高中数学必修4知识总结(完整版)

高中数学必修四知识点总结

⎧⎪

⎨⎪⎩

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角

2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}

36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z

第二象限角的集合为{}

36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z

终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z

3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z

4、已知α是第几象限角，确定

()*

n n

α

∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n

α

终边所落在的区域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r

α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π

=

，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭

． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，

则l r α=，2C r l =+， 211

22

S lr r α==．

9、（一）设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,

即sin y α=；（2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=；（3）y

x

叫做α的正切,记做tan α,即

tan (0)y

x x

α=≠。

（二）设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y

，它与原点的距离是

()

0r r =>，则sin y r α=

，cos x r α=，()tan 0y

x x

α=≠．

10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系式：

()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；

()

sin 2tan cos α

αα

=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛

⎫== ⎪⎝

⎭．

13、三角函数的诱导公式：

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，

()()tan 2tan k k παα+=∈Z ．

()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭

．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫

+=- ⎪⎝⎭．

口诀：函数名改变，符号看象限． 14、图像变换的两种方式：

（一）函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象（ϕ>0是左移；ϕ<0是右移）；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象

()0,0ωA >>．

（二）函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移

ϕ

ω

个单位长度（ϕ>0是左移；ϕ<0是右移）；得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象()0,0ωA >>． 函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：

①振幅A ； ②周期：2π

ω

T =

； ③频率：12f ω

π

=

=

T ； ④相位：x ωϕ+； ⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则

()max min 12y y A =

-，()max min 12y y B =+，()21122

x x x x T

=-<． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x = cos y x = tan y x =

图象

定义域 R R

,2x x k k ππ⎧⎫

≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭

值域

[]1,1-

[]1,1-

R

最值

当22

x k π

π=+

()k ∈Z 时，

max 1y =；当22

x k π

π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．

当()2x k k π=∈Z 时，

max 1y =；当2x k ππ=+

()k ∈Z 时，min 1y =-．

既无最大值也无最小值

周期

2π 2π π

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调性

在2,222k k ππππ⎡

⎤-+⎢⎥⎣

⎦

()k ∈Z 上是增函数；在

32,222k k ππππ⎡

⎤++⎢⎥⎣⎦

()k ∈Z 上是减函数．

在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+

()k ∈Z 上是减函数．

在,22k k ππππ⎛

⎫-+ ⎪⎝

⎭

()k ∈Z 上是增函数．

对称性

对称中心()(),0k k π∈Z

对称轴()2x k k ππ=+∈Z

对称中心(),02k k ππ⎛

⎫+∈Z ⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心(),02k k π⎛⎫

∈Z ⎪⎝⎭ 无对称轴

16.三角函数奇偶性规律总结（0,0

A ω≠≠）

函数sin()y A x ωφ=+为奇函数的条件为,k k Z

φπ=∈

函 数 性 质