(小学奥数)乘除法数字谜(二)

5-1-2-3.乘除法數字謎（二）
教學目標
數字謎是杯賽中非常重要的一塊，特別是迎春杯，數字謎是必考的，一般學生在做數字謎的時候都採用嘗試的方式，但是這樣會在考試中浪費很多時間．本模組主要講乘除豎式數字謎的解題方法，學會通過找突破口來解決問題．最後通過例題的學習，總結解數字謎問題的關鍵是找到合適的解題突破口．在確定各數位上的數字時，首先要對填寫的數字進行估算，這樣可以縮小取值範圍，然後再逐一檢驗，去掉不符合題意的取值，直到取得正確的解答．
知識點撥
1.數字謎定義:一般是指那些含有未知數字或未知運算符號的算式．
2.數字謎突破口：這種不完整的算式，就像“謎”一樣，要解開這樣的謎，就
得根據有關的運算法則，數的性質（和差積商的位數，數的整除性，奇偶性，尾數規律等）來進行正確的推理，判斷．
3.解數字謎：一般是從某個數的首位或末位數字上尋找突破口．推理時應注意：
⑴數字謎中的文字，字母或其他符號，只取0~9中的某個數字；
⑵要認真分析算式中所包含的數量關係，找出盡可能多的隱蔽條件；
⑶必要時應採用枚舉和篩選相結合的方法（試驗法），逐步淘汰掉那些不符合題意的數字；
⑷數字謎解出之後，最好驗算一遍．
模組一、與數論結合的數字謎
（1）、特殊數字
【例 1】 如圖，不同的漢字代表不同的數字，其中“變”為1，3，5，7，9，11，
13這七個數的平均數，那麼“學習改變命運”代表的多位數
是 ．
1999998
⨯学习改变命运
变
【考點】與數論結合的數字謎之特殊數字 【難度】2星 【題型】填空
【關鍵字】學而思杯，4年級，第9題
【解析】 “變”就是7，19999987285714÷=
【答案】285714
【例 2】 右邊是一個六位乘以一個一位數的算式，不同的漢字表示不同的數，相同
的漢字表示相同的數，其中的六位數是______ 。

杯
小9望99999×赛赛希学
【考點】與數論結合的數字謎之特殊數字 【難度】3星 【題型】填空
【關鍵字】希望杯，4年級，初賽，20題
【解析】 賽×賽的個位是9，賽=3或7，賽=3，小學希望杯賽=333333，不合題意，
舍去；故賽=7，小學希望杯賽=999999÷7=142857
【答案】142857
【例 3】 右面算式中相同的字母代表相同的數字，不同的字母代表不同的數字，問
A 和E 各代表什麼數字？
E A
E D E E E E E ×
3C B
【考點】與數論結合的數字謎之特殊數字 【難度】3星 【題型】填空
例題精講
【解析】 由於被乘數的最高位數字與乘數相同，且乘積為EEEEEE ,是重複數字根據重
複數字的特點拆分， 將其分解質因數後為：=37111337EEEEEE E ⨯⨯⨯⨯⨯，所以3A =或者是7A =
①若A ＝3，因為3×3＝9，則E ＝1，而個位上1×3＝3≠1，因此，A
≠3。

⑤若A ＝7，因為7×7＝49，49＋6＝55，則E ＝5.個位上，5×7＝35，
寫5進3.十位上，因為6×7+3＝45，所以D ＝6.百位上，因為3×7＋
4＝25，所以C ＝3.千位上，因為9×7＋2＝65，所以B ＝9.萬位上，因
為7×7＋6＝55，所以得到該題的一個解。

55555×7
5
6397
所以，A ＝7，E ＝5。

【答案】A ＝7，E ＝5
【例 4】 下頁算式中不同的漢字表示不同的數字，相同的漢字表示相同的數字，則
符合題意的數“華羅庚學校贊”是什麼？
学赞学庚赞校华罗庚×
好校罗华
【考點】與數論結合的數字謎之特殊數字 【難度】3星 【題型】填空
【解析】 本題是=⨯赞华罗庚学校好华罗庚学校赞，數幾個數字的輪換應用和7的秘密數字
特點相同，所以本題的好的結果在：2≤好≤6，經過試驗得到答案是
51
5817428×
3724121724857×3458
則“華羅庚學校贊”=428571或857142。

【答案】“華羅庚學校贊”=428571或857142
【例 5】 如圖相同字母表示相同的數字，不同字母表示不同的數字。

兩位數
_____EF =
＋E E C D
A B
F ×F F C D A B
【考點】與數論結合的數字謎之特殊數字 【難度】3星 【題型】填空
【關鍵字】走美杯，3年級，初賽
【解析】 111337FFF F F =⨯=⨯⨯,因此AB 、CD 中必有一個是37的倍數，只能是37或74。

經試驗，只有371855+=，3718666⨯=滿足要求。

56EF = 【答案】56EF =
【例 6】 “迎杯×春杯=好好好”在上面的乘法算式中,不同的漢字表示不同的數字,
相同的漢字表示相同的數字。

那麼“迎+春+杯+好”之和等於多少?
【考點】與數論結合的數字謎之特殊數字 【難度】3星 【題型】填空
【解析】 好好好=好×111=好×3×37，100以內37的倍數只有37和74，所以“迎
杯”或“春杯”中必有1個是37或74，判斷出“杯”是7或4。

若 杯
=7，則好=9，999/37=27，所以，迎+春+杯+好=3+2+7+9=21 若 杯
=4，則好=6，666/74=9，不是兩位數，不符合題意 。

迎+春+杯+好
=3+2+7+9=21。

【答案】迎+春+杯+好=3+2+7+9=21
【例 7】 在下面的算式中，每一個漢字代表一個數字，不同的漢字表示不同的數字，
當“開放的中國盼奧運”代表什麼數時，算式成立？盼盼盼盼盼盼盼盼盼
÷□=開放的中國盼奧運
【考點】與數論結合的數字謎之特殊數字 【難度】3星 【題型】填空
【解析】 這是一道除法算式題.因為盼盼盼盼盼盼盼盼盼是“□”的倍數，且又為
9
的倍數，所以“□”可能為3或9.
①若“□”=3，則盼盼盼盼盼盼盼盼盼÷3的商出現迴圈，且週期為3，這樣就出現重複數字，
因此“□”≠3。

②若“□”=9，因為盼盼盼盼盼盼盼盼盼÷9=盼×（111111111÷9）=盼×12345679
若“盼”=1，則“開放的中國盼奧運”=12345679×1=12345679，“盼”=6，前後矛盾，所以“盼”≠1。

若“盼”=2，則“開放的中國盼奧運”=12345679×2=24691358，“盼”=3，矛盾，所以“盼”≠2。

若“盼”=3，則“開放的中國盼奧運”=12345679×3=37037037，“盼”=0，矛盾，所以“盼”≠3。

若“盼”=4，則“開放的中國盼奧運”=12345679×4=49382716，“盼”=7，矛盾，所以“盼”≠4。

若“盼”=5，則“開放的中國盼奧運”=12345679×5=61728395，“盼”＝3，矛盾，所以“盼”≠5。

若“盼”=6，則“開放的中國盼奧運”=12345679×6=74074074，則“盼”＝0，矛盾，所以“盼”≠6。

若“盼”=7，則“開放的中國盼奧運”=12345679×7=86419753，“盼”=7，
得到一個解：777777777÷9=86419753
若“盼”＝8，則“開放的中國盼奧運”=12345679×8＝98765432，“盼”=4，矛盾，所以“盼”≠8。

若“盼”＝9 ，則“開放的中國盼奧運”＝12345679×9=111111111，“盼”=1，矛盾，所以“盼”≠9。

解：777777777÷9＝86419753
則“開放的中國盼奧運”＝86419753。

【答案】“開放的中國盼奧運”＝86419753
（2）整除性質
【例 8】 如圖是一個等式：等式中的漢字代表數字，不同的漢字代表不同的數字，
每個漢字是1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一個，問：“學而思五年
級”所代表的六位整數是什麼？學而思杯×5=五年級試題×4
【考點】與數論結合的數字謎之整除性質 【難度】3星 【題型】填空
【關鍵字】學而思杯，5年級，第8題
【解析】 因為5和4互質，所以“五年級試題”一定可以被5整除，所以“題”應
該是5或者0，但是數字只能是1~9，所以“題”表示的數字是5，因為
“學而思杯”最大是9876，所以“五年級試題”最大是12345，但是可以
發現“五年級試題”用1~9組成的最小數就是12345，所以“五年級試題”只能是12345，“學而思五年級”所代表的五位整數是987123。

【答案】987123
【例 9】 右邊算式中，A 表示同一個數字，在各個中填入適當的數字，使算式完
整．那麼兩個乘數的差(大數減小數)是
1
1A
A A ⨯
【考點】與數論結合的數字謎之整除性質 【難度】3星 【題型】填空
【解析】 由11AA 能被11整除及只有11⨯，37⨯，99⨯的個位是1，所以A 可能為1，3，7
或9，而且11AA 可分解成11與1個一位數和一個兩位數的乘積．分別檢驗
1111、1331、1771、1991，只有1771滿足：177111723=⨯⨯，可知原式是
-=。

⨯=．所以兩個乘數的差是772354
77231771
【答案】772354
-=
【例 10】下麵的算式中，同一個漢字代表同一個數字，不同的漢字代表不同的數字，團團×圓圓=大熊貓則“大熊貓”代表的三位數是______.
【考點】與數論結合的數字謎之整除性質【難度】2星【題型】填空
【關鍵字】華杯賽，初賽，10分
【解析】由於團團=團×11，圓圓=圓×11，所以大熊貓=團團×圓圓=團×圓×121，也就是說“大熊貓”這個三位數是121的倍數，那麼“團×圓”應
當小於9（否則9×121=1089為四位數），所以“團×圓”最大為8.
由於“團×圓”為一位數，“團×圓”再與121相乘即得到“大熊貓”，
所以“大熊貓”的個位數字“貓”就等於“團×圓”，而百位數字與個位
數字不相同，所以十位必須要向百位進位，即“團×圓”與2相乘至少為
10，所以“團×圓”至少為5.另外“團×圓”不能為質數，否則“團”、
“圓”中有一個為1，而“貓”等於“團×圓”，則“貓”與“團”、“圓”
中的另一個相等，不合題意。

“團×圓”至少為5，最大為8，又不能是質
數，且“團”、“圓”都不為1，那麼“團×圓”可能為6或8.如果為6，則“團”、“圓”分別為2和3，“大熊貓”為6×121=726，“熊”與
“團”、“圓”中的一個數相同，不合題意；如果為8，則“團”、“圓”
分別為2和4，“大熊貓”為8×121=968，滿足題意。

所以“大熊貓”
代表的三位數為968.
【答案】968
【例 11】在如圖所示的乘法算式中，漢字代表1至9這9個數字，不同漢字代表不同的數字．若“祝”字和“賀”字分別代表數字“4”和“8”，求出“華
杯賽”所代表的整數．
祝贺华杯赛第十四届
⨯=
【考點】與數論結合的數字謎之整除性質【難度】3星【題型】填空
【解析】根據題意可知“祝”、“賀”、“華”、“杯”、“賽”、“第”、“十”、“四”、“屆”
這9個漢字恰好代表1～9這9個數字，那麼它們的和為45．由於“祝”、“賀”分別代表4和8，那麼“祝賀”48=是3的倍數，則“第十四屆”也是3的倍數，這樣它的各位數字之和之和也是3的倍數，可知“祝”、“賀”與“第”、“十”、“四”、“屆”這6個數的和也是3的倍數，那麼“華”、“杯”、“賽”這3個數和也是3的倍數，從而“華杯賽”這個三位數是3的倍數．由於“第十四屆”等於48與“華杯賽”這兩個3的倍數的乘積，所以它是9的倍數．從而“第”、“十”、“四”、“屆”這4個數的和是9的倍數．由於“華”、“杯”、“賽”、“第”、“十”、“四”、“屆”的總和為454833--=，所以“第”、“十”、“四”、“屆”這4個數的和可能為27或18(它們的和顯然大於9)，對應的“華”、“杯”、“賽”這3個數和是6或15．⑴如果“華”、“杯”、“賽”這3個數和是6，則“華”、“杯”、“賽”分別為1、2、3，如果“華”為2，則“華杯賽”至少為213，則4821310224⨯=，不是四位數，所以“華”只能為1，這樣“華杯賽”可能為123和132，分別有481235904⨯=，
481326336⨯=，都不符合；⑵如果“華”、“杯”、“賽”這3個數和是15，根
據上面的分析可知“華”只能為1，這樣“杯”、“賽”之和為14，可能為95+或86+，由於“賀”為8，所以“杯”、“賽”分別為5和9，顯然“賽”不能為5，則“華杯賽”為159。

【答案】159
【例 12】 一個六位數abcdef ，如果滿足4abcdef fabcde ⨯=，則稱abcdef 為“迎春數”(如
4102564410256⨯=，則102564就是“迎春數”).請你求出所有“迎春數”的總和.
【考點】與數論結合的數字謎之整除性質 【難度】4星 【題型】填空
【解析】 方法一：顯然，f 不小於4，原等式變形為4(10)100000abcde f f
abcde ⨯⨯+=+
化簡得2564abcde f =，當4f =時，10256abcde =，於是abcdef 為102564．同理．5f =，6，7，8，9，可以得到abcdef 為128205，153846，179487，205128，230769.
所有的和是999999．
方法二：顯然，f 不小於4，若4f
=，e 為4f ⨯末尾數字，所以6e =； de 為4ef ⨯的末2位，所以5d =；
cde 為4def ⨯的末3位，所以2c =；
bcde 為4cdef
⨯的末4位，所以0b =； abcdef 為4bcdef ⨯的末5位，所以1a =； 於是abcdef 為102564．
同理．5f
=，6，7，8，9，可以得到abcdef 為128205，153846，179487，205128，
230769. 所有的和是999999．
【答案】999999
（3）、質數與合數
【例 13】 每個方框內填入一個數字，要求所填數字都是質數，並使豎式成立？
x
7
【考點】與數論結合的數字謎之質數與合數 【難度】4星 【題型】填空
【解析】 一位質數只有2、3、5、7，且兩位數乘以三位數都需要進位，相乘個位為
質數的只有3-5和5-7，逐步遞推，答案775⨯33．
【答案】775⨯33
模組二、電子數字問題
【例 14】 電子數字0~9如圖所示，右圖是由電子數字組成的乘法算式，但有一些模
糊不清，請將右圖的電子數字恢復，並將它寫成橫式形式：
【考點】電子數字問題【難度】5星【題型】填空
【關鍵字】迎春杯，四年級，初賽，第3題
【解析】⑴可以看出乘積的百位可能是2或8，由於被乘數的十位和乘數都不能是9，最大可能為8，所以它們的乘積不超過898712
⨯=，故乘積的首位不能為8，只能為2；⑵被乘數的十位和乘數要與圖中相符，只能是0、2、6或8，0首先可以排除，所以可能為2、6或8；⑶如果被乘數的十位是6或8，那麼乘數無論是2、6或8，都不可能乘出百位是2的三位數．所以被乘數的十位是
2，相應得出乘數是8；⑷被乘數應大於200825
÷=，可能為27、28或29，檢驗得到符合條件的答案：288224
⨯=
【答案】288224
⨯=
【例 15】電子數字0～9如圖1所示，圖2是由電子數字組成的乘法算式，但有一些已經模糊不清．請將圖2的電子數字恢復，並將它寫成橫式：：
【考點】電子數字問題【難度】6星【題型】填空
【解析】設豎式如
a b c
d e
f i g
h j k
l m n o
⨯
，那麼各個字母可以代表的數如下表
....
.....
⑴6410f j +≥+=⇒1l h =+⇒2h =或者8h =；⑵若8h =，那麼9l =，並且a d ⨯一定
是18⨯、16⨯或42⨯，如果是18⨯，那麼由於2b ≥，所以b d ⨯進位，導致8h ≠，產生矛盾；如果是16⨯，那麼2b =時hjk 百位小於8，6b ≥時hjk 百位大於8，也產生矛盾；所以只有可能4a =，2d =，並可以得到2b =，考慮到fig 是三位
數，所以2e =，再根據0g =或8，得到0c =，所得到的數式為4202
2
84
0840924
⨯．⑶若2h =，則可以得到3l =，1a =，2d =，2b =(因為10b d ⨯<)；⑷由於6f =或8，
所以5e =或者7e =．當5e =時，豎式1222
561
0244305
0⨯成立；當7e =時，豎式
12
0278402
403
24
⨯成立。

【答案】12225=3050⨯或12027=3240⨯。