2019-2020学年安徽省合肥市庐江庐南高级中学高二数学文期末试题含解析

2019-2020学年安徽省合肥市庐江庐南高级中学高二数
学文期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如果圆柱轴截面的周长为定值，则其体积的最大值
为（）
A．π B．π C．π D．π参考答案：
A
2. 直线l：y=kx﹣1与圆x2+y2=1相交于A、B两点，则△OAB的面积最大值为( ) A．B．C．1 D．
参考答案：
B
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【分析】由题意可得，△OAB的面积为sin∠AOB，再根据正弦函数的值域，求得它的最大值．
【解答】解：由题意可得OA=OB=1，△OAB的面积为OA?OB?sin∠AOB=sin∠AOB≤，
故△OAB的面积最大值为，
故选：B．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，正弦函数的值域，属于基础题．
3. 下面使用类比推理正确的是（）
A．直线a∥b，b∥c，则a∥c，类推出：向量，则
B．同一平面内，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b．类推出：空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b
C．实数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4b．类推出：复数a，b，若方程
x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4b
D．以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程为x2+y2=r2．类推出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程为x2+y2+z2=r2
参考答案：
D
【考点】类比推理．
【分析】本题考查的知识点是类比推理，我们根据判断命题真假的办法，对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案．
【解答】解：对于A， =时，不正确；
对于B，空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b或a⊥b或相交，故不正确；
对于C，方程x02+ix0+（﹣1±i）=0有实根，但a2≥4b不成立，故C不正确；
对于D，设点P（x，y，z）是球面上的任一点，由|OP|=r，得x2+y2+z2=r2，故D正确．
故选：D．
4. 已知为椭圆的两个焦点，，如图的顶点A、B在椭圆上，在边AB上，其周长为20，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
略
5. 命题“?x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）
A．?x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．?x0?（0，+∞），lnx0=x0﹣1
C．?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．?x?（0，+∞），lnx=x﹣1
参考答案：
C
【考点】命题的否定．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】解：命题的否定是：?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，
故选：C
6. 观察下列数字的排列规律:,则第个数字是( )
A.2
B.1
C.0
D.非以上答案
参考答案：
A
略
7. 集合｛Z︱Z＝｝，用列举法表示该集合，这个集合是（）
A．｛0，2，－2，2，－2｝B．｛0，2｝
C．｛0，2，－2，2｝D．｛0，2，－2｝
参考答案：
D
略
8. 已知命题p：函数f（x）=|4x﹣a|﹣ax（a＞0）存在最小值；命题q：关于x的方程2x2﹣（2a﹣2）x+3a﹣7=0有实数根．则使“命题p∨?q为真，p∧?q为假”的一个必要不充分的条件是（）
A．3≤a＜5 B．0＜a＜4 C．4＜a＜5或0≤a≤3D．3＜a＜5或0≤a＜3
参考答案：
C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】分别求出p，q为真时的a的范围，求出则p假q真时的a的范围，结合集合的包含关系判断即可．
【解答】解：由条件得：f（x）=，
∵a＞0，
∴﹣（4+a）＜0，f（x）在（﹣∞，）上是减函数．
如果函数f（x）存在最小值，
则f（x）在[a，+∞）上是增函数或常数．
∴4﹣a≥0，得a≤4，
又a＞0，∴0＜a≤4，
故p为真时：0＜a≤4；
命题q：关于x的方程2x2﹣（2a﹣2）x+3a﹣7=0有实数根，
∴△=（2a﹣2）2﹣8（3a﹣7）≥0，化为：a2﹣8a+15≥0，
解得a≤3或a≥5；
命题p∨?q为真，p∧?q为假，则p假q真，
故，解得：4＜a＜5；
故4＜a＜5的一个必要不充分的条件是4＜a＜5或0≤a≤3，
故选：C．
9. 中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程
是（）
A、B、C、
D、
参考答案：
D
10. （5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）
A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图所示是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到1023个正方形. 设初始
正方形的边长为，则最小正方形的边长为.
参考答案：
12. 复数．
参考答案：
13. 已知公差不为的等差数列的前项和为，且，若，则
= .
参考答案：
9
14. 若点A（2,0）关于直线对称的对称点为点B，则点B的坐标________．
参考答案：
15. 已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是
参考答案：
16. 设，则．
参考答案：
17. 在空间直角坐标系中，点A的坐标为(1,2,3)，点B的坐标为(0,1,2)，则A，B两点
间的距离为▲．
参考答案：
两点间的距离为，故答案为.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分15分）
已知函数
（Ⅰ）若，且在上的最大值为，求；（Ⅱ）若，函数在上不单调，且它的图象与轴相切，
求的最小值.
参考答案：
（Ⅰ）时，，
∴对称轴是直线，
①时，
②当时，
③当时，
综上所述，；
（Ⅱ）∵函数的图象和轴相切，∴，∵在上不单调，
∴对称轴∴
，
设，
∴
，
∴，此时当且仅当．
19. 某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
参考答案：
设A型、B型车辆分别为x、y辆，相应营运成本为z元，则z＝1600x＋2400y.由题意，得x，y满足约束条件
...........................4分
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7,14)，
R(15,6)．...........................2分
由图可知，当直线z＝1600x＋2400y经过可行域的点P时，直线z＝1600x＋2400y在y轴
上的截距最小，即z取得最小值．...........................3分
故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．...........................1分
20. 安顺市区某“好一多”鲜牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，
然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作垃圾回收处理．
（1）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n （单位：盒，n∈N*）的函数解析式．
（2）牛奶店老板记录了 100天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表：
（ⅰ）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望；
（ⅱ）若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．
参考答案：
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）根据利润公式得出函数解析式；
（2）（i）求出利润的可能取值及其对应的概率，得出分布列和数学期望；
（ii）求出n=51时对应的数学期望，根据利润的数学期望大小得出结论．
【解答】解：（1）当n≤50时，y=5n﹣50×3=5n﹣150，
当n＞50时，y=50×（5﹣3）=100，
∴y=．
（2）（i ）由（1）可知n=48时，X=90，
当n=49时，X=95，当n≥50时，X=100．
∴X的可能取值有90，95，100．
∴P（X=90）==，P（X=95）==，P（X=100）==，
∴X的分布列为：
∴E（X）==98．
（ii）由（i）知当n=50时，E（X）=98，
当n=51时，y=，
∴当n=48时，X=87，当n=49时，X=92，当n=50时，X=97，
当n≥51时，X=102，
∴P（X=87）=，P（X=92）=，P（X=97）==，P（X=102）=．
∴E（X）=87+++=97.7．
∵98＞97.7，
∴每天应购进50盒比较合理．
21. （本小题满分15分）.
已知函数，其中.
（Ⅰ）若有两个极值点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（III）证明：当时，方程有且只有一个实数根.
参考答案：
解：（Ⅰ）法1：
……………2分
有两个极值点等价于方程在上有两个不等的实根，等价于
，解得，即为所求的实数的取值范围. ……………5分
法2：……………1分
有两个极值点等价于方程在上有两个不等的实根，即方程在上有两个不等的实根，等价于
，，……………4分
解得，即为所求的实数的取值范围. ……………5分
法3：…，即方程在上有两个不等的实根，令
，则其图象对称轴为直线，图象恒过点，问题条件等价于的图象与轴正半轴有两个不同的交点，等价于
，…
得分情况同法2
（Ⅱ）（1）当时，，
由得，，解得，……………6分
由得，，解得，……………7分
此时在、上递减，在上递增，……………8分
（2）当时，因为，所以，则当时，；当时，.从而在上递减，在上递增， (10)
分
(Ⅲ)法1：由（Ⅱ）知，(1)当时，
，……………11分
，因为，
所以，又，所以，从而.……………14分
又的图象连续不断，故当时，的图象与轴有且仅有一个交点.所以当时，方程有且只有一个实数根. ……………15分
法2：……，令，考察函数
，由于，所以在上递减，
，即，…… 15分
（如没有给出严格证明，而用极限思想说明的，扣3分）22. 如图，平面⊥平面，为正方形，
，且分别是线段的中点．（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求和平面所成的角的正切；
（Ⅲ）求异面直线与所成的角的余弦．
参考答案：
略。