教学案20----《3.2.1 对数与对数运算(1)》
2.2.1对数与对数运算(一)教案
3.2.1对数及其运算（一）
教学目标：理解对数的概念、常用对数的概念，通过阅读材料，了解对数的发展历史及其对简化运算的作用 教学重点：理解对数的概念、常用对数的概念.
教学过程：
1、对数的概念：
复习已经学习过的运算
指出：加法、减法，乘法、除法均为互逆运算，指数运算与对数运算也为互逆运算：
若
，则 叫做以 为底 的对数。
记作：b N a =log （1,0≠>a a ）
2、对数的性质
（1） 零和负数没有对数，即
中N 必须大于零； （2） 1的对数为0，即01log =
（3） 底数的对数为1，即1log =a a
3、对数恒等式：N a N a =log
4、常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，记为：N N lg log 10=
5、例子：
（1） 将下列指数式写成对数式
62554=
64
126=- 373=a
73.5)31
(=m
（2） 将下列对数式写成指数式
416log 2
1-=
=
7
log
128
2
log
27
a
=
3
=
lg-
2
01
.0
（3）用计算器求值
2004
lg
lg
0168
.0
lg
370
.
125
lg
.1
732
小结：本节课学习了对数的概念、常用对数的概念，通过阅读材料，了解对数的发展历史及其对简化运算的作用
课后作业：习题2.2A组第1、2题.。
对数和对数的运算(一)教学设计
2.2.1 对数与对数的运算（一）教学设计一、教材分析1、教材的地位和作用“对数与对数的运算”作为高一新教材的内容，被安排在必修一第二章《基本初等函数I》中，共分三个课时完成。
这一节课我上的是第一课时——对数的概念。
多年的教学实践表明，对数概念对于高一的同学来讲是一个重要内容，也是一个全新的抽象的概念，其符号难以直观地理解其意义。
因此理解这一概念需要有较好的抽象思维能力，从而对多数学生具有一定的挑战性。
对数是已知底数和幂值求指数，对数运算与指数运算是互逆的关系。
对数概念的学习，既加深了学生对指数的理解，又为后面对数的运算性质及对数函数的学习做了充分准备，起到了承上启下的重要作用。
2、教学目标知识与技能：理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系，掌握对数式与指数式的相互转化；了解常用对数和自然对数的概念以及对数恒等式。
过程与方法：通过对实际问题的提出和解决，引出对数产生的背景和必要性；认识对数源于指数，进一步掌握对数式与指数式的互化并应用。
情感态度与价值观：体会数学概念的起源与发展是自然的，关注数学概念的产生背景、应用需要，体会其中所蕴涵的数学思想和方法。
3、教学重难点重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化难点：对数概念的理解，以及对数符号的理解二、学情分析我们的学生是美术特色类高中生，入学基础较差，学习能力较弱，且美术专业教育任务也重，花在数学科目上的时间比普高要少。
故数学成绩较差，中考，高考的平均分均低于市平均分许多。
一般高考数学较容易些的平均分80左右，较难一些的则60多分。
我现在所教的两个班级中考平均分是80.02。
基于这样的学情，学生薄弱的数学基础，较差的数学学习、领悟能力，数学的课堂设计注重于基础的知识点，尽可能的调动学生的学习积极性，而对于较难的综合性题目对学生不做要求。
此前，学生已学习了指数及指数函数，明白了指数运算是已知底数和指数求幂值，但对于指数幂的运算不是很熟练；而对数则是已知底数和幂值求指数，二者是互逆的关系。
高中数学人教新课标必修一B版教案3.2.1对数及其运算
3.2.1对数及其运算（第一课时）一、教学目标：二、教学重点：1重点是对数定义的理解2在指数知识的基础之上，利用类比联想，互动探究的方式来引出对数定义。
鼓励学生利用网络查找知识背景，从学生的角度来提问题并在解决问题的过程中加深对知识的理解。
引导学生初步认识数学是一门严谨的科学并进一步理解数学中规定的合理性三、教学方法：1充分利用信息技术和网络资源来学习知识2学生在一定的情境背景下，借助老师和学习伙伴的帮助下，利用必要的学习资料等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和首创精神，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构的目的3 教学方法与学习指导策略建议对学生的学法指导：联想类比。
数学是一门基础学科，数学的概念、性质抽象严谨，因此在学习过程中引导学生借鉴已有知识和经验，通过观察、分析、类比发现新的知识，这有利于培养学生的数学情感，提高学生的学习兴趣，更有助于学生对知识的理解和掌握。
鼓励学生自主学习和协作学习。
学生是在特定的学习环境进行学习。
“水涨船高”，通过小组协商、讨论；使原来相互矛盾的意见、模糊不清的知识逐渐变得明朗、一致，使问题顺利解决。
鼓励学生利用网络查询有关对数的相关信息。
对数的应用学生感到数学是有用的有趣的整合各学科知识为今后的学习做准备。
四、教学过程：引入新课[仿照初中如何引入根式定义的方式来导入]资料：布尔基与耐普尔数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰·耐普尔（Joh n Na ei p r，1550－1617）和瑞士的乔伯斯特·布尔基（Jo b st Bürgi，1552－1632）．布尔基原是个钟表技师，1603年被选为布拉格宫庭技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，了解到天文学计算的一些具体情况．他体察天文学家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法．布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的对数表．从原则上说，史提非已经解决了将乘（除）运算转为加（减）运算的途径.但是史提非所给出的两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用，实用的对数表必须包括所有要乘的数在内．耐普尔原是苏格兰的贵族．生于苏格兰的爱丁堡，十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习．十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学，丰富了自己的学识．耐普尔虽不是专业数学家，但酷爱数学，他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力．正如他所说：“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算，因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏．”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”，而为制作对数表他花了整整20年时间．对数产生于17世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价3.2.1对数及其运算（二）一、教学目标：1、知识与技能（1）理解对数的运算性质，掌握对数的运算法则（2）掌握对数的加、减、乘、除运算法则（3）知道对数运算性质的实质：把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法．2、过程与方法（1）通过学习对数运算性质和法则，再次强调真数大于零（2）学会借助实例分析、探究数学问题3、情感、态度与价值观通过对数运算性质的研究，增强学生对数学美的体验，培养乐于求索的精神，形成科学、严谨的研究态度。
教学设计3：3.2.1 对数及其运算
3.2.1对数及其运算一、教学内容解析本节课是人教B版第三章第二节对数与对数函数中第一小节对数及其运算的第一课时。
对数对学生来说是一个全新的概念，学习起来略显困难，不过在此之前，学生已学习了指数和指数函数的有关知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫的作用；本章后面的对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广。
本节内容的学习主要是为让学生理解对数的概念，为学习对数函数作好准备。
同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化，数形结合的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。
二、教学目标设置通过对本节课教材的分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，依据新课标制定出如下三个方面的教学目标：1、知识与技能目标：理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质。
2、过程与方法目标：通过实例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。
小组交流对对数的理解和认识，培养学生合作学习的能力，使学生经历认知逐渐深入的过程。
3、情感态度与价值观：积极引导学生主动参与学习的过程，激发他们研究数学问题的兴趣，形成主动学习的态度，培养学生自主探究以及合作交流的能力。
三、学生学情分析我校在营口市学生层次较好，我所授课的班级是我校的实验班，学生数学能力很强，思维较活跃。
我校的教学模式为小组合作交流学习模式，学生已经养成了小组合作学习的习惯。
即学生通过预习，结合学案，自主学习、探究的模式。
前面学生已经学习了指数和指数函数的有关知识。
在对教材和教学目标及学情分析后，我确定出本节课的教学重点是：重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化。
难点：对数概念的理解，对数性质的理解。
四、教学策略分析为了最大程度发挥学生的主观能动性，实践人本教育，我校采用“主动、合作、交流”学习方法学习，把学生分成四人小组，分工合作，进行讨论探究逐渐培养学生“会观察”、 “会分析”、“会论证” 、“会合作”的能力。
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2.2.1对数与对数运算教学任务：（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；（2）能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；（3）通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法．教学重点：掌握对数函数的图象和性质．教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用．教学过程：一、引入课题1．（知识方法准备）○1 学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？ 设计意图：结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法——借助图象研究性质．○2 对数的定义及其对底数的限制． 设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备．2．教材引例处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表：P t 215730log=，生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数” ．（进而引入对数函数的概念）一、新课教学对数函数的概念1．定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数（logarithmic function ） 其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 归纳小结，强化思想本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质．在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点．。
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2.2.1对数与对数运算（一）（一）教学目标1．知识技能：①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；②理解和掌握对数的性质；③掌握对数式与指数式的关系.2.过程与方法：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质.3．情感、态度、价值观（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质.（3）在学习过程中培养学生探究的意识.（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.（二）教学重点、难点（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质（2）难点：推导对数性质的（三）教学方法启发式启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，从而由指数与对数的关系认识对数，并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.引导学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对于定义的理解，为下一节学习对数的运算性质打好基础.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题1．提出问题（P72思考题）13 1.01xy=⨯中，哪一年的人口数要达到10亿、20亿、30亿……，该老师提出问题，学生思考回答.启发学生从指数运算的需由实际问题引入，激发学生的学习积极如何解决？即：1820301.01, 1.01, 1.01, 131313x x x ===在个式子中，x分别等于多少？象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）.求中，提出本节的研究对象——对数，性.概念形成合作探究：若1.01x=1318，则x称作是以1.01为底的1318的对数.你能否据此给出一个一般性的结论？一般地，如果a x=N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.举例：如：24416,2log16==则，读作2是以4为底，16的对数.1242=，则41log22=，读作12是以4为底2的对数.合作探究师：适时归纳总结，引出对数的定义并板书.让学生经历从“特殊一一般”，培养学生“合情推理”能力，有利于培养学生的创造能力．概念深化1. 对数式与指数式的互化在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制a＞0，且a≠1（2）logxaa N N x=⇔=指数式⇔对数式幂底数←a→对数底数指数←x→对数幂←N→真数掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.通过本环节的教学，培养学生的用联系的关点观察问题.说明：对数式log a N 可看作一记号，表示底为a （a ＞0，且a ≠1），幂为N 的指数工表示方程xa N =（a ＞0，且a ≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为a （a ＞0，且a ≠1）幂为N ，求幂指数的运算. 因此，对数式log a N 又可看幂运算的逆运算.2. 对数的性质：提问：因为a ＞0，a ≠1时，log x N a a N x =⇔=则 由１、a 0=1 ２、a 1=a 如何转化为对数式②负数和零有没有对数？ ③根据对数的定义，log a Na=？（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）由以上的问题得到① 011,a a a ==Q （a ＞0，且a ≠1）② ∵a ＞0，且a ≠1对任意的力，10log N 常记为lg N .恒等式：log a Na =N3. 两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .② 以无理数e =2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .备选例题例1 将下列指数式与对数式进行互化.（1）64)41(=x（2）51521=-（3）327log 31-= （4）664log -=x【分析】利用a x= N ⇔x = log a N ，将（1）（2）化为对数式，（3）（4）化为指数式. 【解析】（1）∵64)41(=x ，∴x =41log 64（2）∵51521=-，∴2151log 5-= （3）∵327log 31-=，∴27)31(3=-（4）∵log x 64 = –6，∴x －6= 64.【小结】对数的定义是对数形式与指数形式互化的依据，同时，教材的“思考”说明了这一点. 在处理对数式与指数式互化问题时，依据对数的定义a b= N ⇔b = log a N 进行转换即可.例2 求下列各式中的x . （1）32log 8-=x ； （2）4327log =x ； （3）0)(log log 52=x ； 【解析】（1）由32log 8-=x 得32332)2(8--==x = 2–2，即41=x . （2）由4327log =x ，得343327==x ，∴813)3(4343===x .（3）由log 2 (log 5x ) = 0得log 5x = 20= 1. ∴x = 5.【小结】（1）对数式与指数式的互化是求真数、底数的重要手段.（2）第（3）也可用对数性质求解.如（3）题由log 2(log 5x ) = 0及对数性质log a 1=0. 知log 5x = 1，又log 55 = 1. ∴x = 5.。
教学设计3：2.2.1 第2课时 对数的运算
2.2.1 第2课时对数的运算（一）教学目标1．知识与技能：（1）掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明.（2）能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答.2．过程与方法：（1）结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想. （2）通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力.（3）通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用.3．情感、态度与价值观（1）通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.（2）在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）换底公式及其应用.（2）对数的应用问题.2．教学难点：换底公式的灵活应用.（三）教学方法启发引导式通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力.利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起着重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择恰当的底数；（2）注意换底公式与对数运算性质结合使用；（3）换底公式的正用与逆用.（四）教学过程课后作业作业：习题2.2 学生独立完成巩固新知提升能力。
教学设计2.2.1对数与对数运算
2.2.1对数与对数运算（1）教学设计一、课前准备（一）教学课题：人教版必修一 2.2.1对数与对数运算（1）（二）课程类型：新授课；课时：一课时。
（三）教材分析：本节课是必修一第二章“基本初等函数”的第二节“对数函数”第一课时“对数与对数运算”。
教材安排在学习了指数与指数运算、指数函数等知识后，既要注意指数式和对数式的互逆关系，又要为后面对数运算的性质和对数函数的学习做好铺垫，本节内容起到承前启后的作用。
《普通高中课程标准（2020年修订版）》对对数定义教学作了明确规定：“理解对数定义及运算性质，了解对数定义产生和发展的历史背景，了解对数简化运算的作用”。
对数定义的教学不同于指数定义的教学，学生在生活学习中已经对指数有了一定的了解，属于有基本经验的教学，但对于对数式而言是新的符号，新的定义，并且在之前并没有接触，受工作记忆容量的影响，自然而然产生畏难情绪，导致对数的教学困难。
在教材68页，有对数的发现和历史介绍，教材中的例题有对数的实际应用，由于引入有具体的情境案例，这些内容的学习可以安排学生自学。
（四）学情分析：1.本次上公开课的班级是一个中等层次的班级，进入高一时间不到两个月，很多同学都还在适应高中数学学习，学习习惯和学习能力都在不断的培养当中。
2.学生已经学习了指数与指数运算、指数函数的相关知识，但是对数式是新的符号语言，是高度抽象的概念，生活学习中缺少接触，受学生工作记忆容量的影响，会在对数的学习中遇到障碍。
（五）教学重点：1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质；2.掌握指数式与对数式的互换，能应用对数的定义和性质解方程；3.通过具体的案例，理解对数的应用，树立正确的财商价值观和学习观。
（六）教学难点：对数概念的理解，应用对数的定义和性质解方程。
（七）教法分析：1.从指数和指数函数的实际案例出发引入新课，为概念生成创设情境，让学生体会到生活中处处有数学知识，激发学生学习兴趣。
2.通过指数式与对数式的转化，引导学生将不会的对数问题转化为指数问题进行解决。
高中数学 2.2.1对数与对数运算(1)教案 新人教版必修1
2.2.1（1）对数与对数运算（教学设计）教学目的：1、理解对数的概念、了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并青春期技能。
2、通过实例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。
3、掌握对数的重要性质，通过练习，使学生感受到理论与实践的统一。
4、培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识。
教学重点：对数的概念；对数式与指数式的相互转化。
教学难点：对数概念的理解；对数性质的理解。
教学过程：一、复习回顾，新课引入：引例1：一尺之锤，日取其半，万世不竭。
（1）取5次，还有多长？（答：1/32）（2）取多少次，还有0.125尺？（答：10.1252x=（），则x=?引例2：2002年我国GDP 为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年GDP 是2002年的2倍？ 略解：(1+8%)x =2，则x=?二、师生互动，新课讲解：1．定义一般地，如果N a x =（0>a ，且1≠a ），那么数x 叫做以a 为底N 的对数（logarithm ），记作N x a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．（解答引例）问：以4为底16的对数是2，用等式怎么表达？讨论：按照对数的定义，以4为底16的对数是2，可记作216log 4=；同样从对数的定义出发，可写成1642=．2．对数式与指数式的互化当0>a ，且1≠a 时，如果N a x =，那么N x a log =；如果N x a log =，那么N a x =．即N a x =等价于N x a log =，记作当0>a ，且1≠a 时，N a x =⇔N x a log =．负数和零没有对数3．两个重要的对数（常用对数和自然对数）通常我们将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并且把N 10log 记作N lg ．在科学技术中常使用以无理数Λ597182818284.2=e 为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数（naturallogarithm ），并且把N e log 记作N ln ．例1：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式（1）62554=；（2）64126=-；（3）373=a ；（4）73.5)31(=m （5）416log 21-=；（6）7128log 2=；（7）a =27log 3；（8）201.0lg -= 变式训练1：（课本P64练习 NO ：1；2）例2（课本P63例2）：求下列各式中x 的值。
对数与对数的运算详细教案
课题2.2.1 对数与对数的运算 教学内容：对数与对数的运算 教学目标:1.知识目标：理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化以及认识特殊对数的意义和表示方式；2.能力目标：培养学生分析问题、解决问题的能力与思维灵活性的能力；3.情感目标：在知识的探索和发现过程中让学生认识事物之间的相互联系与相互转换；感受探索新知的乐趣和成功的喜悦．教学重点:对数的概念，对数与指数的关系． 教学难点:对数概念的理解． 课型：新授课. 教学方法：1 教法:讲解法，合作法.2 学法:类比学习法，合作学习法.3 教学用具:彩色粉笔；多媒体.教学过程：1.创设情境，引入新知（1）庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭.①取5次，还有多长？ ②取多少次，还有0.125尺？（2）截止1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后我国人口数可达18亿？ 可抽象出：51,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭10.125?2xx ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭()1311%18y⨯+=即181.01?13y y =⇒=师：上一节我们已经知道指数运算就是我们以前学的乘方运算，同样也知道乘方运算的逆运算开方运算.对512a⎛⎫=⎪⎝⎭，大家认为是什么运算呢？a的值为多少呢？对于1180.125 1.01213xy⎛⎫==⎪⎝⎭和，这两个式子有什么共同的地方没有？是什么？（已知底数和幂值，求指数）.是我们熟悉的运算吗？和我们所熟知的指数也能算和开方运算有联系吗？其中的x y和的值怎么表示呢？带着这些问题进入我们今天的课堂：对数.2.探究新知⑴对数定义如果x a N=(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x =loga N（01a a>≠且）其中a叫对数的底数，N叫做真数.师：从上述定义要知道对数的记法为：logaN；读作：以a为底N的对数.师：得出logaN表示a的多少次幂为N.师：在上节我们学的指数函数中，我们知道a＞0且a≠1才有意义，所以在考虑对数的时候我们也规定a＞0且a≠1．师：知道了对数的定义，我们就根据定义来把刚刚的第三和四小题中的,x y表示出来了：因为10.1252x⎛⎫=⎪⎝⎭，所以12log0.125x=；因为181.0113y=，所以1.0118log13y=.师：我们根据对数定义，可以看出指数和对数存在密不可分的关系，那么究竟有怎样的关系呢？我们一起来看看.⑵指数式和对数式的关系师: 讨论两者之间的关系前要明确a的取值范围是a＞0且a≠1，也要知道两个式子中相同字母代表的是同一个数，只是数的位置发生了变化，到底是怎样的变化呢？下面我们就一起来学习：师: 这便是指数式和对数式的关系，在此我还要强调一下，x a N =和x =log a N 其实表示的一种关系，它们是一种关系的不同表达式，x a N =是指数形式，x =log a N 是对数形式，本质上它们是一回事。
《对数与对数运算》教案全面版
《对数与对数运算》教案全面版（一）学习目标：⒈理解对数的意义、符号，能正确进行指数式与对数式的互相转化；⒉通过阅读材料，了解对数的发展历史以及其对简化运算的作用．教学重点：对数的意义．教学难点：对数概念的理解．教学方法：讲授式．教具准备：《几何画板》演示课本例8．教学过程：（I）新课引入：师：在上节课的例题8中，我们得到了一个指数型函数．通过函数的解析式，我们可以计算得到任意一个年头的人口数．反之，哪一年的人口数将会达到18亿、20亿、30亿……呢？（学生思考，教师引导、演示）要解决这样一个问题，现在对我们来说是很困难的，但是我们可以通过电脑软件《几何画板》的演示来得到问题的近似解大约分别是33，43，84，…，这就是说，如果保持年增长率为1个百分点，那么大约经过33年，43年，84年，我国人口分别约为18亿，20亿，30亿．解决这个问题，实际上就是要要从，，，…中分别求出的值，也就是已知底数和幂的值，求指数．这就是本节课开始学习的对数问题．（II）讲授新课：⒈对数的意义：师：一般地，如果（且），那么数叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫对数的底数，N叫真数．请同学们把前面的人口问题中的时间用对数表示出来．生：，，．师：由于我们实际应用的进制记数方法，所以在实际应用中将以10为底的对数叫做常用对数，并把记作．另外，在科学技术和工程计算中常使用以无理数为底数的对数，以为底的对数成为自然对数，并且把记作．请同学们用计算器计算下面几个对数的值：，，，．生：（计算得），，，．师：由对数的定义，我们可以得到对数与指数间的关系式：．请同学们填写下表中空白处的名称：式子名称指数式对数式生：略．2、对数的性质：师：在对数中，我们规定且，这是为什么呢？生：在指数式中，为了使对任意实数都有意义，我们规定了；而当时，式子的值恒为1，但是在对数式中的值就是不确定的了，所以，在对数式中，我们和指数式一样规定了且．师：在学习指数函数的性质时我们知道，，这反映在对数中是怎样的性质呢？生：由于，所以在对数中必须有．师：这样我们就得到了对数的一条性质：负数和零没有对数．在指数式中我们知道：，，这反映到对数式中是怎样的呢？生：，．师：这就是对数的另一条性质．根据指数与对数间的关系，我们还可以得到，这个公式我们一般称为对数恒等式．例⒈例⒉见课本．（Ⅲ）课后练习：课本练习．（Ⅳ）课时小结⒈指数与对数的比较：式子名称幂的底数幂的指数幂值对数的底以为底的对数真数⒉要能够熟练的进行指数式与对数式的互相转化；⒊关于对数的发展历史，同学们可以阅读课本的阅读与思考．（Ⅴ）课后作业⒈课本习题2、2 A组⒈⒉⒉阅读课本～，思考下列问题：⑴对数有哪些运算性质？怎样用对数的定义证明这些性质？⑵什么叫对数的换底公式？它有什么用途？怎样用定义证明对数的换底公式？板书设计：2、2、1 对数与对数运算（一）⒈对数的意义：⒉根式的性质例⒈⑴常用对数⑴⑵自然对数⑵例⒉⑶ 小结：预习提纲：教学后记:2、2、1 对数与对数运算（二）学习目标：⒈理解对数的运算性质，能够运用对数的运算性质进行对数运算；⒉知道对数换底公式能将一般对数转化成常用对数或自然对数．教学重点：对数的运算性质．教学难点：用定义证明对数换底公式．教学方法：讲授式．教具准备：投影．教学过程：（I）复习引入：师：上节课我们学习了对数的定义及其基本性质，请同学们回忆一下，什么叫对数？生：如果（且），那么数叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫对数的底数，N叫真数．师：对数有哪些基本性质呢？生：对数有下面的基本性质：⑴负数和零没有对数；⑵，；⑶．师：对数与指数之间有怎样的关系？生：．师：这一节，我们将利用对数与指数之间的关系和幂的运算性质推导出对数的运算性质和对数换底公式．（II）讲授新课：⒈对数的运算性质：师：根据对数与指数之间的关系，我们可以进行指数式与对数式的互相转化．例如：设，，则有，，∴．将上式化为对数形式，得．这样我们就得到了对数的一个运算性质：．请同学们仿照上述过程，由和得出对数运算的另外两条性质．生：（推导得出），．师：下面我们来看一下对数的运算性质的应用．例题：课本例3、例4、⒉对数换底公式：师：有了对数的运算性质，我们就可以对一些特殊的对数式进行运算或化简了．但实际应用中多见的还是常用对数和自然对数，怎样才能将以其他底的对数转换为以10或为底的对数，以方便我们的计算呢？为了解决上述问题，我们有下面的对数换底公式：．你能根据对数的定义推导出上面的换底公式吗？（在教师的指导下，学生讨论、探究换底公式的证明方法，教师板书）证明：设，，，那么，，．将后面的两个式子代入前面的式子，得．根据指数函数的单调性，得，即．∴．师：对数换底公式的证明方法较多，例如也可以证明．对数换底公式还有如下常用的推论：⑴；⑵；⑶．请同学们应用对数的换底公式计算下面各式的值：，，．（Ⅲ）课后练习：课本练习．（Ⅳ）课时小结⒈要理解对数运算性质的推导方法，能够熟练应用对数的运算性质进行化简、求值；⒉应用对数换底公式可以方便的求出任意不为1的正数为底的对数．（Ⅴ）课后作业⒈课本习题2、2 A组⒊⒋⒉阅读课本～，思考下列问题：⑴怎样的函数叫对数函数？对数函数的定义域是什么？⑵对数函数的图象是怎样的？函数和的图象有什么关系？⑶对数函数有哪些性质？板书设计：2、2、1 对数与对数运算（二）⒈对数的运算性质：例题⒉对数换底公式⑴ 推论⑴⑵⑵⑶ ⑶小结：预习提纲：教学后记:你曾落过的泪，最终都会变成阳光，照亮脚下的路。
3.示范教案(2.1 对数与对数运算 第1课时)
2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算整体设计教学分析我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质;让学生归纳整理本节所学的知识.3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 重点难点教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用. 教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用. 课时安排 3课时教学过程第1课时 对数与对数运算(1)导入新课思路1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取4次,还有多长？（2）取多少次,还有0.125尺？2.假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？抽象出：1.(21)4＝？(21)x ＝0.125⇒x=? 2.(1+8%)x=2⇒x=?都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.思路2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数还不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.新知探究 提出问题(对于课本P 572.1.2的例8) ①利用计算机作出函数y=13×1.01x 的图象.②从图象上看,哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿…? ③如果不利用图象该如何解决,说出你的见解？ 即1318=1.01x ,1320=1.01x ,1330=1.01x ,在这几个式子中,x 分别等于多少？④你能否给出一个一般性的结论?活动：学生讨论并作图,教师适时提示、点拨.对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点.对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.对问题③,定义一种新的运算.对问题④,借助③,类比到一般的情形. 讨论结果：①如图2-2-1-1.图2-2-1-1②在所作的图象上,取点P,测出点P 的坐标,移动点P,使其纵坐标分别接近18,20,30,观察这时的横坐标,大约分别为32.72,43.29,84.04,这就是说,如果保持年增长率为1个百分点,那么大约经过33年,43年,84年,我国人口分别约为18亿,20亿,30亿.③1318=1.01x ,1320=1.01x ,1330=1.01x ,在这几个式子中,要求x 分别等于多少,目前我们没学这种运算,可以定义一种新运算,即若1318=1.01x ,则x 称作以1.01为底的1318的对数.其他的可类似得到,这种运算叫做对数运算.④一般性的结论就是对数的定义:一般地,如果a(a>0,a≠1)的x 次幂等于N,就是a x =N,那么数x 叫做以a 为底N 的对数(logarithm),记作x=log a N,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 有了对数的定义,前面问题的x 就可表示了: x=log 1.011318,x=log 1.011320,x=log 1.011330.由此得到对数和指数幂之间的关系:a Nb 指数式a b =N 底数 幂 指数 对数式log a N=b对数的底数真数对数例如：42=16⇔2=log 416;102=100⇔2=log 10100;421=2⇔21=log 42;10-2=0.01⇔-2=log 100.01①为什么在对数定义中规定a>0,a≠1?②根据对数定义求log a 1和log a a(a>0,a≠1)的值. ③负数与零有没有对数? ④Na alog =N 与log a a b =b(a>0,a≠1)是否成立?讨论结果：①这是因为若a ＜0,则N 为某些值时,b 不存在,如log （－2）21; 若a=0,N 不为0时,b 不存在,如log 03,N 为0时,b 可为任意正数,是不唯一的,即log 00有无数个值;若a=1,N 不为1时,b 不存在,如log 12,N 为1时,b 可为任意数,是不唯一的,即log 11有无数个值.综之,就规定了a ＞0且a≠1. ②log a 1=0,log a a=1.因为对任意a>0且a≠1,都有a 0=1,所以log a 1=0. 同样易知：log a a=1.即1的对数等于0,底的对数等于1.③因为底数a ＞0且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b ∈R ,a b ＞0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数. ④因为a b =N,所以b=log a N,a b =a Na alog =N,即a Na alog =N.因为a b =a b ,所以log a a b =b.故两个式子都成立.(a Na alog =N 叫对数恒等式)思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗? 活动：同学们阅读课本P 68的内容,教师引导,板书. 解答：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数log 10N 简记作lgN.例如：log 105简记作lg5;log 103.5简记作lg3.5. ②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数log e N 简记作lnN. 例如：log e 3简记作ln3;log e 10简记作ln10. 应用示例思路1例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式： （1）54=625;（2）2-6=641;（3）(31)m =5.73; (4)log 2116=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.活动：学生阅读题目,独立解题,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生,强调注意的问题.对（1）根据指数式与对数式的关系,4在指数位置上,4是以5为底625的对数. 对（2）根据指数式与对数式的关系,-6在指数位置上,-6是以2为底641的对数.对（3）根据指数式与对数式的关系,m 在指数位置上,m 是以31为底5.73的对数. 对(4)根据指数式与对数式的关系,16在真数位置上,16是21的-4次幂. 对(5)根据指数式与对数式的关系,0.01在真数位置上,0.01是10的-2次幂. 对(6)根据指数式与对数式的关系,10在真数位置上,10是e 的2.303次幂. 解：（1）log 5625=4;（2）log 2641=-6;（3）log 315.73=m; （4）(21)-4=16;(5)10-2=0.01;(6)e 2.303=10. 思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题?活动：学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出过程,理清对数与指数幂的关系,特别是位置的对照.解答：若是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式,则要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清N 与b 在指数式与对数式中的位置,千万不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据. 变式训练课本P 64练习 1、2.例2求下列各式中x 的值: （1）log 64x=32-;（2）log x 8=6; （3）lg100=x;（4）-lne 2=x. 活动：学生独立解题,教师同时展示学生的作题情况,要求学生说明解答的依据,利用指数式与对数式的关系,转化为指数式求解.解：（1）因为log 64x=-32,所以x=6432-=(2))32(6-⨯=2-4=161.（2）因为log x 8=6,所以x 6=8=23=(2)6.因为x>0,因此x=2. （3）因为lg100=x,所以10x =100=102.因此x=2.（4）因为-lne 2=x,所以lne 2=-x,e -x =e 2.因此x=-2.点评：本题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解. 变式训练求下列各式中的x ： ①log 4x=21;②log x 27=43;③log 5（log 10x ）=1. 解：①由log 4x=21,得x=421=2;②由log x 27=43,得x 43=27,所以x=2734=81;③由log 5（log 10x ）=1,得log 10x=5,即x=105.点评：在解决对数式的求值问题时,若不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系,首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果.思路2例1以下四个命题中,属于真命题的是（ ） （1）若log 5x=3,则x=15 （2）若log 25x=21,则x=5 （3）若log x 5=0,则x=5 （4）若log 5x=－3,则x=1251 A.（2）（3） B.（1）（3） C.（2）（4） D.（3）（4） 活动：学生观察,教师引导学生考虑对数的定义. 对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果. 对于（1）因为log 5x=3,所以x=53=125,错误;对于（2）因为log 25x=21,所以x=2521=5,正确;对于（3）因为log x 5=0,所以x 0=5,无解,错误; 对于（4）因为log 5x=－3,所以x=5-3=1251,正确. 总之（2）（4）正确. 答案：C点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据. 例2对于a ＞0,a≠1,下列结论正确的是（ ）（1）若M=N,则log a M=log a N （2）若log a M=log a N,则M=N （3）若log a M 2=log a N 2,则M=N（4）若M=N,则log a M 2=log a N 2 A.（1）（3） B.（2）（4） C.（2） D.（1）（2）（4） 活动：学生思考,讨论,交流,回答,教师及时评价. 回想对数的有关规定.对（1）若M=N,当M 为0或负数时log a M≠log a N,因此错误; 对（2）根据对数的定义,若log a M=log a N,则M=N,正确; 对（3）若log a M 2=log a N 2,则M=±N,因此错误;对（4）若M=N=0时,则log a M 2与log a N 2都不存在,因此错误. 综上,（2）正确. 答案：C点评：0和负数没有对数,一个正数的平方根有两个. 例3计算：(1)log 927;(2)log 4381;(3)log )32((2-3);(4)log 345625.活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,学生展示自己的解题过程,教师及时评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法.解法一：(1)设x=log 927,则9x =27,32x =33,所以x=23; (2)设x=log 4381,则(43)x =81,34x =34,所以x=16; (3)令x=log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1,所以(2+3)x =(2+3)-1,x=-1; (4)令x=log 345625,所以(345)x =625,534x=54,x=3.解法二：(1)log 927=log 933=log 9923=23; (2)log 4381=log 43(43)16=16; (3)log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1=-1;(4)log 345625=log 345(345)3=3.点评：首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和对数恒等式的依据. 变式训练课本P 64练习 3、4. 知能训练1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)42＝16;（2）30=1;（3）4x ＝2;（4）2x ＝0.5;(5)54=625;(6)3-2=91;(7)(41)-2=16. 解：(1)2＝log 416;(2)0＝log 31;(3)ｘ＝log 4２;(4)ｘ＝log 20.5;(5)4=log 5625; (6)-2=log 391;(7)-2=log 4116. 2.把下列各题的对数式写成指数式:(1)ｘ＝log 527;(2)ｘ＝log 87;(3)ｘ＝log 43;(4)ｘ＝log 731; (5)log 216=4;(6)log 3127=-3;(7)logx3=6;(8)log x 64=-6;(9)log 2128=7;(10)log 327=a.解：(1)5x ＝27;(2)8x ＝７;(3)4x ＝3;(4)7x ＝31;(5)24=16;(6)(31)-3=27;(7)(3)6 =x;(8)x -6=64;(9)27=128;(10)3a =27. 3.求下列各式中x 的值: (1)log 8x=32-;(2)log x 27=43;(3)log 2（log 5x ）=1;(4)log 3（lgx ）=0.解：(1)因为log 8x=32-,所以x=832-=(23)32-=)32(32-⨯=2-2=41;(2)因为log x 27=43,所以x 43=27=33,即x=(33)34=34=81;(3)因为log 2（log 5x ）=1,所以log 5x=2,x=52=25; (4)因为log 3（lgx ）=0,所以lgx=1,即x=101=10. 4.(1)求log 84的值;(2)已知log a 2=m,log a 3=n,求a 2m +n 的值.解：(1)设log 84=x,根据对数的定义有8x =4,即23x =22,所以x=32,即log 84=32; (2)因为log a 2=m,log a 3=n,根据对数的定义有a m =2,a n =3,所以a 2m +n =(a m )2·a n =(2)2·3=4×3=12.点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法则的应用. 拓展提升请你阅读课本75页的有关阅读部分的内容,搜集有关对数发展的材料,以及有关数学家关于对数的材料,通过网络查寻关于对数换底公式的材料,为下一步学习打下基础. 课堂小结(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数. 作业课本P 74习题2.2A 组 1、2. 【补充作业】1.将下列指数式与对数式互化,有x 的求出x 的值. （1）521-=51;（2）log 24=x;（3）3x =271; （4）(41)x=64;（5）lg0.000 1=x;（6）lne 5=x. 解：（1）521-=51化为对数式是log 551=21-; （2）x=log 24化为指数式是(2)x=4,即22x=22,2x=2,x=4; （3）3x =271化为对数式是x=log 3271,因为3x =(31)3=3-3,所以x=-3; （4）(41)x =64化为对数式是x=log 4164,因为(41)x =64=43,所以x=-3; （5）lg0.0001=x 化为指数式是10x =0.0001,因为10x =0.000 1=10-4,所以x=-4;（6）lne 5=x 化为指数式是e x =e 5,因为e x =e 5,所以x=5.2.计算51log 53log333+的值.解：设x=log 351,则3x =51,(321)x =(51)21,所以x=log513.所以351log 5log 3333+=513log 35+=515+=556. 3.计算Nc b c b a a log log log ∙∙(a>0,b>0,c>0,N>0).解：Nc b c b a alog log log ∙∙=Nc c b b log log ∙=Nc clog =N.设计感想本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上,为了运算的方便,引进了对数的概念,使学生感受到对数的现实背景,它有着丰富的内涵,和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,鉴于这种情况,安排教学时,无论是导入还是概念得出的过程,都比较详细,通俗易懂,要反复练习,要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别,结合指数式理解对数式,强化对数是一种运算,并注意对数运算符号的理解和记忆,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务,为下一节课作准备. (设计者：路致芳)。
教学设计2：3.2.1 对数及其运算（一）
§3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算(一)一．教学目标：1．知识技能：①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；②理解和掌握对数的性质；③掌握对数式与指数式的关系 .2. 过程与方法：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质 .3．情感、态度、价值观（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质 .（3）在学习过程中培养学生探究的意识.（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.二．重点与难点：（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质（2）难点：对数性质的推导三．学法与教具：（1）学法：讲授法、讨论法、类比分析与发现（2）教具：投影仪教学过程[问题情境] 对数,延长了天文学家的生命.“给我空间、时间和对数,我可以创造一个宇宙”,这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话.从这段话可以看到,伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论.那么,“对数”到底是什么呢？本节就来探讨这个问题.探究点一 对数的概念问题1 若24＝M ,则M 等于多少？若2－2＝N ,则N 等于多少？答： M ＝16,N ＝14. 问题2 若2x ＝16,则x 等于多少？若2x ＝14,则x 等于多少？ 答： x 的值分别为4,－2.问题3 满足2x ＝3的x 的值,我们用log 23表示,即x ＝log 23,并叫做“以2为底3的对数”.那么满足2x ＝16,2x ＝14,4x ＝8的x 的值如何表示？ 答： 分别表示为log 216,log 214,log 48. 小结： 1.在指数函数f (x )＝a x (a ＞0,且a ≠1)中,对于实数集R 内的每一个值x ,在正实数集内都有唯一确定的值y 和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值y ,在R 内都有唯一确定的值x 和它对应.幂指数x ,又叫做以a 为底y 的对数.一般地,对于指数式a b ＝N ,我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ,即b ＝log a N (a >0,a ≠1).其中,数a 叫做对数的底数,N 叫做真数,读作“b 等于以a 为底N 的对数”.2.对数log a N (a >0,且a ≠1)的性质(1)0和负数没有对数,即N >0;(2)1的对数为0,即 log a 1＝0;(3)底的对数等于1,即 log a a ＝1.3.常用对数以10为底的对数叫做常用对数.为了简便起见,对数log 10N 简记作 lg N .探究点二 对数与指数的关系问题1 当a >0,且a ≠1时,若a x ＝N ,则x ＝log a N ,反之成立吗？为什么？答：反之也成立,因为对数表达式x ＝log a N 不过是指数式a x ＝N 的另一种表达形式,它们是同一关系的两种表达形式.问题2 在指数式a x ＝N 和对数式x ＝log a N 中,a ,x ,N 各自的地位有什么不同？答问题3 若a b ＝N ,则b ＝log a N ,二者组合可得什么等式？答：对数恒等式:a ＝N .问题4 当a >0,且a ≠1时,log a (－2),log a 0存在吗？为什么？由此能得到什么结论？ 答：不存在,因为log a (－2),log a 0对应的指数式分别为a x ＝－2,a x ＝0,x 的值不存在,由此能得到的结论是:0和负数没有对数.问题5 根据对数定义,log a 1和log a a (a >0,a ≠1)的值分别是多少？答：log a 1＝0,log a a ＝1.∵对任意a >0且a ≠1,都有a 0＝1, ∴化成对数式为log a 1＝0; ∵a 1＝a ,∴化成对数式为log a a ＝1.小结： 对数log a N (a >0,且a ≠1)具有下列性质:(1)0和负数没有对数,即N >0;(2)1的对数为0,即log a 1＝0;(3)底的对数等于1,即log a a ＝1.例1 求log 22, log 21, log 216, log 212. 解： 因为21＝2,所以log 22＝1;因为20＝1,所以log 21＝0;因为24＝16,所以log 216＝4;因为2－1＝12,所以log 212＝－1. 小结： log a N ＝x 与a x ＝N (a >0,且a ≠1,N >0)是等价的,表示a ,x ,N 三者之间的同一种关系,可以利用其中两个量表示第三个量.因此,已知a ,x ,N 中的任意两个量,就能求出另一个量. 跟踪训练1 将下列指数式写成对数式:(1)54＝625; (2)2－6＝164; (3)3a ＝27; (4)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73. 解： (1)log 5625＝4;(2)log 2164＝－6;(3)log 327＝a ;(4)log 135.73＝m . 例2 计算:(1)log 927; (2)log 4381; (3)log 354625.解：(1)设x ＝log 927,则9x ＝27,32x ＝33,∴x ＝32. (2)设x ＝log 4381,则⎝⎛⎭⎫43x ＝81,3＝34,∴x ＝16.(3)令x ＝log 354625,∴⎝⎛⎭⎫354x ＝625,5＝54,∴x ＝3.小结：要求对数的值,设对数为某一未知数,将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求解.跟踪训练2 求下列各式中的x 的值:(1)log 64x ＝－23; (2)log x 8＝6; (3)lg 100＝x . 解： (1)x ＝(64) －23＝(43) －23＝4－2＝116.(2)x 6＝8,所以x ＝(x 6) 16＝816＝(23) 16＝212＝ 2.(3)10x ＝100＝102,于是x ＝2.探究点三 常用对数问题 阅读教材96页下半页,说出什么叫常用对数？常用对数如何表示？答：以10为底的对数叫做常用对数.通常把底10略去不写,并把“log”写成“lg”,并把log 10N 记做lg N .如果以后没有指出对数的底,都是指常用对数.如“100的对数是2”就是“100的常用对数是2”.例3 求lg 10,lg 100,lg 0.01.解：因为101＝10,所以lg 10＝1;因为102＝100,所以lg 100＝2;因为10－2＝0.01,所以lg 0.01＝－2.小结：由本例题可以看出,对于常用对数,当真数为10n (n ∈Z )时,lg 10n ＝n ;当真数不是10的整数次方时,常用对数的值可通过查对数表或使用科学计算器求得.跟踪训练3 求下列各式中的x 的值:(1)log 2(log 5x )＝0;(2)log 3(lg x )＝1; (3)log (2－1)13＋22＝x .解： (1)∵log 2(log 5x )＝0. ∴log 5x ＝20＝1,∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1,∴lg x ＝31＝3,∴x ＝103＝1 000.(3)∵log (2－1)13＋22＝x ,∴(2－1)x ＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1, ∴x ＝1.当堂检测1.若log (x ＋1)(x ＋1)＝1,则x 的取值范围是( B ) A.x >－1B.x >－1且x ≠0C.x ≠0D.x ∈R 解析：由对数函数的定义可知x ＋1≠1，x ＋1>0即x >－1且x ≠0.2.已知log 12x ＝3,则x 13＝__12______.解析：∵log 12x ＝3,∴x ＝(12)3, ∴x 13＝12. 3.已知a 12＝49(a >0),则log 23a ＝__4______.解析：由a 12＝49(a >0),得a ＝(49)2＝(23)4, 所以log 23a ＝log 23(23)4＝4. 4.将下列对数式写成指数式:(1)log 16＝－4;(2)log 2128＝7;(3)lg 0.01＝－2.解：(1)⎝⎛⎭⎫12－4＝16;(2)27＝128; (3)10－2＝0.01.课堂小结：1.掌握指数式与对数式的互化a b ＝N ⇔log a N ＝b .2.对数的常用性质有:负数和0没有对数,log a 1＝0,log a a ＝1.3.对数恒等式有:a log a N ＝N ,log a a n ＝n .4.常用对数:底数为10的对数称为常用对数,记为lg N .。
3.示范教案(2.1对数与对数运算第1课时)
2.2对数函数2.2.1对数与对数运算全体规划教育剖析咱们在前面的学习进程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的根底,从本节开端咱们学习对数及其运算.使学生知道引进对数的必要性,了解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简略使用,能将一般对数转化为常用对数或天然对数,经过阅览资料,了解对数的发现前史及其对简化运算的效果.教材重视从实际生活的案例中引出对数概念,所举比如比较全面,有利于培育学生的思想素质和激起学生学习数学的爱好和愿望.教育中要充分发挥讲义的这些资料的效果,并尽可能联络一些了解的案例,以丰厚教育的景象创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教育功用,教材组织了“阅览与考虑”的内容,有利于加强数学文明的教育,应辅导学生仔细研读.依据本节内容的特色,教育中要留意发挥信息技术的力气,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的效果,尽量使用核算器和核算机创设教育情境,为学生的数学探求与数学思想供给支撑.三维方针1.了解对数的概念,了解对数与指数的联络;了解和把握对数的性质;把握对数式与指数式的联络；经过实例推导对数的运算性质,精确地运用对数运算性质进行运算,并把握化简求值的技术;运用对数运算性质处理有关问题.培育学生剖析、概括处理问题的才能;培育学生数学使用的认识和科学剖析问题的精力和情绪.2.经过与指数式的比较,引出对数的界说与性质；让学生阅历并推理出对数的运算性质;让学生概括收拾本节所学的常识.3.学会对数式与指数式的互化,然后培育学生的类比、剖析、概括才能;经过对数的运算规律的学习,培育学生的谨慎的思想质量；在学习进程中培育学生探求的认识；让学生感触对数运算性质的重要性,添加学生的成功感,增强学习的活跃性.要点难点教育要点：对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数常识的使用.教育难点:对数概念的了解,对数运算性质的推导及使用.课时组织3课时教育进程第1课时对数与对数运算(1)导入新课思路1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取4次,还有多长？（2）取多少次,还有0.125尺？2.假定2002年我国国民生产总值为a亿元,假如每年均匀增加8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？笼统出：1.()4＝？()x＝0.125x=?2.(1+8%)x=2x=?都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这便是咱们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.思路2.咱们前面学习了指数函数及其性质,一起也会使用性质处理问题,但仅仅有指数函数还不行,为了处理某些实际问题,还要学习对数函数,为此咱们先学习对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.推进新课新知探求提出问题(关于讲义P572.1.2的例8)①使用核算机作出函数y=13×1.01x的图象.②从图象上看,哪一年的人口数要到达18亿、20亿、30亿…?③假如不使用图象该怎么处理,说出你的见地？即=1.01x,=1.01x,=1.01x,在这几个式子中,x别离等于多少？④你能否给出一个一般性的定论?活动：学生评论并作图,教师当令提示、指点.对问题①,回想核算机作函数图象的办法,捉住要害点.对问题②,图象相似于人的相片,从相片上能看出人的特色,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.对问题③,界说一种新的运算.对问题④,凭借③,类比到一般的景象.评论成果：①如图2-2-1-1.图2-2-1-1②在所作的图象上,取点P,测出点P的坐标,移动点P,使其纵坐标别离挨近18,20,30,调查这时的横坐标,大约别离为32.72,43.29,84.04,这便是说,假如坚持年增加率为1个百分点,那么大约经过33年,43年,84年,我国人口别离约为18亿,20亿,30亿.③=1.01x,=1.01x,=1.01x,在这几个式子中,要求x别离等于多少,现在咱们没学这种运算,能够界说一种新运算,即若=1.01x,则x称作以1.01为底的的对数.其他的可相似得到,这种运算叫做对数运算.④一般性的定论便是对数的界说:一般地,假如a(a>0,a≠1)的x次幂等于N,便是a x=N,那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作x=log a N,其间a叫做对数的底数,N叫做真数.有了对数的界说,前面问题的x就可表明了:x=log1.01,x=log1.01,x=log1.01.由此得到对数和指数幂之间的联络:a N b指数式a b=N 底数幂指数对数式log a N=b 对数的底数真数对数例如：42=162=log416;102=1002=log10100;4=2=log42;10-2=0.01-2=log100.01提出问题①为什么在对数界说中规则a>0,a≠1?②依据对数界说求log a1和log a a(a>0,a≠1)的值.③负数与零有没有对数?④=N与log a a b=b(a>0,a≠1)是否建立?评论成果：①这是由于若a＜0,则N为某些值时,b不存在,如log（－2）;若a=0,N不为0时,b不存在,如log03,N为0时,b可为恣意正数,是不仅有的,即log00有无数个值;若a=1,N不为1时,b不存在,如log12,N为1时,b可为恣意数,是不仅有的,即log11有无数个值.综之,就规则了a＞0且a≠1.②log a1=0,log a a=1.由于对恣意a>0且a≠1,都有a0=1,所以log a1=0.相同易知：log a a=1.即1的对数等于0,底的对数等于1.③由于底数a＞0且a≠1,由指数函数的性质可知,对恣意的b∈R,a b＞0恒建立,即只要正数才有对数,零和负数没有对数.④由于a b=N,所以b=log a N,a b=a=N,即a=N.由于a b=a b,所以log a a b=b.故两个式子都建立.(a=N叫对数恒等式)考虑咱们对对数的概念和一些特别的式子已经有了必定的了解,但还有两类特别的对数对科学研讨和了解天然起了巨大的效果,你们知道是哪两类吗?活动：同学们阅览讲义P68的内容,教师引导,板书.答复：①常用对数：咱们一般将以10为底的对数叫做常用对数.为了简洁,N的常用对数log10N简记作lgN.例如：log105简记作lg5;log103.5简记作lg3.5.②天然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28……为底的对数,以e为底的对数叫天然对数,为了简洁,N 的天然对数log e N简记作lnN.例如：log e3简记作ln3;log e10简记作ln10.使用示例思路1例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：（1）54=625;（2）2-6=;（3）()m=5.73;(4)log16=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.活动：学生阅览标题,独立解题,把自己解题的进程展现在屏幕上,教师点评学生,着重留意的问题.对（1）依据指数式与对数式的联络,4在指数方位上,4是以5为底625的对数.对（2）依据指数式与对数式的联络,-6在指数方位上,-6是以2为底的对数.对（3）依据指数式与对数式的联络,m在指数方位上,m 是以为底5.73的对数.对(4)依据指数式与对数式的联络,16在真数方位上,16是的-4次幂.对(5)依据指数式与对数式的联络,0.01在真数方位上,0.01是10的-2次幂.对(6)依据指数式与对数式的联络,10在真数方位上,10是e的2.303次幂.解：（1）log5625=4;（2）log2=-6;（3）log5.73=m;（4）()-4=16;(5)10-2=0.01;(6)e2.303=10.考虑指数式与对数式的互化应留意哪些问题?活动：学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出进程,理清对数与指数幂的联络,特别是方位的对照.答复：若是指数式化为对数式,要害要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式,则要看清真数是几,再写成幂的方式.最要害的是搞清N与b在指数式与对数式中的方位,千万不行粗心,其间对数的界说是指数式与对数式互化的依据.变式操练讲义P64操练 1、2.例2求下列各式中x的值:（1）log64x=;（2）log x8=6;（3）lg100=x;（4）-lne2=x.活动：学生独立解题,教师一起展现学生的作题状况,要求学生阐明答复的依据,使用指数式与对数式的联络,转化为指数式求解.解：（1）由于log64x=-,所以x=64=(2)=2-4=.（2）由于log x8=6,所以x6=8=23=()6.由于x>0,因而x=.（3）由于lg100=x,所以10x=100=102.因而x=2.（4）由于-lne2=x,所以lne2=-x,e-x=e2.因而x=-2.点评：本题要留意方根的运算,一起也可凭借对数恒等式来解.变式操练求下列各式中的x：①log4x=;②log x27=;③log5（log10x）=1.解：①由log4x=,得x=4=2;②由log x27=,得x=27,所以x=27=81;③由log5（log10x）=1,得log10x=5,即x=105.点评：在处理对数式的求值问题时,若不能一会儿看出成果,依据指数式与对数式的联络,首要将其转化为指数式,进一步依据指数幂的运算性质算出成果.思路2例1以下四个出题中,归于真出题的是（）（1）若log5x=3,则x=15 （2）若log25x=,则x=5 （3）若log x=0,则x= （4）若log5x=－3,则x=A.（2）（3）B.（1）（3）C.（2）（4）D.（3）（4）活动：学生调查,教师引导学生考虑对数的界说.对数式化为指数式,依据指数幂的运算性质算出成果.关于（1）由于log5x=3,所以x=53=125,过错;关于（2）由于log25x=,所以x=25=5,正确;关于（3）由于log x=0,所以x0=,无解,过错;关于（4）由于log5x=－3,所以x=5-3=,正确.总归（2）（4）正确.答案：C点评：对数的界说是对数方式和指数方式互化的依据.例2关于a＞0,a≠1,下列定论正确的是（）（1）若M=N,则log a M=log a N （2）若log a M=log a N,则M=N （3）若log a M2=log a N2,则M=N（4）若M=N,则log a M2=log a N2A.（1）（3）B.（2）（4）C.（2）D.（1）（2）（4）活动：学生考虑,评论,沟通,答复,教师及时点评.回想对数的有关规则.对（1）若M=N,当M为0或负数时log a M≠log a N,因而过错;对（2）依据对数的界说,若log a M=log a N,则M=N,正确;对（3）若log a M2=log a N2,则M=±N,因而过错;对（4）若M=N=0时,则log a M2与log a N2都不存在,因而过错.综上,（2）正确.答案：C点评：0和负数没有对数,一个正数的平方根有两个.例3核算：1.log927;(2)log81;(3)log(2-3);(4)log625.活动：教师引导,学生回想,教师发问,学生答复,活跃沟通,学生展现自己的解题进程,教师及时点评学生.使用对数的界说或对数恒等式来解.求式子的值,首要设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.别的使用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法.解法一：(1)设x=log927,则9x=27,32x=33,所以x=;2.设x=log81,则()x=81,3=34,所以x=16;3.令x=log(2-)=log(2+)-1,所以(2+)x=(2+)-1,x=-1;4.令x=log625,所以()x=625,5x=54,x=3.解法二：(1)log927=log933=log99=;(2)log81=log()16=16;(3)log(2-)=log(2+)-1=-1;(4)log625=log()3=3.点评：首要将其转化为指数式,进一步依据指数幂的运算性质算出成果,对数的界说是转化和对数恒等式的依据.变式操练讲义P64操练 3、4.知能操练1.把下列各题的指数式写成对数式:1.42＝16;（2）30=1;（3）4x＝2;（4）2x＝0.5;(5)54=625;(6)3-2=;(7)()-2=16.解：(1)2＝log416;(2)0＝log31;(3)ｘ＝log4２;(4)ｘ＝log20.5;(5)4=log5625;(6)-2=log3;(7)-2=log16.2.把下列各题的对数式写成指数式:1.ｘ＝log527;(2)ｘ＝log87;(3)ｘ＝log43;(4)ｘ＝log7;(5)log216=4;(6)log27=-3;(7)log=6;(8)log x64=-6; (9)log2128=7;(10)log327=a.解：(1)5x＝27;(2)8x＝７;(3)4x＝3;(4)7x＝;(5)24=16;(6)()-3=27;(7)()6=x;(8)x-6=64;(9)27=128;(10)3a=27.3.求下列各式中x的值:1.log8x=;(2)log x27=;(3)log2（log5x）=1;(4)log3（lgx）=0.解：(1)由于log8x=,所以x=8=(23)==2-2=;2.由于log x27=,所以x=27=33,即x=(33)=34=81;3.由于log2（log5x）=1,所以log5x=2,x=52=25;4.由于log3（lgx）=0,所以lgx=1,即x=101=10.4.(1)求log84的值;(2)已知log a2=m,log a3=n,求a2m+n的值.解：(1)设log84=x,依据对数的界说有8x=4,即23x=22,所以x=,即log84=;(2)由于log a2=m,log a3=n,依据对数的界说有a m=2,a n=3,所以a2m+n=(a m)2·a n=(2)2·3=4×3=12.点评：此题不仅是简略的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算规律的使用.拓宽提高请你阅览讲义75页的有关阅览部分的内容,收集有关对数开展的资料,以及有关数学家关于对数的资料,经过网络查寻关于对数换底公式的资料,为下一步学习打下根底.讲堂小结1.对数引进的必要性；(2)对数的界说；(3)几种特别数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特别的对数.作业讲义P74习题2.2A组 1、2.【弥补作业】1.将下列指数式与对数式互化,有x的求出x的值.（1）5=;（2）log24=x;（3）3x=;（4）()x=64;（5）lg0.000 1=x;（6）lne5=x.解：（1）5=化为对数式是log5=;（2）x=log4化为指数式是()x=4,即2=22,=2,x=4;（3）3x=化为对数式是x=log3,由于3x=()3=3-3,所以x=-3;（4）()x=64化为对数式是x=log64,由于()x=64=43,所以x=-3;（5）lg0.0001=x化为指数式是10x=0.0001,由于10x=0.000 1=10-4,所以x=-4;（6）lne5=x化为指数式是e x=e5,由于e x=e5,所以x=5. 2.核算的值.解：设x=log3,则3x=,(3)x=(),所以x=log.所以3===.3.核算(a>0,b>0,c>0,N>0).解：===N.规划感触本节课在前面研讨了指数函数及其性质的根底上,为了运算的便利,引进了对数的概念,使学生感触到对数的实际布景,它有着丰厚的内在,和咱们的实际生活联络亲近,也是今后学习对数函数的根底,鉴于这种状况,组织教育时,无论是导入仍是概念得出的进程,都比较具体,通俗易懂,要重复操练,要紧紧捉住它与指数概念之间的联络与差异,结合指数式了解对数式,强化对数是一种运算,并留意对数运算符号的了解和回忆,多运用信息化的教育手法,顺利完成本堂课的使命,为下一节课作预备. (规划者：路致芳)。
《3.2.1对数》教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《3.2.1对数》教案【教学目标】1､理解对数的概念.2､能进行指数式与对数式的互化.3､理解对数恒等式并能运用于有关的对数计算.4､通过转化思想这种方法的运用,培养学生转化的思想观念及逻辑思维能力.【教学重点】1､对数的定义.2､指数式与对数式的互化.【教学难点】对数概念的理解(由于对数符号是直接引入的,有“规定”的性质,且比较抽象,不易使学生接受和理解,因此对数符号的认识及其定义的理解是教学中的难点)【教学方法】启发式､讲练结合【教学过程】一、 提出问题(新课导入)假设2002年我国国内生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国内生产总值是2002年时的2倍?分析:假设经过x 年国内生产总值是2002年时的2倍,根据题意,有()18%2xa a +=即 1.082x =上式是已知底数和幂的值,要求指数的问题.如何从1.082x=中解出x 来,这就是我们本节课将要学习的内容——对数问题.二、 讲授新课 1､对数的定义一般地,如果()0,1a a a >≠的b 次幂等于N ,即b a N =,那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.注:1)在定义中注意底数a 的取值()0,1a a a >≠;2)在b a N =中,0N >,由此可以知道负数和零没有对数;说明:对数的定义中为什么规定()0,1a a a >≠呢?1) 若0a <时,则N 为某些值时,b 值不存在.如:22,8b log 8a N -=-==时，不存在;或者b 为某些值时,N 值不存在(无意义)12,2a b N =-==时，. 2) 若0a =时,则N 为某些值时,b 值不存在(值不唯一).如:00,2b log 2a N ===时，不存在(也可以表述为:0的多少次幂等于2?);00,0b log 0a N ===时，有无数多个值,值不唯一(0的任何非0次幂等于0);3) 若1a =时,则N 为某些值时,b 值不存在(值不唯一).如:11,3b log 3a N ===时，不存在(也可以表述为:1的多少次幂等于3?);11,1b log 1a N ===时，有无数多个值,值不唯一(1的任何次幂等于1);因此在上述的对数定义中规定:()0,1a a a >≠.2､常用对数通常将以10为底的对数叫做常用对数,为了简便,N 的常用对数10log N 简记为lg N . 例如 10log 5简记为 lg 5 ,10log 3.5简记为 lg3.5.3､自然对数在科学技术中常常使用无理数e 2.71828=L 为底的对数,以e 为底的对数叫做自然对数,为了简便,N 的常用对数log e N 简记为ln N .例如 log 3e 简记为 ln3 ,log 10e 简记为 ln10.通过上面对对数的定义学习,我们可以看出指数与对数有着密切的关系.接下来,我们就重点学习指数式与对数式的互化.例1 将下列指数式写成对数式:(1)45625= (2)61264-=(3)327a = (4)1 5.733m ⎛⎫= ⎪⎝⎭分析:根据对数的定义,,则问题得以解决.解:(1)5log 6254= (2)21log 664=-(3)3log 27a = (4)13log 5.73m = 例2 将下列对数式写成指数式: (1)12log 164=- (2)2log 1287= (3)lg0.012=- (4)ln10 2.303=分析:根据对数的定义,,则问题得以解决. 解:(1)41162-⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)72128= (3)2100.01-= (4) 2.30310e =注:1)例1和例2中,目的在于让学生熟悉对数的定义;2)处理对数与指数之间转化的运算时,应当充分利用对数的定义中log b a a N N b =⇔=的关系,突破点是准确找到与关系式中对应的量.我们有了一般的指数式与对数式的转化思路和方法,然而知识总是有特殊的地方,请同学们思考:log log 1?log ??a N a a a a ===()0,1a a >≠(给同学们自由探讨一定时间)推导:由对数的定义中可以得到注:以上三个式子可以作为公式直接使用.三、 课堂练习 1.把下列指数式写成对数式:(1)328= (2)5232=(3)1122-= (4)131273-= 2.把下列对数式写成指数式:(1)3log 92= (2)5log 1253=(3)lg1002= (4)lg0.00014=-3.求下列各式的值:(1)5log 25 (2)21log 16(3)lg1000 (4)3log 243对上述的3道题进行评讲,修正学生在解题中出现的错误,并强调应该注意的事项,与例题有同样的解题方法.四、 知识应用的升华(转化思想)1､求下列各式中x 的值: (1)271log 9x = (2)12log 4x =- (3)log 83x =- 分析:本题考查方程与对数的结合应用,对对数的定义的理解,对数式与指数式的互化是解题的关键.解:(1)由log ba a N Nb =⇔=,得 2711log 2799x x =⇔= 32233323x x x -⇒=⇒=-⇒=-(2)由log b a a N N b =⇔=,得4121log 4162x x x -⎛⎫=-⇔=⇒= ⎪⎝⎭ (3)由log b a a N N b =⇔=,得 3331log 8382x x x -⎛⎫=-⇔=⇒= ⎪⎝⎭1122x x ⇒=⇒= 2､已知log 2,log 3,a a m n ==求23m n a +的值. 分析:本题不仅考查对对数的定义的理解,对数式与指数式的互化,以及利用互化和常见的幂的运算法则解题.解:因为log 2,log 3,a a m n ==有对数的定义,有2,3m n a a ==,进而()()23232323108m n m n aa a +==⨯=g 注:本题不仅是简单的对数式与指数式的互化,同时还涉及到常见的幂的运算法则的应用.五、 课堂小结1､对数的定义(log b a a N N b =⇔=),对数与指数互化是对数与指数运算中常用的方法;2､熟记:log log 10,log 1,.a N a a a a N ===()0,1a a >≠ 3､注重转化思想的应用.。
【K12学习】对数与对数运算(一)教学设计
对数与对数运算(一)教学设计对数与对数运算教学设计一、教学内容分析本节课是新课标高中数学A版必修①中第二章对数函数内容的第一课时，也就是对数函数的入门。
对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。
而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广。
通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。
同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。
二、学生学习情况分析现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。
通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。
因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。
三、设计思想学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。
调动学生学习的积极性，主动性。
本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性。
在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。
让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。
四、教学目标1、理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质。
2、通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。
3、通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。
通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一。
4、培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识。
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（1） __________（2） __________
（3） ( （4） =(
【性质应用】
1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. ______(
5. 6. 7. 8.
9. 10. =______ 11. 12.
三、课堂小结
四、巩固检测
1．以下四个命题中,属于真命题的是（）
（1）若 ,则 （2）若 ,则
（3）若 ,则 （4）若 ,则
A.（2）（3）B.（1）（3）C.（2）（4）D.（3）（4）
【课后作业】
1．看书,整理本节课所学知识.
2.对于 ,下列结论正确的是（）
（1）若 ,则 （2）若 ,则
（3）若 ,则 （4）若 ,则
1.写法：
2.读法：
3.底数的条件：
4.真数的条件：
练习：将引例1、2的 分别表示出来.
【探究关系】对数和指数之间的相互转化关系：
【巩固关系】填写下表中空白处的名称.
式子
名称
a
x
N
指数式
对数式
【特殊对数】常用对数和自然对数
我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），简记为______
在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，
简记为_____
【学以致用】
例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：
（1） （2） (3) (4) (5)
练习1下列各组指数式与对数式互换不正确的是（）
C. 与 D. 与
例2求下列式子 的值:
练习2求下列各式 的值：
A.（1）（3）B.（2）（4）C.（2）D.（1）（2）（4）
3.若 有意义， 的取值范围_________
4．求下列各式 的值
（1） （2） （3） （4）
5.求下列各式的值.
(1) ;(2) ;(3) ; (4) .
6.已知 , ,求 的值.
选做题:
1.若 ，则 .
2.若 ,则 =___________.
3.计算: 的值.
教学过程
一、导入新课
引例1.若 若
引例2.假设2012年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过x年国民生产总值是，经过多少年国民生产总值是2012年的2倍？
这两个问题的共同特征：已知和,求..
二、新知学习
【探究目标1】对数的概念：
一般地，如果_________________，那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm）.记作___________，其中a叫做对数的______，N叫做_______
高中数学必修一教学案
学科
数学
编制人
于培勇
教学案编号
20
课型
新授课
课题
3.2.1对数与对数运算（1）
教学过程设计
教学目标
1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解并掌握对数的性质;
2.掌握对数式与指数式的关系,学会对数式与指数式的互化.
教学重难点
教学重点：对数概念以及对数式与指数式的互化
教学难点：对数概念的理解，对数式与指数式的相互转化。