高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结
高二必修四数学三角恒等变换知识点
高二必修四数学三角恒等变换知识点 2019 年
在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。
以下是查词典大学网为大家整理的高二必修四数学三角恒
等变换知识点，希望能够解决您所碰到的有关问题，加油，
查词典大学网向来陪同您。
知识构造：
1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
要点：经过探究和议论沟通，导出两角差与和的三角函数的
十一个公式，并认识它们的内在联系。
难点：两角差的余弦公式的探究和证明。
2. 简单的三角恒等变换
要点：掌握三角变换的内容、思路和方法，领会三角变换的
特色.
难点：公式的灵巧应用 .
三角函数几点说明：
1. 对弧长公式只需求认识，会进行简单应用，不用在应用方
面加深 .
2. 用同角三角函数基本关系证明三角恒等式和求值计算，熟
练副角和 sin 和 cos 的计算 .
3. 已知三角函数值求角问题，达到课本要求即可，不用拓展 .
4. 娴熟掌握函数 y=Asin(wx+j) 图象、单一区间、对称轴、对
称点、特别点和最值 .
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5. 积化和差、和差化积、半角公式只作为练习，不要求记忆 .
6. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
最后，希望小编整理的高二必修四数学三角恒等变换知识点
对您有所帮助，祝同学们学习进步。
第 2 页。
高中数学必修四 第三章三角恒等变换章末整合
=
2(2+2cos22������) 2sin22������
=
2(1+cos22������) 4sin2������cos2������
(sin2������ + cos2������)2 + (cos2������-sin2������)2
=
2si n2 ������cos2 ������
=
2(sin4������+cos4������) 2sin2������cos2������
求������, ������的值.
解:(1)当 a=1 时,f(x)=2cos2x+2sin xcos x+b
=cos 2x+1+sin 2x+b=
2sin
2������
+
π 4
+ 1 + ������,
则 f(x)的周期为 T=π.
令
2kπ−
π2≤2x+
π4≤2kπ+
π 2
(������
∈Z),
2tan������
tan2������ = 1-tan2������
应用——三角函数式的求值、化简和证明,讨论三角函数的性质
专题一 专题二 专题三 专题四
专题一 三角函数与向量的结合 三角函数与平面向量相结合是近几年来的高考亮点,它常常包括 向量与三角函数化简、求值及证明的结合,向量与三角函数的图象 与性质的结合等几个方面.此类题目主要考查三角函数的图象与性 质,以及三角函数的化简、求值.
高中数学必修四
第三章 三角恒等变换 本章整合
知识总结与综合应用
cos(������-������) = cos������cos������ + sin������sin������
人教版高中数学必修四《三角恒等变换-复习小结》
[借题发挥] 在三角函数式的化简求值问题中要注意角的变化 函数名的变化，合理选择公式进行变形，同时注意三角变换 技巧的运用．（给角求值，给值求值，给值求角）
1 tan B 3 , 1 tan B
(1 , 3 ) (cos A , sinA) 1 , 即 3 sinA cos A 1 , 2( 3 sin A 1 cos A) 1 , 2 2 sin(A ) 1 . 6 2 0 A , A 5 , 6 6 6 A , 即 A . 6 6 3
tan12 tan33 (5) 1 tan12 tan33
（
1 4
公式变，逆用）
2 2
质疑再探
例1：已知 ，为锐角， cos 1 13 , cos( ) 求 cos 的值 7 14
注：⑴ 常用角的变换：
① ( ) ② 2 ( ) ( )
设疑自探 5.三角变换的方针是什么？ 遵循原则
寻求差异
注意常识
消除差异
解疑合探
计算：
(1) cos74 sin 14 sin 74 cos14
(2) sin 20 cos110 cos160 sin 70
3 2
1
(3)1 2 sin 22.5
2
(4) sin 15 cos15
设疑自探
4．三角变换常识有哪些？
(1)sinα，cosα→凑倍角公式． (2)1± cosα→升幂公式． π α α2 (3)1± sinα 化为 1± cos(2± α)，再升幂或化为(sin2± cos2) . (4)asinα＋bcosα→辅助角公式 asinα＋bcosα＝ a2＋b2· sin(α＋ b φ)，其中 tanφ＝a或 asinα＋bcosα＝ a2＋b2· cos(α－φ)，其中 tanφ a ＝b.
必修4-第三章三角恒等变换-知识点详解
必修4 第三章三角恒等变换知识点详解3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-2. 倍角公式：()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-3. 正切变形公式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)3.2 简单的三角恒等变换三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）， （2）公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。
人教B版高中数学必修四《第三章 三角恒等变换 本章小结》_4
小结
巩固知识检查效果
培养归纳与概括能力
巩固知识完善思维结构
突出思维敏捷性和方法的灵活性
巩固知识检查效果
学生总结
教
学
过
程
例已知函数f(x)=
(1)求函数f(x)的最小正周期和其图像的对称中心
(2)求函数f(x)的单调递增区间
（教师启发诱导，详细分析讲解，学生体会如何变角变名，化异求同）
练习1求y= 的值域。
(教师提出问题、学生自主探究、展示交流)
2.
求函数f(x)的的单调递增区间
(教师提出问题、学生自主探究、展示交流)
•先利用二倍角、升降幂公式化简
•再用辅助角公式将函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式
•若无法转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，则考虑转化为某一三角函数的二次函数形式，再用配方法求最值
板书设计：
三角恒等变换高考热点题型总结
例
练习1练习3
单位：朝阳市二高中
课题：三角恒等变换高考热点题型总结
教学内容
设计意图
教
案
分
析
三角恒等变换是高中数学的重要内容，是高考必考内容之一。
近几年高考对三角恒等变换的考察要求有所降低，主要考察的高考热点题型是利用三角的和差倍半公式研究函数y=Asin( )的图像和性质。
总结求解过程要遵循“三看”ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ则：
1.看角，通过角之间的差别和联系，对角进行合理的拆分，从而正确的使用公式；
3.
1）求f(x)的对称轴方程
2）当 ,求x的值
（学生讨论，这类题型的解法步骤如何）
学生总结步骤
人教版高中数学必修四常见公式及知识点总结(完整版)
必修四常考公式及高频考点第一部分 三角函数与三角恒等变换考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法：所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以构成一个集合：{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z } 2.象限角的表示方法：第一象限角的集合为{α| k ·360 °<α<k ·360 °+90 °,k ∈Z }第二象限角的集合为{α| k ·360 °+90 °<α<k ·360 °+180 °,k ∈Z } 第三象限角的集合为{α| k ·360 °+180 °<α<k ·360 °+270 °,k ∈Z } 第四象限角的集合为{α| k ·360 °+270 °<α<k ·360 °+360 °,k ∈Z } 3.终边在某条射线、某条直线或两条垂直的直线上(如轴线角)的表示方法：（1）若所求角β的终边在某条射线上，其集合表示形式为{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z },其中α为射线与x 轴非负半轴形成的夹角（2）若所求角β的终边在某条直线上，其集合表示形式为{β|β= k ·180 °+α,k ∈Z },其中α为直线与x 轴非负半轴形成的任一夹角（3）若所求角β的终边在两条垂直的直线上，其集合表示形式为{β|β= k ·90 °+α,k ∈Z },其中α为直线与x 轴非负半轴形成的任一夹角 例：终边在y 轴非正半轴上的角的集合为{α|α= k ·360 °+270 °,k ∈Z }终边在第二、第四象限角平分线上的集合为{α|α= k ·180 °+135 °,k ∈Z } 终边在四个象限角平分线上的角的集合为{α|α= k ·90 °+45 °,k ∈Z } 易错提醒：区别锐角、小于90度的角、第一象限角、0～90、小于180度的角 考点二 弧度制有关概念与公式 1.弧度制与角度制互化π=︒180，1801π=︒，1弧度︒≈︒=3.57180π2.扇形的弧长和面积公式（分别用角度制、弧度制表示方法）弧长公式：R Rn l απ==180, 其中α为弧所对圆心角的弧度数 扇形面积公式：lR R n S 213602==π=12 R 2|α|, 其中α为弧所对圆心角的弧度数 易错提醒：利用S=12R 2|α|求解扇形面积公式时，α为弧所对圆心角的弧度数，不可用角度数规律总结：“扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量，“知二求二”，注意公式选取技巧考点三 任意角的三角函数 1.任意角的三角函数定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=（22||r OP x y ==+）；化简为xyx y ===αααtan ,cos ,sin . 2.三角函数值符号规律总结：利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号. 3.特殊角三角函数值SIN15º=SIN(60º-45º)=SIN60ºCOS45º-SIN45ºCOS60º=(√6-√2)/4 COS15º=COS(60º-45º)=COS60ºCOS45º+SIN60ºSIN45º=(√6+√2)/4除此之外，还需记住150、750的正弦、余弦、正切值 4.三角函数线经典结论： (1)若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<(2)若(0,)2x π∈，则1sin cos 2x x <+≤(3)|sin ||cos |1x x +≥考点四 三角函数图像与性质y OxyOxα终边yOx yOx P M A TPM A T正弦线余弦线 正切线PP MA TP MA T α终边α终边α终边sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min1y=-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z 对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴考点五 正弦型（y=Asin(ωx ＋φ)）、余弦型函数（y=Acos(ωx ＋φ)）、正切性函数（y=Atan(ωx ＋φ)）图像与性质 1.解析式求法字母 确定途径 说明A 由最值确定 A ＝最大值－最小值2B 由最值确定B ＝最大值＋最小值2ω 由函数的周期确定相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为0.25个周期φ由图象上的特殊点确定可通过认定特殊点是五点中的第几个关键点，然后列方程确定；也可通过解简单三角方程确定A 、B 通过图像易求，重点讲解φ、ω求解思路： ①φ求解思路：函数性质代入图像的确定点的坐标.如带入最高点),(11y x 或最低点坐标),(22y x ，则)(221Z k k x ∈+=+ππϕω或)(2232Z k k x ∈+=+ππϕω，求ϕ值． 易错提醒：y=Asin(ωx＋φ)，当ω>0，且x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相.如果不满足ω>0，先利用诱导公式进行变形，使之满足上述条件，再进行计算.如y=-3sin(-2x+600)的初相是-600②ω求解思路：利用三角函数对称性与周期性的关系，解ω.相邻的对称中心之间的距离是周期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周期的一半；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一. 2.“一图、两域、四性” “一图”：学好三角函数，图像是关键。
高中数学 第三章 三角恒等变换章末归纳总结课件 新人教A版必修4
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
三角恒等变换 第三章
章末归纳总结 第三章
1 知识结构 2 专题突破
知识结构
专题突破
Байду номын сангаас
专题一 三角函数式的化简 1．三角函数式化简的基本原则： (1)“切”化“弦”． (2)异名化同名 (3)异角化同角． (4)高次降幂． (5)分式通分． (6)无理化有理． (7)常数的处理(特别注意“1”的代换)．
[解析]
化简：2cos21θ＋＋3stainn2θθ－1－cos2θ3－＋45stainn2θθ－4
原式＝cos2θ－31s＋in23θt＋an2θsinθcosθ＋3cos2θ＋53s＋in52θta＋nθ8sinθcosθ
cosθ＋3sinθ
3cosθ＋5sinθ
＝cosθ＋3sincθosθcosθ－sinθ＋3cosθ＋5sicnoθsθcosθ＋sinθ
已知 tanα＝4 3，cos(α＋β)＝－1114，α、β 均为锐角， 求 cosβ 的值．
[探究] 利用 β＝(α＋β)－α 进行角的代换，则 cosβ＝cos[(α＋ β)－α]，利用公式展开，结合已知条件求解．
[解析] ∵α、 β 均为锐角，∴0<α＋β<π. 又 cos(α＋β)＝－1114， ∴sin(α＋β)＝ 1－－11142＝5143.
又 tanα＝4 3， ∴sin2α＝sin2αsi＋n2cαos2α＝1＋tanta2nα2α＝4489.
∴sinα＝473，从而 cosα＝ 1－sin2α＝17， 故 cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝(－1114)×17＋5143×4 7 3＝12.
高中数学中的三角恒等变换常用恒等变换公式总结与应用技巧
高中数学中的三角恒等变换常用恒等变换公式总结与应用技巧在高中数学中，三角函数是一个重要的概念，而三角恒等变换则是在解决三角函数方程和简化三角函数式子时经常用到的重要工具。
本文将总结常用的三角恒等变换公式，并介绍其应用技巧。
一、基本恒等变换公式1. 余弦函数的基本恒等变换(1) 余弦函数的平方形式：cos²θ + sin²θ = 1(2) 二倍角公式：cos2θ = cos²θ - sin²θ(3) 余弦函数的和差角公式：cos(θ ± φ) = cosθcosφ - sinθsinφ2. 正弦函数的基本恒等变换(1) 正弦函数的平方形式：sin²θ + cos²θ = 1(2) 二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ(3) 正弦函数的和差角公式：sin(θ ± φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ3. 正切函数的基本恒等变换(1) 正切函数的平方形式：tan²θ + 1 = sec²θ1 + cot²θ = cosec²θ(2) 二倍角公式：tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)二、常用恒等变换公式1. 互余公式：sin(π/2 - θ) = cosθcos(π/2 - θ) = sinθtan(π/2 - θ) = cotθ2. 余角公式：sin(π - θ) = sinθcos(π - θ) = -cosθtan(π - θ) = -tanθ3. 倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)4. 积化和差公式：sinθsinφ = (1/2)[cos(θ - φ) - cos(θ + φ)]cosθcosφ = (1/2)[cos(θ - φ) + cos(θ + φ)]sinθcosφ = (1/2)[sin(θ + φ) + sin(θ - φ)]三、恒等变换的应用技巧1. 解三角函数方程：利用恒等变换可以将复杂的三角函数方程转化为简单的等式，从而更容易求解。
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第三章 三角恒等变换
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；
⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；
⑷()sin
sin cos cos sin αβαβαβ+=+；
⑸()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
--=
+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+
⑹()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-
二、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
sin 22sin cos ααα
=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒
⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α
αααα=-=-=-
⇒2
2
1cos 2cos
1cos 2sin
2
2
α
α
αα+=-=，
⇒
2cos 21cos 2
αα+=，
2
1cos 2sin 2αα-=．
⑶22tan tan 21tan α
αα
=
-．
三、辅助角公式：
()
sin cos α+=+a x b x x
，
cos sin ϕϕϕ=
=
其中由决定
四、三角变换方法：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的
相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4
α的二倍；
②2
304560304515o o
o
o
o
o
=-=-=；
③()ααββ=+-；④
()4
24
π
π
π
αα+=
--； ⑤2()()()()44
ππ
ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
如
在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。
（3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转
化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：
221sin cos sin90tan45o o
αα=+==
（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，
一般采用降幂处理的方法。
降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。
（5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名，
高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。