余弦定理训练测试题(含答案)

余弦定理
一、单选题（共11题；共22分）
1.（2020·新课标Ⅲ·文）在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（）
A. B. 2 C. 4 D. 8
2.（2020·新课标Ⅲ·理）在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=（）
A. B. C. D.
3.（2020高一下·通州期末）在中，，，则（）
A. 0
B.
C.
D.
4.（2020高一下·太和期末）已知是不相等的正数,且,则的取值范围是（）
A. B. C. D.
5.（2020高一下·温州期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，
，则=（）
A. B. C. 4 D.
6.（2020高一下·天津期末）在中，已知，，，则（）
A. 4
B. 2
C. 3
D.
7.（2020高一下·南昌期末）在中，已知，则中最大角的余弦值等于（）
A. B. C. D.
8.（2020高一下·太和期末）在中，, 是的平分线，且,则t的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.（2020高一下·杭州月考）在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则A等于( )
A. 60°
B. 45°
C. 120°
D. 30°
10.（2020高一下·滨海期中）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠，
，则一定是( )
A. 底边和腰不相等的等腰三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 等边三角形
11.（2020高一下·沈阳期中）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、C,若, , ,则（）
A. B. C. D.
二、填空题（共4题；共5分）
12.（2020高二下·北京期末）在中，，，则边上的高等于
________.
13.（2020高一下·上海期末）在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S＝________．
14.（2020高一下·台州期末）如图，在中，点D是边上的一点，，，
，，则的长为________.
15.（2020高一下·金华月考）在锐角△ABC中，AB=3，AC=4.若△ABC的面积为，则角A的大小是
________，BC的长是________.
三、解答题（共4题；共40分）
16.（2020·江西模拟）在中，角，，的对边分别为，，，且
.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值.
17.（2019高一下·绍兴期末）如图,在四边形中, , , , .
（1）若,求;
（2）求四边形面积的最大值.
18.（2019高一下·大庆期中）在中,角, , 的对边分别为, , ,且. （1）求角;
（2）若,且的面积为,求的值.
19.（2018高一下·百色期末）在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角的值；
（2）求，求的面积.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【解析】【解答】设
故答案为：C
【分析】先根据余弦定理求c，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求
2.【答案】A
【解析】【解答】在中，，，
根据余弦定理：
可得，即
由
故.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.
3.【答案】B
【解析】【解答】由余弦定理得：，
又，，，
，，
．
故答案为：B．
【分析】由余弦定理且得，再由，得，得，得，可求的值．
4.【答案】B
【解析】【解答】因为，所以有，
所以有,解得，因为,
所以有，所以，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件变形，再利用均值不等式求最值的方法结合一元二次不等式的求解方法，从而结合已知条件求出的取值范围。

5.【答案】C
【解析】【解答】在中，可得，所以，即，
由余弦定理可得，
解得.
故答案为：C.
【分析】由，求得，结合余弦定理，即可求解.
6.【答案】D
【解析】【解答】依题意
.
故答案为：D
【分析】利用余弦定理求得的值.
7.【答案】D
【解析】【解答】中，，则c是最大边，则角C是最大角，
设a，b，c分别为，，，，
由余弦定理可得，
故答案为：D
【分析】根据余弦定理即可求出．
8.【答案】A
【解析】【解答】如图所示，
∵在△ABC中，AD是∠A的平分线，AB＝2AC，
∴2，∠1＝∠2．
令AC＝a，DC＝b，AD＝c，则AB＝2a，BD＝2b．
在△ABD与△ACD中，分别利用余弦定理可得：
BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠1，
DC2＝AC2+AD2﹣2AC•ADcos∠2，
∴4b2＝4a2+c2﹣4accos∠1，b2＝a2+c2﹣2ac•cos∠2，
化为3c2﹣4accos∠1＝0，又a＝tc，
∴cos∠1，
∵∠1∈（0，），∴cos∠1∈（0，1）．
∴∈（0，），即
故答案为：A
【分析】由三角形内角平分线的性质可得，BD BC，CD BC；在△ABD和△ACD中，分别利用余弦定理可得cos∠1；由于∠1∈（0，），由此解得k的取值范围．
9.【答案】C
【解析】【解答】a2＝b2＋c2＋bc，可得，
，
.
故答案为：C.
【分析】先根据a2＝b2＋c2＋bc，求得，代入余弦定理中可求得，进而求得A.
10.【答案】D
【解析】【解答】解：由题可知，∠，，
则在中，，
根据余弦定理得：，
则，即，
即：，所以，则，
所以一定是等边三角形.
故答案为：D.
【分析】根据题意，可知，由于，结合余弦定理得出，进而得出，即可得出的形状.
11.【答案】C
【解析】【解答】解：∵, , ,
∴由余弦定理可得,
求得：c＝1.
∴
∴.
故答案为：C.
【分析】由已知利用余弦定理可求C的值,利用等腰三角形的性质可求的值.
二、填空题
12.【答案】
【解析】【解答】
边上的高为,
故答案为：
【分析】先根据余弦定理求，即得，再根据直角三角形求边上的高.
13.【答案】
【解析】【解答】解：据题设条件由余弦定理得，
即，
即解得，
故的面积，
故答案为：．
【分析】用余弦定理求出边的值，再用面积公式求面积即可．
14.【答案】
【解析】【解答】因为，
所以，可得，
在△中，，
所以，
整理得出，所以，所以.
故答案为：.
【分析】在两个三角形中，利用余弦定理建立等量关系式，整理得出，结合题中所给的条件，利用余弦定理建立等量关系式即可求得结果.
15.【答案】；
【解析】【解答】AB=3，AC=4，，解得, , .
由余弦定理可得，
.
故答案为：；
【分析】由三角形面积公式求出，根据A的范围即可确定角A，利用余弦定理求BC.
三、解答题
16.【答案】（1）解：因为，
所以，
整理得，即.
由余弦定理可得，
则，
因为，所以的取值范围为
（2）解：由（1）可得，即，
则，
整理得，即，
则或.
因为，所以，
则的值为或.
【解析】【分析】（1）由正弦定理将条件等式中的角化为边，再由余弦定理和基本不等式，求出的范围，即可得出结论；（2）根据所求为比值，利用（1）中边的关系，将用表示，由已知结合余弦定理，得到齐次关系式，即可求解.
17.【答案】（1）解：当时,在中,由余弦定理得
，
设( ),则,
即,解得，
所以；
（2）解：的面积为，
在中,由余弦定理得,
所以, 的面积为，
所以,四边形的面积为
，
因为,所以当时,四边形的面积最大,
最大值为.
（1）直接利用余弦定理，即可得到本题答案；（2）由四边形ABCD的面积= ，【解析】【分析】
得四边形ABCD的面积，求S的最大值即可得到本题答案.
18.【答案】（1）解：根据余弦定理可得:
又,
.
又
.
（2）解：,且的面积为,
根据三角形面积公式可得:
解得: .
由余弦定理可得: ,
.
【解析】【分析】（1）因为,结合,即可求得答案;（2）因为,且的面积为,根据三角形面积公式可得: ,即可求得答案.
19.【答案】（1）解: 中，内角的对边分别为，且
则
整理得
解得（舍去）
∵，则
（2）解:利用余弦定理
由于
解得
所以
【解析】【分析】（1）将所给条件通过整理化简计算，即可得出答案。

（2）结合余弦定理及面积公式，代入数据计算，即可得出答案。