广东省阳江市部分学校联考2020-2021学年九年级上学期期中数学试题

广东省阳江市部分学校联考2020-2021学年九年级上学期期
中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图案中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知二次函数的图象经过A （0，﹣2），B （1，0），C （2，0），则这个二次函数图象的对称轴为（ ）
A ．32x =
B ．x ＝﹣2
C ．x ＝2
D ．32x =- 3．已知⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则反映直线l 与⊙O 的位置关系的图形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．把抛物线y=ax 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x 2-2x+3，则b+c 的值为（ ）
A ．9
B ．12
C ．-14
D ．10
5．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD AB 丄，20CAB ∠=︒，则AOD ∠等于（ ）.
A．160︒B．150︒C．140︒D．120︒
6．如图所示,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置,旋转角为
α(0°<α<90°).若∠1=110°,则α等于()
A．20°B．30°C．40°D．50°
7．下列说法中：（1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧；（2）半圆是弧；（3）长度相等的弧是等弧；（4）平分弦的直径垂直于这条弦；正确的个数有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．已知点（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（5
3
，y3）都在函数y＝﹣x2﹣4x+5的图象上，则y1、
y2、y3的大小关系为（）
A．1y＞2y＞3y B．3y＞2y＞1y
C．2y＞1y＞3y D．3y＞1y＞2y
9．如图，△ABC是一张周长为17 cm的三角形纸片，BC＝5 cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为()
A．12 cm
B．7 cm
C．6 cm
D ．随直线MN 的变化而变化
10．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x 的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题 11．方程3x 2=x 的解为________．
12．己知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为__________．
13．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x 个球队参赛，根据题意，可列方程为_____．
14．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边
形，则∠OAD+∠OCD=_______°
.
15．二次函数241y kx x =-+与x 轴有交点，则k 的取值范围是______．
16．在长方形ABCD 中AB ＝16，如图所示裁出一扇形ABE ，将扇形围成一个圆锥（AB 和AE 重合），则此圆锥的底面半径为_______．
17．当21x -≤≤时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为
________．
18．如图，ABC ∆、BDE ∆都是等腰直角三角形，BA BC =，BD BE =，4AC =，
DE =BDE ∆绕点B 逆时针方向旋转后得''BD E ∆，当点'E 恰好落在线段'AD 上时，则'CE =______．
三、解答题
19．解下列方程
（1）x 2﹣4x ＝2
（2）x 2﹣2x ﹣63＝0
20．已知关于x 的一元二次方程mx 2+（1﹣5m ）x ﹣5＝0（m≠0）
（1）求证：无论m 为任何非0实数，此方程总有两个实数根．
（2）若抛物线y ＝mx 2+（1﹣5m ）x ﹣5（m≠0）与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，且|x 1﹣x 2|＝6，求m 的值．
21．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1，4），B （1，1），C （3，1）．
（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；
（2）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2；
（3）在（2）的条件下，求线段BC 扫过的面积（结果保留π）．
22．某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x 元/件（6x ≥，且x 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，AE平分∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若∠EAB＝30°，OD＝3，求图中阴影部分的面积．
（3）若AD＝5，AE＝4，求AF．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C．点D是抛物线上的一个动点，点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DB，DC．
（1）求抛物线的解析式.
（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的3
4
时，求m的值.
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC的周长最小，若存在，求出点Q的坐标．
25．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC 内有一点P ，若点P 到顶点A 、B 、C 的距离分别为3，4，5，求∠APB 的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP 绕顶点A 旋转到△ACP ′处，此时△ACP ′≌△ABP ，这
样就可以利用旋转变换，将三条线段P A 、PB 、PC 转化到一个三角形中，从而求出∠APB
＝__________；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
已知如图②，△ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝AC ，E 、F 为BC 上的点且∠EAF ＝45°，求证：EF 2＝BE 2+FC 2；
（3）能力提升
如图③，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，∠ABC ＝30°，点O 为Rt △ABC 内一点，连接AO ，BO ，CO ，且∠AOC ＝∠COB ＝∠BOA ＝120°，求OA +OB +OC 的值． 26．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、
b 、
c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍
生三角形”．已知抛物线2y x x =-+“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．
（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；
（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；
（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据旋转180°后与原图重合的图形是中心对称图形，进而分析即可．
【详解】
A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．A
【分析】
由A、B、C三点坐标可知图象与x轴的交点坐标，根据中点坐标公式即可得答案.
【详解】
∵二次函数的图象经过A（0，﹣2），B（1，0），C（2，0），
∴图象与x轴的交点为B（1，0），C（2，0），
∴这个二次函数图象的对称轴为直线
123
22
x
+
==，
故选A．
【点睛】
本题考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.
3．B
【解析】
直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，
∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，
∵5＞3，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选B
4．B
【解析】
y=x2-2x+3=(x-1)2+2，将其向上平移2个单位得：y= (x-1)2+2+2= (x-1)2+4，再向左平移3个单位得：y= (x-1+3)2+4= (x-1+3 )2+4= (x+2)2+4=x2+4x+8，所以b=4，c=8，所以b+c=12，故选B.
5．C
【分析】
先根据垂径定理得到BC=BD，再根据圆周角定理得∠BOD=2∠CAB=40°，然后利用邻补角的定义计算∠AOD的度数．
【详解】
∵CD⊥AB，
∴BC=BD，
∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°，
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-40°=140°.
故答案为C.
【点睛】
本题考查圆中的角度计算，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是关键.
6．A
【解析】
【分析】
由性质性质得，∠D′=∠D=90°,∠4=α,由四边形内角和性质得∠3=360°-90°-90°-110°=70°,所以∠4=90°-70°=20°.
【详解】
如图,因为四边形ABCD为矩形,
所以∠B=∠D=∠BAD=90°,
因为矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′,
所以∠D′=∠D=90°,∠4=α,
因为∠1=∠2=110°,
所以∠3=360°-90°-90°-110°=70°,
所以∠4=90°-70°=20°,
所以α=20°.
故选：A
【点睛】
本题考核知识点：旋转角.解题关键点：理解旋转的性质.
7．C
【分析】
根据垂径定理、半圆的定义、等弧的定义及垂径定理的推论逐一判断即可得答案.
【详解】
（1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧，故符合题意，
（2）半圆是弧，故符合题意，
（3）在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故不符合题意，
（4）平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，故不符合题意，
其中真命题的个数有2个.
故选C．
【点睛】
本题考查垂径定理、半圆的定义、等弧的定义及垂径定理的推论，熟练掌握定理及定义是解题关键.
8．C
【分析】
根据函数解析式可得对称轴及开口方向，根据二次函数的对称性可得出点（5
3
，y3）关于对
称轴的对称点，根据二次函数的增减性即可得答案. 【详解】
∵y＝﹣x2﹣4x+5，
∴函数图象的对称轴是直线
4
2
2
x
-
=-=-
-
，图象的开口向下，
∴当x ＜﹣2时，y 随x 的增大而增大，点（
53，y 3）关于对称轴的对称点的坐标是（173-，y 3）， ∵﹣173
＜﹣4＜﹣1， ∴y 2＞y 1＞y 3，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的对称性求出点（
53，y 3）关于对称轴的对称点的坐标是解此题的关键．
9．B
【解析】
试题解析：设,E F 分别是O 的切点，
ABC 是一张三角形的纸片，17cm AB BC AC ++=，
O 是它的内切圆，点D 是其中的一个切点，5cm BC =，
5cm BD CE BC ∴+==，
则7cm AD AE +=， 故DM MF FN EN AD AE ===，，，
()7cm .AM AN MN AD AE ∴++=+=
故选B.
10．C
【分析】
利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a
=1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a
-=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行
判断．
【详解】
∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
∴当x=-1时，y ＞0，
即a-b+c ＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a
=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a
=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；
∵抛物线与直线y=n 有一个公共点，
∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，
∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选C ．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.
11．x 1=0，x 2=13
【解析】
【分析】
可先移项，然后运用因式分解法求解．
【详解】
解：原方程可化为：3x 2-x=0，
x （3x-1）=0，
x=0或3x-1=0，
解得：x 1=0，x 2=13，
故填：x 1=0，x 2=13，
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
12
【解析】
如图，连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴
∴边长为2
13．1
2
x（x﹣1）=21
【解析】
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为1
2
x（x﹣1），
即可列方程．
【详解】有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
1
2
x（x﹣1）=21，
故答案为1
2
x（x﹣1）=21．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解
题的关键.
14．60．
【解析】
【详解】
试题分析：∵四边形OABC 为平行四边形，∴∠AOC=∠B ，∠OAB=∠OCB ，
∠OAB+∠B=180°．∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴∠D+∠B=180°．又∠D ＝12∠AOC ，∴3∠D=180°，解得∠D=60°．∴∠OAB=∠OCB=180°-∠B=60°．∴∠OAD+∠OCD=360°-（∠D+∠B+∠OAB+∠OCB ）=360°-（60°+120°+60°+60°）=60°．故答案为60°． 考点：①平行四边形的性质；②圆内接四边形的性质．
15．4k ≤且0k ≠
【分析】
抛物线与x 轴有交点则△≥0，再根据二次函数解析式二次项系数不等于0，列出不等式求解即可.
【详解】
∵二次函数241y kx x =-+与x 轴有交点
∴()2440--≥k 且0k ≠
解得4k ≤且0k ≠.
故答案为：4k ≤且0k ≠.
【点睛】
本题考查二次函数图像与x 轴的交点问题，熟记当△≥0时，抛物线与x 轴有交点是解题的关键，还要注意二次项系数不等于0.
16．4
【分析】
设圆锥的底面圆半径为r ，根据圆锥底面周长=扇形弧长，利用弧长公式和圆的周长公式列方程求出r 的值即可得答案.
【详解】
设圆锥的底面圆半径为r ，依题意得：90162180
r ππ⨯=
， 解得r ＝4．
故此圆锥的底面半径为4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的母线长为圆锥的半径；圆锥底面周长为扇形弧长；弧长l=
180n r π（n 为圆心角度数，r 为半径），熟练掌握弧长公式是解题关键.
17．2或【分析】
求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
【详解】
解：二次函数22()1y x m m =--++的对称轴为直线x=m ，且开口向下，
①m ＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m ）2+m 2+1=4， 解得74
m =-， 724
->-， ∴不符合题意，
②-2≤m≤1时，x=m 取得最大值，m 2+1=4，
解得m =
所以m =
③m ＞1时，x=1取得最大值，-（1-m ）2+m 2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m=2或
故答案为：2或
【点睛】
本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键．
18+【分析】
如图，连接'CE ，易求得AB BC ==2BD CE ==，根据旋转的性质得到''D B BE BD ==，''90D BE ∠=，''D BD ABE ∠=∠，由全等三角形的性质得到''45D CE B ∠=∠=，过B 作'BH CE ⊥于H ，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：如图，连接'CE ，
∵ABC ∆、BDE ∆都是等腰直角三角形，BA BC =，BD BE =，4AC =，DE =
∴AB BC ==2BD BE ==，
∵将BDE ∆绕点B 逆时针方向旋转后得''BD E ∆，
∴''2D B BE BD ===，''90D BE ∠=，''D BD ABE ∠=∠，
∴''ABD CBE ∠=∠，
∴()''ABD CBE SAS ∆≅∆，
∴''45D CE B ∠=∠=，
过B 作'BH CE ⊥于H ，
在'Rt BHE ∆中，''BH E H BE ==
=，
在Rt BCH ∆中，CH =
，
∴'CE =
【点睛】
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和解直角三角形等知识，熟练掌握旋转的性质、正确的作出辅助线是解题的关键．
19．（1）x1=2x2=2；（2）x1＝9，x2=﹣7.
【分析】
（1）利用配方法解方程即可；（2）利用十字相乘法解方程即可.
【详解】
（1）∵x2﹣4x＝2，
∴x2﹣4x+4＝6，
∴（x﹣2）2＝6，
∴x＝，
∴x1=2x2=2-.
（2）∵x2﹣2x﹣63＝0，
∴(x-9)(x-7)=0
∴x1＝9，x2=﹣7.
【点睛】
本题考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.
20．（1）详见解析；（2）m=
1
11
-或m=1.
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式，利用平方的非负数性质即可得答案；（2）解方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0，可用m表示出x1、x2，根据|x1﹣x2|＝6即可得答案.
【详解】
（1）△＝b2﹣4ac＝（1﹣5m）2+20m＝1+25m2＞0，
∴无论m为任何非0实数，此方程总有两个实数根．
（2）当y=0时，mx2+（1﹣5m）x﹣5=0，
∴(mx+1)(x-5)=0，
∴x1=
1
m
-，x2=5，
∵|x1﹣x2|＝6，
∴15m
--=6， ∴1m --5=6或1m
--5=-6， 解得：m=111
-
或m=1. 【点睛】 本题考查抛物线与x 轴的交点及根的判别式，正确用m 表示出方程的根是解题关键. 21．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）2π.
【分析】
（1）利用轴对称的性质画出图形即可；
（2）利用旋转变换的性质画出图形即可；
（3）BC 扫过的面积=22OCC OBB S S -扇形扇形，由此计算即可；
【详解】
（1）△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1如图所示；
（2）△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2如图所示；
（3）BC 扫过的面积=22OCC OBB S S -扇形扇形 =()()22
2
2229013
9011360360
ππ++-=2π．
【点睛】
本题考查了利用轴对称和旋转变换作图，扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
22．（1）210210800=-+-y x x ；（2）当天销售单价所在的范围为813≤≤x ；（3）每件
文具售价为9元时，最大利润为280元.
【分析】
（1）根据总利润＝每件利润×销售量，列出函数关系式，
（2）由（1）的关系式，即240y ≥，结合二次函数的性质即可求x 的取值范围
（3）由题意可知，利润不超过80%即为利润率＝（售价－进价）÷售价，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，即可求．
【详解】
解：
由题意
（1）26(5)1005102108000.5x y x x x -⎛
⎫=--⨯=-+- ⎪⎝⎭
故y 与x 的函数关系式为：210210800=-+-y x x
（2）要使当天利润不低于240元，则240y ≥，
∴()22102108001010.5302.5240y x x x =-+-=--+=
解得，128,13x x ==
∵100-<，抛物线的开口向下，
∴当天销售单价所在的范围为813≤≤x
（3）∵每件文具利润不超过80% ∴50.8x x
-≤，得9x ≤ ∴文具的销售单价为69x ≤≤，
由（1）得()2
2102108001010.5302.5y x x x =-+-=--+
∵对称轴为10.5x =
∴69x ≤≤在对称轴的左侧，且y 随着x 的增大而增大
∴当9x =时，取得最大值，此时()210910.5302.5280y =--+=
即每件文具售价为9元时，最大利润为280元
【点睛】
考核知识点：二次函数的应用.把实际问题转化为函数问题解决是关键.
23．（1）详见解析；（2
3
2
π
-；（3）
7
5
【分析】
（1）如图，连结OE，由角平分线的定义可得∠CAE＝∠EAD，由等腰三角形的性质可得∠EAD＝∠OEA，即可证明∠OEA＝∠CAE，可得OE//AC，根据平行线的性质可得∠OEB ＝∠C＝90°，即可证明BC是⊙O的切线；（2）由角平分线的定义可得∠EOD＝60°，即可得出∠B=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可求出OB的长，利用勾股定理求出BE的长，根据S阴影=S△OEB-S扇形OED即可得答案；（3）如图，连接DE，EF，由AD是直径可得∠AED=90°，利用勾股定理可求出DE的长，由∠CAE＝∠EAD，∠ACE＝∠AED＝90°可证明△ACE∽△AED，根据相似三角形的性质可求出AC、CE的长，∠ADE＝∠AEC，由圆内接四边形的性质可得∠CFE＝∠ADE，可得∠AEC＝∠CFE，即可证明△CEF∽△CAE，根据相似三角形的性质可求出CF的长，根据AF=AC-CF可得答案.
【详解】
（1）如图，连接OE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠EAD，
∵OA＝OE，
∴∠EAD＝∠OEA，
∴∠OEA＝∠CAE，
∴OE∥AC，
∴∠OEB＝∠C＝90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线.
（2）解：∵∠EAB＝30°，AE平分∠BAC，
∴∠EOD ＝60°，
∴∠OEB ＝90°，
∴∠B ＝30°，
∴OB ＝2OE ＝2OD ＝6，
∴BE ==，
∴113222
OEB S OE BE ∆=⨯⨯=⨯⨯=26033==3602
OED S ππ⨯扇形，
∴B D 3=2OE OE S S S π∆--阴影扇形． （3）如图，连接DE ，EF ， ∵AD 为⊙O 的直径，
∴∠AED ＝90°，
∴3DE ===， ∵AE 平分∠BAC ，
∴∠CAE ＝∠EAD ，
又∵∠ACE ＝∠AED ＝90°， ∴△ACE ∽△AED ， ∴
45
AC AE CE AE AD DE ===，∠ADE ＝∠AEC ， ∴165AC =，125CE = ∵四边形AFED 为圆内接四边形， ∴∠AFE+∠ADE=180°，
∵∠CFE+∠AFE=180°，
∴∠CFE ＝∠ADE ，
∴∠AEC ＝∠CFE ，
∵∠FCE ＝∠ACE ，
∴△CEF ∽△CAE ，
∴CE AC CF CE
=， ∴221295165
5
CE CF AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭===， ∴AF ＝AC ﹣CF ＝1697555
-=．
【点睛】
本题考查了切线的判定、圆周角定理及相似三角形的判定与性质，过半径的外端点，且垂直于半径的直线是圆的切线；直径所对的圆周角是直角；圆的内接四边形对角互补；熟练掌握相关性质及定理是解题关键.
24．（1）233642y x x =-
++；（2）m ＝3；（3）点Q 的坐标为（1，92
）． 【分析】
（1）由A 、B 两点坐标可得抛物线两点式解析式，进而可求出a 值，即可得答案；（2）设直线BC 的表达式为y=kx+b ，根据抛物线的解析式可得C 点坐标，利用待定系数法可得直
线BC 的解析式，设点D （m ，233642m m -++），过点D 作y 轴的平行线交直线BC 与点H ，可得点H （m ，362x ）
，根据三角形面积公式列方程求出m 的值即可；（3）根据二次函数的对称性可得抛物线233642
y x x =-++的轴对称与BC 的交点即为点Q ，根据二次函数解析式可得对称轴方程，把对称轴方程代入BC 解析式即可求出Q 点纵坐标，即可得答案.
【详解】
（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+6经过点A （﹣2，0），B （4，0），
∴抛物线解析式为：y ＝a （x+2）（x ﹣4）＝a （x 2﹣2x ﹣8）＝ax 2﹣2ax ﹣8a ，
∴﹣
8a ＝6，
解得：34
a =-， 故抛物线的表达式为：233642y x x =-
++； （2）设直线BC 的表达式为y=kx+b ，
∵抛物线与y 轴交于点C ，
∴点C （0，6），
将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式得：406
k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：326
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线BC 的表达式为：362
y x =-+， 如图1，过点D 作y 轴的平行线交直线BC 与点H ，
设点D （m ，233642m m -++），则点H （m ，362x ） S △BDC ＝12
HD×OB ＝2（233366422m m m -+++-）＝2（2334m m -+）， 34S △ACO ＝34×12×6×2＝92
， ∴2（﹣34m 2+3m ）＝92
， 解得：m ＝3或m=1（舍去），
∴m ＝3；
（3）如图2，在抛物线的对称轴上存在一点Q ，使得△QAC 的周长最小，连接BC ， ∵
A 、
B 两点关于对称轴对称，
∴QA=QB ，
∴QA+QC=QC+QB ，
∴BC 为QA+QC 的最小值，即△QAC 的周长最小. ∴抛物线233642
y x x =-
++的轴对称与BC 的交点即为点Q ， ∵抛物线233642
y x x =-++的轴对称为x ＝1， ∴把x ＝1代入直线BC 的表达式362y x =-+得92y =， ∴点Q 的坐标为（1，92
）．
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的综合、待定系数法求函数解析式、二次函数的对称性及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.
25．（1）150°；（2）EF 2＝BE 2+FC 2．（3.
【分析】
（1）由△ACP′≌△ABP 可得旋转角∠PAP′＝60°，可得△APP′为等边三角形，根据勾股定理逆定理可证明△PP′C 为直角三角形，根据∠APB ＝∠AP′C ＝∠AP′P+∠PP′C 即可得答案；（2）如图2，把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质可得AE′＝AE ，CE′＝BE ，∠CAE′＝∠BAE ，∠ACE′＝∠B ，∠EAE′＝90°，根据角的和差关系可得∠EAF ＝∠E′AF ，利用SAS 可证明△EAF ≌△E′AF ，可得E′F ＝EF ，根据等腰直角三角形的性质可得∠E′CF ＝90°，根据勾股定理即可得结论；（3）如图3，将△AOB 绕点B 顺时针旋转60°至△A′O′B 处，连接OO′，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求出AB 、BC 的长，根据旋转的性质可得∠A′BC=90°，△BOO′是等边三角形，由∠AOC ＝∠COB ＝∠BOA ＝120°，利用平角的定义可证明C 、O 、A′、O′四点共线，利用勾股定理求出A ′C 的长即
可得答案.
【详解】
（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PAP′＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴P′P＝AP＝3，∠AP′P＝60°，
∵P′C=PB=4，PC=5，
∴PC2=P′C2+P′P2，
∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°.
故答案为：150°
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠EAE′-∠EAF=45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
AE AE
EAF E AF AF AF
'
'
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC=
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∠ABC=30°，
∴∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C==
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，正确得出对应边和对应角是解题关键. 26．（1
）y=；（-2
，；（1,0）； （2）N 点的坐标为（0
，），（0
，）；
（3）E （-1，
）、F （0
）或E （-1
，），F （-4
） 【分析】 （1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可
【详解】
（1
）∵233y x x =--+
a=3
-，则抛物线的“衍生直线”
的解析式为y=；
联立两解析式求交点233y=x+33y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩
，解得x=-2⎧⎪⎨⎪⎩x=1y=0⎧⎨⎩， ∴A （-2
，，B （1,0）；
（2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，
在2y x x =+y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2
，，
∴
由翻折的性质可知
∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，
∴N 在y 轴上，且AD=2，
在Rt △AND 中，由勾股定理可得
，
∵
OD=
∴
ON=或
ON=，
∴N 点的坐标为（0
，），（0
，）；
（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ，
∴∠ ACK=∠ EFH ，
在△ ACK 和△ EFH 中
ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ ACK ≌△ EFH ，
∴FH=CK=1，HE=AK=
∵抛物线的对称轴为x=-1，
∴ F 点的横坐标为0或-2，
∵点F 在直线AB 上，
∴当F 点的横坐标为0时，则F （0），此时点E 在直线AB 下方，
∴E 到y 轴的距离为EH-OF=3=3，即E 的纵坐标为-3，
∴ E （-1，-3
）； 当F 点的横坐标为-2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去；
②当AC 为平行四边形的对角线时，
∵ C （-3,0），且A （-2，，
∴线段AC 的中点坐标为（-2.5，
， 设E （-1，t ），F （x ，y ），
则x-1=2×（-2.5），y+t=
∴x= -4，y=，
3×（-4）+3，解得t=-3
，
∴E （-1，-3），F （-4，3
）；
综上可知存在满足条件的点F ，此时E （-1，、（0）或E （-1，），F
（-4）
【点睛】
本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题。