计算方法课后习题答案第一章作业

1.1 指出下列经四舍五入得的有效数字位数，及其绝对误差限和相对误差限。

2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00
解： 因为x 1=2.000 4＝0.200 04×101， 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10
1―5，即m =1，n =5，故x =2.000 4有5位有效数字. a 1=2，相对误差限025000.01021511=⨯⨯=
-a r ε x 2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m =－2，n =3，x 2=－0.002 00有3位有效数字. a 1=2，相对误差限εr =31102
21-⨯⨯=0.002 5 x 3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m =4， n =4， x 3=9 000有4位有效数字，a =9，相对误差限εr ＝
4110921-⨯⨯＝0.000 056 x 4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m =4，n =6，x 4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为εr ＝61109
21-⨯⨯＝0.000 000 56 由x 3与x 4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的。

（简易解法）：凡由准确值经四舍五入而得的近似值，其每一个均为有效数字，且绝对误差限不超过末位数字的半个单位。

注：相对误差限也可用定义：绝对误差限除以近似值来求，如4310556.09000
5.0)(-⨯==x r ε 1.2 设 3149541.2=x ，取5位有效数字，则所得的近似值=*x _________.
解: 2.3150（四舍五入结果）
1.3 近似数234.1*=x ，有3位有效数字，求其相对误差限r δ。

讲解：r r a x δε=⨯=⨯≤--2311
105.01021)(
或3,1,101234.01*==⨯=n m x ，由有效数字定义知
δ==⨯≤--005.0102131*x x ，从而004052.0234.1005.0*≈==x
r δδ 1.4 对准确值 1000=x 和它的两个近似值为9.999*1=x 和1.1000*2=x 分别计算它们的有效数位及绝对
误差限，根据结果判断以下结论是否正确：对准确值x 的两个近似值21,x x ，则有效数位n 大的则其绝对误差限就越小?
答案：错误 解答：n m x x x -⨯≤-=ε102
1)(*，n 越大，通常．．绝对误差限越小．．．．．．．，但绝对误差限也与m 有关 ，因此上述结论并不总是正确。

如准确值 1000=x ，它的两个近似值为 9.999*1=x 和1.1000*2=x ，*2*1,x x 的绝
对误差限均为1.0*2*1=-=-x x x x ，但*1
x 有3位有效数字，而*2x 则有4位有效数字。

1.5 如要求10π的近似值的相对误差小于%1.0≤，则π至少要取几位有效数字？ 解：%1.0)(10)(10)()()(10)()()(*10*9*10*1010
≤⋅====πεππεππεπππεπεr r 从而410)(-≤πεr ，又n r a -⨯≤11
1021)(πε，31=a ，即要求411101021--≤⨯n a ，从而解出5=n 错误解法：有的同学通过计算 256468.9364710≈π，从而知10π对应的91=a ，再利用3%1.01021)(11
10≥⇒≤⨯≤-n a n r πε，该答案是错误的，这只是求出了10π至少要取几位有效数字，而不是π至少要取几位有效数字。

1.6 从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪一个在数值计算上将给出较好的近似值？ 6)12(-=a ，6)
12(1
+，27099-，3)223(-，3)223(1+ 答案：3
)223(1
+ 解答：(B)、（C ）均为两个相近的数相减，（A ）相对于（D ）运算幂数多。

1.7 设有多项式函数87102)(23+-+=x x x x p ，请给出计算)(x p 的计算量较小的算法。

解答：8]7)102[()(+-+=x x x x p
1.8 设0>x ，已知近似值*x 的相对误差为a ，求*ln x 的绝对误差。

解答： *******ln ln )(ln 1)(ln )(1ln )(ln )(ln x
a x x x x x x x x x x x r r =⋅====εεεεε 从而a x x x r =⋅=*ln )(ln )(ln εε。