高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明课时作

课时作业38 一元二次不等式及其解法
一、选择题
1．已知集合A ＝{x ||2x ＋1|>3}，集合B ＝{x |y ＝x ＋1
x －2
}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(1,2) B ．(1,2] C ．(1，＋∞)
D ．[1,2]
解析：由A ＝{x ||2x ＋1|>3}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |y ＝
x ＋1x －2}＝{x |x ＋1
x －2
≥0}＝{x |x >2或x ≤－1}，所以∁R B ＝{x |－1<x ≤2}，所以A ∩(∁R B )＝{x |1<x ≤2}．
答案：B
2．已知两个集合A ＝{x |y ＝ln(－x 2
＋x ＋2)}，B ＝{x |2x ＋1
e －x
≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．[－1
2，2)
B ．(－1，－1
2]
C ．(－1，e)
D ．(2，e)
解析：由题意得A ＝{x |－x 2
＋x ＋2>0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >e 或x ≤－12}，故A ∩B
＝(－1，－1
2
]．
答案：B
3．“0<a <1”是“ax 2
＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：当a ＝0时，1>0，显然成立；当a ≠0时，⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，
Δ＝4a 2
－4a <0.故ax 2
＋2ax ＋1>0
的解集是实数集R 等价于0≤a <1.因此，“0<a <1”是“ax 2
＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的充分而不必要条件．
答案：A
4．关于x 的不等式x 2
－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5]
D ．[－3，－2)∪(4,5]
解析：原不等式可能为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，得1<x <a ，此时解集中的整数为2,3,4，
则4<a ≤5，当a <1时得a <x <1，则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4,5]．
答案：D
5．若不等式x 2
＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－235，＋∞ B.⎝ ⎛⎦
⎥⎤－235，1
C ．(1，＋∞)
D.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－235
解析：由Δ＝a 2
＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．
于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，f (1)≤0，解得a >－23
5
，且a ≤1，
故a 的取值范围为⎝ ⎛⎦
⎥⎤－235，1. 答案：B
6．已知奇函数f (x )满足f (－1)＝f (3)＝0，在区间[－2,0)上是减函数，在区间[2，＋
∞)是增函数，函数F (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
xf －x ，x <0
－f x ，x >0，则F (x )>0的解集是( )
A ．{x |x <－3，或0<x <2，或x >3}
B ．{x |x <－3，或－1<x <0，或0<x <1，或x >3}
C ．{x |－3<x <－1，或1<x <3}
D ．{x |x <－3，或0<x <1，或1<x <2，或2<x <3} 解析：由题意，可得f (x )的草图如下：
①x <0时，xf (－x )>0，即xf (x )<0，解得－3<x <－1； ②x >0时，－f (x )>0，即f (x )<0，解得1<x <3， 综上所述，F (x )>0的解集为{x |－3<x <－1或1<x <3}． 答案：C 二、填空题
7．若关于x 的不等式12x 2
＋(2－m )x <0的解集是{x |0<x <2}，则实数m ＝________.
解析：由题知x ＝0和x ＝2是方程12x 2
＋(2－m )x ＝0的根，可得m ＝3.
答案：3
8．若关于x 的不等式4x
－2x ＋1
－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．
解析：∵不等式4x
－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，
∴4x
－2
x ＋1
≥a 在[1,2]上恒成立．
令y ＝4x
－2
x ＋1
＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2
－1.
∵1≤x ≤2，∴2≤2x
≤4.
由二次函数的性质可知：当2x
＝2，
即x ＝1时，y 取得最小值0，∴实数a 的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]
9．已知集合A ＝{x ||2x －3|≤1，x ∈R }，集合B ＝{x |ax 2
－2x ≤0，x ∈R }，A ∩(∁U B )＝∅，则实数a 的范围是________．
解析：A ＝[1,2]，由于A ∩(∁U B )＝∅，则A ⊆B ，
当a ＝0时，B ＝{x |x ≥0，x ∈R }＝[0，＋∞)，满足A ⊆B ；
当a <0时，B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫xx ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2a ≥0，x ∈R ＝⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，2a
∪[0，＋∞)，满足A ⊆B ；
当a >0时，B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫xx ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2a ≤0，x ∈R ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，2a
，若A ⊆B ，则2
a
≥2，即0<a ≤1；结合以上
讨论，实数a 的范围是(－∞，1]．
答案：(－∞，1] 三、解答题
10．已知不等式ax 2
－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b ；
(2)解不等式ax 2
－(ac ＋b )x ＋bc <0.
解：(1)∵不等式ax 2
－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，∴x ＝1与x ＝b 是方程ax 2
－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧
1＋b ＝3
a
，1×b ＝2
a
，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝2.
(2)原不等式ax 2
－(ac ＋b )x ＋bc <0，可化为x 2
－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；
②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}； ③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.
综上所述，当c >2时，不等式ax 2
－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式ax 2
－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.
11．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1
a
，比较f (x )与m 的大小．
解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.
那么当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1，或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1
a
，
∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .
1．若函数f (x )＝(a 2
＋4a －5)x 2
－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )
A ．[1,19]
B ．(1,19)
C ．[1,19)
D ．(1,19]
解析：函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2
＋4a －5)x 2
－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．
(1)当a 2
＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1时，不等式化为3>0，满足题意．
(2)当a 2＋4a －5≠0时，应有
⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＋4a －5>0，16a －12
－12a 2＋4a －5<0.
解得1<a <19.综上1≤a <19. 答案：C
2．偶函数f (x )(x ∈R )满足：f (－4)＝f (1)＝0，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52与⎣⎢⎡⎭
⎪⎫52，＋∞上分别递减和递增，则不等式x 3
f (x )<0的解集为( )
A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
B ．(－4，－1)∪(1,4)
C ．(－∞，－4)∪(－1,0)
D ．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)
解析：由图知，f (x )<0的解集为(－4，－1)∪(1,4)，∴不等式x 3
f (x )<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)．
答案：D
3．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>0的解集为(1,2)，若f (x )的最大值小于1，则a 的取值范围是________．
解析：由题意知a <0，
可设f (x )＝a (x －1)(x －2)＝ax 2
－3ax ＋2a ，
∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＝－a 4<1，
∴a >－4，故－4<a <0. 答案：(－4,0)
4．已知不等式ax 2
＋bx ＋c >0的解集为(1，t )，记函数f (x )＝ax 2
＋(a －b )x －c . (1)求证：函数y ＝f (x )必有两个不同的零点；
(2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为m ，n ，求|m －n |的取值范围． 解：(1)证明：由题意知a ＋b ＋c ＝0，且－b
2a >1，
∴a <0且c a
>1，∴ac >0，
∴对于函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c 有Δ＝(a －b )2
＋4ac >0，
∴函数y ＝f (x )必有两个不同零点． (2)|m －n |2
＝(m ＋n )2
－4mn
＝b －a 2＋4ac a 2
＝
－2a －c
2
＋4ac a
2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫c a 2＋8c
a
＋4，
由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )可知，方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的两个解分别为1和
t (t >1)，由根与系数的关系知c
a
＝t ，∴|m －n |2＝t 2＋8t ＋4，t ∈(1，＋∞)．
∴|m －n |>13，
∴|m －n |的取值范围为(13，＋∞)．。