人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 对数函数的性质与图象

【例2】(1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为(
)
A.(-∞,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,0]∪[1,+∞)
C.(0,1)
D.[0,1]
(2)已知函数 f(x)=2log 1 x 的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域
是
2
.
答案 (1)A (2)[
2
,
2
2]
解析 (1)由题意得x2-x>0,解得x>1或x<0,故函数的定义域是(-∞,0)∪(1,+∞).
第四章
4.2.3 对数函数的性质与图象
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
课标要求
1.通过具体实例,了解对数函数的概念.
2.能用描点法或借助ห้องสมุดไป่ตู้算工具画出具体对数函数的图象,直观了解对数函
数的模型所刻画的数量关系.
3.熟练掌握对数函数y=logax的图象与性质.
2.(1)下列函数中,在区间(0,+∞)内不是增函数的是(
)
A.y=5x
B.y=lg x+2
C.y=x2+1
D.y=log 1 x
2
(2)函数f(x)=loga(x-2)-2x(a>0且a≠1)的图象必经过定点
答案 (1)D
(2)(3,-6)
.
重难探究•能力素养全提升
探究点一 对数函数的概念
【例1】(1)已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)·logmx,则m=
质
非奇非偶函数
当x>1时, y>0 ;当0<x<1时, y<0
当x>1时, y<0 ;当0<x<1时,y>0
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
名师点睛 1.对数函数的图象永远在y轴的右侧,x越接近于0,图象越接近y轴.
2.当底数a>1时,对数函数的图象在第一象限内越接近x轴,a越大;当底数
(2)log35与log65;
(3)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m>1);
(4)log85与lg 4.
解 (1)log0.27和log0.29可看作是函数y=log0.2x,当x=7和x=9时对应的两个函
数值,由y=log0.2x在(0,+∞)上是减函数,得log0.27>log0.29.
即
1
loga4=2,
1
2
所以 4= ,解得 a=16,故 f(x)=log16x.
②方程f(x)=2,即log16x=2,解得x=256,
所以方程f(x)=2的解为x=256.
1
4, 2
可得
1
f(4)=2,
规律方法 1.对数函数是一个形式定义:
2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只
A.
C.
3
0, 2
3
-∞, 2
B.
D.
)
3
,+∞
2
3
,+∞
2
答案 D
解析要使函数有意义,则 2x-3>0,即
3
3
x> ,故函数的定义域为 , + ∞
2
2
.故选 D.
2.函数 y=log 1 x 在区间[1,2]上的值域是(
)
2
A.[-1,0]
B.[0,1]
C.[1,+∞)
D.(-∞,-1]
答案 A
0<a<1时,图象在第四象限内越接近x轴,a越小.
3.分析对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象,需找三个关键点:
(a,1),(1,0),(
1

,-1).
过关自诊
1.(多选题)若函数y=logax(a>0且a≠1)的图象如图所示,则a的值可能是(
A.0.3
1
B.5
3
C.
2
D.π
答案 AB
)
满足a>0且a≠1;(3)真数为x,且x>0,而不是x的函数.
2.根据指数式与对数式的关系知,y=logax可化为ay=x,由指数函数的性质,可
知在对数函数中,有a>0且a≠1,x>0,y∈R.
过关自诊
下列函数是对数函数的是(
A.y=logax+2(a>0且a≠1,x>0)
B.y=loga (a>0且a≠1,x>0)
所以y=loga(x+1)-2恒过定点(0,-2).
4.若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,则a,b,c的大小关系为
.
答案 b>a>c
解析 因为f(x)=log0.2x在定义域内为减函数,且0.2<0.3<1<4,所以
log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24,即1>a>0>c.同理log26>log22=1,所以
时,y1>y2.
(2)当0<a2<a1<1时,根据对数函数图象的变化规律知当x>1时,y1<y2;当
0<x<1时,y1>y2.
对于含有参数的两个对数值的大小比较,要注意根据对数的底数是否大于
1进行分类讨论.
变式训练 2 设 a=log2π,b=log2 3,c=log3 2,则(
A.a>b>c
B.a>c>b
b>a>c.
本 课 结 束
时,函数为增函数;当底数0<a<1时,函数为减函数)比较.
2.如果两个对数的底数和真数均不相同,那么通常引入中间值进行比较.
3.如果两个对数的底数不同而真数相同,如 y1=log 1 x 与 y2=log 2 x 的大小
比较(a1>0且a1≠1,a2>0且a2≠1):
(1)当a1>a2>1时,根据对数函数图象的变化规律知当x>1时,y1<y2;当0<x<1
故选A.
(2)因为函数 f(x)=2log 1 x 的值域为[-1,1],所以-1≤2log 1 x≤1,
2
即
2
1 -1
1 1
log 1 (2) ≤2log 1 x≤log 1 (2) ,
2
2
2
1 2
化简可得2≤x ≤2.再由
x>0
2
可得 2 ≤x≤
2,故函数 f(x)的定义域为[
2
,
2
2].
规律方法 对数函数定义域问题的注意事项
C.y=logx3(x>0且x≠1)
D.y=logax(a>0且a≠1,x>0)
答案 D
)
知识点2 对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象和性质
a的取值
图象
a>1
0<a<1
a的取值 a>1
0<a<1
定义域:(0,+∞),因此函数图象一定在y轴的右边
值域:R
性
过定点(1,0),即当x=1时,y=0
C.b>a>c
D.b>c>a
)
答案 A
解析 ∵函数 y=log2x 在区间(0,+∞)上是增函数,
∴log2π>log2 3,即 a>b.
又 b=log2 3 =
1
1
log23> ,c=log3
2
2
2=
1
1
log32< ,∴b>c.∴a>b>c.
2
2
学以致用•随堂检测全达标
1.函数 f(x)=lg 2-3的定义域是(
m<1,即1<m<10,则y=(lg m)x在R上是减函数,故(lg m)1.9>(lg m)2.1;若lg m=1,
即m=10,则(lg m)1.9=(lg m)2.1.
(4)因为底数8,10均大于1,且10>8,所以log85>lg 5>lg 4,即log85>lg 4.
规律方法 1.如果两个对数的底数相同,则由对数函数的单调性(当底数a>1
(2)已知对数函数 f(x)的图象过点
①求f(x)的解析式;
②解方程f(x)=2.
1
4,
2
.
.
(1)答案 2
解析 由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是
(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.
又因为m>0且m≠1,所以m=2.
(2)解 ①由题意设 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),由函数图象过点
需一个条件即可求出.
变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=
(2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n=
.
.
答案 (1)4
1
(2)
4
2 -2-8 = 0,
解析 (1)由题意可知 + 1 > 0,
+ 1 ≠ 1,
解得 a=4.
(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法,如分式分母不为零,偶次根式
被开方式大于或等于零等.
(2)遵循对数函数自身的要求:一是真数大于零;二是底数大于零且不等于1;
三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.
变式探究
1
本例(1)中的函数变为“f(x)= 2 ”
ln ( -)
,结果又如何?
2 - > 0,
(2)设对数函数为 f(x)=logax(a>0 且 a≠1).
则由题意可得 f(8)=-3,即 loga8=-3,
1
3
-
所以 a =8,即 a=8 =
-3
f(n)=log 1 n=2,所以 n=
2
1
.所以
2
f(x)=log 1 x,故由 B(n,2)在函数图象上可得
1 2
2
1
.
4
=
2
探究点二 与对数函数有关的定义域、值域问题
解析 ∵函数 y=log 1 x 在区间[1,2]上单调递减,
2
∴log 1 2≤y≤log 1 1,即-1≤y≤0.
2
2
3.函数y=loga(x+1)-2恒过定点
.
答案 (0,-2)
解析 将y=logax的图象先向左平移1个单位,再向下平移2个单位,可得到
y=loga(x+1)-2的图象.
因为y=logax的图象恒过定点(1,0),
(2)函数y=log3x(x>1)的图象在函数y=log6x(x>1)的图象的上方,故
log35>log65.
(3)把lg m看作指数函数y=ax(a>0且a≠1)的底数,要比较两数的大小,关键是
比较底数lg m与1的关系.
若lg m>1,即m>10,则y=(lg m)x在R上是增函数,故(lg m)1.9<(lg m)2.1;若0<lg
1- 5
1- 5
1+ 5
解 要使 f(x)有意义,则需 2
解得 x<
或
<x<0 或 1<x<
或
2
2
2
- ≠ 1,
1+ 5
x> 2 .
1- 5
所以该函数的定义域为 -∞,
2
∪
1- 5
2
,0 ∪ 1,1+
2
5
∪
1+ 5
,+∞
2
.
探究点三 利用对数函数的性质比较大小
【例3】比较大小:
(1)log0.27与log0.29;
基础落实•必备知识全过关
知识点1 对数函数
1.对数函数的概念
一般地,函数 y=logax 称为对数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.
2.两种特殊的对数函数
我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lg x;称以无理数e为底
的对数函数为自然对数函数,记作y=ln x.
名师点睛 1.判断一个函数是不是对数函数的依据:(1)形如y=logax;(2)底数a