“三线摆法测转动惯量”实验的误差分析及改进

“三线摆法测转动惯量”实验的误差分析及改进
蒋玮
(楚雄师范学院物理与电子科学系2011级物理一班）
摘 要 本文探讨了“三线摆法测转动惯量”实验产生较大误差的原因，对原实验的测量方法及数据处理方式进行了改进，提出了一套新的“相对测量法”，并运用误差原理作了论证。

关键词 三线摆；转动惯量；实验误差；改进；相对测量法
“Three line measure rotation inertia placed a law ”
the error analysis and improvement
JiangWei
(ChuXiong normal college physical and electronic science of physics class level 2011)
Abstract :This paper has discussed reasons of large error produced in the experiment “the method of measuring moment of inertia using trilinear pendulum,improved the method of measuring and data processing,then,proposed method of relative measure,at last,discussed it in detail using error principle. Key words :Trilinear pendulum; Moment of inertia; Experiment error; Improvement; Method of relative measure
引言
以《三线摆测转动惯量》实验为例，分析了产生实验误差的一些原因。

针对性地设计了一套“相对测量法”。

对直接测量的项目进行了一些简化，对实验方法及数据处理进行了一些改进，收到了较好的效果。

1 教材中传统的测量方法及分析
转动惯量，是物体转动惯性的量度。

物体对某轴的转动惯量越大，则绕该轴转动时，角速度就越难改变。

三线摆法是通过扭转运动，测
量转动惯量的一种方法。

实验装置如图：
设下圆盘P 的质量为m 0, 当它绕O 1O 2ˊ作小角度
θ扭转时圆盘的位置升高h ，
它的势能增加E P E P =m 0gh 式中g 为重力
加速度此时它的动能k E 2012k t d E I d θ⎛⎫= ⎪⎝⎭
图1 图2 式中0I 为圆盘对12o o '轴的转动惯量略去摩擦力，按机械守恒定律，圆盘的势能与动能之和
为一常量。

即,2
0012t d m gh I d θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
常量经过严密的数学推导，得出
三线摆的运动方程为
一简谐振动，振动周期为22
0004I H T m ghRr π= 由此可知，下圆盘对O 1O 2ˊ轴的转动惯量200020
4m gRr I T d π=……①式中，d 0为两圆盘间距离。

T 0为扭摆周期。

r 为上圆盘悬线到圆心的距离。

R 为下圆盘悬线到圆心的距离。

同理，若在下圆盘上放一质量为m ，转动惯量为I （对O 1O 2轴）的物体时，测出周期T 整个扭转系统的转动惯量为()02020
4m m gRr I I T d π++= ……②那么，被测物体的转动惯量为()2200020
4gRr I m m T m T d π⎡⎤=+-⎣⎦ ……③ 从上式可以看出，欲通过此实验求I 值，就必须直接测量出R 、r 、d 0、m 、m 0、T 、T 0等七个量，然后代入③式间接得出待测物体的转动惯量。

下面来分析一下这种传统的实验方法的效果，需要直接测量的物理量多达7个。

其中，r 为上圆盘悬线距圆心的距离，而上圆盘圆心位置很难确定，因此测量精确度不高。

上下两圆盘的间距d 0由于下圆盘不固定，也是不易测准的量。

T 、T 0可以用秒表以多次测量（测n 个周期的总时间t ，T=t/n ）求平均值得出。

可是，人为启动，制动秒表及反应时间等各方面因素均会影响到测量结果。

值得注意的是，重力加速度g 的大小因当地的纬度，高度等因
素的不同而不同。

通常我们取g=9.765m/s 2，引入的系统误差是比较大的。

由此可见，按照
③式组织测量，步骤繁多,容易出错，姑且不说，单是各个直接测量量产生的各种误差都会传递到Ⅰ值上去，影响到最后测量结果的精确度。

2 “相对测量法”原理简介及分析
实验装置同上，沿用教材所述原理，在此基础上，将①、②式进行一些数学处理 将①、②式相除
200000I I m m T I m T ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 2
00011I m T I m T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
2
201m T I m T ⎡⎛⎫⎛⎫⎢=+- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣
对④式进行分析：与③式比较，显而易见，需要直接测量的物理量明显减少，特别是一些难以测准的量现在都去除了。

无疑，引入的测量误差也随之减少。

而且，采用了比值的数学形式，即，同类物理量的相对测量法。

且I 0可以根据“质量分布均匀的圆盘绕轴线转动的转动惯量”的理论推导式 '200012I m R =
求得。

用天平测下圆盘质量m 0，游标卡尺测下圆盘直径D 0（半径'002
D R =），这两种测量仪器精确度都很高，故m 0、R 0ˊ的测量误差非常小，即I 0是可以精确测量的，这样，最终所得的I 的测量精确度自然提高了。

3 实验验证
经过理论上的定性分析可知：“传统的实验测量法”与“相对测量法”相比，后者所得结果更精确。

下面我们用实验的方法进一步作定量验证。

选择小圆柱体作为待测物，测其转动惯量I
3.1 传统的实验测量方法
用游标卡尺分别测下圆盘悬线到圆心的距离R 和上圆盘悬线到圆心的距离 r R=10.55cm r=4.90cm
用卷尺测上下两圆盘间距离do do=39.93cm
天平测待测物体质量m ，下圆盘质量m 0由仪器标示。

m 0=360g m=210g
空载作小角度扭转，用秒表测10个周期的时间，测3次，求平均值。

3.391000==T t S 则3.10=T S
载有小圆柱体时，作小角度扭转，用秒表测10个周期的时间，测3次，求平均值。

9.3910==T t S 则33.1=T S
重力加速度g=9.765m/s 2
将有关数据代入③式，得：
()2200020
4gRr I m m T m T d π⎡⎤=+-⎣⎦ ]33.120.-1.3)2.036[(0.3993.040490.01055.0765.9222⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=π
3-10897.1⨯=2m kg ⋅
3.2 相对测量法
用游标卡尺测得下圆盘直径D.半径R ′=D/2=4.75cm 将有关数据代入④式，得
200011m T I T m T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫'⎢⎥=+- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
20012
I m R '= 4
22104.7536.021]1)33.13.1()136.02.0[('-⨯⨯⨯⨯-⨯+=I
3101.97-⨯=2
m kg ⋅ 3.3 对以上测量值求相对误差
r 待为待测物（圆柱体）半径，由游标卡尺测得
99.321r ⨯=)(995.1cm =
理论值:待理r I m 21=01995.02.02
1⨯⨯=3-10995.1⨯=2m kg ⋅ I 0
⑴传统实验测量法 相对误差
100%101.995101.897-10995.13-3
-3-⨯⨯⨯⨯=η
9%.4=
⑵相对测量法 相对误差 100%101.995101.97-10995.1'3-3-3-⨯⨯⨯⨯=
η 1.25%= 4.9%
< 综上所述，“相对测量法”比“传统的实验法”更为精确一些。

但对实验本身来说，误差还是不小的。

究其原因，有多方面的因素，我认为其中重要的一个因素是：理论验证上，对0
d 认定采用了近似计算：如图2所示： 02BC BC d '+≈ 则2204sin 22R Rr h BC BC d θ
θ=='+而事实上，02BC BC d h '+=-即，2
02Rr h d h
θ=-由此引入的误差不容忽视，即文献推论出的三线摆的扭转运动并不是严格理论意义上的简谐振动。

因此，由它所推导出周期T 的函数式本身就带有一定的误差因素。

另外待测物是圆柱体，而圆柱体是有一定高度的，它的介入会影响到0d 的有效高度。

因此，本次实验仍存在1.25%的相对误差是可以理解的。

4 结束语
通过本次实验实例，我深刻体会到物理专业人员的实验素养对于实验的重要性。

一个好的物理专业人员，必须具备科学的实验态度、严谨的实验作风、良好的实验能力（包括动手能力和动脑能力）。

在实验中，我们必须秉承科学、脚踏实地的态度，努力使自己成为一个主动的探索者，而不是一个仅仅局限于课本指令的被动的执行者，要在实验探索中，勤动手勤动脑，从中积累经验，锻炼技巧和机智，以提高自身的实验素养。

参考文献
[1]王昆林，颜茜.普通物理实验（一、力学、热学部分），2012
[2]龚镇雄.普通物理实验中的数据处理[M].西安，西北电讯工程学院出版社，1985
[3]李化平.物理测量的误差评定[M].北京,高等教育出版社，1993
[4]孟尔熹，曹尔第.实验误差与数据处理[M].上海，上海科学技术出版社，1988。