= ________________ 2cos α=____________________ 升幂公式：1cos α+=____________ 1cos α-=______________ 4．正切公式的变形：tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±m【常用技巧及题型】三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
一．巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．如：()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等． 【例题1】已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，求tan()4πα+的值．【例题2】已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值．【例题3】已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，求y 与x 的函数关系．二．三角函数名互化(切化弦)【例题4】求值sin50(13tan10)+两角差的余弦公式和（差）角公式二倍角公式简单的三角恒等变换三．公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±m 。
高中数学必修四第三章 三角恒等变换知识点总结
第三章 三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sinsin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-二、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin 22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒221cos 2cos1cos 2sin22αααα+=-=，⇒2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．⑶22tan tan 21tan ααα=-．三、辅助角公式：()22sin cos sin α+=++a x b x a b x ，2222cos sin a b a ba bϕϕϕ==++其中由，决定四、三角变换方法：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍；②2304560304515o ooooo=-=-=；③()ααββ=+-；④()424πππαα+=--； ⑤2()()()()44ππααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
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高中数学必修4知识点总结
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；
⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；
⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ
--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=
- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒
⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
⇒升幂公式2
sin 2cos 1,2cos 2cos 122α
ααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2
αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 26、
⇒（后两个不用判断符号，更加好用）
27、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(
ϕϖ形式。
()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A
． 28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，
倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4
α的二倍； ②2304560304515o
o
o o o o =-=-=；问：=12sin π ；=12cos π ； ααααααα半角公式cos 1cos 12t an 2
cos 12sin ;2cos 12cos :+-±=-±=+±=2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :2
2
2αααααα万能公式+-=+=
③ββαα-+=)(；④)4(24απ
π
απ
--=+； ⑤)4()4()()(2απ
απ
βαβαα--+=-++=；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
如在三角函数中正余弦是基础，通常
化切为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的
代换变形有：
o o 45tan 90sin cot tan cos sin 122===+=αααα
（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。
常用
降幂公式有： ； 。
降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：_______________tan 1tan 1=-+αα； ______________tan 1tan 1=+-α
α； ____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα；
____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα；
=αtan 2 ；=-α2tan 1 ；
=++o o o o 40tan 20tan 340tan 20tan ；
=+ααcos sin = ；
=+ααcos sin b a = ；（其中
=ϕtan ；）
=+αcos 1 ；=-αcos 1 ；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值
与特殊角的三角函数互化。
如：=+)10tan 31(50sin o o ； =-ααcot tan 。