2021年高三上学期期中数学(理)试题 含答案

2021年高三上学期期中数学（理）试题含答案
一、选择题（每小题5分，共40分）
1、设集合，，，则（）
A、B、C、D、
2、已知，则“”是“”的（）
A、充分非必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既非充分也非必要条件
3、已知，，，则等于（）
A、B、C、D、
4、要得到函数的图像，只需要将函数的图像（）
A、向左平移个单位
B、向右平移个单位
C、向左平移个单位
D、向右平移个单位
5、若的三个内角，，满足，则（）
A、一定是锐角三角形
B、一定是直角三角形
C、一定是钝角三角形
D、可能是锐角或者钝角三角形
6、设，满足约束条件，则目标函数的取值范围为（）
A、B、C、D、
7、如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则（）
A、B、
C、D、
8、已知点，曲线：恒过定点，为曲线上的动点且的最小值为，则（）
A、B、C、D、
二、填空题（没小题5分，共30分）
9、写出命题：，的否定。

10、函数的单调减区间为。

11、已知正数，满足，则的最小值为。

12、已知向量，，若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是。

13、已知，，且，，则的大小为。

14、如图，正方形的边长为，为的中点，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至，在旋转的过程中，记为（），所经过的在正方形内的区域（阴影部分）的面积，
那么对于函数有以下三个结论：
①；
②任意，都有；
③任意，，且，都有；
其中所有正确结论的序号是。

三、解答题（共80分）
15、在中，角，，的对边分别为，，，且满足，
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值。

16、已知向量，，函数，.
（1）求函数的单调增区间；
（2）将函数图像向下平移个单位，再向左平移个单位得到函数的图像，试写出的解析式并做出它在上的图像。

17、某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：
奖金中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止。

规定摸到红球奖励10元，摸到白球或话黄球奖励5元，摸到黑球不奖励。

（1）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；
（2）记为1名顾客摸奖获得奖金数额，求随机变量的分布列和数学期望。

18、如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，
平面平面，且，，是的中点，，
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）判断线段上是否存在一点，使平面？若存在，求
出的值；若不存在，说明理由。

19、已知函数（）.
（1）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）设，若对恒成立，求实数的取值范围。

20、设集合（，），，是的两个非空子集，且满足集合中的最大数小于集合中的最小数，记满足条件的集合对的个数为
（1）求，的值；
（2）求的表达式。

北京五中xx 学年度第一学期期中考试试卷答案
高三数学（理科）
一、选择题 1、D 2、A 3、D 4、B 5、C 6、D
7、B
8、C
二、填空题 9、， 10、 11、
12、 13、
14、①②
三、解答题 15、解： （1）∵，∴ 由正弦定理，得 整理得 在中，，∴，∵，故 （2）由余弦定理，，
又，∴，得，当且仅当时取到“=”. ∴，所以三角形面积的最大值为. 16、解：
（1）2
sin cos 444x x x πππ⎛⎫
⎛
⎫⎛⎫=+
+- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭ 令（）
解得（）
即的单调递增区间为（） （2）令，得. 所以()sin 2sin 23333g x h x x x ππππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
列表：
描点，连线得函数在上的图像如图所示：
17、解：
（1）设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件，
基本事件的个数为，则
（2）随机变量的所有取值为，，，，20
；；；
；；
分布列如下：
E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=数学期望为：()0510152010
46664 18、
（1）证明：∵，为中点，∴
又∵，∴
又平面平面，平面平面，平面
∴平面
（2）解：如图建立空间直角坐标系，
，，，
，
所以，
，
设平面的法向量为
由，解得，所以
直线与平面所成角的正弦值为：
（3）解：假设线段上存在一点，使平面，设，
则
由，则，得
又，则
设平面的法向量为，，
则，解得，所以
因为平面，所以，即，解得
所以时，平面.
19、解：
（1）由，，得或（舍去）
经检验，当时，函数在处取得极值。

时，，
则，
所以所求的切线方式为，整理得
（2）定义域为
，
令，得或
∵，则，且
①当时，，，此时在上单调递增；
②当时，在和上单调递增，在上单调递减；
③当时，在上单调递减，上单调递增。

（3）由题意，，
即，即对任意恒成立，
令，则，
令，得，即在上单调递减，上单调递增，
当时取得最小值
∴，解得
又∵，所以的取值范围为
20、解：
（1）当时，即，此时当，时满足题设，所以；
当时，即，
若，则或或；
若或，则，所以
（2）当集合中的最大元素为时，集合中的其余元素可在任取若干个（包括不取），所以集合共有种情况；
此时，集合中的元素只能从中任取若干个（至少一个），
所以集合共有种情况；
所以，当集合中的最大元为时，集合对共有对；
当依次取值时，可分别得到集合对的个数，求和即可，
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