高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结
高二必修四数学三角恒等变换知识点
高二必修四数学三角恒等变换知识点 2019 年
在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。
以下是查词典大学网为大家整理的高二必修四数学三角恒
等变换知识点，希望能够解决您所碰到的有关问题，加油，
查词典大学网向来陪同您。
知识构造：
1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
要点：经过探究和议论沟通，导出两角差与和的三角函数的
十一个公式，并认识它们的内在联系。
难点：两角差的余弦公式的探究和证明。
2. 简单的三角恒等变换
要点：掌握三角变换的内容、思路和方法，领会三角变换的
特色.
难点：公式的灵巧应用 .
三角函数几点说明：
1. 对弧长公式只需求认识，会进行简单应用，不用在应用方
面加深 .
2. 用同角三角函数基本关系证明三角恒等式和求值计算，熟
练副角和 sin 和 cos 的计算 .
3. 已知三角函数值求角问题，达到课本要求即可，不用拓展 .
4. 娴熟掌握函数 y=Asin(wx+j) 图象、单一区间、对称轴、对
称点、特别点和最值 .
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5. 积化和差、和差化积、半角公式只作为练习，不要求记忆 .
6. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
最后，希望小编整理的高二必修四数学三角恒等变换知识点
对您有所帮助，祝同学们学习进步。
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高中数学必修四 第三章三角恒等变换章末整合
=
2(2+2cos22������) 2sin22������
=
2(1+cos22������) 4sin2������cos2������
(sin2������ + cos2������)2 + (cos2������-sin2������)2
=
2si n2 ������cos2 ������
=
2(sin4������+cos4������) 2sin2������cos2������
求������, ������的值.
解:(1)当 a=1 时,f(x)=2cos2x+2sin xcos x+b
=cos 2x+1+sin 2x+b=
2sin
2������
+
π 4
+ 1 + ������,
则 f(x)的周期为 T=π.
令
2kπ−
π2≤2x+
π4≤2kπ+
π 2
(������
∈Z),
2tan������
tan2������ = 1-tan2������
应用——三角函数式的求值、化简和证明,讨论三角函数的性质
专题一 专题二 专题三 专题四
专题一 三角函数与向量的结合 三角函数与平面向量相结合是近几年来的高考亮点,它常常包括 向量与三角函数化简、求值及证明的结合,向量与三角函数的图象 与性质的结合等几个方面.此类题目主要考查三角函数的图象与性 质,以及三角函数的化简、求值.
高中数学必修四
第三章 三角恒等变换 本章整合
知识总结与综合应用
cos(������-������) = cos������cos������ + sin������sin������
人教版高中数学必修四《三角恒等变换-复习小结》
[借题发挥] 在三角函数式的化简求值问题中要注意角的变化 函数名的变化，合理选择公式进行变形，同时注意三角变换 技巧的运用．（给角求值，给值求值，给值求角）
1 tan B 3 , 1 tan B
(1 , 3 ) (cos A , sinA) 1 , 即 3 sinA cos A 1 , 2( 3 sin A 1 cos A) 1 , 2 2 sin(A ) 1 . 6 2 0 A , A 5 , 6 6 6 A , 即 A . 6 6 3
tan12 tan33 (5) 1 tan12 tan33
（
1 4
公式变，逆用）
2 2
质疑再探
例1：已知 ，为锐角， cos 1 13 , cos( ) 求 cos 的值 7 14
注：⑴ 常用角的变换：
① ( ) ② 2 ( ) ( )
设疑自探 5.三角变换的方针是什么？ 遵循原则
寻求差异
注意常识
消除差异
解疑合探
计算：
(1) cos74 sin 14 sin 74 cos14
(2) sin 20 cos110 cos160 sin 70
3 2
1
(3)1 2 sin 22.5
2
(4) sin 15 cos15
设疑自探
4．三角变换常识有哪些？
(1)sinα，cosα→凑倍角公式． (2)1± cosα→升幂公式． π α α2 (3)1± sinα 化为 1± cos(2± α)，再升幂或化为(sin2± cos2) . (4)asinα＋bcosα→辅助角公式 asinα＋bcosα＝ a2＋b2· sin(α＋ b φ)，其中 tanφ＝a或 asinα＋bcosα＝ a2＋b2· cos(α－φ)，其中 tanφ a ＝b.
必修4-第三章三角恒等变换-知识点详解
必修4 第三章三角恒等变换知识点详解3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-2. 倍角公式：()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-3. 正切变形公式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)3.2 简单的三角恒等变换三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）， （2）公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。
人教B版高中数学必修四《第三章 三角恒等变换 本章小结》_4
小结
巩固知识检查效果
培养归纳与概括能力
巩固知识完善思维结构
突出思维敏捷性和方法的灵活性
巩固知识检查效果
学生总结
教
学
过
程
例已知函数f(x)=
(1)求函数f(x)的最小正周期和其图像的对称中心
(2)求函数f(x)的单调递增区间
（教师启发诱导，详细分析讲解，学生体会如何变角变名，化异求同）
练习1求y= 的值域。
(教师提出问题、学生自主探究、展示交流)
2.
求函数f(x)的的单调递增区间
(教师提出问题、学生自主探究、展示交流)
•先利用二倍角、升降幂公式化简
•再用辅助角公式将函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式
•若无法转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，则考虑转化为某一三角函数的二次函数形式，再用配方法求最值
板书设计：
三角恒等变换高考热点题型总结
例
练习1练习3
单位：朝阳市二高中
课题：三角恒等变换高考热点题型总结
教学内容
设计意图
教
案
分
析
三角恒等变换是高中数学的重要内容，是高考必考内容之一。
近几年高考对三角恒等变换的考察要求有所降低，主要考察的高考热点题型是利用三角的和差倍半公式研究函数y=Asin( )的图像和性质。
总结求解过程要遵循“三看”ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ则：
1.看角，通过角之间的差别和联系，对角进行合理的拆分，从而正确的使用公式；
3.
1）求f(x)的对称轴方程
2）当 ,求x的值
（学生讨论，这类题型的解法步骤如何）
学生总结步骤
人教版高中数学必修四常见公式及知识点总结(完整版)
必修四常考公式及高频考点第一部分 三角函数与三角恒等变换考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法：所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以构成一个集合：{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z } 2.象限角的表示方法：第一象限角的集合为{α| k ·360 °<α<k ·360 °+90 °,k ∈Z }第二象限角的集合为{α| k ·360 °+90 °<α<k ·360 °+180 °,k ∈Z } 第三象限角的集合为{α| k ·360 °+180 °<α<k ·360 °+270 °,k ∈Z } 第四象限角的集合为{α| k ·360 °+270 °<α<k ·360 °+360 °,k ∈Z } 3.终边在某条射线、某条直线或两条垂直的直线上(如轴线角)的表示方法：（1）若所求角β的终边在某条射线上，其集合表示形式为{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z },其中α为射线与x 轴非负半轴形成的夹角（2）若所求角β的终边在某条直线上，其集合表示形式为{β|β= k ·180 °+α,k ∈Z },其中α为直线与x 轴非负半轴形成的任一夹角（3）若所求角β的终边在两条垂直的直线上，其集合表示形式为{β|β= k ·90 °+α,k ∈Z },其中α为直线与x 轴非负半轴形成的任一夹角 例：终边在y 轴非正半轴上的角的集合为{α|α= k ·360 °+270 °,k ∈Z }终边在第二、第四象限角平分线上的集合为{α|α= k ·180 °+135 °,k ∈Z } 终边在四个象限角平分线上的角的集合为{α|α= k ·90 °+45 °,k ∈Z } 易错提醒：区别锐角、小于90度的角、第一象限角、0～90、小于180度的角 考点二 弧度制有关概念与公式 1.弧度制与角度制互化π=︒180，1801π=︒，1弧度︒≈︒=3.57180π2.扇形的弧长和面积公式（分别用角度制、弧度制表示方法）弧长公式：R Rn l απ==180, 其中α为弧所对圆心角的弧度数 扇形面积公式：lR R n S 213602==π=12 R 2|α|, 其中α为弧所对圆心角的弧度数 易错提醒：利用S=12R 2|α|求解扇形面积公式时，α为弧所对圆心角的弧度数，不可用角度数规律总结：“扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量，“知二求二”，注意公式选取技巧考点三 任意角的三角函数 1.任意角的三角函数定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=（22||r OP x y ==+）；化简为xyx y ===αααtan ,cos ,sin . 2.三角函数值符号规律总结：利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号. 3.特殊角三角函数值SIN15º=SIN(60º-45º)=SIN60ºCOS45º-SIN45ºCOS60º=(√6-√2)/4 COS15º=COS(60º-45º)=COS60ºCOS45º+SIN60ºSIN45º=(√6+√2)/4除此之外，还需记住150、750的正弦、余弦、正切值 4.三角函数线经典结论： (1)若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<(2)若(0,)2x π∈，则1sin cos 2x x <+≤(3)|sin ||cos |1x x +≥考点四 三角函数图像与性质y OxyOxα终边yOx yOx P M A TPM A T正弦线余弦线 正切线PP MA TP MA T α终边α终边α终边sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min1y=-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z 对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴考点五 正弦型（y=Asin(ωx ＋φ)）、余弦型函数（y=Acos(ωx ＋φ)）、正切性函数（y=Atan(ωx ＋φ)）图像与性质 1.解析式求法字母 确定途径 说明A 由最值确定 A ＝最大值－最小值2B 由最值确定B ＝最大值＋最小值2ω 由函数的周期确定相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为0.25个周期φ由图象上的特殊点确定可通过认定特殊点是五点中的第几个关键点，然后列方程确定；也可通过解简单三角方程确定A 、B 通过图像易求，重点讲解φ、ω求解思路： ①φ求解思路：函数性质代入图像的确定点的坐标.如带入最高点),(11y x 或最低点坐标),(22y x ，则)(221Z k k x ∈+=+ππϕω或)(2232Z k k x ∈+=+ππϕω，求ϕ值． 易错提醒：y=Asin(ωx＋φ)，当ω>0，且x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相.如果不满足ω>0，先利用诱导公式进行变形，使之满足上述条件，再进行计算.如y=-3sin(-2x+600)的初相是-600②ω求解思路：利用三角函数对称性与周期性的关系，解ω.相邻的对称中心之间的距离是周期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周期的一半；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一. 2.“一图、两域、四性” “一图”：学好三角函数，图像是关键。
高中数学 第三章 三角恒等变换章末归纳总结课件 新人教A版必修4
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
三角恒等变换 第三章
章末归纳总结 第三章
1 知识结构 2 专题突破
知识结构
专题突破
Байду номын сангаас
专题一 三角函数式的化简 1．三角函数式化简的基本原则： (1)“切”化“弦”． (2)异名化同名 (3)异角化同角． (4)高次降幂． (5)分式通分． (6)无理化有理． (7)常数的处理(特别注意“1”的代换)．
[解析]
化简：2cos21θ＋＋3stainn2θθ－1－cos2θ3－＋45stainn2θθ－4
原式＝cos2θ－31s＋in23θt＋an2θsinθcosθ＋3cos2θ＋53s＋in52θta＋nθ8sinθcosθ
cosθ＋3sinθ
3cosθ＋5sinθ
＝cosθ＋3sincθosθcosθ－sinθ＋3cosθ＋5sicnoθsθcosθ＋sinθ
已知 tanα＝4 3，cos(α＋β)＝－1114，α、β 均为锐角， 求 cosβ 的值．
[探究] 利用 β＝(α＋β)－α 进行角的代换，则 cosβ＝cos[(α＋ β)－α]，利用公式展开，结合已知条件求解．
[解析] ∵α、 β 均为锐角，∴0<α＋β<π. 又 cos(α＋β)＝－1114， ∴sin(α＋β)＝ 1－－11142＝5143.
又 tanα＝4 3， ∴sin2α＝sin2αsi＋n2cαos2α＝1＋tanta2nα2α＝4489.
∴sinα＝473，从而 cosα＝ 1－sin2α＝17， 故 cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝(－1114)×17＋5143×4 7 3＝12.
高中数学中的三角恒等变换常用恒等变换公式总结与应用技巧
高中数学中的三角恒等变换常用恒等变换公式总结与应用技巧在高中数学中，三角函数是一个重要的概念，而三角恒等变换则是在解决三角函数方程和简化三角函数式子时经常用到的重要工具。
本文将总结常用的三角恒等变换公式，并介绍其应用技巧。
一、基本恒等变换公式1. 余弦函数的基本恒等变换(1) 余弦函数的平方形式：cos²θ + sin²θ = 1(2) 二倍角公式：cos2θ = cos²θ - sin²θ(3) 余弦函数的和差角公式：cos(θ ± φ) = cosθcosφ - sinθsinφ2. 正弦函数的基本恒等变换(1) 正弦函数的平方形式：sin²θ + cos²θ = 1(2) 二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ(3) 正弦函数的和差角公式：sin(θ ± φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ3. 正切函数的基本恒等变换(1) 正切函数的平方形式：tan²θ + 1 = sec²θ1 + cot²θ = cosec²θ(2) 二倍角公式：tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)二、常用恒等变换公式1. 互余公式：sin(π/2 - θ) = cosθcos(π/2 - θ) = sinθtan(π/2 - θ) = cotθ2. 余角公式：sin(π - θ) = sinθcos(π - θ) = -cosθtan(π - θ) = -tanθ3. 倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)4. 积化和差公式：sinθsinφ = (1/2)[cos(θ - φ) - cos(θ + φ)]cosθcosφ = (1/2)[cos(θ - φ) + cos(θ + φ)]sinθcosφ = (1/2)[sin(θ + φ) + sin(θ - φ)]三、恒等变换的应用技巧1. 解三角函数方程：利用恒等变换可以将复杂的三角函数方程转化为简单的等式，从而更容易求解。
高三角恒等变换知识点
高三角恒等变换知识点在高中数学的学习中，三角恒等变换是一个重要而基础的内容。
了解和掌握三角恒等变换的知识点，对于解题和深入理解三角函数之间的关系非常有帮助。
本文将介绍一些高三角恒等变换的知识点，帮助读者更好地掌握这一内容。
1. 三角比恒等变换三角比恒等变换是指一些三角函数之间的关系式。
这些关系式可以通过恒等变换得到，从而推导出其他与之相关的恒等式。
以下是一些常见的三角比恒等变换：1.1 正弦、余弦、正切三者的关系：sinθ = cos(π/2 - θ)cosθ = sin(π/2 - θ)tanθ = 1/tan(π/2 - θ)1.2 余切的恒等变换：cotθ = 1/tanθ1.3 余割的恒等变换：secθ = 1/cosθ1.4 正割的恒等变换：cscθ = 1/sinθ2. 和差角公式和差角公式是指将两个角的三角函数之和或之差表示为乘积或商的公式。
熟练掌握和差角公式可以在三角函数的求解过程中简化计算。
2.1 正弦和差角公式：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβsin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ2.2 余弦和差角公式：cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβcos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ2.3 正切和差角公式：tan(α + β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ)tan(α - β) = (tanα - tanβ)/(1 + tanαtanβ)3. 二倍角公式二倍角公式是将一个角的两倍表示为另一个角的函数的形式。
这些公式在求解中经常被使用。
3.1 正弦二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ3.2 余弦二倍角公式：cos2θ = cos²θ - sin²θ3.3 正切二倍角公式：tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)4. 三倍角公式三倍角公式是将一个角的三倍表示为另一个角的函数的形式。
三角函数 三角恒等变换知识点总结
高中数学苏教版必修4 三角函数 三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2α所在的象限。
来判断3α所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。
注意钟表指针所转过的角是负角。
（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。
苏教版数学高一- 必修4第3章《三角恒等变换》知识整合
三角函数的求值主要有两类题型，给角求值与给值求值．给角求值一般是利用和、差、倍角公式进行变换，使其出现特殊角，若为非特殊角，则应变为可消去或约分的情况，从而求出其值．给值求值一般应先化简所求的式子，弄清实际所求，或变化已知的式子，寻找已知与所求的联系，再求值．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，求cos(α＋β)．分析：由已知条件要求cos(α＋β)，应注意到角之间的关系，α＋β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，可应用两角差的余弦公式求得．解析：由已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π得－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π，－π4，∴π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45.由β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得π4＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝－1213，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝1213，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝513.由⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝α＋β，得 cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513×35＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365. ◎规律总结：给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．变式训练1．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，求tan α·tan β 的值．解析：∵cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝13，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝15，②①＋②得cos αcos β＝415，②－①得sin αsin β＝－115，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－115415＝－14.求sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°的值．解析：方法一 原式＝12(1－cos 40°)＋12(1＋cos 160°)＋32·(sin 100°－sin 60°) ＝1＋12(cos 160°－cos 40°)＋32sin 100°－34＝14－sin 100°sin 60°＋32sin 100° ＝14. 方法二 原式＝sin 220°＋cos 2(60°＋20°)＋3sin20°·cos(60°＋20°)＝sin 220°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 20°－32sin 20°2＋3sin20°·⎝ ⎛ 12cos 20°⎭⎪⎫－32sin 20°＝14sin 220°＋14cos 220° ＝14. 方法三 令M ＝sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°，则其对偶式N ＝cos 220°＋sin 280°＋3cos 20°sin 80°.因为M ＋N ＝(sin 220°＋cos 220°)＋(cos 280°＋sin 280°)＋3·(sin 20°cos 80°＋cos 20°sin 80°)＝2＋3sin 100°，①M －N ＝(sin 220°－cos 220°)＋(cos 280°－sin 280°)＋3(sin20°cos 80°－cos 20°sin 80°)＝－cos 40°＋cos 160°－3sin 60°＝－2sin 100°sin 60°－32＝－3sin 100°－32， ②所以①＋②得2M ＝12，M ＝14，即sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°的值为14.◎规律总结：“给角求值”问题，一般所给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要认真观察，综合三角公式转化为特殊角并且清除非特殊角的三角函数而得解．变式训练2．求3tan 12°－3sin 12°·4cos 212°－2的值．解析：原式＝3tan 12°－32sin 12°cos 24°＝3tan 12°－3·2cos 12°2sin 12°·cos 12°·2cos 24°＝23sin 12°－6cos 12°sin 48°＝43sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°sin 48°＝－43sin 48°sin 48°＝－4 3.一元二次方程mx 2＋(2m －3)x ＋(m －2)＝0的两根为tan α，tan β.求tan(α＋β)的最小值．解析：∵mx 2＋(2m －3)x ＋m －2＝0有两根tan α，tan β，∴⎩⎨⎧Δ＝2m －32－4m m －2≥0，m ≠0.解得m ≤94且m ≠0.由一元二次方程的根与系数的关系得tan α＋tan β＝3－2m m ，tan α·tan β＝m －2m.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3－2mm1－m －2m＝3－2m 2＝32－m ≥32－94＝－34.故tan(α＋β)的最小值为－34.◎规律总结：数学问题解决的过程实质上是一个等价转化的过程，这一点务必引起高度重视．特别是综合题，条件的使用顺序和转化，以及知识之间的联系，在平时的训练中都要认真体会和总结．变式训练3．如下图，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．解析：本题的实质是已知tan α＝13，tan β＝12，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求α＋β. 可通过求tan(α＋β)及(α＋β)的范围来求得α＋β. 由图可知：tan α＝13，tan β＝12且α，β均为锐角．∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝13＋121－13×12＝1.而α＋β∈(0，π)，在(0，π)上正切值等于1的角只有π4，∴α＋β＝π4.规律总结：已知三角函数值求角，分三步进行：①先求角α＋β的某一三角函数值；②确定角所在范围(或区间)；③求角的值．三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角，统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．最后结果要求：(1)能求值尽量求值；(2)三角函数名称尽量少；(3)项数尽量少；(4)次数尽量低；(5)分母、根号下尽量不含三角函数．化简：tan 70°cos 10°·(3tan 20°－1)．分析：先化切为弦，再利用特殊角的特殊值进行转换．解析：tan 70°cos 10°· (3tan 20°－1)． ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎪⎫3·sin 20°cos 20°－1 ＝3cos 10°－cos 10°·sin 70°cos 70° ＝3cos 10°－cos 10°cos 20°2sin 10°cos 10°＝3sin 20°－cos 20°2sin 10°＝sin 20°cos 30°－cos 20°sin 30°sin 10°＝sin 20°－30°sin 10°＝－1.◎规律总结：在三角变换中，有时根据需要，可以将一特殊值还原成某一三角函数值，如：12＝sin π6＝cos π3；1＝tan π4＝sin π2＝2cos π4＝sin 2α＋cos 2α等，如果我们在解题时巧妙地加以运用，往往会出奇制胜．三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式． 证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，采取化繁为简，左右归一，变更命题等方法，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同．条件恒等式的证明则要认真观察、比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径，常用代入法、消去法、两头凑法等．证明：tan 32x －tan x 2＝2sin xcos x ＋cos 2x.证明：左边＝sin 32xcos 32x －sin x2cosx 2＝sin 32x ·cos x 2－cos 32x ·sinx2cos 32x ·cosx 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －x 212⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －x 2 ＝2sin x cos 2x ＋cos x＝右边．即等式成立．方法技巧：证明三角恒等式，一般是从左证右，从右证左，或是两边分头化简得同一结果．同时要注意“切割化弦”、“化异为同”基本原则的应用．变式训练4．已知tan(α＋β)＝2tan β.求证：3sin α＝sin(α＋2β)．证明：由已知tan(α＋β)＝2tan β可得sinα＋βcosα＋β＝2sin βcos β.∴sin(α＋β)cos β＝2cos(α＋β)sin β而sin(α＋2β)＝sin＝sin (α＋β)cos β＋cos(α＋β)sin β＝2cos(α＋β)sin β＋cos(α＋β)sin β＝3cos(α＋β)·sin β. 又sin α＝sin＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝cos(α＋β) sin β∴3sin α＝sin(α＋2β)．设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cos x,1)，b＝(cos x，3sin 2x )，x ∈R ，(1)若f (x )＝1－3且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，求x .(2)若函数y ＝2sin 2x 的图象按向量c ＝(m ，n )⎝ ⎛⎭⎪⎫|m |<π2平移后得到函数y ＝f (x )的图象，求实数m ，n 的值．分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力．解析：(1)依题设，f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1－3，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－32. ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤56π.∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.(2)函数y ＝2sin 2x 的图象按向量c ＝(m ，n )平移后得到函数y ＝2sin ＋n 的图象，即函数y ＝f (x )的图象．由(1)得f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋1，∵|m |<π2，∴m ＝－π12，n ＝1.◎规律总结：涉及三角函数性质的问题时，常通过三角变换将函数式f (x )化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，进而研究相关问题，一定要加强这种训练．向量与三角函数知识的交汇是近几年高考命题的热点，要充分体会向量的工具性作用．变式训练 5．已知向量a ＝(3cos x,2cos x )，b ＝(2sin x ，cos x )，定义函数f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调增区间．解析：(1)f (x )＝a ·b ＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴T ＝2π2＝π.(2)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 得：k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调增区间为： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)．.已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15.(1)求证：tan A ＝2tan B ； (2)设AB ＝3，求AB 边上的高．分析：本题要求能灵活运用两角和与差的有关三角函数公式来求证、求解，且对解三角形也有一定考查．(1)证明：∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝35，sin A cos B －cos A sin B ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＝25，cos A sin B ＝15⇒tan A tan B＝2. ∴tan A ＝2tan B .(2)解析：∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35，∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－34.将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得 2tan 2B －4tan B －1＝0，解得tan B ＝2±62，舍去负值，得tan B ＝2＋62.∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6.设AB 边上的高为CD .则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD2＋6.由AB ＝3，得CD ＝2＋ 6.所以AB 边上的高等于2＋6.◎规律总结：在三角函数的应用问题中，要根据问题的特点，恰当选择使用两角和(差)、倍角公式．同时，要注意数形结合、方程(组)、等价转化等数学思想的运用．变式训练6．已知角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan 2A 的值；(2)求2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．解析：(1)∵OM→·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，∴sin A ＋cos A ＝－15，①两边平方整理得：2sin A cos A ＝－2425.②∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，由①，②解得：sin A ＝35，cos A ＝－45.∴tan A ＝－34，∴tan 2A ＝－247.(2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝cos A －3sin Acos A ＋sin A＝1－3tan A 1＋tan A ＝1－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34 ＝13.。
高中数学必修4(人教A版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习及答案
α 1 − cos α = 2 2 α 1 + cos α = cos2 2 2 α 1 − cos α = tan2 2 1 + cos α α sin α 1 − cos α tan = = 2 1 + cos α sin α sin 2 12 3 例题： 已知 ，α ∈ (π, π) ，求sin 2α ，cos 2α，tan 2α的值． cos α = − 13 2 12 3 解：因为cos α = − ，α ∈ (π, π) ．所以 13 2 − − − − − − − − − − 5 12 2 − − − − − − − − ． sin α = −√1 − cos2 α = −√1 − (− ) =− 13 13 5 12 120
)
C．
1 9
D．
√5 3
答案： B
因为 sin α =
2 1 ，所以 cos (π − 2α) = − cos 2α = − (1 − 2sin 2 α) = − ． 3 9 )
B．−
3. 化简 A．
sin 2 35∘ − sin 20∘
1 2 = (
答案： B
1 2
1 2
C．−1
D．1
4. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 ，延长 BA 至 E，使 AE = 1 ，连接 EC , ED，则 sin ∠CED =
（1）已知 sin α =
= (− cos 83∘ )(− cos 23∘ ) + sin 83∘ sin 23∘ = cos(83∘ − 23∘ ) 1 = cos 60∘ = . 2
sin(
π π π + α) = sin cos α + cos sin α 3 3 3 4 1 3 √3 = × + × 2 5 2 5 4√3 + 3 = 10 π π π − α) = sin cos α − cos cos α 3 3 3 4 1 3 √3 = × − × 2 5 2 5 3 − 4√3 = 10
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三角函数知识点总结1、任意角：正角：；负角：；零角：；2、角的顶点与重合，角的始边与重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在 x 轴上的角的集合为终边在 y 轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为3、与角终边相同的角的集合为4、已知是第几象限角，确定n* 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，n再从 x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．5、n叫做 1弧度．6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为 l，则角的弧度数的绝对值是．7、弧度制与角度制的换算公式：8、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则l=．S=9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是 x, y ，它与原点的距离是 r r x2y20 ，则sin y， cosx， tan y x0 ．r r x10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：．12、同角三角函数的基本关系：(1);(2);(3)13、三角函数的诱导公式：1 sin 2k sin，cos 2k cos，tan 2k tan k．2 sin sin，cos cos，tan tan．4 sin sin，cos cos，tan tan．5 sin cos，cos sin．226 sin cos，cos sin．22口诀：奇变偶不变，符号看象限．重要公式⑴ cos cos cos sin sin；⑵ cos cos cos sin sin；⑶ sin sin cos cos sin；⑷ sin sin cos cos sin；⑸ tantan tan（tan tan tan1tan tan）；1 tan tan⑹ tantan tan（tan tan tan1tan tan）．1 tan tan二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos．(2)cos2 cos2sin22cos2 1 1 2sin2（ cos2cos21， sin 2 1 cos 2）．⑶ tan22tan．221tan2公式的变形：tan tan tan() ? 1 tan tan，辅助角公式sin cos22 sin，其中 tan．14、函数y sin x 的图象平移变换变成函数y sin x的图象．15. 函数 y sin x0,0 的性质：① 振幅：；②周期：2；③频率： f1；④相位： x；⑤初相：．216 ．图像正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：三角函数题型分类总结一．求值1、 sin330 ==sin 585 o=tan690 °2、（ 1） (07 全国Ⅰ )是第四象限角， cos12，则 sin13（ 2）（ 09 北京文）若 sin4, tan 0 ，则 cos.512（ 3）（ 09 全国卷Ⅱ文）已知 △ABC 中， cot A.，则 cosA15(4)是第三象限角， sin()cos =cos(5) =，则223、 (1) (07 陕西 ) 已知 sin5, 则 sin 4cos 4 =.5(2) （ 04 全国文）设(0,3 ，则 2 cos() = .) ，若 sin254（ 3）（ 06 福建）已知( , ),sin 3, 则 tan() =2544（ 07 重庆） 下列各式中，值为3的是 ( )2（ A ） 2sin15 cos15 （ B ） cos 2 15 sin 2 15 （ C ） 2 sin 2 15 1（ D ） sin 2 15 cos 2 155. (1)(07 福建 ) sin15 o cos75o cos15o sin105 o =(2)（ 06 陕西） cos43o cos77 osin 43o cos167o =。
三角恒等变换知识总结
三角恒等变换知识点总结一、基本内容串讲1． 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=对其变形：tan α＋tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β)，有时应用该公式比较方便。
2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式常用。
3.辅助角公式：sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭cos 2sin 6x x x π⎛⎫±=± ⎪⎝⎭()sin cos a x b x x ρ+=+.4.简单的三角恒等变换（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。
（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。
（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。
（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。
5.常用知识点：（1）基本恒等式：22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==（注意变形使用，尤其‘1’的灵活应用，求函数值时注意角的范围）；（2）三角形中的角：A B C π++=，sinA sin(B ),cosA cos(B C)C =+=-+；（3）向量的数量积：cos ,a b a b a b =， 1212a b x x y y =+ ，12120a b x x y y ⊥⇔+= 1221//0a b x y x y ⇔-= ； 二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sin 20cos 40cos 20sin 40+ 的值等于（ ）2、若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ） 3、若3,4παβ+=则(1tan )(1tan )αβ--的值是________． 考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式5、cos5πcos52π的值等于（ ） (提示:构造分子分母) 6、cos 20cos 40cos60cos80= （ ） 7、 已知322A ππ<<，且3cos 5A =，那么sin 2A 等于（ ） 考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换8、已知,41)4tan(,52)tan(=-=+πββα则)4tan(πα+的值等于（ ） 9、已知,31cos cos ,21sin sin =+=+βαβα则)cos(βα-值等于（）10、函数22()cos ()sin ()11212f x x x ππ=-++-是（ ）（A ）周期为2π的奇函数 （B ）周期为2π的偶函数（C ）周期为π的奇函数 （D ）周期为π的偶函数4、常见题型及解题技巧（另外总结）（一）关于辅助角公式：()sin cos a x b x x ρ+=+.其中cos ϕϕ==）如：1.若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是____________. 2.2cos 3sin 2y x x =-+的最大值与最小值之和为_____________.7．若2tan(),45πα+=则tan α=________. （二）三角函数式的化简与求值[例1] 1.0000cos15sin15cos15sin15-+； 2.00sin50(1);3. 求tan 70tan 5070tan 50+ 值;4.△ABC 不是直角三角形，求证：C B A C B A tan tan tan tan tan tan ∙∙=++ （三）三角函数给值求值问题1. 已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是_____________;2. 已知54cos(),cos ,,135αββαβα+==均为锐角，求sin 的值。
高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结
第三章 三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sinsin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-二、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin 22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒221cos 2cos1cos 2sin22αααα+=-=，⇒2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．⑶22tan tan 21tan ααα=-．三、辅助角公式：()22sin cos sin α+=++a x b x a b x ，2222cos sin a b a ba bϕϕϕ==++其中由，决定四、三角变换方法：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍；②2304560304515o ooooo=-=-=；③()ααββ=+-；④()424πππαα+=--； ⑤2()()()()44ππααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
人教课标实验B版-必修4-第三章 三角恒等变换-本章小结
本章小结
1．本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，倍角公式，以及运用这些公式进行简单的三角恒等变换．
2．全章始终注意通过问题，引导学生用类比、联系、化归的观点分析与处理问题，引导学生逐渐明确三角变换不仅是三角函数式的结构形式变换，而且还有角的变换，以及不同三角函数之间的变换，使学生领悟有关公式在变换中的作用和用法，学会用恰当的数学思想方法指导选择和设计变换思路． 3．本章不仅关注使学生得到和(差)角公式，而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法．例如，在两角差的余弦公式这一关键性问题的解决体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中，始终引导学生体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法．
4．对本章的教学要准确把握教学要求．与以往的三角恒等变换学习相比较，“标准”强调了用向量方法推导差角的余弦公式，以用三角函数之间的关系推导和(差)角公式、二倍角公式，其他如半角公式、积化和差与和差化积公式只是作为基本训练的素材，结果不要求记忆，教学时应当把握好这种变化，遵循“标准”所规定的内容和要求，不要引进那些繁琐的、技巧性高的变换难题以及强调细枝末节的内容．。
高二必修四数学三角恒等变换知识点
5.积化和差、和差化积、半角公式只作为练习，不要求记忆.
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。6.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
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第三章 三角恒等变换
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；
⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；
⑷()sin
sin cos cos sin αβαβαβ+=+；
⑸()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
--=
+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+
⑹()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-
二、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
sin 22sin cos ααα
=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒
⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α
αααα=-=-=-
⇒2
2
1cos 2cos
1cos 2sin
2
2
α
α
αα+=-=，
⇒
2cos 21cos 2
αα+=，
2
1cos 2sin 2αα-=．
⑶22tan tan 21tan α
αα
=
-．
三、辅助角公式：
()
sin cos α+=+a x b x x
，
cos sin ϕϕϕ=
=
其中由决定
四、三角变换方法：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的
相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4
α的二倍；
②2
304560304515o o
o
o
o
o
=-=-=；
③()ααββ=+-；④
()4
24
π
π
π
αα+=
--； ⑤2()()()()44
ππ
ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
如
在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。
（3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转
化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：
221sin cos sin90tan45o o
αα=+==
（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，
一般采用降幂处理的方法。
降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。
（5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名，
高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。