高中数学《导数的四则运算法则》导学案 北师大版选修1-1

第4课时导数的四则运算法则
1.记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则.
2.能通过运算法则求出导数并解决相应问题.
3.经历由定义到具体求解的研究数学问题的过程,体会探究的乐趣,激发学习热情.
你能利用导数的定义推导f(x)·g(x)的导数吗?若能,请写出推导过程.
问题1:基本初等函数的导数公式表:
①若f(x)=c,则f'(x)= ;
②若f(x)=xα(α∈Q),则f'(x)= ;
③若f(x)=sin x,则f'(x)= ;
④若f(x)=cos x,则f'(x)= ;
⑤若f(x)=a x,则f'(x)= (a>0);
⑥若f(x)=e x,则f'(x)= ;
⑦若f(x)=log a x,则f'(x)= (a>0,且a≠1);
⑧若f(x)=ln x,则f'(x)= .
问题2:导数运算法则
①[f(x)±g(x)]'= ;
②[f(x)·g(x)]'= ;
③[]'= (g(x)≠0) .
④从导数运算法则②可以得出
[cf(x)]'=c'f(x)+c[f(x)]'= ,
也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数乘以函数的导数,即[cf(x)]'= . 问题3:运用导数的求导法则,可求出多项式f(x)=a0+a1x+…+a r x r+…+a n x n的导数.
f'(x)= .
问题4:导数法则[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)的拓展有哪些?
(1)可以推广到有限个函数的和(或差)的情形:
若y=f1(x)±f2(x)±…±f n(x),
则y'= .
(2)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x)(a,b为常数).
(3)[f(x)±c]'=f'(x).
1.函数y=lg x的导数为( ).
A.B.ln 10C.D.
2.曲线y=x3在x=α处的导数为12,则α等于( ).
A.±4
B.±2
C.2
D.4
3.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于.
4.求下列函数的导数.
(1)y=sin(x+);
(2)y=lo x2-lo x.
求函数的导数
求下列函数的导数:
(1)f(x)=a2+2ax-x2; (2)f(x)=.
求曲线的切线方程
已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程;
(2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.
导数公式的综合应用
已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A,B两点,O为坐标原点,试在直线AB左侧的抛物线上求一点P,使△ABP的面积最大.
求下列函数的导数:
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);
(2)y=1+sin cos ;
(3)y=-2x.
(1)求曲线y=x cos x在x=处的切线方程;
(2)求曲线y=在点(1,1)处的切线方程.
点P是曲线y=e x上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.
1.曲线y=e x在点A(0,1)处的切线斜率为( ).
A.1
B.2
C.e
D.
2.曲线y=sin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是( ).
A.[0,]∪[,π)
B.[0,π)
C.[,]
D.[0,]∪[,]
3.设函数f(x)=log a x,f'(1)=-1,则a= .
4.已知直线y=kx是y=ln x的一条切线,求k的值.
(2012年·新课标卷)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.
考题变式(我来改编):
第4课时导数的四则运算法则知识体系梳理
问题1:①0②αxα-1③cos x ④-sin x ⑤a x ln a ⑥e x⑦⑧
问题2:①f'(x)±g'(x)②f'(x)g(x)+f(x)g'(x)③④cf'(x)
cf'(x)
问题3:a1+2a2x1+…+ra r x r-1+…+na n x n-1
问题4:(1)f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x)
基础学习交流
1.C∵(log a x)'=,∴(lg x)'=.
2.B y'=3x2,∵y'|x=α=12,∴3α2=12,解得α=±2,选B.
3.4∵y=(x+1)2(x-1)
=(x2-1)(x+1)=x3+x2-x-1,
∴y'=(x3)'+(x2)'-(x)'-(1)'=3x2+2x-1,
∴y'|x=1=4.
4.解:(1)∵y=sin(x+)=cos x,
∴y'=(cos x)'=-sin x.
(2)∵y=lo x2-lo x
=2lo x-lo x=lo x (x>0),
∴y'=(lo x)'==-.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)f'(x)=(a2+2ax-x2)'=2a+2x.
(2)f'(x)=()'===x sin x+x2cos x.
[问题]求函数的导数是对谁求导?导数的运算法则正确吗?
[结论](1)求导是对自变量的求导,要分清表达式中的自变量.本题的自变量是x,a是常量.(2)不正确,商的求导法则是:分母的平方作分母,分子是差的形式,等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.
于是,正确解答为:
(1)f'(x)=(a2+2ax-x2)'=-2x+2a.
(2)f'(x)=()'=
=.
【小结】1.利用导数公式求函数的导数时,一定要将函数化为八个基本函数中的某一个,再套用公式求导数.
2.求函数的导数时应注意以下几点:
(1)要遵循先化简函数解析式,再求导的原则.
(2)化简时注意化简的等价性,避免不必要的运算失误.
(3)求导时,既要重视求导法则,更要注意求导法则对导数的制约作用.
探究二:【解析】(1)∵y'=2x+1,∴y'|x=1=3.
∴直线l1的方程为y=3(x-1)=3x-3.
设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点P(x0,+x0-2),
则直线l2的方程为y-(+x0-2)=(2x0+1)(x-x0).
∵l1⊥l2,∴3(2x0+1)=-1,x0=-.
∴直线l2的方程为y=-x-.
(2)解方程组得
又直线l1,l2与x轴的交点分别为(1,0),(-,0).
∴所求三角形面积为S=×|-|×(1+)=.
【小结】解决曲线的切线问题要灵活利用切点的性质:①切点在切线上;②切点在曲线上;③切点处的导数为此点处的切线的斜率.
探究三:【解析】∵|AB|为定值,
∴三角形面积最大,只需P到AB的距离最大,
∴点P是与AB平行且与抛物线相切的切线的切点.
设点P(x0,y0),由题意知点P在x轴上方的图像上,
即P在y=上,∴y'=.
又∵k AB=,∴=,得x0=1.
由y0=,得y0=1,∴P(1,1).
【小结】利用基本初等函数的求导公式结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题,解题的关键是正确确定所求切线的位置,进而求出切点坐标.另外也可利用函数的方法求切点的坐标,运用配方法求出最值.
思维拓展应用
应用一:(1)(法一)y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'
=[(x+1)(x+2)]'(x+3)+[(x+1)(x+2)](x+3)'
=[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3) (x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.
(法二)y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
y'=3x2+12x+11.
(2)y=1+sin x,
y'=cos x.
(3)y'=()'-(2x)'
=-2x ln 2
=-2x ln 2
=-2x ln 2.
应用二:(1)y'=x'cos x+x·(cos x)'=cos x-x sin x,
y'=-,切点为(,0),
∴切线方程为y-0=-(x-),
即2πx+4y-π2=0.
(2)y'==,
y'|x=1==0,即曲线在点(1,1)处的切线的斜率k=0.
因此曲线y=在(1,1)处的切线方程为y=1.
应用三:根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=e x相切于点P0(x0,y0),该切点即为与y=x距离最近的点,如图.
则在点P 0(x0,y0)处的切线斜率为1,即y'=1.
∵y'=(e x)'=e x,
∴=1,得x0=0,代入y=e x,得y0=1,即P0(0,1).
∴d==.
基础智能检测
1.A由条件得y'=e x,根据导数的几何意义,可得k=y'|x=0=e0=1.
2.A∵(sin x)'=cos x,∵k l=cos x,∴-1≤k l≤1,∴αl∈[0,]∪[,π).
3.∵f'(x)=,
∴f'(1)==-1,
∴ln a=-1,∴a=.
4.解:设切点坐标为(x0,y0).
∵y=ln x,∴y'=.
∴f'(x0)==k.
∵点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=ln x上,
∴
把k=代入①式得y0=1,
再把y0=1代入②式求出x0=e.
∴k==.
全新视角拓展
4x-y-3=0 由题意得,y=x(3ln x+1)=3x ln x+x⇒y'=3ln x+4,所以y'|x=1=4, 由点斜式方程得y-1=4(x-1),整理得4x-y-3=0.。