(新课标I版)2015届高考数学一轮复习 坐标系与参数方程试题 理

坐标系与参数方程
1【2014新课标I 版（理）23】（本小题满分10分）选修4—4，坐标系与参数方程
已知曲线22
1:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩
（t 为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A
，PA 的最大值与最小值． 【答案】
2cos .
().
3sin .60.
x y l x y θθθ=⎧⎨=⎩
+-=（I ）曲线C 的参数方程为为参数
直线的普通方程为2
cos sin 3sin
6.
l d θθθθ=+-（II ）曲线C 上任意一点P(2.3)到的距离为
4
)6,tan .
sin 303
sin 5sin()15
d PA PA PA θαααθαθα=
=+-=︒+=则其中为锐角，且当(+)=-1时，取得最大值，最大值为当时，取得最小值，最小值为
2【2013新课标I 版（理）23】(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 1的参数方程为45cos ,
55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 【答案】
（1）因为45cos 55sin x t y t
=+⎧⎨
=+⎩，消去参数，得22
(4)(5)25x y -+-=，即
22810160x y x y +--+=，
故1C 极坐标方程为2
8cos 10sin 160ρρθρθ--+=； （2）2C 的普通方程为2
2
20x y y +-=，
由2222
81016020
x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩， 所以1C 、2C
交点的极坐标为),(2,)42
π
π
.
3【2012新课标I 版（理）23】选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 1的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ⎧⎨⎩
＝，
＝，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，
C ，
D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，
π
3
)． (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；
(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2
的取值X 围． 【答案】
（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,
),(2,
),(2,),(2,)3
636
π
πππ 点,,,A B C D
的直角坐标为1,1)-- （2）设00(,)P x y ；则00
2cos ()3sin x y ϕ
ϕϕ=⎧⎨
=⎩为参数
2
2
2
2
224440t PA PB PC PD x y =+++=++ 25620sin [56,76]ϕ=+∈
41 ．（某某省某某市2014届高三摸底考试数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位,以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴.
已知直线l的参数方程为
1
2
2
,(
3
x t
t
y t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
为参数),曲线C的极坐标方程为2
sin8cos.
ρθθ
=
(I)求C的直角坐标方程;
(II)设直线l与曲线C交于A、B两点,求弦长|AB|.
【答案】
52 ．（某某省井陉县第一中学2014届高三10月月考数学（理）试题）在直角坐标系xOy 中,
曲线C1的参数方程为
2cos
22sin
x
y
α
α
=
⎧
⎨
=+
⎩
(α为参数)M是C1上的动点,P点满足2
=,P点的轨迹为曲线C2(Ⅰ)求C2的方程
(Ⅱ)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线
3
π
θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求AB.
【答案】解:(I)设P(x,y),则由条件知M(
2
,
2
y
x
).由于M点在C1上,所以⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+
=
=
α
α
sin
2
2
2
cos
2
2
y
x
即
⎩
⎨
⎧
+
=
=
α
α
sin
4
4
cos
4
y
x
从而2
C的参数方程为
4cos
44sin
x
y
α
α
=
⎧
⎨
=+
⎩
(α为参数)
(Ⅱ)曲线1
C的极坐标方程为4sin
ρθ
=,曲线2
C的极坐标方程为8sin
ρθ
=.
射线
3
π
θ=与1C的交点A的极径为14sin
3
π
ρ=,
射线3
πθ=
与2C 的交点B 的极径为28sin
3
π
ρ=.
所以21||||AB ρρ-==3 ．（某某省某某中学2014届高三上学期三调考试数学（理）试题）已知函数()1f x x =-.
(I)解不等式: 1()(1)2f x f x ≤+-≤; (II)若0＞a ,求证:()()f ax af x -≤()f a .
【答案】解: (1)由题()(1)f x f x +-12x x =-+-121x x ≥-+-=. 因此只须解不等式122x x -+-≤. 2分
当1x ≤时,原不式等价于232x -+≤,即1
12
x ≤≤. 当12x <≤时,原不式等价于12≤,即12x <≤.
当2x >时,原不式等价于232x -≤,即5
22
x <≤.
综上,原不等式的解集为15|
22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭
(2)由题()()f ax af x -11ax a x =---. 当a >0时,()()f ax af x -1ax ax a =---
1ax a ax =---1ax a ax ≤-+-1a =-()f a =
64．（某某省某某市武安三中2014届高三第一次摸底考试数学理试题）【选修4-4:坐标系与
参数方程】
在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线
2:sin 2cos (0)C a a =>ρθθ,已知过点(2,4)P --的直线l 的参数方程
为
:2242
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点.
(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程;
(2)若,,PM MN PN 成等比数列, 求a 的值.
【答案】解:(Ⅰ)根据极坐标与直角坐标的转化可
得,C:ρsin 2θ=2acosθ⇒ρ2sin 2
θ=2aρcosθ,
即 y 2
=2ax,
直线L 的参数方程为:,消去参数t 得:直线L 的方程为y+4=x+2即y=x ﹣
2
(Ⅱ)直线l 的参数方程为(t 为参数),
代入y 2
=2ax 得到, 则有
因为|MN|2
=|PM|•|PN|,所以
即:[2(4+a)]2
﹣4×8(4+a)=8(4+a)解得 a=1 75．（某某省高阳中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）在直角坐标系xOy 中,
曲线C 的参数方程为2(1x t
t y t =+⎧⎨
=+⎩
为参数),以该直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半
轴为极轴的极坐标系下,曲线P 的方程为2
4cos 30ρρθ-+=. (1)求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程;
(2)设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ,求||AB .
【答案】解:(1)曲线C 的普通方程为01=--y x ,曲线P 的直角坐标方程为
03422=+-+x y x
(2)曲线P 可化为1)2(2
2
=+-y x ,表示圆心在)0,2(,半径=r 1的圆, 则圆心到直线C 的距离为2
2
2
1=
=d , 所以222
2
=
-=d r AB
6 ．（某某省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word 版)）
选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,曲线1:2
2
1=+y x C ,以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线
ρ
θθ8
sin 2cos 3:-=
-l .
(1)将曲线C 1
上的所有点的横坐标,纵坐标分别伸长为原来的2倍,3倍后得到曲线C 2,试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程; (2)求C 2上一点P 的l 的距离的最大值. 【答案】
7 ．（某某省某某市第五中学2013届高三4月月考数学（理）试题）选修4-4:极坐标与参
数方程选讲
已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=,直线l 的参数方程是:⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 22522
5 (t 为参数).
(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程,直线l 的普通方程; (Ⅱ)将曲线C 横坐标缩短为原来的2
1
,再向左平移1个单位,得到曲线1C ,求曲线1C 上的点到直线l 距离的最小值.
【答案】
8 ．（某某省某某市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）选修4—4;坐标系与参数
方程
在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线
2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>;过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为
2242
x y ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
(t
是参数),直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点.
(1) 写出曲线C 和直线l 的普通方程;
(2) 若||,||,||PM MN PN 成等比数列,求a 的值. 【答案】解:(Ⅰ)曲线C 的普通方程为2
:2,C y ax = 直线l 的普通方程为20x y --=
(Ⅱ)将直线的参数表达式代入抛物线得
()
2
116402
t t a -++=
, 1212,328t t t t a ∴+==+
因为|||||,||||,|||2121t t MN t PN t PM -===, 由题意知,212
21212
215)(||||t t t t t t t t =+⇒=-,
代入得 1=a . 9 ．（某某省某某中学2013届高三第八次模拟考试数学（理）试题 ）选修4—4:坐标系与
参数方程
已知圆1C 的参数方程为=cos =sin x y ϕ
ϕ⎧⎨⎩
(ϕ为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系,圆2C 的极坐标方程为2cos()3
π
ρθ=+.
(Ⅰ)将圆1C 的参数方程化为普通方程,将圆2C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)圆1C 、2C 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由. 【答案】解:(Ⅰ)由=cos =sin x y ϕϕ
⎧⎨⎩得x 2+y 2
=1,
又∵ρ=2cos(θ+π
3)=cos θ-3sin θ,
∴ρ2
=ρcos θ-3ρsin θ.
∴x 2+y 2
-x +3y =0,
即221()(12x y -+=
(Ⅱ)圆心距12d ==<,得两圆相交 由⎩⎨⎧
x 2＋y 2
＝1
x 2
＋y 2－x ＋3y ＝0
得,A (1,0),
B 1(,2-,
∴ 22
13||(1+)+(0+
)=322
AB = 10 ．（某某省某某一中、某某一中、康杰中学、某某二中2013届高三第四次四校联考数学
（理）试题）(本小题满分10)选修4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.
已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=α
α
sin cos 1t y t x (t 为参数,0<α<π),曲线C 的极坐标方程为
θθρcos 4sin 2=.
(1)求曲线C 的直角坐标方程;
(2)设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,当α变化时,求|AB |的最小值. 【答案】(本小题满分10)选修4-4:坐标系与参数方程 解:(I)由θθρcos 4sin 2=,得θρθρcos 4)sin (2
= 所以曲线C 的直角坐标方程为x y 42
=
(II)将直线l 的参数方程代入x y 42
=,得t 2
sin 2
α-4t cos α-4=0.
设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2,则t 1+t 2=
α
α2sin cos 4,t 1t 2=α2
sin 4
-, ∴|AB |=|t 1-t 2|=t 1＋t 2
2
－4t 1t 2=α
ααα2242sin 4
sin 16sin cos 16=
+, 当α=π
2
时,|AB |的最小值为4
11．（某某省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）选修4-4:坐标系与
参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为2
223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为3ρθ=. (1)求圆C 的直角坐标方程;
(2)设圆C 与直线l 交于点A,B,若点P 的坐标为3求|PA|+|PB|.
【答案】(Ⅰ)由3ρθ=得22
(3)3x y +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分
(Ⅱ)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程,得2222(2)()322
-
+=, 即2
2210t t -+=由于0∆>,故可设12,t t 是上述方程的两实根,
所以1
2121
t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩故由上式及t 的几何意义得:
|PA|+|PB|=12|t |+|t |=12t +t
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 12．（某某省康杰中学2013届高三第二次模拟数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程选讲
已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角
坐标系,直线l
的参数方程为122t x y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数)
(Ⅰ)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线C 经过伸缩变换3x x
y y
'=⎧⎨'=⎩得到曲线C ',设曲线C '上任意一点为(,)M x y ,
求x +的最小值.
【答案】(Ⅰ) :21)l y x -=
-;圆22:1C x y +=
(Ⅱ)曲线2
2:19
x C y '+= 令3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩
∴3cos )x θθθϕ+=+=+
∴x +
的最小值为
13．（某某省某某市2013届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word 版） ）(本小题_
分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,以原点0为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知
的取值X 围.
【答案】选修4-4:坐标系与参数方程
解:(Ⅰ)法一:22=a 时,圆C 的直角坐标方程为8)2()2(2
2
=++-y x , ∴圆心C(2,-2)
又点O 的直角坐标为(0,0),且点A 与点O 关于点C 对称, 所以点A 的直角坐标为(4,-4)
法二:22=a 时,圆C 的直角坐标方程为8)2()2(22
=++-y x ① ∴圆心C(2,-2)
又点O 的直角坐标为(0,0),
所以直线OA 的直线方程为x y -=② 联立①②解得⎩⎨
⎧==0
0y x (舍)或⎩⎨⎧-==44
y x
所以点A 的直角坐标为(4,-4) 法三:由)4
cos(24π
θρ+
=得圆心C 极坐标)4,22(π
-,
所以射线OC 的方程为4
π
θ-= ,
代入)4
cos(24π
θρ+
=得24=ρ
所以点A 的极坐标为)4
,24(π
-
化为直角坐标得A(4,-4)
(Ⅱ)法一:圆C 的直角坐标方程为22
2)2
2()22(a a y a x =++-, 直线l 的方程为y=2x.
所以圆心C(
a 22,a 2
2
-)到直线l 的距离为5
22
2
a a --
,
∴d=210
92
2
a a -=a 510. 所以
a 5
10
≥2,解得5≥a 法二:圆C 的直角坐标方程为0222
2=+
-+ay ax y x ,
将⎩⎨
⎧==t
y t
x 42化为标准参数方程
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==m
y m x 204202代入得05102
=+am m ,解得==2
1,0m m a 510-, ∴d=||21m m -=
a 5
10
, ,所以
a 5
10
≥2,解得5≥a 法三:圆C 的直角坐标方程为0222
2=+
-+ay ax y x ,
直线l 的方程为y=2x.
联立⎩⎨⎧==+-+x
y ay ax y x 202222
得0252
=+
ax x
解得a x x 5
2,021-
== ∴d=||12212x x -+=
a 5
10
, 所以
a 5
10
≥2,解得5≥a 14．（某某省某某市2013届高三第三次测验预测数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数
方程
已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角 坐
(I)写出直线l 与曲线C 的直角坐标系下的方程;
(II)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='=',2
,
y y x x 得到曲线C '设曲线C '上任一点为M(x,y),求
y x 2
1
3+
的取值X 围. 【答案】解:(Ⅰ)直线l 的普通方程,01323=--+y x 曲线C 的直角坐标方程42
2
=+y x ;
(Ⅱ)曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==y
y x x 2/
/得到曲线/
C 的方程为4422=+y x , 则点M 参数方程为)(,
sin 4,cos 2参数θθθ⎩⎨⎧==y x ,代入y x 21
3+得,
y x 213+
==⋅+⋅θθsin 421cos 23)3sin(4cos 32sin 2π
θθθ+=+ ∴y x 21
3+的取值X 围是[]4,4-
15．（某某省某某市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）选修4--4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=--=t
y t x 322(t 为参数),直线l 与曲线
C:(y 一2)2
一2
x =1交于A,B 两点
(I)求|AB|的长;
(Ⅱ)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P 的极坐标为(4
3,22π)求点P 到线段AB 中点M 的距离.
【答案】
16．（某某省六市2013届高三第二次联考数学（理）试题）选修4—4,坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程是2
2
42x y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
(t 是参数),圆C 的极坐标方程为
2cos()
4
π
ρθ
=+.
(1)求圆心C的直角坐标;
(2)由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.
【答案】
17．（某某省山大附中2013届高三4月月考数学（理）试题）已知点)
sin
,
cos
1(α
α
+
P,参数[]π
α,0
∈,点Q在曲线C:
)
4
sin(
2
10
π
θ
ρ
-
=上.
(1)求在直角坐标系中点P的轨迹方程和曲线C的方程;(2)求|PQ|的最小值.
【答案】试题分析:设点P的坐标为(x,y),则有
1cos
,
sin
x
y
α
α
=+
⎧
⎨
=
⎩
消去参数α,可得22
(1) 1.
x y
-+=由于α∈[0,π],∴y≥0,故点P的轨迹是上半圆
).0
(1
)1
(2
2≥
=
+
-y
y
x∵曲线C:
)
4
sin(
2
10
π
θ
ρ
-
=,即
22
102cos)
22
ρθ-θ
=,即ρsinθ-ρcosθ=10,故曲线C的直角坐标方程:x-y+10=0.(2)如图所示:由题意可得点Q在直线x-y+10=0 上,点P在半圆上,半圆的圆心C(1,0)到直线x-y+10=0的距离等于
1010112
2
2
-+
=.即|PQ|的最小值为
112
-1.
18．（某某省三市（某某、某某、某某）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程
平面直角坐标系中,将曲线
2cos2
(
sin
x
y
α
α
α
=+
⎧
⎨
=
⎩为参数)上的每一点横坐标不变,纵坐标
变为原来的2倍得到曲线1
C
,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立的极坐
标系中,曲线2
C 的方程为4sin ρθ= (Ⅰ)求1C 和2C 的普通方程:
(Ⅱ)求
1
C 和
2
C 公共弦的垂直平分线的极坐标方程.
【答案】(Ⅰ)横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到2cos 2
(2sin x y ααα=+⎧⎨
=⎩为参数） ()2
2124
C x y ∴-+=为
又
2224C y y
ρθ+=为=4sin ,即x
(Ⅱ)12
C C 和
公共弦的垂直平分线的极坐标方程是
cos 4πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭。