四川省泸州市泸县第二中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学(文)试题

四川省泸州市泸县第二中学2020-2021学年高一下学期第一
次月考数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知{}2,4,5,{|3}A B x x ==≥，则A B =（ ）
A ．{5}
B ．{4,5}
C ．{3,4,5}
D ．{2,3,4,5}
2．cos72cos12sin72sin12+=
A ．12
-
B ．
12
C ．
D ．
2
3．已知数列{}n a 是等差数列，且3710a a +=，则5a =（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．已知扇形的弧长是2，面积是4，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．
12
B ．
32
C ．
52
D ．4
5．已知ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若60a b A ︒===，
则B =（ ） A ．45︒
B ．60︒
C ．45︒或135︒
D ．135︒
6．在正方形中，点E 为CD 边的中点，则
A ．1
2
AE AB AD =+ B ．1
2
AE AB AD =- C ．1
2AE AB AD =
+ D ．1
2
AE AB AD =-
+ 7．在ABC ∆中，若cos b c A =，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
8．为了得到函数()sin 34f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像，需对函数()sin g x x =的图像所作的变换可以为（ ）
A ．先将图像上所有的横坐标压缩为原来的
13
倍，纵坐标不变，再向左平移12π
个单位
B ．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移
12
π
个单位
C ．先将图像上所有的横坐标压缩为原来的
1
3倍，纵坐标不变，再向左平移4
π个单位 D ．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移
4
π
个单位 9．已知α
为锐角，且cos 2πα⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭，则2sin 3cos sin cos αααα+=-（ ） A ．8-
B ．7
C ．8±
D ．7±
10．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则
A ．2
33231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
B ．2332
31log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
C ．2
3332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
D ．233
23122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11．已知函数3,0
()23,032,3x x f x x x x x -+≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩
，若数列{}n a 满足()114,()n n a a f a n N *
+==∈，
则2021a =（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．1-
12．已知定义在R 上的函数()f x 满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫
+=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且当4x ππ≤≤时，
()sin f x x =，则当函数()()g x f x a =-在,2ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
有零点时，关于其零点之和有以
下阐述：①零点之和为
4π；②零点之和为2π
；③零点之和为34
π；④零点之和为π.其
中结果有可能成立的是（ ） A ．①② B ．②③
C ．③④
D ．②③④
二、填空题
13．已知数列31n a n =-且前n 项和为n S ，则9S =___________.
14．已知函数1()1x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则tan θ的值为___________. 15．已知1cos 7α=
，13cos()14
αβ-=，若02πβα<<<，则β=________． 16．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70，在
B 处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么,B
C 两点间的距离是____海里.
三、解答题
17．已知向量(3,1),(1,2),(1,1)a b c =-=-=. （1）求向量a 与b 的夹角的大小； （2）若()
c a kb ⊥+，求实数k 的值.
18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且535S =，3520a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求正整数m ，使得12345123m m m m m m a a a a a a ++++++++++=.
19．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知A 为B 、C 的等差中项，且
37
c a =
. （1）求sin C 的值；
（2）若7a =，求ABC 的面积.
20．已知(2sin )=m x x ，(sin ,2cos )=n x x ，函数()f x m n =⋅. （1）将()f x 的解析式化为()sin y A x b ωφ=++的形式； （2）若()f x 在区间,3a π⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为3，求a 的取值范围. 21．用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度(血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度)随时间变化的函数符合()()0
112kt m c t kV
-=
-，其函数图像如图所示，其中V 为中心室体积(一般成年人的中心室体积近似为600)，0m 为药物进入人体时的速率，k 是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值.此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合()22
kt
c t c -=⋅，其中c 为停药时的人体血药浓度.
（1）求出函数()1c t 的解析式；
（2）一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？(保留小数点后一位，参考数据lg2≈0.3，lg3≈0.48)
22．已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，1
()4212
x x m g x m +=+-
+. （1）判断函数()f x 的奇偶性；
（2）若存在两不相等的实数,a b ，使()()0f a f b +=，且()()0g a g b +≥，求实数m 的取值范围.
参考答案
1．B 【分析】
根据交集的定义，求出集合,A B 的交集即可. 【详解】
∵{}2,4,5,{|3}A B x x ==≥，∴A B ={4,5}.
故选：B. 2．B 【详解】
()
1cos72cos12sin72sin12cos 7212cos602
+=-=︒=
. 故选：B. 3．D 【分析】
利用等差中项求解. 【详解】
因为数列{}n a 是等差数列，且3710a a +=， 所以37
552
a a a +==， 故选：D 4．A 【分析】
扇形的弧长是2，面积是4，求出半径，由弧长公式，即可求解. 【详解】
设扇形的半径为r ，圆心角为α， 依题意1
42,42
S r r ==
⋅⋅∴=， 2142
α=
=. 故选:A. 【点睛】
本题考查扇形的弧长、面积公式，属于基础题.
5．A 【分析】
由正弦定理
sin sin a b A B =，可得sin sin b A B a ︒
==，进而可求出B . 【详解】
由题意，根据正弦定理可得，
sin sin a b
A B
=，
则
sin sin
2b A B a ︒
=
===，
因为()
0,180B ︒
︒
∈，所以45B ︒=或135︒. 又因为b a <，所以B A <， 所以B 为锐角，且45B ︒=. 故选：A. 6．C 【分析】
利用向量加法、数乘运算直接求解． 【详解】
因为点E 为CD 边的中点， 所以1
2
AE AD DE AD AB =+=+ 故选C. 【点睛】
本题主要考查了向量的加法运算及数乘运算，属于基础题． 7．A 【分析】
已知等式利用正弦定理化简，把sin sin()B A C =+代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到sin 0A =或cos 0C =，经检验sin A 不为0，即cos 0C =，确定出C 为直角，即可做出判断. 【详解】
将cos b c A =，利用正弦定理化简得：sin sin cos B C A =， 把sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=代入得：
sin cos cos sin sin cos A C A C C A +=，
整理得：sin cos 0A C =，即sin 0A =或cos 0C =，
A ，C 为三角形内角，
sin 0A ∴≠，
cos 0C ∴=，即2
C π
=
，
则ABC ∆为直角三角形， 故选：A. 【点睛】
此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 8．A 【分析】
根据三角函数图像变换规律作出判断． 【详解】
函数()sin g x x =的图象上所有点的横坐标压缩为原来的13
，纵坐标不变，再向左平移12π
个
单位得sin 3sin 3124y x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫=+
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，则A 正确； 函数()sin g x x =的图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移12
π
个
单位得11
sin sin 312336y x x ππ⎛⎫
⎛⎫=-
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则B 错； 函数()sin g x x =的图像上所有的横坐标压缩为原来的
1
3倍，纵坐标不变，再向左平移4
π个单位得3sin 3sin 344y x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫
=+
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
，则C 错； 函数()sin g x x =的图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移
4
π个单位得11
sin sin 34312y x x ππ⎛⎫
⎛⎫=-
=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，则D 错
故选：A 9．B 【分析】
利用诱导公式求得sin α，再根据同角三角关系得cos α，然后代入所求式子计算即可． 【详解】
由cos 25πα⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
得sin 5α=，又因为α
为锐角得cos 5
α==
则
232sin 3cos 7sin cos αααα
++=
=- 故选：B 10．C 【分析】
由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，转化为同一个单调区间上，再
比较大小． 【详解】
()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛
⎫∴= ⎪⎝⎭．
22330
3
3
2
2
333log 4log 31,122
2,log 42
2--
-
-
>==>>∴>>，
又()f x 在(0，+∞)单调递减，
∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛
⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
2
3323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故选C ．
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 11．C 【分析】
根据题意，分别求得123456,,,,,,a a a a a a ，得出数列{}n a 的周期为4，根据数列的周期性，
得到2021505411a a a ⨯+==，即可求解. 【详解】
由题意，函数3,0
()23,032,3x x f x x x x x -+≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩
，且数列{}n a 满足()114,()n n a a f a n N *
+==∈，
所以()21(4)422a f a f ===-=，()32(2)2231a f a f ===⨯-=，
()43(1)2131a f a f ===⨯-=-，()54(1)(1)34a f a f ==-=--+=， ()65(4)422a f a f ===-=，
，
所以数列{}n a 的周期为4，所以20215054114a a a ⨯+===. 故选：C. 12．D 【分析】
由题意可知，函数()f x 关于4
x π
=
对称，作出函数图像，将()()g x f x a =-在,2ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
有零点，转化为函数()y f x =与函数y a =有交点，结合图像，利用函数零点个数分类讨论即可. 【详解】
由题意，函数满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫
+=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以函数()f x 关于4x π=对称，
又因为当
4
x π
π≤≤时，()sin f x x =，所以作出函数的图像如图所示，()()g x f x a =-在
,2ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
有零点， 即函数()y f x =与函数y a =
有交点，结合图像可知，当02
a ≤<
或1a =时，有两个零点，零点之和为
2
π；
当a =
时，有三个零点，零点之和为34π；1a <<时，
有四个零点，零点和为π， 所以可能成立的有②③④. 故选：D
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且
()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零
点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 13．126 【分析】
依题意得{}n a 是等差数列，根据求和公式即可求解． 【详解】
由31n a n =-得()1311313n n a a n n +-=+--+=， 所以{}n a 是等差数列，首项为12a =，公差为3 所以()()
1999922612622
a a S +⨯+=
==
故答案为：126
14．2
【分析】
根据01a =，可求出定点()1,2A ，进而根据三角函数的定义，可求出tan θ.
【详解】
由题意，当1x =时，0
(1)12f a =+=，即定点()1,2A ， 因为点()1,2A 在角θ的终边上，所以2tan 21
θ=
=. 故答案为：2.
15． 【详解】
因为1cos ,072παα=<<,所以sin α=,又因为02παβ<-<,所以
sin()αβ-=
,所以sin β=sin[()]ααβ--=sin cos()cos sin()ααβααβ---
=131714714⨯-⨯=2
,又因为02πβ<<,所以β=3π.
16．【详解】
由已知，图中000000704030,4065105,200.510BAC ABC AB ∠=-=∠=+==⨯=(海
里)，所以， 045,C ∠=，由正弦定理得，
0000,sin 30sin 30sin 45sin 45
BC AB AB BC ==⨯=， 即、两点间的距离是52海里.
所以答案应填：
考点：正弦定理的应用.
17．（1）34
π；（2）2- 【分析】
（1）由cos a b
a b θ⋅=，计算可求出答案；
（2）先求出a kb +，再根据()c a kb ⊥+，可得()0c a kb ⋅+=，进而可列出方程，即可求出k 的值.
【详解】
（1）由题意，c 2os 9a b
a b θ⋅===-+. 因为[0,π]θ∈，故3π4
θ=. （2）(3,12)a kb k k +=-+-，
因为()c a kb ⊥+，所以()0c a kb ⋅+=，
即3120k k -++-=，解得2k =-.
18．（1）32n a n =-；（2）5m =.
【分析】
（1）将1,a d 代入5S 和35a a +，解出1,a d 即可求出通项公式；（2）利用m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+的性质，将所求转化为53()m m a a ++，代入1,a d ，解出m 即可.
【详解】
（1）解：设等差数列{}n a 的的公差为d ，则有115453522620
a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得11,3==a d 故32n a n =-
（2）1234553()3(32313)123m m m m m m m m a a a a a a a a m m +++++++++++=+=-++= 解得5m =
19．（1
）14
；（2
）【分析】
（1）由A 为B 、C 的等差中项，
可得2B C A +=，从而3πA B C A ++==，即可求出A ，再根据37c a =，可得3sin sin 7
C A =，计算即可； （2）由7a =，37
c a =，可求出c 的值，根据sin C 的值，可求出cos C 的值，进而根据sin sin()sin cos sin cos =+=+B A C A C C A ，可求出sin B ，结合1sin 2
S ac B =，可求出答案.
【详解】
（1）因为A 为B 、C 的等差中项，故2B C A +=，
所以3πA B C A ++==， 解得π3
A =. 又因为37c a =
，故33πsin sin sin 773C A ===. （2）7a =，从而337377
c a ==⨯=. 因为c a <，故π3C A <=
，
又sin 14
C =
，所以13cos 14C ==.
则131sin sin()sin cos sin cos 142B A C A C C A =+=+=+=
故11sin 7322S ac B ==⨯⨯=. 20．（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=-
+ ⎪⎝⎭；（2）[,)3π
+∞. 【分析】 （1）代入向量数量积公式表示出函数()f x ，然后利用降幂公式和辅助角公式合一化简即可；（2）根据()f x 在区间,3a π⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，可判断sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭成立，从而列不等式262a ππ-
≥求解.
【详解】
（1）由题意，
2()2sin cos 2cos 212sin 216f x x x x x x x π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝
⎭. （2）因为()f x 在区间,3a π⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，所以sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间,3a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上成立，故262a π
π
-≥，从而3a π
≥
21．（1）()411612t c t -⎛⎫=- ⎪⎝⎭
()0t ≥；（2）所以从开始注射后，最迟隔16小时停止注射；所以为保证治疗效果，最多再隔多7.7小时后开始进行第二次注射.
【分析】
（1）根据图象可知，两个点()4,8，()8,12在函数图象上，代入后求解参数，求()1c t ；（2）由（1）求()115c t ≤中t 的范围；求得()2c t 后，再求()24c t ≥中t 的范围.
【详解】
（1）由条件可知，600V =，由图象可知点()4,8，()8,12在函数图象上，
则()()
40801286001212600k k m k m k --⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，两式相除得()44284122122123312k k k k ------=⇔=--， 解得：14
k =，02400m =， 所以函数()411612t c t -⎛⎫=- ⎪⎝⎭
()0t ≥ ； （2）44151612151216t t --⎛⎫-≤⇒-≤ ⎪⎝⎭，得4412216t --≥=， 解得：016t ≤≤，
所以从开始注射后，最迟隔16小时停止注射； 14
k = ()1422t c t c -∴=⋅，由题意可知 15c =， ()42152t
c t -∴=⋅，当41524t -⋅≥，得44215
t -≥， 即224lg15log 2log 15241544lg 2
t t t -≥⇒-≥-⇒-≥- 得lg 3lg 5lg 3lg 21224lg 24lg 2
t t +-+-≥-⇒-≥-， 解得：07.7t ≤≤，
所以为保证治疗效果，最多再隔多7.7小时后开始进行第二次注射.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是能够读懂题意，并根据题意，通过代点的方法求两个函数的解析式，第二个关键就是计算，本题的计算要求比较高，注意指对运算技巧.
22．（1）()f x 为奇函数；（2）2516
m >-
【分析】
（1）先求出函数()f x 的定义域，进而根据奇偶函数的定义，判断即可；
（2）易知()f x 是定义域内的减函数，由()()0f a f b +=，可知0a b +=且()()1,00,1a ∈-，
进而可将原问题转化为不等式()()0g x g x +-≥在()()1,00,1-⋃有解，
求m 取值范围，由()()0442(22)20x x x x g x g x m m --+-≥⇔++++⋅-≥，令
22x x t -=+，可得2
20t mt m +-≥在52,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，进而分离参数得2
21t m t -≤-在52,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解，求出221
t t -的取值范围，进而可得到m 的取值范围. 【详解】
（1）∵()ln(1)ln(1)f x x x =--+，
∴1010x x ->⎧⎨+>⎩
，解得11x -<<， ∴()f x 的定义域为(1,1)-，其定义域关于原点对称，
又()ln(1)ln(1)f x x x -=+--，
∴()()0f x f x ，
故()f x 为定义域内的奇函数.
（2）∵函数()()ln 1,ln 1y x y x =-+=-都是(1,1)-上的减函数，
∴()f x 是定义域内的减函数，
∵()()()0f a f b a b +=≠，且()f x 为定义在(1,1)-的奇函数，
∴0a b +=且()()1,00,1a ∈-，
∴原问题等价于不等式()()0g x g x +-≥在()()1,00,1-⋃有解，求m 取值范围. 而()()044
2(22)20x x x x g x g x m m --+-≥⇔++++⋅-≥， 令22x x t -=+，()
()1,00,1x ∈-，则2442x x t -=++， 令2x k =，可知()1,11,22k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1t k k =+
， 构造函数()1h k k k =+，()1,11,22k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， 根据对数函数的单调性，可知()h k 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在1,2上单调递增，
由()()1512,222h h h ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，可得()52,2h k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以52,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以220t mt m +-≥在52,2t ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭上有解， 注意到当52,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，210t ->，因此2
21
t m t -≤-在52,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解. 取21s t =-，则()3,4s ∈，12
s t +=，从而2112214t s t s ⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭. 因此1124m s s ⎛⎫-≤++ ⎪⎝⎭
在()3,4s ∈上有解. 根据对勾函数的性质，可知函数12y x x
=++在()3,4上单调递增， 所以11112524416
424s s ⎛⎫⎛⎫++<++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2516m -<，即2516
m >-. 【点睛】 方法点睛：已知不等式恒成立求参数值（取值范围）问题常见的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数的单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。