高中数学必修4第三章三角恒等变换知识点归纳

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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《第三章三角恒等变换》归纳整合

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解读高考
专题一
给值求值
给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”．使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是： (1)将待求式用已知三角函数表示． (2)将已知条件转化从而推出可用的结论．其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧．解题时首先是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值．
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【例 1】已知的值．解
π π 1 sin4＋αsin4－α＝6，且
π sin 4α α∈2，π，求 1＋cos2α
π π 1 ∵sin4＋αsin4－α＝6，
1 x＝3.
1 1－tan2x 1－9 4 tan x tan x ∴tan 2x＝ 2tan x ＝ 2 ＝ 2 ＝9. 1－tan2x 答案 4 9
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5．(2011· 全国高考)已知 ________.
π α∈2，π，sin
5 α＝ 5 ，则 tan 2α＝
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法二
22＋1＋cos 4x 22＋2cos22x 21＋cos22x 右边＝＝ 8sin2xcos2x ＝ 4sin2xcos2x ＝ 2sin22x
sin2x＋cos2x2＋cos2x－sin2x2 2sin4x＋cos4x 1 2 ＝＝ tan x ＋ 2 2sin2xcos2x 2sin2xcos2x tan x ＝左边．原式得证．

高中数学必修4第三章_三角恒等变换知识点(K12教育文档)

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高中数学必修4第三章三角恒等变换知识点1、同角关系:⑴商的关系:①sin tan cos y x θθθ== ②cos cot sin x y θθθ== ③sin cos tan y r θθθ==⋅ ④cos sin cot x rθθθ==⋅ ⑵倒数关系：tan cot 1θθ⋅=⑶平方关系：22sin cos 1θθ+=2、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-;⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+） ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-） 3、二倍角的正弦、余弦和正切公式:⑴sin22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-= ⑶22tan tan 21tan ααα=- 4、万能公式： ①22tan sin 21tan θθθ=+ ②221tan cos 21tan θθθ-=+ ③22tan tan 21tan θθθ=- ④222tan sin 1tan θθθ=+ ⑤221cos 1tan θθ=+5、半角公式cos 2α=sin 2α=sin 1cos tan 21cos sin ααααα-===+ ⇒ （后两个不用判断符号，更加好用） 6、)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a（其中辅助角ϕ与点(,)a b 在同一象限，且tan b a ϕ=）。

三角恒等变换

【人教版】高中数学必修4知识点总结：第三章三角恒等变换【编者按】变换是数学的重要工具，在初中，接触过大量的“只变其形不变其质”的代数变换，本章要学习的三角恒等变换也是“只变其形不变其质”的，可以揭示某些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系，是解决数学问题的重要手段。

三角恒等变换的学习，注重考察学生思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。

教材要求：用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，能运用这些公式进行简单的恒等变换。

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式；；其中两角和与差的正切公式的变形：2．二倍角公式升幂公式降幂公式附注：在学习上述公式时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角如等；（3）注意倍角的相对性（4）要时时注意角的范围3．三角函数式的化简（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

1）降幂公式2）辅助角公式4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”，即利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

三角恒等变换知识点总结详解

三角恒等变换知识点总结详解三角恒等变换是数学中一个非常重要的概念，它涉及到三角函数之间的相互关系。

在三角恒等变换中，通过对三角函数的特性、性质和运算进行分析和推导，可以得到一系列具有等价关系的三角函数等式。

这些等式在解决各种三角函数问题时起到了重要的作用。

1.互余关系：在一个直角三角形中，正弦函数和余弦函数、正切函数和余切函数、正割函数和余割函数之间存在互余关系。

例如，正弦函数和余弦函数之间的互余关系可以表示为：sin(x) = cos(π/2 - x)，cos(x) = sin(π/2- x)。

通过这种互余关系，可以将一个三角函数的计算问题转化为另一个三角函数的计算问题，从而更加方便地求解。

2.双替换关系：在三角恒等变换中，有些等式可以通过同时替换角度的正弦函数和余弦函数、正切函数和余切函数、正割函数和余割函数进行变换。

例如，sin(x) = cos(π/2 - x)，cos(x) = sin(π/2 - x)就是一个双替换关系。

通过双替换关系，可以将三角函数等式从一个角度扩展到整个角度范围内。

3.平方和差关系：三角恒等变换中的平方和差关系利用了三角函数的平方和差公式。

根据平方和差公式，可以将一个三角函数的平方表示为其他三个三角函数的和或差。

例如，sin²(x) + cos²(x) = 1就是一个平方和关系。

通过平方和差关系，可以将一个三角函数的计算问题转化为其他三角函数的计算问题，从而更加方便地求解。

4.倍角关系：在三角恒等变换中，倍角关系是指利用三角函数的倍角公式将一个三角函数的角度扩展为原来的两倍。

例如，sin(2x) = 2sin(x)cos(x)，cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)。

通过倍角关系，可以将一个角度的问题扩展为两倍角度的问题，从而更加方便地求解。

5.三角和差关系：三角恒等变换中的三角和差关系利用了三角函数的和差公式。

三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结

三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结三角恒等变换是高考数学中的重要内容，涉及到三角函数的性质和等价关系。

在解决三角函数相关题目时，熟练掌握三角恒等变换可帮助我们简化计算和推导过程，提高解题效率。

本文将对三角恒等变换中的关键知识点进行总结。

一、基本恒等式1. 余弦、正弦和正切的平方和恒等式：$cos^2(x) + sin^2(x) = 1$$1 - tan^2(x) = sec^2(x)$$1 - cot^2(x) = csc^2(x)$这些恒等式是三角函数中最为基础的恒等式，也是其他恒等式的基础。

通过这些基本恒等式，我们可以推导出其他更复杂的恒等式。

2. 三角函数的互余关系：$sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$$tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{cot(x)}$$cot(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{tan(x)}$互余关系表明，角度x和其余角之间的三角函数之间存在特定的关系。

3. 三角函数的倒数关系：$sin(-x) = -sin(x)$$cos(-x) = cos(x)$$tan(-x) = -tan(x)$$cot(-x) = -cot(x)$三角函数的倒数关系表明，对于同一角度的正负，其正弦、余弦、正切和余切的值也是相反的。

二、和差恒等式和差恒等式是三角恒等变换中的重要内容，它们可用于将角度的和或差转化为其他三角函数表示，从而简化解题过程。

1. 正弦和差恒等式：$sin(x \pm y) = sin(x)cos(y) \pm cos(x)sin(y)$2. 余弦和差恒等式：$cos(x \pm y) = cos(x)cos(y) \mp sin(x)sin(y)$3. 正切和差恒等式：$tan(x \pm y) = \frac{tan(x) \pm tan(y)}{1 \mp tan(x)tan(y)}$这些和差恒等式在解决角度和为特定值时的三角函数计算中起到了重要的作用。

三角恒等变换与方程知识点总结

三角恒等变换与方程知识点总结三角函数是数学中重要的概念之一，它们在解决各种数学问题和实际应用中发挥着重要作用。

其中，三角恒等变换和方程是学习三角函数的重点内容之一。

本文将就三角恒等变换和方程的相关知识点进行总结和归纳。

一、三角恒等变换1. 三角函数的基本关系三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。

它们之间存在一些基本的关系，如正弦函数与余弦函数的关系sin(x) = cos(π/2 - x)、正切函数与余切函数的关系tan(x) = 1 / cot(x)等。

这些基本的关系可以帮助我们简化和转化三角函数的表达式。

2. 三角函数的倒数关系根据三角函数的定义，我们可以得到正弦函数与余切函数、余弦函数与正切函数、正弦函数与余弦函数之间的倒数关系。

例如，sin(x) / cos(x) = tan(x)、cos(x) / sin(x) = cot(x)等。

这些倒数关系可以帮助我们互相转化三角函数的表达式。

3. 三角函数的周期性三角函数在定义域内都具有周期性。

对于正弦函数和余弦函数来说，它们的周期都是2π；对于正切函数和余切函数来说，它们的周期都是π。

这个周期性的特点使得我们在计算和求解问题中可以将一个周期内的结果推广到整个定义域。

4. 三角函数的和差化简公式三角函数的和差化简公式是指将两个三角函数相加或相减之后能够转化为一个三角函数的公式。

常见的和差化简公式有正弦函数的和差化简公式sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)、余弦函数的和差化简公式cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)等。

这些化简公式在计算中可以简化运算步骤，提高计算效率。

二、三角方程的求解1. 三角方程的基本性质三角方程是指含有三角函数的方程。

解三角方程的关键是找到满足方程的三角函数的取值范围和周期性。

高中数学必修四第三章三角恒等变换章末整合

=
2(2+2cos22��) 2sin22��
=
2(1+cos22��) 4sin2��cos2��
(sin2�� + cos2��)2 + (cos2��-sin2��)2
=
2si n2 ��cos2 ��
=
2(sin4��+cos4��) 2sin2��cos2��
求��, ��的值.
解:(1)当 a=1 时,f(x)=2cos2x+2sin xcos x+b
=cos 2x+1+sin 2x+b=
2sin
2��
+
π 4
+ 1 + ��,
则 f(x)的周期为 T=π.
令
2kπ−
π2≤2x+
π4≤2kπ+
π 2
(��
∈Z),
2tan��
tan2�� = 1-tan2��
应用——三角函数式的求值、化简和证明,讨论三角函数的性质
专题一专题二专题三专题四
专题一三角函数与向量的结合三角函数与平面向量相结合是近几年来的高考亮点,它常常包括向量与三角函数化简、求值及证明的结合,向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面.此类题目主要考查三角函数的图象与性质,以及三角函数的化简、求值.
高中数学必修四
第三章三角恒等变换本章整合
知识总结与综合应用
cos(��-��) = cos��cos�� + sin��sin��

高中数学必修4第三章_三角恒等变换知识点

111高中数学必修4第三章三角恒等变换知识点⑴商的关系： ① tan y sin x cos ②cotx cos y sin ③sin y cos ta n④cosx .r r⑵倒数关系： tan cot 1⑶平方关系： sin 2 cos 212、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴cos cos cos sin sin:⑵ cos cos cos ⑶sin sin cos cos sin :⑷ sinsin cos ⑸ta ntan tan(tan tantan 1 1 tan tan ⑹ta n tan tan (tan tantan 11 tan tan1、同角关系: cos sintan tan 余弦和正切公式: 3、二倍角的正弦、 sin sin tan tan⑴ si n2 2sin cos 1 sin 2 sin 2 cos 22si n cos (sincos )2⑵ cos2 2 cos.2 sin 2cos 21 1 2si n 2升幕公式 cos 降幕公式 cos 2c 22cos — 2 cos2 1 1 cos 2sinsin 221 cos2⑶tan2羊1 tan 24、万能公式: ① sin 22 ta n 1 tan 2② cos2ta n 2 tan 2 ③ tan 22ta n 1 tan 2④ si n 2tan 21 tan 2⑤ cos 2_____1 tan 25、半角公式cos—2sin —2cos tan2 cossin 1 cos1 cos sin（后两个不用判断符号，更加好用）6、asin bcos . a2b2sin(（其中辅助角与点（a,b）在同一象限，且tanb-)a2。

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高中数学必修 4 第三章三角恒等变换知识点
1、同角关系： ⑴商的关系：① tan ③ sin
y sin x cos
Байду номын сангаас
② cot ④ cos
x cos y sin
x sin cot r
y cos tan r ⑵倒数关系： tan cot 1
b ） a
8、三角函数式的化简运算通常从： “角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。

（后两个不用判断符号，更加好用）
4、半角公式
cos

2

sin

2

tan

2

5、万能公式： ① sin 2
2 tan 1 tan 2
② cos 2
1 tan 2 1 tan 2
1 1 tan 2
③ tan 2
2 tan 1 tan 2
tan tan 1 tan tan tan tan 1 tan tan

（ tan tan tan 1 tan tan ）（ tan tan tan 1 tan tan ）
⑶平方关系： sin 2 cos 2 1 2、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴ cos cos cos sin sin ； ⑵ cos cos cos sin sin ⑶ sin sin cos cos sin ； ⑷ sin sin cos cos sin ⑸ tan ⑹ tan
升幂公式降幂公式
⑶ tan 2
1 cos 2 cos 2

2 cos 2 1 cos 2 ， 2
，
1 cos 2sin 2

2 1 cos 2 sin 2 2
2 tan 1 tan 2
1 cos 2 1 cos 2 1 cos sin 1 cos 1 cos 1 cos sin
④ sin 2
tan 2 1 tan 2
⑤ cos 2
6、辅助角公式：
a sin b cos a 2 b 2 sin( )
（其中辅助角与点 (a, b) 在同一象限，且 tan 7、常数“1”的代换变形：
1 sin 2 cos 2 tan cot sin 90 o tan 45 o

3、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴ sin 2 2sin cos 1 sin 2 sin 2 cos 2 2 sin cos (sin cos ) 2 ⑵ cos 2 cos2 sin 2 2cos2 1 1 2sin 2