人教A版数学必修四第三章三角恒等变换导学案

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人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式导学案

3.1.3.二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标.1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.知识点一.二倍角公式的推导思考1.二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案.sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α. 思考2.根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？答案.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；或cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二.二倍角公式的变形1.公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α， cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. 2.二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.类型一.给角求值例1.求下列各式的值：(1)cos 72°cos 36°；(2)13－23cos 215°； (3)1－tan 275°tan 75°；(4)1sin 10°－3cos 10°. 解.(1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36° ＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14. (2)13－23cos 215°＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30°＝－36. (3)1－tan 275°tan 75°＝2·1－tan 275°2tan 75°＝2·1tan 150°＝－2 3. (4)1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10° ＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10° cos 10° ＝4sin 20°sin 20°＝4. 反思与感悟.对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.跟踪训练1.求下列各式的值：(1)cos 2π7cos 4π7cos 6π7； (2)1sin 50°＋3cos 50°.解.(1)原式＝2sin 2π7cos 2π7cos 4π7cos 6π72sin 2π7＝sin 4π7cos 4π7cos 6π72sin 2π7＝sin 8π7cos 6π74sin 2π7＝sin π7cos π74sin 2π7＝sin 2π78sin 2π7＝18. (2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2(12cos 50°＋32sin 50°)12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.类型二.给值求值例2.(1)若sin α－cos α＝13，则sin 2α＝ . 答案.89解析.(sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α ＝1－sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132⇒sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89. (2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于(..) A.6425B.4825C.1D.1625答案.A解析.cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α. 把tan α＝34代入，得 cos 2α＋2sin 2α＝1＋4×341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝42516＝6425.故选A.引申探究在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝13，求sin 2α. 解.由题意，得(sin α＋cos α)2＝19， ∴1＋2sin αcos α＝19，即1＋sin 2α＝19， ∴sin 2α＝－89. 反思与感悟.(1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练2.已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值. 解.(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 类型三.利用倍角公式化简例3.化简2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.解.方法一.原式＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝cos 2αcos 2α＝1. 方法二.原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α2 ＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α(sin α＋cos α)2 ＝cos 2α(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝1. 反思与感悟.(1)对于三角函数式的化简有下面的要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.(2)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角. ②降幂或升幂.③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练3.化简下列各式：(1)π4＜α＜π2，则1－sin 2α＝； (2)α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝ . 答案.(1)sin α－cos α.(2)0解析.(1)∵α∈(π4，π2)，∴sin α＞cos α， ∴1－sin 2α＝1－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝(sin α－cos α)2＝sin α－cos α.(2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0， ∴1＋cos 2αcos α－ 1－cos 2αsin α＝2cos 2αcos α－2sin 2αsin α＝－2cos αcos α－－2sin αsin α＝0.1.12sin π12cos π12的值等于(..) A.14B.18C.116D.12 答案.B解析.原式＝14sin π6＝18. 2.sin 4π12－cos 4π12等于(..) A.－12 B.－32 C.12 D.32答案.B解析.原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2π12＋cos 2π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 3.tan 7.5°1－tan 27.5°＝ . 答案.1－32 解析.tan 7.5°1－tan 27.5°＝12·2tan 7.5°1－tan 27.5°＝12tan 15°＝1－32. 4.设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是 . 答案. 3解析.∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin α≠0，2cos α＋1＝0即cos α＝－12， sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 5.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值. 解.原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝513，且0<x <π4， ∴π4＋x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1213， ∴原式＝2×1213＝2413.1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1(n ∈N *). 2.二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α；②cos 2α＝1＋cos 2α2；③1－cos 2α＝2sin 2α；④sin 2α＝1－cos 2α2. 课时作业一、选择题1.已知α是第三象限角，cos α＝－513，则sin 2α等于(..) A.－1213B.1213C.－120169D.120169答案.D解析.由α是第三象限角，且cos α＝－513，得sin α＝－1213，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝120169，故选D. 2.若tan θ＝－13，则cos 2θ等于(..) A.－45 B.－15 C.15 D.45答案.D解析.tan θ＝－13，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45. 3.已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x 等于(..) A.724 B.－724 C.247 D.－247答案.D解析.由cos x ＝45，x ∈(－π2，0)，得sin x ＝－35，所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×(－34)1－(－34)2＝－247，故选D.4.已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于(..) A.16B.13C.12D.23 答案.A解析.因为cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42 ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A. 5.如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是(..) A.－105B.105C.－155D.155 答案.C解析.∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15， ∴cos θ<0，cos θ＝－15. 又∵5π4<θ2<3π2，∴sin θ2<0. ∴sin 2θ2＝1－cos θ2＝35， sin θ2＝－155. 6.已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于(..) A.－53 B.－59 C.59 D.53答案.A解析.由题意得(sin α＋cos α)2＝13， ∴1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23. ∵α为第二象限角，∴cos α－sin α<0. 又∵sin α＋cos α>0，∴cos α<0，sin α>0，且|cos α|<|sin α|， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0，∴cos 2α＝－ 1－sin 22α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝－ 1－49＝－53，故选A. 7.若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α等于(..) A.725B.15C.－15D.－725 答案.D解析.因为sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1，又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝2×925－1＝－725，故选D. 二、填空题8.2sin 222.5°－1＝ .答案.－22 解析.原式＝－cos 45°＝－22. 9.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ .答案.116解析.原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6° ＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. 10.设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan 2α＝ . 答案.247解析.cos α＝x x 2＋42＝x 5， ∴x 2＝9，x ＝±3.又∵α是第二象限角，∴x ＝－3，∴cos α＝－35，sin α＝45， ∴tan α＝－43，tan 2α＝2×(－43)1－(－43)2＝－831－169＝－83－79＝7221＝247. 11.已知tan x ＝2，则tan 2(x －π4)＝ . 答案.34 12.若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝ . 答案.0 解析.由tan α＋1tan α＝103，得tan α＝13或tan α＝3. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴tan α＝3. ∴sin α＝310，cos α＝110. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α ＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＋2cos π4cos 2α＝22×2sin αcos α＋22(2cos 2α－1)＋2cos 2α ＝2sin αcos α＋22cos 2α－22 ＝2×310×110＋22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1102－22 ＝5210－22＝0. 三、解答题13.已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)的值. 解.∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， ∴原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 四、探究与拓展14.等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为 . 答案.459解析.设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23， sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－(23)2＝53. 所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 15.已知π<α<32π，化简：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α. 解.∵π<α<32π，∴π2<α2<34π， ∴1＋cos α＝2|cos α2|＝－2cos α2， 1－cos α＝2|sin α2|＝2sin α2. ∴1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α ＝1＋sin α－2(cos α2＋sin α2)＋1－sin α2(sin α2－cos α2) ＝(cos α2＋sin α2)2－2(cos α2＋sin α2)＋(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2) ＝－2cos α2.。

高中数学第3章三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换导学案新人教A版必修4-新人教A版高一必

3．2 简单的三角恒等变换[教材研读]预习课本P139～142，思考以下问题1．半角的正弦、余弦公式是什么？2．半角公式的符号是由哪些因素决定的？[要点梳理]半角公式[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．sin15°＝± 1－cos30°2.( )2．cos15°＝1－cos30°2.( ) 3．tan α2＝1＋cos αsin α.( )[答案] 1.× 2.× 3.×题型一求值问题思考：利用tan α＝sin αcos α和倍角公式能得到tan α2与sin α，cos α怎样的关系？提示：tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2co s α2cos α2·2co sα2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sinα2cos α2＝sin α2· 2si n α2cos α2·2si nα2＝1－cos αsin α.已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[思路导引] 由α是α2的二倍，代入半角公式，注意α2的范围．[解] ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－55，tan α2＝sin α2cosα2＝－2.利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2α2＝1－cos α2，cos2α2＝1＋cos α2计算．(4)下结论：结合(2)求值．【温馨提示】已知cos θ的值可求θ2的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．[跟踪训练]已知sin α2－cos α2＝－15，450°<α<540°，求tan α2的值．[解] 由题意得⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＝15，即1－sin α＝15，得sin α＝45.∵450°<α<540°，∴cos α＝－35，∴tan α2＝sin α2cos α2＝sin2α2sin α2cosα2＝1－cos αsin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3545＝2.题型二三角函数式的化简化简：(1＋sin α＋cos α)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．[思路导引] 利用二倍角公式将α角转化为α2角，注意被开方式子的正负．[解] 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22·2cos2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22cosα2＝cos α2(－cos α)cosα2.又∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，∴cos α2<0，∴原式＝cos α2·(－cos α)－cosα2＝cos α.化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．[跟踪训练]化简1＋sin θ－1－sin θ⎝⎛⎭⎪⎫3π2<θ<2π.[解] 原式＝sin θ2＋cos θ2－sin θ2－cos θ2，∵3π2<θ<2π， ∴3π4<θ2<π， ∴0<sin θ2<22，－1<cos θ2<－22，从而sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2－cos θ2>0. ∴原式＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝－2sin θ2. 题型三三角恒等式的证明(1)若π<α<3π2，证明：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α＝－2cos α2；(2)已知sin α＝A sin(α＋β)，|A |>1，求证：tan(α＋β)＝sin βcos β－A .[证明] (1)左边＝sin2α2＋cos2α2＋2sin α2cos α21＋⎝⎛⎭⎪⎫2cos2α2－1－1－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin2α2＋sin2α2＋cos2α2－2sin α2cos α21＋⎝⎛⎭⎪⎫2cos2α2－1＋1－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴sin α2>0>cos α2. ∴左边＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎝⎛⎭⎪⎫－cos α2－sin α2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎪⎫－cos α2＋sin α2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋12⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝－2cos α2＝右边．∴原等式成立．(2)∵sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β， ∴sin α＝A sin(α＋β)化为sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)·sin β＝A sin(α＋β)， ∴sin(α＋β)(cos β－A )＝cos(α＋β)sin β， ∴tan(α＋β)＝sin βcos β－A.三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．[跟踪训练]求证：2sin x cos x (sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos xsin x.[证明] 左边＝2sin x cos x⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x4sin 2x 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x2－sin 2x 2＝sin x2sin 2x 2＝cos x2sin x 2＝2cos2x22sin x 2cos x 2＝1＋cos xsin x＝右边． ∴原等式成立．课堂归纳小结1．本节课的重点是半角公式，难点是半角公式的应用． 2．要掌握三角恒等变换的三个应用 (1)求值问题，见典例1； (2)三角函数式的化简，见典例2； (3)三角恒等式的证明，见典例3. 3．对半角公式的三点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．(2)半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，便可求出sin α2，cos α2，tan α2.(3)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2求解．开方时需要注意角所在象限.1．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，则tan θ2的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12[解析] ∵cos θ＝－35，且180°<θ<270°∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－45∴tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋35－45＝－2.[答案] B2．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数[解析] ∵f (x )＝1－cos2x 2－12＝－12cos2x∴最小正周期T ＝2π2＝π，且为偶函数．[答案] D3．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为__________．[解析] ∵f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x －22cos x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4∴f (x )的最小值为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1 [答案] －14.3tan12°－3sin12°(4cos 212°－2)＝__________. [解析] 原式＝3sin12°－3cos12°cos12°sin12°·2cos24°＝3sin12°－3cos12°sin24°cos24°＝43(sin12°cos60°－cos12°sin60°)2sin24°cos24°＝43sin (－48°)sin48°＝－4 3.[答案] －4 35.sin4x 1＋cos4x ·cos2x 1＋cos2x ·cos x1＋cos x＝__________.[解析] 原式＝2sin2x cos2x 2cos 22x ·cos2x 1＋cos2x ·cos x1＋cos x＝sin2x 1＋cos2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin x 1＋cos x ＝tan x 2.[答案] tan x 2课内拓展课外阅读1．三角恒等变换与三角函数的综合问题在三角恒等变换时要尽量做到三个“统一”：即角统一、三角函数名统一(切化弦)、次数统一(齐次式)．最后利用辅助角公式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式．已知函数f (x )＝23sin(x －3π)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2－1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos2x 0的值． [解] f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (1)f (x )的最小正周期为π；最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6. 又∵f (x 0)＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45， cos2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6 ＝3－4310. [点评] 在求cos2x 0时，应用角的变换求解更简单．2．三角恒等变换与向量的综合问题解决此类问题，应利用平面向量的坐标运算、数量积、平行与垂直的条件、夹角公式、平面向量基本定理等知识，剥去平面向量的“外衣”，直抵问题核心部分，即将平面向量转化为三角函数问题，利用三角公式和三角恒等变换的思想方法进行化简，使问题得以解决．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上移动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．[解] 建立如图所示的直角坐标系，则A (1,0)，B (cos120°，sin120°)，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设∠AOC ＝α，则OC →＝(cos α，sin α)．∵OC →＝xOA →＋yOB →，∴(cos α，sin α)＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12y ，32y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －12y ＝cos α，32y ＝sin a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3.∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°.∴当α＝60°时，x ＋y 有最大值2.[点评] 将向量坐标化，利用平面向量基本定理中参数的唯一性求得x ，y ，进而将代数最值问题转化为三角函数最值问题，从而求解．。

人教版高中数学必修四第三章三角恒等变换全章教案

3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学法与教学用具1. 学法：启发式教学2. 教学用具：多媒体四、教学设想：（一）导入：我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构.思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处.思考：()cos ?αβ+=，()()cos cos αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦，再利用两角差的余弦公式得出()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值.解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos 75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=+=-=⨯=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=-=+=⨯=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===- 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（五）作业：15012.P T T -3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)教案一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 二、三维目标1．知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2．过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、课时安排2课时五、教学设想第1课时（一）导入新课思路 1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C (α+β)、S (α-β)、S (α+β).本节课我们共同研究公式的推导及其应用.思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sin α=55，α∈(0,2π)，cos β=1010,β∈(0,2π),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C （α-β）很容易求得cos （α-β），但是如果求cos （α+β）的值就得想法转化为公式C （α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.（二）推进新课、新知探究、提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.②在公式C (α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C (α-β)来推导cos(α+β)=?③分析观察C (α+β)的结构有何特征？④在公式C (α-β)、C (α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?⑤公式S (α-β)、S (α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C (α-β)、C (α+β)、S (α-β)、S (α+β)，能否推导出tan(α-β)=?tan （α+β）=？⑦分析观察公式T (α-β)、T (α+β)的结构特征如何？⑧思考如何灵活运用公式解题？活动：对问题①，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β，所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式C (α-β)上来,这样就很自然地得到cos(α+β)=cos ［α-(-β)］=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.所以有如下公式：(α+β)对问题②，教师引导学生细心观察公式C (α+β)的结构特征,可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C (α-β)进行记忆，并填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________.对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化，此法让学生课下进行),因此有sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］=cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β =sin αcos β+cos αsin β.在上述公式中,β用-β代之，则sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)=sin αcos β-cos αsin β. (α+β)(α-β).同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆，教师可让学生填空,如sin(θ+φ)=___________，sin 75sin 72cos 75cos 72ππππ+=__________. 对问题⑥，教师引导学生思考，在我们推出了公式C (α-β)、C (α+β)、S (α+β)、S (α-β)后,自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来.当cos(α+β)≠0时，tan(α+β)=.sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(βαβαβαβββ-+=++a a 如果cos αcos β≠0,即cos α≠0且cos β≠0时,分子、分母同除以cos αcos β得tan(α+β)=)tan(tan 1tan tan βαβα--+，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有tan(α-β)=.tan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan βαβαβαβα+-=---+ 由此推得两角和、差的正切公式，简记为T (α-β)、T (α+β).对问题⑥,让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于2π+k π(k ∈Z )，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆.对问题⑦⑧，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C (α+β)、S (α+β)、T (α+β)叫和角公式；S (α-β)、C (α-β)、T (α-β)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)，tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tan α，tan β或tan （α±β）的值不存在时，不能使用T （α±β）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(2π-β)，因为tan 2π的值不存在，所以改用诱导公式tan(2π-β)=βββπβπsin cos )2cos()2sin(=--来处理等.（三）应用示例思路1例1 已知sin α=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cos α,tan α的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sin α=53-,α是第四象限角，得cos α=54)53(1sin 122=--=-a . ∴tan α=a a cos sin =43-. 于是有sin(4π-α)=sin 4πcos α-cos 4πsin α=,1027)53(225422=-⨯-⨯ cos(4π+α)=cos 4πcos α-sin 4πsin α=,1027)53(225422=-⨯-⨯ tan(α-4π)=4tan tan 14tan tan ππa a +-=a a tan 11tan +-=7)43(1143-=-+--. 点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练1.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30° =42621222322-=⨯-⨯, tan105°=tan(60°+45°)= 311345tan 60tan 145tan 60tan -+=-+ =-(2+3). 2.设α∈(0,2π),若sin α=53,则2sin(α+4π)等于( ) A.57 B.51 C.27 D.4 答案：A例 2 已知sin α=32,α∈(2π,π),cos β=43-,β∈(π,23π).求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β).活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S (α-β)、C (α+β)、T (α+β)应先求出cosα、sin β、tan α、tan β的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.解：由sin α=32,α∈(2π,π),得 cos α=a 2sin 1--=-2)32(1--=35-，∴tan α=552-. 又由cos β=31-,β∈(π,23π). sin β=β2cos 1--=47)43(12-=---, ∴tan β=37.∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =32×(43-)-(12356)47()35(--=-⨯-. ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=(35-)×(43-)-32×(47-) =.127253+∴tan(α+β)=35215755637)552(137552tan tan 1tan tan ++-=⨯--+-=-+βαβα=17727532+-. 点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x 米，∠CAB=α，则sin α=6730，在Rt △ABD 中，tan(45°+α)=3030+x tan α. 于是x=30tan )45tan(30-+αα , 又∵sin α=6730,α∈(0,2π),∴cos α≈6760,tan α≈21. tan(45°+α)=211211tan 1tan 1-+≈-+αα=3, ∴x=21330⨯-30=150(米). 答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC 中，sinA=53(0°<A<45°),cosB=135(45°<B<90°)，求sinC 与cosC 的值. 活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC 中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=53且0°<A<45°,∴cosA=54. 又∵cosB=135且45°<B<90°,∴sinB=1312. ∴sinC=sin ［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =53×135+54×1312=6563, cosC=cos ［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=53×1312-54×135=6516. 点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.变式训练在△ABC 中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB ≥1,则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案：C思路2例1 若sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53,且0<α<4π<β<43π,求cos(α+β)的值. 活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考时有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答.对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定准角的范围，准确判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它.对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围，进行一题多变训练，提高学生灵活应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值.解：∵0<α<4π<β<43π,∴43π<43π+α<π,-2π<4π-β<0, 又已知sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53, ∴cos(43π+α)=1312-,sin(4π-β)=54-. ∴cos(α+β)=sin ［2π+(α+β)］=sin ［(43π+α)-(4π-β)］ =sin(43π+α)cos(4π-β)-cos(43π+α)sin(4π-β) =135×53-(1312-)×(54-)=6533-. 本题是典型的变角问题,即把所求角利用已知角来表示,实际上就是化归思想.这需要巧妙地引导,充分让学生自己动手进行角的变换,培养学生灵活运用公式的能力.变式训练已知α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312,求cos(α+4π)的值. 解：∵α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, ∴23π<α+β<2π,2π<β-4π<43π.∴cos(α+β)=54,cos(β-4π)=135-. ∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］ =cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4π) =54×(135-)+(53-)×1312=6556-.例2 化简.sin sin )sin(sin sin )sin(sin sin )sin(aa a a θθθβθβββ-+-+- 活动：本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先让学生自己独立地探究，然后进行讲评.解：原式=aa a a a a sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin θθθθβθβθββββ-+-+- =a a a a a a a a sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin βθβθβθθβθβθβθβθβαθβ-+-+- =asin sin sin 0βθ =0.点评：本题是一个很好的运用公式进行化简的例子，通过学生独立解答，培养学生熟练运用公式的运算能力.变式训练化简)cos(sin sin 2cos sin 2)sin(βαβαβαβα++-+ 解：原式=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin sin 2cos sin 2sin cos cos sin -+- =).tan()cos()sin(cos cos sin sin cos sin sin cos αβαβαββαβαβαβα-=--=+-（四）作业已知0<β<4π,4π<α<43π,cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值. 解：∵4π<α<43π,∴2π-<4π-α<0.∴sin(4π-α)=2)53(1--=54-.又∵0<β<4π,∴43π<43π+β<π,cos(43π+β)=2)135(1--=1312-.∴sin(α+β)=-cos(2π+α+β)=-cos ［(43π+β)-(4π-α)］=-cos(43π+β)cos(4π-α)-sin(43π+β)sin(4π-α)=-(1312-)×53135-×(54-)=6556.（五）课堂小结1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于这六个公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想——转化思想,并要正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)教案教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C (α-β)推得公式C (α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S (α-β)、S (α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 二、三维目标1．知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力. 2．过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质. 三、重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导. 教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明. 四、课时安排 2课时五、教学设想（一）导入新课思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos （α＋β）cos β＋sin （α＋β）sin β;(2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x xx x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+ 2.证明下列各式(1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+(2)tan （α＋β）tan （α-β）（1-tan 2tan 2β）＝tan 2α-tan 2β; (3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+答案:1.(1)cos α;(2)0;(3)1.2.证明略.教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.（二）推进新课、新知探究、提出问题①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=(α+β)-β,)2()2(2βαβαβα---=+等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.sin （α±β）＝sin αcos β±cos αsin β〔Ｓ（α±β）〕; cos （α±β）＝cos αcos βsin αsin β〔C （α±β）〕;tan （α±β）＝βαβαtan tan 1tan tan ±〔T （α±β）〕.讨论结果：略.（三）应用示例思路1例1 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°; （2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;（3）15tan 115tan 1-+活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S (α-β)的右边，（2）同公式C (α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T (α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1，原式化为15tan 45tan 115tan 45tan -+，再逆用公式T (α+β)即可解得.解：（1）由公式S (α-β)得原式=sin(72°-42°)=sin30°=21. （2）由公式C (α+β)得原式=cos(20°+70°)=cos90°=0. （3）由公式T (α+β)得原式=15tan 45tan 115tan 45tan -+=tan(45°+15°)=tan60°=3. 点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.变式训练 1.化简求值：（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°; （2）sin14°cos16°+sin76°cos74°;（3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=21-. （2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=21. （3）原式=sin ［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.2.计算.75tan 175tan 1+- 解：原式=75tan 45tan 175tan 45tan +-=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=33-.例2 已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos (x-θ)的定义域为R ,设θ∈［0,2π］,若f(x)为偶函数,求θ的值.活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评.解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ), 即-sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ-sinxsin θ =sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ+sinxsin θ. ∴sinxcos θ+sinxsin θ=0.∴sinx(sin θ+cos θ)=0对任意x 都成立.∴2sin(θ+4π)=0,即sin(θ+4π)=0. ∴θ+4π=k π(k ∈Z ).∴θ=k π-4π(k ∈Z ).又θ∈［0,2π),∴θ=43π或θ=47π.点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力.变式训练已知：2π<β<α<43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=54-,求cos2β的值.解：∵2π<β<α<43π,∴0<α-β<4π,π<α+β<23π.又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)= 54-,∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=53-.∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =53-×1312+(54-)×135=6556-.例3 求证：cos α+3sin α=2sin(6π+α). 活动：本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S (α+β)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S (α+β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数.证明：方法一：右边=2(sin6πcos α+cos 6πsin α)=2(21cos α+23sin α)=cos α+3sin α=左边.方法二：左边=2(21cos α+23sin α)=2(sin 6πcos α+cos 6πsin α)=2sin(6π+α)=右边. 点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23，即辅助角6π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx （a ，b 不同时为零）的式子,引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下，如果a=AC os φ,b=Asin φ,那么asinx+bcosx=A(sinxcos φ+cosxsin φ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得 A 2=a 2+b 2,A=±22b a +,不妨取A=22b a +,于是得到cos φ=22ba a +,sin φ=22b a b +,从而得到tan φ=ba ,因此asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，通过引入辅助。

精选人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换导学案

3.2 简单的三角恒等变换学习目标.1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.知识点一.半角公式思考1.我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2α替换α，结果怎样？答案.结果是cos α＝2cos2α2－1＝1－2sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2. 思考2.根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.答案.∵cos2α2＝1＋cos α2，∴cos α2＝± 1＋cos α2，同理sin α2＝±1－cos α2，∴tan α2＝sinα2cosα2＝±1－cos α1＋cos α.思考3.利用tan α＝sin αcos α和倍角公式又能得到tan α2与sin α，cos α怎样的关系？答案. tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2cosα2cos α2·2cosα2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2sinα2cos α2·2sinα2＝1－cos αsin α.梳理知识点二.辅助角公式思考1.a sin x ＋b cos x 化简的步骤有哪些？答案.(1)提常数，提出a 2＋b 2得到a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2 sin x ＋b a 2＋b 2cos x .(2)定角度，确定一个角θ满足： cos θ＝a a 2＋b2，sin θ＝b a 2＋b2(或sin θ＝a a 2＋b2，cos θ＝b a 2＋b 2).一般θ为特殊角⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3等，则得到a 2＋b 2(cos θsin x ＋sin θcos x )(或a 2＋b 2(sin θsin x ＋cosθcos x )).(3)化简、逆用公式得a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(或a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2cos(x －θ)).思考2.在上述化简过程中，如何确定θ所在的象限？答案.θ所在的象限由a 和b 的符号确定. 梳理.辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).(其中tan θ＝ba)类型一.应用半角公式求值例1.已知sin θ＝45，5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2.解.∵sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.由cos θ＝2cos 2θ2－1，得cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15. ∵5π4＜θ2＜3π2，∴cos θ2＝－ 1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.反思与感悟.(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论. (2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： ①先化简所求的式子；②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手). 跟踪训练1.已知sin α＝－817，且π<α<3π2，求sin α2，cos α2和tan α2. 解.∵sin α＝－817，π<α<3π2，∴cos α＝－1517.又∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝ 1＋15172＝41717， cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1－15172＝－1717， tan α2＝sinα2cosα2＝－4.类型二.三角恒等式的证明例2.求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ. 证明.要证原式，可以证明1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ. ∵左边＝sin 4θ＋(1－cos 4θ)sin 4θ＋(1＋cos 4θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ ＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)2cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝tan 2θ，右边＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ， ∴左边＝右边， ∴原式得证.反思与感悟.证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法. 跟踪训练2.证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12.证明.∵左边＝2tanα21＋tan2α2＋11＋2tan α21＋tan 2 α2＋1－tan2α21＋tan2α2＝tan2α2＋2tan α2＋11＋tan 2α2＋2tan α2＋1－tan2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋122tan α2＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋1＝12tan α2＋12＝右边， ∴原等式成立.类型三.利用辅助角公式研究函数性质例3.已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 (x ∈R ).(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合. 解.(1)∵f (x )＝3sin(2x －π6)＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝3sin[2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12]＋1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12 (k ∈Z )，∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }.反思与感悟.(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.跟踪训练3.已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合. 解.(1)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3(1－cos 2x )8＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )时，h (x )有最大值22.此时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π8，k ∈Z .类型四.三角函数在实际问题中的应用例4.如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在ST 上，相邻两边CQ 、CR 正好落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值.解.如图连接AP ，设∠PAB ＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP 交AB 于M ，则AM ＝90cos θ，MP ＝90sin θ. 所以PQ ＝MB ＝100－90cos θ，PR ＝MR －MP ＝100－90sin θ.所以S 矩形PQCR ＝PQ ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ) ＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ) ＋8 100sin θcos θ.令t ＝sin θ＋cos θ(1≤t ≤2)，则sin θcos θ＝t 2－12.所以S 矩形PQCR ＝10 000－9 000t ＋8 100·t 2－12＝8 1002(t －109)2＋950. 故当t ＝109时，S 矩形PQCR 有最小值950 m 2；当t ＝2时，S 矩形PQCR 有最大值(14 050－9 0002) m 2.反思与感悟.此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，有利于表示所需线段，其次要确定角的范围.跟踪训练4.某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图).解.连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1. ∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ ＝－sin 2θ＋sin θcos θ ＝－12(1－cos 2θ)＋12sin 2θ＝12(sin 2θ＋cos 2θ)－12 ＝22cos(2θ－45°)－12. 当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，S max ＝2－12(m 2). ∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12m 2.1.若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为(..)A.63 B.－63 C.±63 D.±33答案.A解析.由题意知α2∈(0，π2)，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 2.已知tan θ2＝3，则cos θ等于(..)A.45B.－45C.415D.－35 答案.B解析.cos θ＝cos 2θ2－sin2θ2cos 2θ2＋sin2θ2＝1－tan2θ21＋tan2θ2＝1－321＋32＝－45.3.函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是(..)A.1B.2C.32D.3答案.C解析.f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴f (x )max ＝1＋12＝32，故选C.4.函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为 .答案.－1解析.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.∵－π4≤x －π4≤π4，∴f (x )min ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1.5.化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α.(180°<α<360°)解.原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α24cos2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.因为180°<α<360°，所以90°<α2<180°，所以cos α2<0，所以原式＝cos α.1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.2.辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a ，b )同象限；②tan φ＝b a(或sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b 2).3.研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a ，b 应熟练掌握，例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±π4； sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ±π3等. 课时作业一、选择题1.若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2等于(..)A.－12B.12 C.2 D.－2答案.A解析.∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴1＋tanα21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sinα2cosα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sinα2cos α2＋sinα2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.2.若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5等于(..)A.1B.2C.3D.4 答案.C解析.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3.3.已知180°<α<360°，则cos α2的值等于(..)A.－ 1－cos α2 B. 1－cos α2 C.－ 1＋cos α2D.1＋cos α2答案.C4.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是(..)A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形答案.B解析.用降幂公式进行求解. 5.设函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx ＋a (其中ω>0，a ∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是π6，则ω的值为(..) A.12 B.－13 C.－23 D.2π3答案.A解析.f (x )＝32cos 2ωx ＋12sin 2ωx ＋32＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32＋a ，依题意得 2ω·π6＋π3＝π2⇒ω＝12. 6.设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝ 1－cos 50°2，则有(..) A.c <b <aB.a <b <cC.a <c <bD.b <c <a 答案.C解析.a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， b ＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°，∵y ＝sin x 在[0，π2]上是单调递增的， ∴a <c <b .7.已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2＜θ＜π)，则tan θ2等于(..) A.－13B.5C.－5或13D.－13或5 答案.B解析.由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得(m －3m ＋5)2＋(4－2m m ＋5)2＝1，解得m ＝0或8，当m ＝0时，sin θ＜0，不符合π2＜θ＜π.∴m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5.二、填空题8.设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值为 .答案.－ 1－a2 解析.sin 2θ4＝1－cos θ22，∵θ∈(5π，6π)，∴θ4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2，∴sin θ4＝－ 1－cos θ22＝－ 1－a2.9.sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值为 .答案.34解析.原式＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)＝sin 220°＋(sin 60°cos 20°＋cos 60°sin 20°)·(sin 60°·cos 20°－cos 60°sin 20°)＝sin 220°＋sin 260°cos 220°－cos 260°sin 220°＝sin 220°＋34cos 220°－14sin 220°＝34sin 220°＋34cos 220°＝34.10.函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是 .答案.π解析.∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π. 三、解答题11.已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，求cos α的值. 解.∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α ＝sin αcos π3＋cos αsin π3＋sin α ＝32sin α＋32cos α＝－435. ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. ∵－π2<α<0，∴－π3<α＋π6<π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6 ＝35×32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×12＝33－410. 12.求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x . 证明.∵左边＝tan 3x 2－tan x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2 ＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x＝右边. ∴原等式得证.13.已知cos 2θ＝725，π2<θ<π， (1)求tan θ的值；(2)求2cos 2θ2＋sin θ2sin (θ＋π4)的值. 解.(1)因为cos 2θ＝725，所以cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝725，所以1－tan 2θ1＋tan 2θ＝725，解得tan θ＝±34，因为π2<θ<π，所以tan θ＝－34. (2)因为π2<θ<π，tan θ＝－34，所以sin θ＝35，cos θ＝－45，所以2cos 2θ2＋sin θ2sin (θ＋π4)＝1＋cos θ＋sin θcos θ＋sin θ ＝1－45＋35－45＋35＝－4. 四、探究与拓展14.已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是，最小值是 . 答案.32.12解析.∵A ＋B ＝2π3， ∴cos 2A ＋cos 2B＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B ) ＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B ) ＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3·cos(A －B ) ＝1－12cos(A －B )， ∴当cos(A －B )＝－1时，原式取得最大值32；当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12. 15.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性. 解.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减. 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减.。

人教A版高中数学必修四简单的三角恒等变换教案三

3.2简单的三角恒等变换（三）教学目标（一）知识与技能目标熟练掌握三角公式及其变形公式．（二）过程与能力目标抓住角、函数式得特点，灵活运用三角公式解决一些实际问题．（三）情感与态度目标培养学生观察、分析、解决问题的能力．教学重点和、差、倍角公式的灵活应用．教学难点如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明．教学过程例1：教材P141面例4例1. 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.例2：把一段半径为R 的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）解：（1）如图，设矩形长为l ，则面积224l R l S +=，所以,4)()4(22222222l R l l R l S +-=-=当且仅当,224222R R l == 即R l 2=时，2S 取得最大值44R ，此时S 取得最大值22R ，矩形的宽为R RR 2222=即长、宽相等，矩形为圆内接正方形. （2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为θ，矩形长与宽分别为θsin 2R 、θcos 2R ，所以面积θθθ2sin 2sin 2cos 22R R R S =⨯=.而12sin ≤θ，所以22R S ≤，当且仅当12sin =θ时，S 取最大值22R ，所以当且仅当︒=902θ即︒=45θ时， S 取最大值，此时矩形为内接正方形.变式：已知半径为1的半圆，PQRS 是半圆的内接矩形如图，问P 点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值．解：设,α=∠SOP 则,cos ,sin αα==OS SP故S 四边形PQRS ααα2sin cos 2sin =⨯=故α为︒45时，1max =S课堂小结建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题.课后作业1. 阅读教材P.139到P.142;2. 《习案》作业三十五.。

人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换导学案

第三章三角恒等变换1.三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角例1.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α的值.分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系.解.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝π，∴5π6－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝－33.二、利用目标中的角表示条件中的角例2.设α为第四象限角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝_______________________________.分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝135中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan2α.解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋cos 2α＝135.∵2cos 2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45.∵α为第四象限角，∴2k π＋3π2<α<2k π＋2π(k ∈Z )，∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，∴2α可能在第三、四象限，又∵cos 2α＝45，∴2α在第四象限，∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.答案.－34三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角例3.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值.分析.转化为已知角⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的三角函数值，求这个角的其余三角函数值，这样可以将所求式子化简，使其出现⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 这个角的三角函数. 解.原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，且0<x <π4，∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角例4.求函数f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos(x ＋40°)的最大值.分析.观察角(x ＋40°)－(x －20°)＝60°，可以把x ＋40°看成(x －20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f (x ).解.f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos[(x －20°)＋60°]＝12sin(x －20°)－32sin(x －20°)－cos(x －20°)cos 60°＋sin(x －20°)sin 60° ＝12[sin(x －20°)－cos(x －20°)]＝22sin(x －65°)，当x －65°＝k ·360°＋90°，即x ＝k ·360°＋155°(k ∈Z )时，f (x )有最大值22.2.三角恒等变换的几个技巧三角题是高考的热点，素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧.下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助. 一、灵活降幂例1 3－sin 70°2－cos 210°＝________. 解析.3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°2＝2. 答案.2点评.常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ，等等.二、化平方式例2 化简求值：12－1212＋12cos 2α(α∈(3π2，2π)). 解.因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π4，π)，所以cos α>0，sin α2>0，故原式＝12－121＋cos 2α2＝ 12－12cos α＝ sin2α2＝sin α2. 点评.一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α、2sin 2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2. 三、灵活变角例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________.解析.cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.答案.－79点评.正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余.四、构造齐次弦式比，由切求弦例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ的值是________.解析.cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋2tan θ＝1－141＋14＋2×(－12)＝3414＝3. 答案.3点评.解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cosθ的二次齐次弦式比. 五、分子、分母同乘以2n sin α求cos αcos 2αcos 4αcos 8α…cos 2n －1·α的值例5 求cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11的值.解.原式＝－cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π11＝－24sin π11cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos5π1124sinπ11＝－sin 16π11cos 5π1124sin π11＝sin 5π11cos 5π1124sin π11＝12·sin10π1124sinπ11＝sinπ1125sinπ11＝132.点评.这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.3.聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解例1.求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x2－sin 2x的最值.解.原函数变形得f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－sin 2x cos 2x2－sin 2x＝1－14sin 22x 2－sin 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12sin 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin 2x ＝14sin 2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝14. 例2.求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合. 解.原函数化简得y ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2.当2x ＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z ，即x ＝k π＋58π，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.此时x 的集合为{x |x ＝k π＋58π，k ∈Z }.点评.形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(2ωx ＋φ)＋B 的形式求最值. 二、利用正、余弦函数的有界性求解例3.求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域.解.原函数整理得sin x ＝y ＋12(y －1).∵|sin x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋12(y －1)≤1，解出y ≤13或y ≥3.∴函数的值域为{y |y ≤13或y ≥3}.例4.求函数y ＝sin x ＋3cos x －4的值域.解.原函数整理得sin x －y cos x ＝－4y －3，∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3，∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y 2. ∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4y －31＋y 2≤1得－12－2615≤y ≤－12＋2615. 点评.对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值.三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5.设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式.解.y ＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2a ＋1. 当a2<－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1，此时cos x ＝－1.当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a2.当a2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(a <－2)，－12a 2－2a －1(－2≤a ≤2)，1－4a (a >2).点评.形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1，1]上的最值问题解决.例6.试求函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＋2的最值.解.设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2， 2 ]，则2sin x cos x ＝t 2－1，原函数变为y ＝t 2＋t ＋1，t ∈[－2， 2 ]，当t ＝－12时，y min ＝34；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2.点评.一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(t 2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(1－t 2). 四、利用函数的单调性求解例7.求函数y ＝(1＋sin x )(3＋sin x )2＋sin x 的最值.解.y ＝sin 2x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝(sin x ＋2)2－1sin x ＋2＝(sin x ＋2)－1(sin x ＋2)，令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1，3]，y ＝t －1t.利用函数单调性的定义易证函数y ＝t －1t在[1，3]上为增函数.故当t ＝1，即sin x ＝－1时，y min ＝0；当t ＝3，即sin x ＝1时，y max ＝83.例8.在Rt△ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为P ，正方形面积为Q .求P Q的最小值.解.AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝12a 2tan θ.设正方形的边长为x ，AG ＝x cos θ，BC ＝acos θ.BC 边上的高h ＝a sin θ，∵AG AB ＝h －x h ，即x cos θa ＝a sin θ－xa sin θ，∴x ＝a sin θ1＋sin θcos θ，∴Q ＝x 2＝a 2sin 2θ(1＋sin θcos θ)2. 从而P Q ＝sin θ2cos θ·(1＋sin θcos θ)2sin 2θ ＝(2＋sin 2θ)24sin 2θ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ4＋1sin 2θ. 易知函数y ＝1t ＋t4在区间(0，1]上单调递减，从而，当sin 2θ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫P Q min ＝94. 点评.一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，可利用函数单调性巧妙解决.4.行百里者半九十——《三角恒等变换》一章易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1.已知sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，求α＋β的值. [错解].因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. 因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β∈(0，π).所以α＋β＝π4或3π4.[剖析].由sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的.这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值. [正解].因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22. 因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2.已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值.[错解].由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6， ①tan αtan β＝7， ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝54π.[剖析].由①②知tan α<0，tan β<0，角α、β都是钝角.上述解法忽视了这一隐含条件.[正解].由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7易知tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)，∴π2<α<π，π2<β<π，∴π<α＋β<2π. 又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π.三、忽略三角形内角间的关系而致错例3.在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C .[错解].由sin A ＝35，得cos A ＝±45，由cos B ＝513，得sin B ＝1213，当cos A ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.当cos A ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝5665.[剖析].在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的和为π，解题时要充分利用这一定理.本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－45这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确.[正解].由cos B ＝513>0，得B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin B ＝1213.由sin A ＝35，得cos A ＝±45，当cos A ＝－45时，cos A <－12，∴A >2π3.∵sin B ＝1213>32，B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B >π3.故当cos A ＝－45时，A ＋B >π，与A 、B 是△ABC 的内角矛盾.∴cos A ＝45，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.四、忽略三角函数的定义域而致错例4.判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x 的奇偶性.[错解].f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x＝1＋2sin x2cos x 2－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2x 21＋2sin x2cos x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x2＋sin x 22cos x 2⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 2＝tan x 2，由此得f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－tan x2＝－f (x )，因此函数f (x )为奇函数.[剖析].运用公式后所得函数f (x )＝tan x2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错. [正解].事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得sin x ＋cos x ≠－1，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≠－1，从而sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≠－22，所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π4(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z ，显然该定义域不关于原点对称. 因此，函数f (x )为非奇非偶函数.温馨点评.判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数.上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错.五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)而致错例5.若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值. [错解].∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)， ∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数. ∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2.∴f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝±2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝±1，∴θ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z .即θ＝k π＋π4，k ∈Z .[剖析].∵x ＋θ与x －θ是不同的角.∴函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理. [正解].∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数. ∴f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立.即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立. ∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0. ∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立. 即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立. ∴cos θ＋sin θ＝0.∵cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝0. ∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π4，k ∈Z .5.平面向量与三角函数的交汇题型大全平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想.这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解. 一、平面向量平行与三角函数交汇例1 已知a ＝(2cos x ＋23sin x ，1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b .若f (x )是y 关于x 的函数，则f (x )的最小正周期为________.解析.由a ∥b 得2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0，即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1 ＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.答案.π点评.解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解. 二、平面向量垂直与三角函数交汇例2 已知向量a ＝(4，5cos α)，b ＝(3，－4tan α)，α∈(0，π2)，若a ⊥b ，则cos(2α＋π4)＝________. 解析.因为a ⊥b ，所以4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0，解得sin α＝35.又因为α∈(0，π2)，所以cos α＝45.cos 2α＝1－2sin 2α＝725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，于是cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝－17250.答案.－17250点评.解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理. 三、平面向量夹角与三角函数交汇例3 已知向量m ＝(sin θ，1－cos θ)(0<θ<π)与向量n ＝(2，0)的夹角为π3，则θ＝________. 解析.由条件得|m |＝sin 2θ＋(1－cos θ)2＝2－2cos θ，|n |＝2，m ·n ＝2sin θ，于是由平面向量的夹角公式得cos π3＝m ·n |m ||n |＝2sin θ22－2cos θ＝12，整理得2cos 2θ－cos θ－1＝0，解得cos θ＝－12或cos θ＝1(舍去). 因为0<θ<π，所以θ＝2π3.答案.2π3点评.解答平面向量的夹角与三角函数的交汇试题主要利用平面向量的夹角公式建立某角的三角函数的方程或不等式，然后由三角函数的知识求解. 四、平面向量的模与三角函数交汇例4 若向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________. 解析.由条件可得|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝3cos θ－sin θ，则|2a －b |＝ |2a －b |2＝ 4a 2＋b 2－4a ·b ＝8－4(3cos θ－sin θ)＝ 8－8cos (θ＋π6)≤4，所以|2a －b |的最大值为4. 答案.4点评.解答平面向量的模与三角函数交汇一般要用到向量的模的性质|a |2＝a 2.如果是求模的大小，则一般可直接求解；如果是求模的最值，则常常先建立模关于某角的三角函数，然后利用三角函数的有界性求解. 五、平面向量数量积与三角函数交汇例5 若函数f (x )＝2sin(π6x ＋π3)(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →等于(..) A.－32 B.－16 C.16D.32解析.由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4，0)，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，根据对称性可知，A 是BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OA →，所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝2×42＝32，答案.D点评.平面向量数量积与三角函数的综合主要体现为两类：(1)利用三角函数给出向量的坐标形式，然后求数量积，解答时利用数量积公式可直接解决；(2)给出三角函数图象，求图象上相关点构成的向量之间的数量积，解答时关键是求涉及到的向量的模、以及它们的夹角.6.单位圆与三角恒等变换巧结缘单位圆与三角函数有着密切联系，下面我们通过例题来看看单位圆与三角恒等变换是如何结缘的.一、借助单位圆解决问题例1.已知sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，求tan α＋β2.(提示：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22解.设A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)均在单位圆上，如图，则以OA 、OB 为终边的角分别为α、β，由已知，sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，用题设所给的中点坐标公式，得AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫16，18，如图，由平面几何知识知，以OC 为终边的角为β－α2＋α＝α＋β2，且过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫16，18，由三角函数的坐标定义，知tan α＋β2＝1816＝34.点评.借助单位圆使问题简单化，这种思维方法贯穿整个三角函数问题的始终，特别在求值中更能显出它的价值. 二、单位圆与恒等变换的交汇例2.已知圆x 2＋y 2＝R 2与直线y ＝2x ＋m 相交于A 、B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α，OB 为终边的角为β，则tan(α＋β)的值为________. 解析.如图，过O 作OM ⊥AB 于点M ，不妨设α、β∈[0，2π]，则∠AOM ＝∠BOM ＝12∠AOB＝12(β－α)，又因为∠xOM ＝α＋∠AOM ＝α＋β2，所以tan α＋β2＝k OM ＝－1k AB ＝－12，故tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan2α＋β2＝－43.答案.－43点评.若是采用先求A 、B 两点的坐标，再求α、β的正切值这一思路就很繁锁甚至做不下去，可见用不同的解决方法繁简程度不同.例3.如图，A ，B 是单位圆O 上的点，OA 为角α的终边，OB 为角β的终边，M 为AB 的中点，连接OM 并延长交圆O 于点C.(1)若α＝π6，β＝π3，求点M 的坐标；(2)设α＝θ(θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3)，β＝π3，C (m ，n )，求y ＝m ＋n 的最小值，并求使函数取得最小值时θ的取值.解.(1)由三角函数定义可知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，由中点坐标公式可得M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋14，3＋14.(2)由已知得∠xOC ＝12(α＋β)＝12(θ＋π3)，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12θ＋π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12θ＋π6，故m ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12θ＋π6，n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12θ＋π6，所以y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12θ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12θ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12θ＋5π12，又因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，故5π12≤12θ＋5π12≤7π12，当θ＝0或π3时，函数取得最小值y min ＝2sin 5π12＝3＋12.点评.借助单位圆和点的坐标，数形结合，利用平面几何知识和三角函数的定义使问题简单化.7.教你用好辅助角公式在三角函数中，辅助角公式a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2·sin(θ＋φ)，其中角φ所在的象限由a ，b 的符号确定，φ的值由tan φ＝ba确定，它在三角函数中应用比较广泛，下面举例说明，以供同学们参考. 一、求最值例1.求函数y ＝2sin x (sin x －cos x )的最小值. 解.y ＝2sin x (sin x －cos x )＝2sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos2x －sin 2x ＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ·22＋cos 2x ·22 ＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π4＋cos 2x sin π4 ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以函数y 的最小值为1－ 2. 二、求单调区间例2.求函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1的单调区间.解.y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x ＋1 ＝34sin 2x ＋14cos 2x ＋54＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＋54 ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z ).所以函数的单调增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )；函数的单调减区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z ). 三、求周期例3.函数y ＝cos 22x ＋4cos 2x sin 2x 的最小正周期是(..) A.2π B.π C.π2 D.π4答案.C解析.y ＝cos 22x ＋4cos 2x sin 2x ＝12cos 4x ＋2sin 4x ＋12＝172sin(4x ＋φ)＋12(其中sin φ＝1717，cos φ＝41717)，函数的最小正周期为T ＝2π4＝π2.故选C. 四、求参数的值例4.如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则实数a 的值为(..)A. 2B.－ 2C.1D.－1 答案.D解析.y ＝1＋a 2sin(2x ＋φ)(其中tan φ＝a ).因为x ＝－π8是对称轴，所以直线x ＝－π8过函数图象的最高点或最低点.即当x ＝－π8时，y ＝1＋a 2或y ＝－1＋a 2.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝±1＋a 2.即22(a －1)＝±1＋a 2.所以a ＝－1.故选D.。

人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换章末复习课导学案

第三章三角恒等变换学习目标.1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明.1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2.二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3.升幂缩角公式 1＋cos 2α＝2cos 2α. 1－cos 2α＝2sin 2α. 4.降幂扩角公式sin x cos x ＝sin 2x 2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2，sin 2x ＝1－cos 2x 2.5.和差角正切公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β). 6.辅助角公式y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋θ).类型一.灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用例1.已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值.解.∵α是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34.∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan αtan (α－β)＝139.∵β是锐角，∴cos β＝91050.反思与感悟.给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫α2，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，β＝12[(α＋β)－(α－β)]等.跟踪训练1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为31010，255.(1)求tan(α－β)的值； (2)求α＋β的值. 解.(1)由题可知，cos α＝31010，cos β＝255. 由于α，β为锐角，则sin α＝1010，sin β＝55，故tan α＝13，tan β＝12，则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13－121＋16＝－17.(2)因为tan(α＋β)＝13＋121－16＝1，sin α＝1010<22，sin β＝55<22，即α＋β<π2，故α＋β＝π4.类型二.整体换元思想在三角恒等变换中的应用例2.求函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，x ∈R 的最值及取到最值时x 的值. 解.设sin x ＋cos x ＝t ，则t ＝sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴t ∈[－2，2]，∴sin x ·cos x ＝(sin x ＋cos x )2－12＝t 2－12.∵f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ， ∴g (t )＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，t ∈[－2，2].当t ＝－1，即sin x ＋cos x ＝－1时，f (x )min ＝－1，此时，由sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，解得x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z .当t ＝2，即sin x ＋cos x ＝2时，f (x )max ＝2＋12，此时，由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1，解得x ＝2k π＋π4，k ∈Z .综上，当x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝－1；当x ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝2＋12.反思与感悟.在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来.跟踪训练2.求函数y ＝sin x ＋sin 2x －cos x (x ∈R )的值域. 解.令sin x －cos x ＝t ，则由t ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4知，t ∈[－2，2].又sin 2x ＝1－(sin x －cos x )2＝1－t 2， ∴y ＝(sin x －cos x )＋sin 2x ＝t ＋1－t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54.当t ＝12时，y max ＝54；当t ＝－2时，y min ＝－2－1. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1，54.类型三.转化与化归思想在三角恒等变换中的应用例3.已知函数f (x )＝23sin(x －3π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2－1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值.解.(1)因为f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π.又因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]，所以f (x )的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知，f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6.又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45，cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝3－4310. 反思与感悟.(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.跟踪训练3.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，17π12<x <7π4，求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值.解.sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x1－sin xcos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝sin 2x (1＋tan x )1－tan x＝sin 2x ·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . ∵17π12<x <7π4，∴5π3<x ＋π4<2π，又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－45.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－43.∴cos x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin π4 ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫35－45＝－210. ∴sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos π4－sin π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－7210， sin 2x ＝725.∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝－2875.类型四.构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用例4.已知sin x ＋2cos y ＝2，求2sin x ＋cos y 的取值范围.解.设2sin x ＋cos y ＝a .由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋2cos y ＝2，2sin x ＋cos y ＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝2a －23，cos y ＝4－a3，从而⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2a －23≤1，－1≤4－a3≤1，解得1≤a ≤52.故2sin x ＋cos y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52. 反思与感悟.在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决.跟踪训练4.已知关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0，2π)上有两个不相等的实数解α，β，求cos(α＋β)的值.解.设x ＝cos θ，y ＝sin θ，则有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＋a ＝0，消去y ，并整理得4x 2＋23ax ＋a 2－1＝0.①由已知得cos α，cos β是①的两个实数解，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝－32a ，cos αcos β＝a 2－14.∴sin αsin β＝(3cos α＋a )(3cos β＋a ) ＝3cos αcos β＋3(cos α＋cos β)a ＋a 2＝a 2－34.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝a 2－14－a 2－34＝12.1.若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－513，则tan α2等于(..)A.－5B.－513C.1213 D.5答案.A解析.∵sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝－513，又∵α是第三象限角，∴cos α＝－1213.∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－513＝－5.2.已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin 2θ等于(..)A.223B.－223C.23D.－23答案.A解析.由59＝sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ，得12sin 22θ＝49，即sin 22θ＝89. 又∵2k π＋π<θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，∴4k π＋2π<2θ<4k π＋3π(k ∈Z )，故sin 2θ＝223.故选A.3.已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝ .答案.－5972解析.由(sin α＋cos β)2＋(sin β－cos α)2＝1336，得2sin(α－β)＝－5936，即sin(α－β)＝－5972.4.设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为 . 答案.17250解析.∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝725， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π4 ＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝17250. 5.已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值.解.(1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3). 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质.课时作业一、选择题1.cos 2 017°cos 1 583°－sin 2 017°sin 1 583°等于(..) A.0 B.12 C.22 D.1答案.D解析.原式＝cos(2 017°＋1 583°)＝cos 3 600°＝1. 2.函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x (x ∈R )的值域是(..)A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22－12，22－12 答案.C解析.y ＝12sin 2x ＋1－cos 2x2＝22(22sin 2x －22cos 2x )＋12 ＝22sin(2x －π4)＋12. ∵x ∈R ，∴2x －π4∈R ，∴sin(2x －π4)∈[－1，1]，∴函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12.3.函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是(..) A.π，1 B.π，2 C.2π，1 D.2π，2答案.A解析.∵f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴最小正周期T ＝π，振幅A ＝1.4.已知tan(α＋π4)＝－12，且π2＜α＜π，则sin 2α－2cos 2αsin (α－π4)等于(..)A.255B.－255C.－355D.－31010答案.B解析.sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2cos α(sin α－cos α)22(sin α－cos α)＝22cos α.∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝－12， ∴tan α＝－3 ， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－1010. 则sin 2α－2cos 2αsin (α－π4)＝22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝－255. 5.已知向量a ＝(sin α，1)，b ＝(2，2cos α－2)(π2<α<π)，若a ⊥b ，则sin(α－π4)等于(..) A.－32B.－12C.12D.32答案.D 解析.∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2sin α＋2cos α－2＝22sin(α＋π4)－2＝0， ∴sin(α＋π4)＝12. ∵π2<α<π， ∴3π4<α＋π4<5π4， ∴cos(α＋π4)＝－32. ∴sin(α－π4)＝－sin(π4－α)＝－cos(α＋π4)＝32. 6.若1tan θ＝3，则cos 2θ＋12sin 2θ的值是(..) A.－65B.－45C.45D.65答案.D解析.由题意知，tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin 2θ＝cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θtan 2θ＋1＝65. 7.函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －3的图象的一个对称中心为(..)A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－3 答案.B解析.y ＝12sin 2x ＋32(1＋cos 2x )－ 3 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32，令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )， x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝2时，x ＝5π6， ∴函数图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，－32. 二、填空题8.若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝ . 答案.－2解析.由题意知，tan α＝－2，sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin 2α＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋2－2tan 2αtan 2α＋1＝－4＋2－2×45＝－2. 9.函数y ＝(a cos x ＋b sin x )cos x 有最大值2，最小值－1，则实数a ＝，b ＝ .答案.1.±2 2解析.y ＝a cos 2x ＋b sin x cos x＝b 2sin 2x ＋a 2cos 2x ＋a 2＝a 2＋b 22sin(2x ＋φ)＋a2， a 2＋b 22＋a2＝2，－a 2＋b 22＋a 2＝－1， a ＝1，b ＝±2 2.10.若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)＝ .答案.4解析.由已知得4(tan α－tan β)＝16(1＋tan αtan β)，即tan α－tan β1＋tan αtan β＝4. ∴tan(α－β)＝4.三、解答题11.已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围. 解.(1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12，由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝2tan αtan 2α＋1＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝－35，所以f (α)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，5π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，从而f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 所以f (x )的取值范围为[0，1＋22]. 12.已知△ABC 的内角B 满足2cos 2B －8cos B ＋5＝0，若BC →＝a ，CA →＝b ，且a ，b 满足：a ·b＝－9，|a |＝3，|b | ＝5，θ为a ，b 的夹角.求sin(B ＋θ).解.2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0，4cos 2B －8cos B ＋3＝0，解得cos B ＝12，sin B ＝32， cos θ＝a·b |a ||b |＝－35，sin θ＝45， sin(B ＋θ)＝sin B cos θ＋cos B sin θ＝4－3310. 13.设函数f (x )＝sin 2x ＋cos(2x ＋π3). (1)求函数f (x )的最大值及此时x 的取值集合；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，已知cos B ＝13，f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A 的值.解.(1)∵f (x )＝1－cos 2x 2＋12cos 2x －32sin 2x ＝12－32sin 2x ， ∴当sin 2x ＝－1时，f (x )max ＝1＋32，此时2x ＝2k π－π2(k ∈Z )，x ＝k π－π4(k ∈Z )， ∴x 的取值集合为{x |x ＝k π－π4，k ∈Z }. (2)∵f (C 2)＝12－32sin C ＝－14， ∴sin C ＝32. ∵C 为锐角，∴C ＝π3. 由cos B ＝13，得sin B ＝1－cos 2B ＝223， ∴sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32cos B ＋12sin B ＝3＋226. 四、探究与拓展14.若tan(α＋π4)＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝ . 答案.2215.已知向量OA →＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0].向量m ＝(2，1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA →－n ).(1)求向量OA →；(2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)的值. 解.(1)∵OA →＝(cos α，sin α)，∴OA →－n ＝(cos α，sin α＋5).∵m ⊥(OA →－n )，∴m ·(OA →－n )＝0，∴2cos α＋sin α＋5＝0.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， ∴OA →＝(－255，－55). (2)∵cos(β－π)＝210，∴cos β＝－210. 又∵0<β<π，∴sin β＝1－cos 2β＝7210. 又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×(－55)×(－255)＝45，cos 2α＝2cos 2α－1 ＝2×45－1＝35， ∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×(－210)＋45×7210＝25250＝22.。

人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换教案(1)

3.2《简单的三角恒等变换》教学设计【教学目标】1会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），2使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力. 【导入新课】习引入：复习倍角公式2S α、2C α、2Tα先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α.既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？新授课阶段半角公式的推导及理解：例1、试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．（二倍角公式中以α代2α，2α代α）解：因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=；因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．两式相除可以得到222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．点评：⑴以上结果还可以表示为：1cos sin 221cos cos22αααα-=±+=±1cos tan 21cos ααα-=±+并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α角的象限决定.⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明. ⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.例2 求证：（１）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=．解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系. 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=，那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３求函数sin 3cos y x x =+的周期，最大值和最小值．解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值. 解： 13sin 3cos 2sin cos 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．课堂小结用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换.我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业课本p143 习题3.2 A 组1、（1）（5） 3 、5 拓展提升1．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（）A ．－32B ．－31C ．31D ．32 2．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C，则△ABC 是（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形3．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（）A ．－3π2 B ．－3π C ．3πD ．3π2 4．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（）A ．－32B ．－31C ．31D ．32 5．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C，则△ABC 是（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形6．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（）A ．－3π2 B ．－3πC ．3πD ．3π2 7．已知sin （α+β）sin （β－α）=m ，则cos 2α－cos 2β等于（） A ．－m B ．m C ．－4m D ．4m二、填空题8．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．9．已知α－β=3π2，且cos α+cos β=31，则cos （α+β）等于_________．三、解答题10．已知f （x ）=－21+2sin 225sinxx，x ∈（0，π）．（1）将f （x ）表示成cos x 的多项式；（2）求f （x ）的最小值．12．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A +C =2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2CA -的值．13．已知sin A +sin3A +sin5A =a ，cos A +cos3A +cos5A =b ，求证：（2cos2A +1）2=a 2+b 2．14．求证：cos 2x +cos 2（x +α）－2cos x cos αcos （x +α）=sin 2α．15．求函数y =cos3x ·cos x 的最值．参考答案一、选择题：1．C 2． B 3． D 4．C 5． B 6． D 7． B 二、填空题：8．41 9．－97三、解答题10．解：（1）f （x ）=2cos 23cos 22sin 2sin 23cos 22sin 22sin 25sinx x x xx x x x ==-=cos2x +cos x =2cos 2x +cos x－1．（2）∵f （x ）=2（cos x +41）2－89，且－1≤cos x ≤1， ∴当cos x =－41时，f （x ）取得最小值－89． 11 分析：本小题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．解：由题设条件知B =60°，A +C =120°， ∵－︒60cos 2=－22，∴CA cos 1cos 1+=－22．将上式化简为cos A +cos C =－22cos A cos C ，利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2cos2C A +cos 2CA -=－2［cos （A +C ）+cos （A －C ）］，将cos2C A +=cos60°=21，cos （A +C ）=cos120°=－21代入上式得cos 2CA -=22－2cos （A －C ），将cos （A －C ）=2cos 2（2C A -）－1代入上式并整理得42cos 2（2C A -）+2cos 2C A -－32=0，即［2cos2C A -－2］［22cos 2CA -+3］=0． ∵22cos 2C A -+3≠0，∴2cos 2CA -－2=0． ∴cos 2C A -=22．12．证明：由已知得 ⎩⎨⎧=+=+，，b A A A a A A A 3cos 2cos 3cos 23sin 2cos 3sin 2 ∴⎩⎨⎧=+=+.)12cos 2(3cos )12cos 2(3sin b A A a A A ，两式平方相加得（2cos2A +1）2=a 2+b 2． 13．证明：左边=21（1+cos2x ）+21［1+cos （2x +2α）］－2cos x cos αcos （x +α） =1+21［cos2x +cos （2x +2α）］－2cos x cos αcos （x +α） =1+cos （2x +α）cos α－cos α［cos （2x +α）+cos α］ =1+cos （2x +α）cos α－cos αcos （2x +α）－cos 2α =1－cos 2α=sin 2α =右边，∴原不等式成立． 14．解：y =cos3x ·cos x =21（cos4x +cos2x ） =21（2cos 22x －1+cos2x ） =cos 22x +21cos2x －21 =（cos2x +41）2－169． ∵cos2x ∈［－1，1］， ∴当cos2x =－41时，y 取得最小值－169；当cos2x =1时，y 取得最大值1．。

高中数学第三章《三角恒等变换》教学设计新人教A版必修4

课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

（老师读，学生读，加深理解。

人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换导学案

简单三角恒等变换复习一、公式体系1、和差公式及其变形：（1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ⇔ )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=± ⇔ )cos(sin sin cos cos βαβαβα±=μ （3）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(μ±=± ⇔ 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=-2、倍角公式的推导及其变形：（1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+=⇔ααα2sin 21cos sin =⇔2)cos (sin 2sin 1ααα±=±（2）ααααααααα22sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+=)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=⇔1cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=⇔αααααα⇔把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα2cos 22cos 1=+ 【因为α是2α的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2cos 2cos 12αα=+因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα2cos 24cos 12=+】αααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=⇔ ⇔把1移项得αα2sin 22cos 1=- 或αα2sin 22cos 1=- 【因为α是2α的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2sin 2cos 12αα=-因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα2sin 24cos 12=-】二、基本题型1、已知某个三角函数，求其他的三角函数：注意角的关系，如)4()4(,)(,)(πβαπβααβαβββαα-++=+-+=-+=等等（1）已知βα,都是锐角，135)cos(,54sin =+=βαα，求βsin 的值（2）已知,40,1312)45sin(,434,53)4cos(πββππαπαπ<<-=+<<=-求)sin(βα+的值（提示：βαπαπβπ++=--+)4()45(，只要求出)sin(βαπ++即可）2、已知某个三角函数值，求相应的角：只要计算所求角的某个三角函数，再由三角函数值求角，注意选择合适的三角函数（1）已知βα,都是锐角，10103cos ,55sin ==βα，求角βα+的弧度3、)(βα+T 公式的应用（1）求)32tan 28tan 1(332tan 28tan 0000+++的值（2）△ABC 中，角A 、B 满足2)tan 1)(tan 1(=++B A ，求A+B 的弧度4、弦化切，即已知tan ，求与sin ，cos 相关的式子的值：化为分式，分子分母同时除以αcos 或α2cos 等（1）已知2tan =α，求αααααααααα2cos 2sin 3,2cos 2sin 12cos 2sin 1,cos sin 3cos 5sin +-++++-的值5、切化弦，再通分，再弦合一（1）、化简：① )10tan 31(50sin 0+ ② 035sin 10cos )110(tan ⋅-（2）、证明：x xx x x tan )2tan tan 1(cos 22sin =+6、综合应用，注意公式的灵活应用与因式分解结合化简4cos 2sin 22+-1、sin 20cos 40cos 20sin 40+o o o o的值等于（）A .14 B .2 C .12D .42、若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（） A .3- B .3 C .13- D .133、cos5πcos52π的值等于（）A ．41B ．21 C ．2 D ．44、已知02A π<<，且3cos 5A =，那么sin 2A 等于（）A .425B .725C .1225D .24255、已知,41)4tan(,52)tan(=-=+πββα则)4tan(πα+的值等于（）A ．1813 B.223 C.2213 D.1836、sin165º= （） A ．21B ．23C ．426+D ．426- 7、sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（）A ．23 B ．21 C ．23 D ．21- 8、已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724-9、化简2sin （4π－x ）·sin （4π+x ），其结果是（）Ａ．sin2x Ｂ．cos2x Ｃ．－cos2x Ｄ．－sin2x 10、sin12π—3cos 12π的值是（） A ．0 B ． —2 C ．2 D ． 2 sin125π11、)( 75tan 75tan 12的值为︒︒-A ．32B ．332C ． 32-D ．332-。

人教版高中数学必修四3.2 简单的三角恒等变换(三) 【导学案】(有答案)

三角恒等变换（三）一、两角和与差的正弦、余弦与正切公式1．两角和的余弦公式（简记C （α+β））：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-． 2．两角差的余弦公式（简记C （α－β））：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．3．两角和（差）余弦公式的公式特征：①左加号，右减号；②同名函数之积的和与差；③α、β叫单角，α±β叫复角，通过单角的正、余弦求和（差）的余弦值；④“正用”、“逆用”、“变用”． 4．两角和的正弦公式（简记S （α+β））：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+． 5．两角差的正弦公式（简记S （α－β））：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．6．两角和（差）正弦公式的公式特征及用途：①左右运算符号相同；②右方是异名函数之积的和与差，且正弦值在前，余弦值在后．用途：可以由单角的三角函数值求复角（和角与差角）的三角函数值． 7．两角和的正切公式（简记T （α+β））：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-．8．两角差的正切公式（简记T （α－β））：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+．9．两角和（差）正切公式的公式特征及公式变形：①左边的运算符号与右边分子的运算符号相同，右边分子分母运算符号相反； ②,,()222k k k k πππαπβπαβπ≠+≠++≠+∈Z ．公式变形：①tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+； ②tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-．）．A ．－32B ．－12C ．12D ．32答案：C解析：∵sin47°＝sin （30°＋17°）＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝sin30°cos17°＋sin17°cos30°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°＝12．例2已知sin α＝1517，cos β＝－513，α∈（π2，π），β∈（π2，π），求sin （α＋β），sin （α－β）的值．解：∵sin α＝1517，α∈（π2，π），∴cos α＝－1－(1517)2＝－817．∵cos β＝－513，β∈（π2，π），∴sin β＝1－(－513)2＝1213，∴sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝1517×（－513）＋（－817）×1213＝－75＋96221＝－171221，sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝1517×（－513）－（－817）×1213＝21221．例3求值：（1）（tan10°－3）•cos10°sin50°；（2）[2sin50°＋sin10°（1＋3tan10°）]•2sin 280°．解：（1）（tan10°－3）•cos10°sin50°＝（tan10°－tan60°）•cos10°sin50°＝⎝⎛⎭⎫sin10°cos10°－sin60°cos60°•cos10°sin50° ＝sin10°·cos60°－cos10°·sin60°cos10°·cos60°•cos10°sin50°＝sin (－50°)cos60°•1sin50°＝－2．（2）[2sin50°＋sin10°（1＋3tan10°）]•2sin 280°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin50°＋sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos10°＋3sin10°cos10°•2cos 210° ＝⎝⎛⎭⎫2sin50°＋2sin10°·cos50°cos10°•2cos10° ＝22（sin50°cos10°＋sin10°•cos50°）＝22sin60°＝6．例4 已知函数f （x ）＝3sin （ωx ＋φ）（ω＞0，－π2≤φ＜π2）的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（1）求ω和φ的值；（2）若f （α2）＝34（π6＜α＜2π3），求cos （α＋3π2）的值．解：（1）因为f （x ）的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f （x ）的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2，又因为f （x ）的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…，因－π2≤φ＜π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6．（2）由（1）得f （α2）＝3sin （2•α2－π6）＝34．所以sin （α－π6）＝14．由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2．所以cos （α－π6）＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154．因此cos （α＋3π2）＝sin α＝sin[（α－π6）＋π6]＝sin （α－π6）cos π6＋cos （α－π6）sin π6＝14×32＋154×12 ＝3＋158．二、二倍角公式二倍角的正弦（简记S 2α）、余弦（简记C 2α）、正切（简记T 2α）公式（升幂公式）： •cos 2αcos2α＝（）．A ．tan αB ．tan2αC ．1D ．12答案：B解析：原式＝2sin2α2cos 2α•cos 2αcos2α＝sin2αcos2α＝tan2α．例2若tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ＝________．答案：65解析：cos 2θ＋12sin2θ＝cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋19＝43×910＝65．例3已知cos α＝－1213，α∈（π，3π2），求sin2α，cos2α，tan2α的值．解：∵cos α＝－1213，α∈（π，3π2），∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－1213)2＝－513，∴sin2α＝2sin αcos α＝2×（－513）×（－1213）＝120169，cos2α＝2cos 2α－1＝2×（－1213）2－1＝119169，tan2α＝sin2αcos2α＝120119．例4 已知函数f （x ）＝cos x •sin （x ＋π3）－3cos 2x ＋34，x ∈R ．（1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．解：（1）由已知，有f （x ）＝cos x •（12sin x ＋32cos x ）－3cos 2x ＋34＝12sin x •cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin2x －34（1＋cos2x ）＋34 ＝14sin2x －34cos2x ＝12sin （2x －π3）．所以f （x ）的最小正周期T ＝2π2＝π．（2）因为f （x ）在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f （－π4）＝－14，f （－π12）＝－12，f （π4）＝14，所以，函数f （x ）在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12．三、半角公式（这类公式不要求记忆）半角的正弦（简记2S α）、余弦（简记2C α）、正切（简记2T α）公式：2221cos cos 221cos sin 221cos tan 21cos ααααααα+=-=-=+，，，cos 2sin 2tan 2ααα===sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+．例1 cos θ＝－15，5π2＜θ＜3π，则sin θ2＝（）．A ．105B ．－105C ．155D ．－155答案：D解析：∵5π2＜θ＜3π，∴5π4＜θ2＜3π2，∴θ2是第三象限角，∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155．例2 化简：(1＋sin α＋cos α)(sin α2－cos α2)2＋2cos α（0＜α＜π）．解：∵0＜α＜π，∴0＜α2＜π2，∴原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)(sin α2－cos α2)2·2cos 2α2＝2cos α2(cos α2＋sin α2)(sin α2－cos α2)2cosα2＝sin 2α2－cos 2α2＝－cos α．四、公式的变形与应用1．合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 sin()y A x B ωφ=++形式．辅助角公式：cos sin )a x b x x x +=+令22sin a a bθ=+，22cos b a bθ=+，∴22cos sin sin()a x b x a b x θ+=++，其中θ为辅助角，tan a bθ=． 2．三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简、求值、证明中，表达式往往会出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解．对角进行变形，如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍； ②o ooooo3015453060452=-=-=，问：=12sin π，=12cos π；③ββαα-+=)(，④)4(24αππαπ--=+， ⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=等等．（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数．如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名．（3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：22o o 1sin cos tan cot sin90tan 45αααα=+===．（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法．常用降幂公式有：2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，1cos 22x x +=±1cos 22x x -=±．（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用．请尝试完成下列变形，如：221sin 2(sin cos )1sin 2(sin cos )θθθθθθ+=+-=-_______________tan 1tan 1=-+αα； ______________tan 1tan 1=+-αα；____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα；____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα；=αtan 2；=-α2tan 1；o o o o tan 20tan 403tan 20tan 40++=；=+ααcos sin =； =+αcos 1；=-αcos 1；若4A B π+=或54π，则(1tan )(1tan )2A B +⋅+=．（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化．如：o osin 50(13tan10)+=；=-ααcot tan ．本章整合：。

新课标高中数学人教A版必修四全册教案第三章三角恒等变换复习(三)

第三章三角恒等变换复习（三）教学目标：1. 综合运用知识解决相关问题.
2. 培养学生分析问题，运用知识解决问题的能力.教学重点：运用知识解决实际问题
教学难点：建立函数关系解决实际问题.
教学过程
一、作业讲评
《习案》P.192的第3题 .cos ,02,534sin )3sin(.1=<<--=++ααπαπ
α则且
《习案》P.194的第6题
已知函数.2.1cos )6sin()6sin()(的最大值为a x x x x f ++-++
=ππ .
0)()2(;)1(的取值集合成立的求使的值求常数x x f a ≥
《习案》P.196的第5题
.
)(,6,4,2)(},,2|{,cos sin )(.3想的取值范围作出一个猜取一般值时进而对时的取值情况在利用三角变换估计设αααααf x x f N k k n n x f x x =∈=∈+=+
二、例题分析
1. 已知直线l 1∥l 2，A 是l 1，l 2之间的一定点，并且A 点到l 1，l 2的距离分别为h 1，h 2 . B 是直线l 2上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线l 1交于点C ，求△ABC 面积的最小值.
2. 如图，正方形ABCD 的边长为1，P ，Q 分别为边AB ，DA 上的点.当△ABC 的周长为2时，求∠PCQ 的大小.
.tan 4cos 2cos 434cos 2cos 43)2(;sin sin )2cos(2sin )2sin()1(.34A A A A A =+++-=+-+α
ββααβα证明：
三、课后作业
《学案》第三章单元检测卷.。

人教A版高中数学必修四第三章《简单的三角恒等变换》教案

3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=；因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=，那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：157158P P -14T T -。

人教A版高中数学必修四第三章三角恒等变换复习一教案

第三章三角恒等变换复习（一）教学目标：1. 通过对本章的知识的复习、总结，使学生对本章形成一个知识框架网络.2. 能灵活运用公式进行求值、证明恒等式.教学重点：运用公式求值、证明恒等式.教学难点：证明恒等式教学过程一、基础知识复习（略）二、作业讲评《习案》作业三十五中的第5、6题.三、已知三角函数值求三角函数值.)cos(31sin sin 21cos cos .1的值求，，已知βαβαβα-=+=+.2cos 2sin 2353cos )1(.22的值求，，已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-<<-=θθπθπθ .sin 512cos 2sin )2(的值求，已知ααα=-.2sin 95cos sin )3(44的值求，已知θθθ=+.cos sin 932cos )4(44的值求，已知θθθ+=.tan tan 53)cos(51)cos(.3的值，求，已知βαβαβα⋅=-=+.tan 1sin 22sin 471217534cos .42的值，求，已知x x x x x -+<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ.40tan 20tan 120tan 40tan 20tan .5o o oo o 的值求⋅++四、证明恒等式.cos 832cos 44cos .14ααα=++证明：.21tan 212sin cos 22sin 1.22+=++αααα证明：.2cos 2cos 4sin cos sin sin 2cos sin .3222βαβθθαθθ==⋅=+求证：，，已知五、课堂小结给值求角时，先要求所求角的某一三角函数值，需结合角的范围确定角的符号；2. 证明三角恒等式时，要灵活地运用公式.六、课后作业教材P .146第8题第(3)、(4)问； P .146第1、2、3题； P .146第4题第(1)、(2)、(3)问； P .147第3题；。

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换3.2.1倍角公式导学案新人教A版必修4【精选】.doc

13.2.1二倍角公式教学目标： 12能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明教学重点：二倍角公式的推导教学过程sin15cos15×o o 的求值问题？一、复习引入复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：),(,sin cos cos sin )sin(R R ∈∈+=+βαβαβαβα )(βα+S=+)sin(αα),(,sin sin cos cos )cos(R R ∈∈-=+βαβαβαβα )(βα+C =+)cos(αα ),2,,(,tan tan 1tan tan )tan(Z k k ∈+≠+-+=+ππβαβαβαβαβα)(βα+T=+)tan(αα二、讲解新课(一) 二倍角公式的推导在公式)(βα+S ，)(βα+C ，)(βα+T 中，当βα=时，得到相应的一组公式： sin 2________________α= 简记为_____________.cos 2________________α=简记为_____________又可写成________________.________________.=⎧⎨=⎩tan 2________________α= 简记为_____________.（二）公式的变形应用21sin 2_______________(_________).α±==1cos 2_______;1cos 2_______.αα+=-= 22sin _______.cos _______.αα⇒==（三）相对2倍角(倍角的相对性)sin 2________________α=cos 2________________α=sin α= cos α= （利用2α表示） cos4α= __________________ cos3_________.α=（利用32α表示）. sin2α=__________________ （22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用）例1不查表．求下列各式的值(公式的逆用) （１） 15cos 15sin ；（２）8sin 8cos 22ππ-；（３）5.22tan 15.22tan 22-；（４）75sin 212-．（5）22cos 112π-= （6）求cos 20cos 40cos60cos80o o o o 的值例2求值（１）)125cos 125)(sin 125cos 125(sin ππππ-+（２）2sin 2cos 44αα- （３）ααtan 11tan 11+-- （４）θθ2cos cos 212-+例3若tan θ = 3，求sin2θ- cos2θ的值三、课后提升1、已知12cos13α=，)2,0(πα∈，求sin2α，cos2α，tan2α的值 ?2、已知5tan12α=，3(,)2παπ∈，求tan2α的值。

人教A版高中数学必修四全册导学案简单的三角恒等变换

3. 2 简单的三角恒等变换三维目标1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高推理能力.2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.3.通过例题的解答，引导对变换对象目标进行对比、分析，形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高推理能力. 重点难点教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.教学过程引言：三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台. 应用：例1、试以cos α表示sin 22a ,cos 22a , tan 22a .例2、练习：求证tan 2a=ααααsin cos 1cos 1sin -=+。

例2、证明(1)sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sinθ+sinφ=2sin 2cos2ϕθϕθ-+.练习：课后练习2（2）、3（2）、题例3、求函数x x y cos 3sin +=的周期，最大值和最小值。

练习：求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值。

（！）x x y 2cos 2sin = （2）12cos22+=xy （3）x x y 4sin 4cos 3+=阅读内容：接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.课堂小结1、回顾前面学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.2、本节课还研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学.作业课本习题3.2 A组1（2）（4）、3、5、题。