2020年广东省佛山市三水中学 高三数学文月考试卷含解析

2020年广东省佛山市三水中学高三数学文月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 一个几何体得三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．5
参考答案：
A
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，再根据公式求解即可．
【解答】解：由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，
三棱柱的体积V1为=2
剪去的三棱锥体积V2为： =
所以几何体的体积为：2﹣=，
故选：A．
2. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
3. 已知向量a，b，c满足，，则的最小值为（）A． B． C． D．
参考答案：
B
4. 在等差数列中，，，则的展开式中的常数项是该数列的（）
（A）第9项（B）第8项（C）第7项（D）第6项
参考答案：
B
5. 已知平面直角坐标系内的两个向量＝(1,2)，＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成＝λ＋μ(λ，μ是实数)，则m的取值范围是()
A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)
参考答案：
C
略
6. 在如图所示的框图中，若输出，那么判断框中应填入的关于的判断条件是A．B．C．D．
参考答案：
D
当时不满足退出循环的条件，执行循环体后，；
当时不满足退出循环的条件，执行循环体后，；
当时不满足退出循环的条件，执行循环体后，；
当时不满足退出循环的条件，执行循环体后，；
当时满足退出循环的条件，
故判断框中应填入的关于的判断条件是，故选D.
7. 命题p：“非零向量，，若?＜0，则，的夹角为钝角”，命题q：“对函数f（x），若f′（x0）=0，则x=x0为函数的极值点”，则下列命题中真命题是( )
A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）
参考答案：
D
【考点】复合命题的真假．
【专题】简易逻辑．
【分析】先判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．
【解答】解：关于命题p：当向量，的夹角为180°时，?＜0，
∴非零向量，，若?＜0，则，的夹角不一定为钝角，
命题p是假命题；
关于命题q：譬如函数y=x3，它的导数在x=0时为0，但x=0不是它的极值点，
∴命题q是假命题，
故￢p是真命题，￢q是真命题，
故选：D．
【点评】本题考查了复合命题的判断，考查向量、导数问题，是一道基础题．
8. 已知若=
（）
A．32 B．1 C．-243 D．1或-243
参考答案：B
略
9. 已知数列{a n}满足???…?=（n∈N*），则 a10=（）
A．e30 B．e C．e D．e40
参考答案：
B
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】利用作差法求出lna n=，n≥2，进行求解即可
【解答】解：∵???…?=（n∈N*），
∴???…?=（n∈N*），
∴lna n=，n≥2，
∴a n=e，
∴a10=e，
故选B．
10. 已知复数为虚数单位，则的共轭复数是
A. B. C.
D.
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程
表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为______ .
参考答案： 略
12. 如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其中位数
为 ▲
.
参考答案：
13
13. 已知点P （x ，y ）的坐标满足条件
点O 为坐标原点，那么|OP|的最大值等于 ．
参考答案：
【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利两点间的距离公式进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如右图所示， 则OB 的距离最大，
由，即
，即B （1，3），
则
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用两点间的距离公式是解决本题的关键．
14. 已知f （x ）是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f （x ）=x 2﹣4x ，那么，不等式f （x+2）＜5的解集是 ．
参考答案：
（﹣7，3）
【考点】函数单调性的性质；一元二次不等式的解法． 【专题】压轴题；不等式的解法及应用．
【分析】由偶函数性质得：f （|x+2|）=f （x+2），则f （x+2）＜5可变为f （|x+2|）＜5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+2|的范围，再求x 范围即可． 【解答】解：因为f （x ）为偶函数，所以f （|x+2|）=f （x+2）， 则f （x+2）＜5可化为f （|x+2|）＜5，
即|x+2|2
﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0， 所以|x+2|＜5， 解得﹣7＜x ＜3，
所以不等式f （x+2）＜5的解集是（﹣7，3）． 故答案为：（﹣7，3）．
【点评】本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键． 15. 设
，则（x ﹣）6的展开式中的常数项为 ．
参考答案：
﹣160
【考点】DB ：二项式系数的性质． 【分析】利用定积分求出m=2，从而=（﹣2）r
x 6﹣2r ，令6﹣2r=0，得r=3，由
此能求出（x ﹣）6的展开式中的常数项． 【解答】解：∵
=（x 3
﹣cosx ）=（1﹣cos1）﹣（﹣1﹣cos （﹣1））=2，
∴（x ﹣）6
即， ∴
=（﹣2）
r
x
6﹣2r
，
令6﹣2r=0，得r=3，
∴（x ﹣）6
的展开式中的常数项为： =﹣160．
故答案为：﹣160．
16. 某几何体的三视图如图所示,其俯视图是中心角为60°的扇形,则该几何体的体积为 ．
参考答案：
该几何体为柱体。

，
17. 已知抛物线的准线方程为
，则抛物线的标准方程为
.
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分10分）、
、为的三个内角，它们的对边分别为、、. 若＝
，
＝
，且． （Ⅰ）求
； （Ⅱ）若＝
，
的面积
＝
，求
的值.
参考答案：
解：（Ⅰ）∵＝，＝，且,
∴
. ∴
,
即
.
，又
，∴
.
（Ⅱ），∴ .
由余弦定理得：
,∴16＝，故
.
19. （本小题满分12分）如图一，
是正三角形，是等腰直角三角形，.将
沿
折起，使得
与成直二面角
，
如图二，在二面角中
（1）求证：；
（2）求、
之间的距离；
（3）求
与面
所成的角的正弦值。

参考答案：
【知识点】单元综合G12
⑴略（2）2（3）
⑴面面，面面，面，
面，又面
⑵面，面
在中，，
⑶取的中点，连结、和
是正三角形
，又面面
面，即是在面内的射影
则为直线与面所成的
角，
故直线与面所成的角的正弦值为.
【思路点拨】由线面垂直证明线线垂直，根据距离求出正弦值。

20. 已知函数f（x）=|a﹣x|（a∈R）
（Ⅰ）当a=时，求使不等式f（2x﹣）＞2f（x+2）+2成立的x的集合A；
（Ⅱ）设x0∈A，证明f（x0x）≥x0f（x）+f（ax0）．参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）把a的值代入不等式化简后，对x分类讨论，分别去掉绝对值求出每个不等式的解集，再取并集即得不等式的解集；
（Ⅱ）由（I）和x0∈A求出x0的范围，化简f（x0x）﹣x0f（x）后利用绝对值三角不等式证明结论成立．
【解答】解：（Ⅰ）当a=时，原不等式化为：|x﹣|﹣|x+|＞1①，﹣﹣﹣﹣﹣1分
当x时，①式化为：﹣x+x+＞1恒成立，
即x；﹣﹣﹣﹣﹣2分
当＜x＜时，①式化为：﹣x﹣x﹣＞1恒成立，
解得x＜0，即＜x＜0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣3分
当x≥时，①式化为：﹣+x﹣x﹣＞1无解，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分
综上，原不等式的解集A=（﹣∞，0）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分
证明：（Ⅱ）因为x0∈A，所以x0＜0，
又f（x）=|a﹣x|，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6分
所以f（x0x）﹣x0f（x）=|a﹣x0x|﹣x0|a﹣x|
=|a﹣x0x|+|﹣x0a+x0x|≥|a﹣x0x﹣x0a+x0x|
=|a﹣ax0|=f（ax0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9分
所以f（x0x）≥x0f（x）+f（ax0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分
21. （本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）若函数处取得极值，求实数的值；并求此时上的最大值；
（Ⅱ）若函数不存在零点，求实数a的取值范围．
参考答案：
（Ⅰ）函数的定义域为R，，…………………1分
，．…………………2分
∴
∵在上单调递减，在上单调递增，
∴时取极小值．
．…………………3分
易知在上单调递减，在上单调递增；
且．…………………4分
当时，在的最大值为…………………5分
（Ⅱ），由于．
①当时，是增函数，…………………7分
且当时，．…………………8分
当时，取，则，
所以函数存在零点，不满足题意．…………9分
②当时，．
在上单调递减，在上单调递增，所以时取最小值．………………11分
函数不存在零点，等价于
，
解得．
综上所述：所求的实数的取值范围是．………………13分
22. 在直角坐标系xOy中，曲线（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.
（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）已知点，直线l的极坐标方程为，它与曲线C1的交点为O，P，与曲线C2的交点为Q，求的面积.
参考答案：
（1）（2）1
【分析】
（1）首先把参数方程转化为普通方程，利用普通方程与极坐标方程互化的公式即可得到曲线的极坐标方程；
（2）分别联立与的极坐标方程、与的极坐标方程，得到、两点的极坐标，即可求出的长，再计算出到直线的距离，由此即可得到的面积。

【详解】解：（1），
其普通方程为，化为极坐标方程为
（2）联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为
联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为，所以，又点到直线的距离
，
故的面积.
【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的关键，属于中档题。