湖北省武昌区高三数学五月调研测试 文

武昌区2011届高三年级5月调研测试文 科 数 学 试 卷
本试卷共150分，考试用时120分钟.
★祝考试顺利 ★
注意事项：
1．本卷1-10题为选择题，共50分；11-21题为非选择题，共100分，全卷共4页，考试结束，监考人员将试题卷和答题卷一并收回.
2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置.
3．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.
4.非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答在指定区域外无效.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的.
1．若集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2,4}，则“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2．已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b |=（ ）
A ．7
B ．10
C ．13
D ．4
3．圆222650x y x y a +-++=关于直线2y x b =+成轴对称图形，则b a -的取值范围是（ ）
A ．(,4)-∞
B ．()0，－∞
C ．(4,)-+∞
D ．(4,)+∞ 4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，关于数列{}n a 有下列三个命题： ①若数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列，则1+=n n a a ； ②若()R ∈+=b a bn an S n ,2，则数列{}n a 是等差数列； ③若()n
n S 11--=，则数列{}n a 是等比数列.
其中真命题的个数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D. 3
5．为纪念辛亥革命100周年，某电视剧摄制组为制作封面宣传画，将该剧组的7位身高各不
相同的主要
演员以伞形（中间高，两边低）排列，则可制作不同的宣传画的种数为（ ）
A ．20 B.40 C.10 D.42 6．把函数y = sin )(ϕω+x (0>ω,πϕ<)的图象向左平移
6
π
个单位，再将图象上所有点的
横坐标伸长
到原来的2倍（纵坐标不变）所得图象的解析式是x y sin =，则（ ）
A.2=ω，6
π
ϕ=
B. 21=
ω，6πϕ= C. 2=ω，3
π
ϕ-
= D. 21=
ω，12
πϕ-= 7．已知函数()⎩⎨
⎧≥-<+-=,
0,
1,
0,
1x x x x x f 则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是（ ） A ．
{}
121|-≤≤-x x B ．
{}
1|≤x x C ．
{}
12|-≤
x x
D ．{
}
1212|-≤
≤--x x
8．给出下列命题：
①直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行； ②直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直； ③异面直线a ，b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直； ④若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面. 其中错误．．
命题的个数为( ) A.0 B. 1 C.2 D.3
9．已知双曲线()0,012222>>=-b a b
y a x 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为
60的直线与
双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ． (]2,1 B ．()2,1 C ．[)+∞,2 D ．()+∞,2
10．已知)(x f 是定义域为R 的奇函数，1)4(-=-f ,)(x f 的导函数)('x f 的图象如图所示.若两正数b a ,满 足1)2(<+b a f ，则2
2
++b a 的取值范围是( ) A. )2,31( B. )
3,2
1(
C. )0,1(-
D. )1,(--∞
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写. 填错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11．如果(
(n n x x 22)1)1+++(
)*
∈N
n 的展开式中x 项的系数与2x 项的系数之和为40，则n
的值等于 .
12．分别从写有数字1，2，3，4的四张卡片中随机取出两张，则取出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是 .
13．已知三棱锥ABC O -，︒=∠90BOC ，⊥OA 平面BOC ，其中,2,1==OB OA 3=OC
，
)('x
C B A O ,,,四点均在球S 的表面上，则球S 的表面积为____________．
14．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四
个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含()n f 个小正方形，则
()6f = ．
15．如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四
个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n )为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分12分)
如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，
6
π
=
∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．
（Ⅰ）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-6cos πα的值；
（Ⅱ）设函数f ⋅=)(α，求()αf 的值域．
⒘ (本小题满分12分)
为了构建和谐社会建立幸福指标体系，某地决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）．
(4)
(3)(2)
(1)
（Ⅰ）求研究小组的总人数；
（Ⅱ）若从研究小组的公务员和教师中随机选2人撰写研究报告，求其中恰好有1人来自公务员的概率．
18．(本小题满分12分)
如图（1）是一正方体的表面展开图，MN 和PB 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN 和PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题. （Ⅰ）求证：//MN 平面PBD ； （Ⅱ）求证：AQ ⊥平面PBD ；
（Ⅲ）求二面角M DB P -- 的大小．
19. (本小题满分12分)
随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q 型车、R 型车的销量引起市场的关注.已知2011年1月Q 型车的销量为a 辆，通过分析预测，若以2011年1月为第1月，其后两年内Q 型车每月的销量都将以1%的增长率增长，而R 型车前n 个月的
销售总量n T 满足关系式：
()
101.12282-=n n a T ()*∈≤N n n ,24. (Ⅰ)求Q 型车前n 个月的销售总量n S 的表达式； (Ⅱ)比较两款车前n 个月的销售总量n S 与n T 的大小关系；
20.(本小题满分13分)
如图，已知E 、F 为平面上的两个定点6||=EF ，10||=FG ，且=2，
0=⋅（G 为动点，P 是HP 和GF 的交点）.
A
B P M N
C D
Q
A
C
D Q
图（1） 图（2）
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系求出点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）若点P 的轨迹上存在两个不同的点A 、B ，且线段AB 的中垂线与直线EF 相交于
一点C ，证明||OC ＜5
9
（O 为EF 的中点）．
21．(本小题满分14分)
设函数()()
*-∈--+-+-=N n n x x x x x f n n 1
23211
232 . （Ⅰ）研究函数2()f x 的单调性；
（Ⅱ）判断()0n f x =的实数解的个数，并加以证明.
武昌区2011届高三年级5月调研测试 文科数学试题参考答案及评分细则
一、选择题
1．A 2．C 3．A 4.D 5.A 6.C 7.C 8.D 9．C 10.B 二、填空题
11. 4 12． 2
3
13. π14 14． 61 15． 16
三、解答题
16．(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）由已知可得,54
sin ,53cos ==
αα
.104336sin sin 6cos cos 6cos +=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-∴παπαπα…………………………（6分）
（Ⅱ）f ⋅=)(α ()c o s ,s i n c o s ,s
i n 66ππαα⎛
⎫=⋅ ⎪⎝⎭
ααsin 21cos 23+=
sin 3πα⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭. [)πα,0∈ 4[,)333πππα∴+∈
，sin 13πα⎛
⎫<+≤ ⎪⎝
⎭. ()αf ∴
的值域是⎛⎤ ⎥ ⎝⎦………………………………………………（12分）
G
F
P
H
E
⒘ (本小题满分12分) 解：（Ⅰ）依题意
x
y 32
48464=
=.解得3=y ，2=x . 研究小组的总人数为9432=++（人）.………………………………（4分）
（Ⅱ）设研究小组中公务员为1a ，2a ，教师为1b ，2b ，3b ，从中随机选2人，不同的选取结果有：
1a 2a ，1a 1b ，1a 2b ，1a 3b ，2a 1b ，2a 2b ，2a 3b ，1b 2b ，1b 3b ，2b 3b 共10种.
其中恰好有1人来自公务员的结果有：1a 1b ，1a 2b ，1a 3b ，2a 1b ，2a 2b ，2a 3b ，共6种. 所以恰好有1人来自公务员的概率为53106==P （或5325
1
3
12==C
C C P ）. ……………………（12分）
18．(本小题满分12分)
解：MN 、PB 的位置如右图示. ……………………………………………………（2分） （Ⅰ）∵ND//MB 且ND=MB ，∴四边形NDBM 为平行四边形. ∴MN//DB.
∵BD ⊆平面PBD ，MN PBD 平面⊄，∴MN//平面PBD. …………………………（5分） （Ⅱ）∵QC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥QC. 又∵BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面AQC. ∵AQ ⊂面AQC ，∴AQ ⊥BD. 同理可得AQ ⊥PB.
∵BD ⋂PD=B ，∴AQ ⊥面PDB. …………………………（8分） （Ⅲ）解法1：分别取DB 、MN 中点E 、F ，连结PE 、EF 、PF. ∵在正方体中，PB=PD ，∴PE ⊥DB. ∵四边形NDBM 为矩形，∴EF ⊥DB. ∴∠PEF 为二面角P —DB —M 为平面角. ∵EF ⊥平面PMN ，∴EF ⊥PF.
设正方体的棱长为a ，则在直角三角形EFP 中， ∵a PF a EF 22,=
=，∴22
tan =
=∠EF PF PEF . 2
2
arctan
=∠∴PEF .…………………………（12分） 解法2：设正方体的棱长为a ，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图. 则点A （a,0，0），P （a,0,a ），Q （0,a,a ）. ∴),,(),0,,(a a a AQ a a PQ -=-=. ∵PQ ⊥面DBM ，由（2）知AQ ⊥面PDB.
∴,分别为平面PDB 、平面DBM 的法向量. ∴|
|||,cos PQ AQ ⋅>=
<3
63222=
⋅=
a
a a . ∴2
2
arctan
,,22,tan >=<>=
<PQ AQ PQ AQ .…………………………（12分） 19. (本小题满分12分)
解：(Ⅰ)Q 型车每月的销售量{a n }是以首项a 1 ＝ a ，公比q ＝ 1＋1%＝ 1.01的等比数列. 前n 个月的销售总量S n ＝a(1.01n －1)
1.01－1＝100a(1.01n －1)，n ∈N *，且n≤24. …………………（4
分）
(Ⅱ) ∵S n －T n ＝100a(1.01n －1)－228a(1.012n －1) ＝100a(1.01n －1)－228a(1.01n －1)(1.01n ＋1) ＝－228a(1.01n －1)·(1.01n ＋32
57
). 又1.01n －1>0,1.01n ＋
32
57
>0， ∴S n <T n . ……………………………………………………（12分） 20.(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）以EF 所在的直线为x 轴，EF 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系. 由题设EG EH =2，0=⋅EG HP ， ∴||||PE PG =，而a PG PE PF 2||||||==+. ∴点P 是以E 、F 为焦点、长轴长为10的椭圆.
故点P 的轨迹方程是
116
252
2=+y x .…………………………………（4分） （Ⅱ）设),(11y x A ，),(22y x B ，)0,(0x C .
∴21x x ≠，且||||CB CA =，即=+-2
1201)(y x x 2
2202)(y x x +-.
又A 、B 在轨迹上，∴116
252121=+y x ，116252
222=+y
x .
即212
1251616x y -
=，222
225
1616x y -=. 代入整理，得
)(25
9)(22
122012x x x x x -=
⋅-.
∵21x x ≠，∴50
)
(9210x x x +=
．
∵551≤≤-x ，552≤≤-x ，∴101021≤+≤-x x ． ∵21x x ≠，∴101021<+<-x x . ∴59590<<-
x ，即||OC ＜5
9
．………………………………………………（13分） 21．(本小题满分14分)
解：（Ⅰ）23222213()1,()1()02324
x x f x x f x x x x '=-+-=-+-=---<，
所以2()f x 在(,)-∞+∞单调递减. ………………………………………（4分） （Ⅱ）1()1f x x =-有唯一实数解1x =.…………………………………（6分）
当2n ≥时，由*-∈--⋅⋅⋅+-+-=N n n x x x x x f n n ,12321)(1
232，得
223221)(---+⋅⋅⋅+-+-='n n n x x x x x f .
（1）若1x =-，则()(1)(21)0n n f x f n ''=-=--<. (2) 若0x =，则()10n f x '=-<.
(3) 若1x ≠-且0x ≠时，则21
1
()1
n n x f x x -+'=-+.
① 当1x <-时，2110,10,()0n n x x f x -'+<+<<. ② 当1x >-时，2110,10,()0n n x x f x -'+>+><.
综合（1）,（2）, （3），得()0n f x '<，即()n f x 在(,)-∞+∞单调递减. 又(0)1n f =>0，
)1
22222()5242()3222()21()2(12225432---+⋅⋅⋅+-+-+-=--n n f n n n
2
2422)122
221(2)5241(2)3221(1----+⋅⋅⋅+-+-+-=n n n
02)
12)(22(322543232112242<----⋅⋅⋅-⋅-⋅-
-=-n n n n ， 所以()n f x 在(0,2)有唯一实数解，从而()n f x 在(,)-∞+∞有唯一实数解.
综上，()0n f x =有唯一实数解. ………………………………………………………（14分）。