山东省2023-2024学年九年级下学期学业质量检测数学试题(含答案)

山东省初中毕业年级2023-2024学年学业质量检测（统考）
数学试题2024.03
一．选择题（共10小题） 1．下列各数：-2，0，1
3
，0.020020002…，π，9，其中无理数的个数是（ ） A. 4 B. 3
C. 2
D. 1
2.下列计算正确的是（ ）． A ．2
3
6
a a a ⋅= B ．6
2
3a a
a --÷= C ．()
3
23628ab
a b -=-
D ．222
(2)4a b a b +=+ 3．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
4．禽流感病毒的半径大约是0.00000045米，它的直径用科学记数法表示为( ) A.70.910-⨯米 B.7910-⨯米 C.6910-⨯米 D.7910⨯米
5．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，在△ABC 中，AB=AC ，△ADE 的顶点D ，E 分别在BC ，AC 上，且∠DAE=90°，AD=AE ．若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC 的度数为（ ）
A ．17.5°
B ．12.5°
C ．12°
D ．10° 7．已知
()()
326332--+=-+-x x B
x x x A ，则B A ,的值分别为（ ）。

3,1515,33,1515,3----D
C B A
8．如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是（）
A． B． C． D．
9．如图，AB是⊙O的直线，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD=130°，则∠C的度数是（）
A．50° B．60°C．25° D．30°
10．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作Rt△ABC，使∠BAC=90°，∠ACB=30°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题）
11．的平方根是．
12．已知A ，B 两地相距120km ，甲、乙两人沿同一条公路从A 地出发到B 地，甲骑摩托车， 乙骑自行车．图中DE ，OC 分别表示甲，乙离开A 地的路程s （km ）与时间t （h ）的函数关系，则乙出发__________小时被甲追上．
13．若关于x 的分式方程
=2a 无解，则a 的值为 ．
14．如图，在▱ABCD 中，E 为BC 的中点，以E 为圆心，BE 长为半径画弧交对角线AC 于点F ，若∠BAC ＝60°，∠ABC ＝100°，BC ＝4，则扇形BEF 的面积为 ．
15．若二次函数092
≥+-px x 的解是全体实数，求实数p 的取值范围 ． 16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式 （a+b ）n
的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”
根据”杨辉三角”请计算（a+b ）8
的展开式中从左起第四项的系数为 ．
三．解答题（共8小题） 17．（1）计算：（﹣1）3
+|﹣1|﹣（）﹣2
+2cos45°﹣
；
（2）解不等式组：4312
x x x x +>⎧⎪⎨+≤⎪⎩，并写出它的所有非负整数解．
18．山东省某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有,A B 两种型号的挖掘机,已知3台A 型和5台B 型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A 型和7台B 型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A 型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台B 型挖掘机一小时的施工费用为180元．
(1)分别求每台A 型, B 型挖掘机一小时挖土多少立方米?
(2)若不同数量的A 型和B 型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元?
19．如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳蓬．已知苗圃的（南北）宽 6.5AB =米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是76.5DAE ∠=︒，最小夹角是29.5DBE ∠=︒．求遮阳蓬的宽CD 和到地面的距离CB ． 参考数据：49sin 29.5100︒≈
，87cos 29.5100︒≈，14tan 29.525︒≈，97sin 76.5100︒≈，23cos76.5100
︒≈，21tan 76.55
︒≈
．
20．为防止校园欺凌，某校加强了学生对防校园欺凌的学习，并组织学生参加测试（满分100分）．为了解学生对防校园欺凌的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100 八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据
成绩x （分）
年级 85＜x ≤90
90＜x ≤95
95＜x ≤100
七年级 3 4 3 八年级
5
a
b
分析数据：
统计量 年级 平均数
中位数
众数
七年级 94.1 95 d 八年级
93.4
c
98
应用数据：
（1）填空：a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ，d ＝ ；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地学校宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．
21.如图，直线AD ：y=3x+3与坐标轴交于A 、D 两点，以AD 为边在AD 右侧作正方形ABCD ，过C 作CG ⊥y 轴于G 点，过点C 的反比例函数y=x
k
与直线AD 交于E 、F 两点． (1)求反比例函数y=x
k
表达式；(2)根据图像，求出不等式
0<3x+3<
x
k
的解集； (3)在x 上是否存在一点Q 使△CBQ 为等腰三角形，若存在，求出
Q 点坐标，若不存在，请说明理由．
22.如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．
（1）求证：∠FEB＝∠ECF；（2）若BC＝6，DE＝4，求EF的长．
23.已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），其对称轴为x＝﹣．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
（3）如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求FG+FP的最大值．
24.问题：如图①，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF ＝45°，试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系． 【发现证明】
小聪把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，从而发现EF ＝BE ＋FD ，请你利用图①证明上述结论． 【类比引申】
如图②，四边形ABCD 中，∠BAD ≠90°，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足__________关系时，仍有EF ＝BE ＋FD. 【探究应用】
如图③，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB ＝AD ＝80米，∠B ＝60°，∠ADC ＝120°，∠BAD ＝150°，道路BC 、CD 上分别有景点E 、F ，且AE ⊥AD ，DF ＝40(3－1)米，现要在E 、F 之间修一条笔直的道路，求这条道路EF 的长．(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈ 1.73)
山东省初中毕业年级学业质量检测（统考）
数学试题
一、选择（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
二、填空（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11. 2或-2 12.1.8．13.1或
21 14.9
4
π 15.-6≤p ≤6 16. 56 三、解答题（本大题共7小题，共76分.写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 17.解：（1）解：原式＝﹣1+
﹣1﹣4+2×﹣2
＝﹣1+﹣1﹣4+﹣2
＝﹣6．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 答案 C C D B C D D A C
C
（2）4312
x x x x +>⎧⎪⎨+≤⎪⎩
解：由①得，2x <， 由②得，1x ≤， 所以不等式组的解集为1x ≤ 非负整数解为0,1
18.（1）(1)设每台A 型,B 型挖掘机一小时分别挖土x 立方米和y 立方米,根据题意,得
35165,
47225,
x y x y +=⎧⎨
+=⎩ 解得30,
15.x y =⎧⎨
=⎩
所以,每台A 型挖掘机一小时挖土30立方米,每台B 型挖据机一小时挖土15立方米． (2)设A 型挖掘机有m 台,总费用为W 元,则B 型挖据机有()12m -台．根据题意,得
43004180W m =⨯+⨯ ()124808640m m -=+，
因为()()430415121080
430041*********m m m m ⎧⨯+⨯-≥⎪⎨⨯+⨯-≤⎪⎩
，解得69m m ≥⎧⎨
≤⎩， 又因为12m m ≠-,解得6m ≠,所以79m ≤≤． 所以,共有三种调配方案．
方案一:当7m =时,125m -= ,即A 型挖据机7台,B 型挖掘机5台； 方案二:当8m =时,124m -= ,即A 型挖掘机8台,B 型挖掘机4台； 方案三:当9m =时,123m -= ,即A 型挖掘机9台,B 型挖掘机3台．
4800>,由一次函数的性质可知,W 随m 的减小而减小,
当7m =时，=4807+8640=12000W ⨯最小，
此时A 型挖掘机7台, B 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元． 19.解：（1）解：（1）a ＝1，b ＝4，
八年级成绩按由小到大排列为：87，89，89，90，90，95，98，98，98，100， 所以八年级成绩的中位数c ＝
＝94.5，
七年级成绩中95出现的次数最多，则d ＝95； 故答案为1，4，94.5，95； （2）200×
＝80，
估计八年级测试成绩大于95分的人数为80人；
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中两同学为同年级的结果数为8， 所以抽到同年级学生的概率＝
＝．
20解：如图，过点D 作DF EB ⊥于F ，
在Rt ADF 中，90AFD ∠=︒，
∴21
tan tan 76.55
DF AF FAD AF AF =⋅∠=⋅︒≈， 在Rt BDF △中，90BFD ∠=︒，
∴()()14
tan tan 29.5 6.525
DF BF FBD AF AB AF =⋅∠=+⋅︒≈+， ∴
()2114
6.5525
AF AF =+， 解得：1AF =(米)， ∴21
1 4.25
DF =
⨯=(米)， ∴ 6.517.5BF AB AF =+=+=(米)， ∵90AFD ABC C ∠==∠=︒ ∴矩形BCDF ，
∴7.5CD BF ==米， 4.2BC DF ==米．
答：遮阳蓬的宽CD 为7.5米，到地面的距离CB 为4.2米． 21.（1）证明：四边形
是正方形，
，
， ，
轴，
，
，
，
在和中，
，
；
对于直线，
令，则，
，
，
令，则，
，
，
，，
，将点代入反比例函数中，得，反比例函数的解析式为①．
（2）解：直线的解析式为②，
联立①②得，，
解得，或，
，；
由图象可得不等式的解集为．（3）证明：如图，过点B作BM垂直于x轴垂足为M，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵BM⊥x轴，x轴⊥y轴，
∴，
∵，，
∴，
∵在△DAO和△ABM中
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴OA BM1，OD AM3，
∴OM AM－OA2，
∴B（2，－1），
设Q（a，0）
CB＝，CQ＝，BQ＝
①当△CBQ为等腰三角形，CB＝CQ时，
∴，
∴，
解得：，
此时，
②当△CBQ为等腰三角形，BC＝BQ时，
∴，
∴，
解得：，，
此时，，
③当△CBQ为等腰三角形，QC＝QB时，
∴，
∴
解得：，
此时，
∴Q点的坐标为：，，，，．22：（1）证明：∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，
∴OC平分∠BCE，即∠ECO＝∠BCO，OB⊥BC，
∴∠BCO+∠COB＝90°，
∵EF⊥OG，
∴∠FEB+∠FOE＝90°，
而∠COB＝∠FOE，
∴∠FEB＝∠ECF；
（2）解：连接OD，如图，
∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，
∴CD＝CB＝6，OD⊥CE，
∴CE＝CD+DE＝6+4＝10，
在Rt△BCE中，BE＝＝8，
设⊙O的半径为r，则OD＝OB＝r，OE＝8﹣r，
在Rt△ODE中，r2+42＝（8﹣r）2，解得r＝3，
∴OE＝8﹣3＝5，
在Rt△OBC中，OC＝＝3，
∵∠COB＝∠FOE，
∴△OEF∽△OCB，
∴＝，即＝，
∴EF＝2．
23 解：（1）抛物线与y轴交于点C（0，4），∴c＝4，∵对称轴为，
∴，b＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）如图，过B'作x轴的垂线，垂足为H，
令﹣x2﹣3x+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣4）＝5，
由翻折可得AB′＝AB＝5，
∵对称轴为，
∴，
∴AB'＝AB＝5＝2AH，
∴∠AB'H＝30°，∠B'AB＝60°，
∴，
在Rt△AOD中，，∴；
（3）设BC所在直线的解析式为y1＝k1x+b1，把B、C坐标代入得：，
解得：，
∴y1＝﹣4x+4，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝45°，
∵∠AEB＝90°，
∴直线PE与x轴所成夹角为45°，
设 P （m ，﹣m 2﹣3m+4），
设PE 所在直线的解析式为：y 2＝﹣x+b 2，
把点P 代入得
， ∴， 令 y 1＝y 2，则﹣4x+4＝﹣x ﹣m 2﹣2m+4，
解得
， ∴FG ＝，
， ∴
，
∵点P 在直线AC 上方，
∴﹣4＜m ＜0，
∴当m ＝时，FG+FP 的最大值为． 24.证明：如解图①，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°到△ADG ，则AB 与AD 重合，
第3题解图①
∴∠BAE ＝∠DAG ，∠B ＝∠ADG ，BE ＝GD ，
AE ＝AG ，
∴∠GAF ＝∠DAF ＋∠GAD ＝∠BAE ＋∠DAF ＝45°，
在正方形ABCD 中，∠B ＝∠ADC ＝90°，
∴∠ADG ＋∠ADF ＝180°，即G 、D 、F 在一条直线上，
∵∠EAF ＝45°，
在△EAF 和△GAF 中，AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ＝45°，AF ＝AF ，
∴△EAF ≌△GAF(SAS)，
∴EF ＝GF ，
∴EF ＝FG ＝FD ＋DG ＝FD ＋BE.
【类比引申】∠EAF ＝12
∠BAD. 【解法提示】如解图②，延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ，
∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABC ＋∠ABM ＝180°，
∴∠D ＝∠ABM ，
在△ABM 和△ADF 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABM ＝∠D BM ＝DF
，
第3题解图②
∴△ABM ≌△ADF(SAS)，
∴AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM ，
∵∠BAD ＝2∠EAF ，
∴∠DAF ＋∠BAE ＝∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠EAB ＋∠BAM ＝∠EAM ＝∠EAF ，
在△FAE 和△MAE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AE ∠FAE ＝∠MAE AF ＝AM
， ∴△FAE ≌△MAE(SAS)，
∴EF ＝EM ，
又∵EM ＝BE ＋BM ＝BE ＋DF ，
∴EF ＝BE ＋DF.
【探究应用】解：如解图③，连接AF ，延长BA 、CD 交于点O ， ∵∠BAD ＝150°，∠ADC ＝120°，
∴∠OAD ＝30°，∠ODA ＝60°，
∴△OAD 是直角三角形．
∵AD ＝80，
∴AO ＝403，OD ＝40，
∵OF ＝OD ＋DF ＝40＋40(3－1)＝403，
∴AO ＝OF ，
第3题解图③
∴∠OAF ＝45°，
∵∠OAD ＝30°，
∴∠DAF ＝15°，
∵∠EAD ＝90°，
∴∠EAF ＝∠EAD －∠DAF ＝75°＝12
∠BAD ， 又∠B ＋∠ADC ＝180°，
由(2)知EF ＝BE ＋DF.
∠BAE＝∠BAD－∠EAD＝150°－90°＝60°＝∠B，∴△ABE为等边三角形，
∴BE＝AB＝80，
∴EF＝BE＋DF＝80＋40(3－1)≈109(米)．。