人教B版选修2-2第一章导数及其应用测试题(含答案)

第一章导数及其应用测试题
一、 选择题
1．设 y
1 x 2
（ ）．
，则 y'
sin x
A ．
2x sin x (1
x 2 ) cos x
2x sin x
(1 x 2 ) cos x
sin 2
x
B ．
sin
2
x
2x sin x (1
x 2 )
2x sin x
(1 x 2 )
C ．
sin x
D ．
sin x
2．设 f ( x)
ln x
2
1 ，则 f ' (2) （ ）
．
4
2
C ．
1 D ．
3
A ．
B ．
5
5
5
5
3．已知 f (3)
2, f ' (3)
2 ，则 lim
2x
3 f ( x) 的值为（ ）．
x
3
x 3
A ． 4
B ． 0
C ． 8
D ．不存在
4．曲线 y
x 3 在点
( 2,8) 处的切线方程为（
）．
A ． y
6x 12 B ． C ． y
8x
10
D ． y 12x 16
y
2x 32
5．已知函数 f ( x) ax 3 bx 2
cx d 的图象与 x 轴有三个不一样交点
(0,0), ( x 1,0) ，
(x 2 ,0) ，
且 f (x) 在 x
1， x 2 时获得极值，则 x 1 x 2 的值为（
）
A ． 4
B ． 5
C ． 6
D ．不确立
6．在 R 上的可导函数 f ( x)
1 x 3 1 ax
2 2bx c ，当 x (0,1) 获得极大值， 当 x (1,2)
3
2
获得极小值，则 b
2
的取值范围是（
）．
a 1
A ． (1
,1)
B ． (1
,1)
C ．( 1,1
)
D ． ( 1,1
)
4
2
2 4
2 2
7．函数 f ( x)
1 e x (sin x cos x) 在区间 [0, ] 的值域为（ ）．
2
2
A ．[1 , 1
e 2 ]
B ． (
1 , 1
e 2 )
C ． [1, e 2 ]
D ． (1, e
2
)
2 2
2 2
a
a
2
x 2
dx （
）．
8．积分
a
A．1
a2 B．
1
a 2 C．a2 D ．2 a2
4 2
9．由双曲线x 2 y 2
1，直线 y b, y b 围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体a 2 b2
积为（）
A．8
ab2 B．
8
a2b C．
4
a2b D．
4
ab2 3 3 3 3
10．由抛物线y2 2x 与直线 y x 4 所围成的图形的面积是（）．
A ．18
38 16
D．16 B．C．
3 3
11．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（）．Ａ． 3 V Ｂ．3 2V Ｃ．34V D．23V
二、填空题
13．曲线y x3在点 (a, a 3 )( a 0) 处的切线与 x 轴、直线 x a 所围成的三角形的面积为1
，则 a _________ 。

6
14．一点沿直线运动，假如由始点起经过t 秒后的位移是S 1 t 43 t 3 2t 2，那么速度
4 5
为零的时辰是 _______________ 。

4
(| x 1 | | x 3 |)dx ____________ 。

16．
三、解答题
（ 17）（本小题满
分10 分）
已知向量 a ( x 2 , x 1), b (1 x, t ) ，若函数 f (x) a b 在区间( 1,1)上是增函数，求 t 的取值范围。

（ 18）（本小题满
分
12 分）
已知函数 f ( x) ax 3 bx2 3x
在x 1处获得极
值
.
(1)议论 f (1) 和f ( 1) 是函数 f ( x) 的极大值仍是极小
值
;
(2)过点A(0,16)作曲线y f ( x) 的切线,求此切线方程.
（ 19）（本小题满分14 分）
设 0 x a ，求函数 f ( x) 3x48x36x224x 的最大值和最小值。

（ 20）（本小题满分12 分）
用半径为 R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角多大时，容器的容积最大？
(21)（本小题满分 12 分）
直线y kx
分抛物线
y x x
2 与
x
轴所围成图形为面积相等的两个部分
, .
求 k 的值
第一章导数及其应用测试题参照答案
一、选择题：（本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分。

）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B C B C A A B B A C
二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分）
（ 13）、1（14）、t 0（16）、10
三、解答题：（本大题共 6 小题，共74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（ 17）（本小题满分10 分）
解：由题意知： f (x) x2 (1 x) t (x 1) x3 x2 tx t ，则
f ' (x) 3x2 2x t ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（3 分）
∵ f (x) 在区间 ( 1,1) 上是增函数，∴ f ' ( x) 0
即 t 3x 2 2x 在区间 ( 1,1) 上是恒建立，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（5 分）设 g( x) 3x 2 2x ，则g (x) 3( x 1)2 1 ，于是有
3 3
t g( x) max g( 1) 5
∴当 t 5 时， f (x) 在区间 ( 1,1) 上是增函数┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（8 分）又当 t 5 时， f ' (x) 3x 2 2x 5 3( x 1)2 14 ，
3 3
在 ( 1,1) 上，有 f ' (x) 0 ，即 t 5 时， f ( x) 在区间 ( 1,1) 上是增函数
当 t 5 时，明显 f ( x) 在区间 ( 1,1) 上不是增函数
∴ t 5 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（10 分）（ 18）（本小题满
分12 分）
解：（ 1）f ' (x) 3ax 2 2bx 3，依题意，
f ' (1) f ' ( 1) 0 ，即3a 2b 3 0,
解得 a 1, b 0 ┅┅（3分）3a 2b 3 0.
∴ f '( x) x 3 3 x ，∴ f '( x) 3x 2 3 3( x 1)( x 1) 令 f ' ( x) 0 ，得 x 1, x 1
若 x ( , 1) (1, ) ，则 f '( x) 0
故 f (x) 在( , 1)和(1, ) 上是增函数；
若 x ( 1，1) ，则 f ' ( x)0
故 f (x) 在 ( 1,1) 上是减函数；
因此 f ( 1) 2 是极大值， f (1) 2 是极小值。

┅┅┅┅┅┅┅┅（6 分）（ 2）曲线方程为y x3 3x ，点A(0,16)不在曲线上。

设切点为 M ( x0 , y0 ) ，则 y0 x0 3 3x0
由 f
'( x0 ) 3( x0 2 1) 知，切线方程为
y y 3( x 2 1)( x x ) ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（9 分）
0 0 0
又点 A(0,16) 在切线上，有 16 ( x0 3 3x0 ) 3( x0 2 1)(0 x0 )
3
化简得x08 ，解得x0 2
因此切点为 M ( 2, 2) ，切线方程为9x y 16 0 ┅┅┅┅┅┅（12分）（ 19）（本小题满分14 分）
解：
'( ) 12 3 24 2 12 24 12( 1)( 1)( 2)
f x x x x x x x
令 f '
( x) 0 ，得：x1 1, x2 1, x3 2 ┅┅┅┅┅┅┅（2 分）
当 x 变化时， f '( x), f ( x) 的变化状况以下表：
x (0,1) 1 (1,2) 2 (2, )
f ' ( x) 0 －0
f ( x) 单一递加极大值单一递减极小值单一递加
∴极大值为 f (1) 13 ，极小值为 f (2) 8
又 f (0) 0 ，故最小值为0。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（6 分）
最大值与 a 相关：
（ 1）当a (0,1) 时， f ( x) 在 (0, a) 上单一递加，故最大值为：
f (a) 3a4 8a 3 6a 2 24a ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（8 分）
（ 2）由f ( x) 13 ，即：3x4 8x 3 6x2 24x 13 0 ，得：
( x 1) 2 (3x 2 2x 13) 0 ，∴x 1或
x 1 2 10
3
又 x 0，∴ x 1或 x 1 2 10
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（10 分）3
∴当 a [1 , 1 2 10 ] 时，函数 f ( x) 的最大值为： f (1) 13 ┅┅（12分）3
（ 3）当 a (
1
2 10 , ) 时，函数 f ( x) 的最大值为：
3
f ( a) 3a 4
8a 3 6a 2 24a
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （14 分）
（ 20）（本小题满分 12 分）
解：设圆锥的底面半径为
r ，高为 h ，体积为 V ，则
由 h 2
r 2 R 2 ，因此
V
1 r
2 h 1 ( R 2
h 2 ) h 1 R 2 h
1 h 3 , ( 0 h R )
3
3
3
3
∴ V ' 1 R 2
h 2 ，令 V ' 0 得 h
3 R ┅┅┅┅┅┅┅
（6 分）
3
3
易知： h
3 R 是函数 V 的独一极值点，且为最大值点，进而是最大值点。

3
∴当 h
3
R 时，容积最大。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
（8 分）
3
把 h
3
R 代入 h 2 r 2
R 2 ，得 r
6 R
3
3
由 R
2 r 得
2 6
3
即圆心角
2 6
时，容器的容积最大。

┅┅┅┅┅┅┅
（11 分）
3
答：扇形圆心角 2 6
时，容器的容积最大。

┅┅┅┅
（ 12 分）
3
(21) （本小题满分 12 分）
解：解方程组
y kx 得：直线 y
kx 分抛物线 y x x 2 的交点的横坐标为
y x
x 2
x
0和 x 1 k
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
（4 分）
抛物线 y
x x 2 与 x 轴所围成图形为面积为
1
x 2 )dx
( 1 x 2
1
x 3 ) |
1
1
S
( x ┅┅┅┅┅ （6 分）
0 2
3
6
由题设得
S 1 k
1 k 0 ( x x 2
)dx
kxdx
2
1 k
x 2
(1 k ) 3
kx ) dx （10 分）
0 ( x
┅┅┅┅┅┅┅
6
又 S 1
，因此(1 k)3
1
，进而得：k 13
4
┅┅┅┅┅（12分）62 2。