任意角和弧度制及任意角的三角函数讲义

任意角和弧度制及任意角的三角函数讲义
课前双击巩固
1.角的概念的推广
(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
(2)分类:按旋转方向分为 、 和零角;按终边位置分为 和轴线角. (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S= . 2.弧度制的定义和公式
(1)定义:把长度等于 的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad. (2)公式:
角α的弧度数的绝对
值 |α|=l
r (弧长用l 表示)
角度与弧度的换算
①1°=π
180 rad ,②1 rad=
180π
°
弧长公式 弧长l= 扇形面积公式 S=1
2
lr=1
2|α|r 2
3.任意角的三角函数
(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),则sin α= ,cos α= ,tan α=y
x (x ≠0).
(2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图3-16-1中的有向线段OM ,MP ,AT 分别称为角α的 、 和 .
图3-16-1
常用结论
象限角与轴线角
(1)象限角
(2)轴线角
题组一常识题
1.[教材改编]终边在射线y=-√3x(x<0)上的角的集合是.
2.[教材改编](1)67°30'=rad;
(2)π
= °.
12
3.[教材改编]半径为120 mm的圆上长为144 mm的弧所对圆心角α的弧度数是.
4.[教材改编]若角α的终边经过点P(-1,2),则sin α-cos α+tanα=.
题组二常错题
◆索引:对角的范围把握不准;由值求角时没有注意角的范围;求三角函数值时没有考虑角的终边所在的象限;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错.
,则A=.
5.在△ABC中,若sin A=√2
2
6.已知点P (sin α-cos α,tan α)在第二象限,则在[0,2π]内α的取值范围是 .
7.已知角α的终边落在直线y=-3x 上,则
|sinα|sinα
-
|cosα|cosα
= .
8.若一扇形的圆心角为72°,半径为20 cm ,则扇形的面积为 cm 2
.
课堂考点探究
探究点一 角的集合表示及象限角的判定
1 (1)设集合M=x x=k
2·180°+45°,k ∈Z ,N=x x=k
4·180°+45°,k ∈Z ,那么 ( ) A.M=N B.M ⊆N C.N ⊆M D.M ∩N=⌀
(2)已知角α的终边在图3-16-2中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则所有角α构成的集合是 .
图3-16-2
[总结反思] 把角表示成2kπ+α(k ∈Z ,0≤α<2π)的形式,即可判断其所在的象限. 式题 (1)已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β= .
(2)若角α的终边在x 轴的上方,则α
2是第 象限角.
探究点二 扇形的弧长、面积公式
2 (1)若圆弧长度等于该圆内接等腰直角三角形的周长,则其圆心角的弧度数是 .
(2)若扇形的周长为18,则扇形面积取得最大值时,扇形圆心角的弧度数是 .
[总结反思] 应用弧度制解决问题的方法:(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度;(2)求扇形面积最大值的问题,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. 式题 (1)将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是
( )
A.π
3 B.π
6 C.-π
3 D .-π
6
(2)圆内接矩形的长宽之比为2∶1,若该圆上一段圆弧的长等于该内接矩形的宽,则该圆弧所对圆心角的弧度数为 . 探究点三 三角函数的定义
考向1 三角函数定义的应用
3 (1)函数y=log a (x-3)+2(a>0且a ≠1)的图像过定点P ,且角α的终边过点P ,则sin α+cos α的值为
( )
A.7
5 B.6
5 C.√5
5 D.3
5
√5 (2)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则sin β= .
[总结反思] 三角函数定义主要应用于两方面:
(1)已知角的终边上一点P 的坐标,则可先求出点P 到原点的距离,然后用三角函数定义求解三角函数值.特别地,若角α的终边落在某条直线上,一般要分类讨论.
(2)已知角α的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题.
考向2 三角函数值的符号判定
4 (1)使lg (sin θ·cos θ)+√-cosθ有意义的θ为 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角
D.第四象限角
(2)若角α的终边落在直线y=-x 上,则
sinα|cosα|+|sinα|
cosα
= .
[总结反思] 要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果角不能确定所在象限,那就要进行分类讨论求解.
考向3 三角函数线的应用
5 函数f (x )=√1−2cosx +ln sin x-√22
的定义域为 .
[总结反思] 利用三角函数线解三角不等式,通常采用数形结合的方法,一般来说sin x ≥b ,cos x ≥a ,只需作直线y=b ,x=a 与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x 的范围. 强化演练
1.【考向1】点P 从点
√22,-√22
出发,沿单位圆按逆时针方向运动3π
4
后到达Q 点,若α的始边
在x 轴的正方向上,终边在射线OQ 上,则sin α= ( )
A.1
B.-1
C.√2
2 D.-√2
2
2.【考向2】已知角α的终边在第一象限,点P (1-2a ,2+3a )是其终边上的一点,若cos α>sin
α,则实数a 的取值范围是 .
3.【考向3】满足cos α≤-1
2的角α的集合为 .
课时作业
一、 填空题
1．若cos α＝－
3
2
，且角α的终边经过点P (x ，2)，则P 点的横坐标x 是________. 2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是________. (填序号)
①sin α＋cos α<0 ②tan α－sin α<0 ③cos α－tan α<0 ④tan αsin α<0
3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则
cos 2θ＝________.
4．将－300°化为弧度为________.
5．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为________.
6．已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝2
4
x ，则sin α等于________. 7．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cosα＝________.
8．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为________.
9．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P (－4m ，3m )(m >0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.
10．若角α的终边经过点P (1,2)，则sin2α的值是________．
11．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－25
5，则y ＝________.
二、解答题
12．设α为第四象限角，其终边上的一个点是P (x ，－5)，且cos α＝2
4
x ，求sin α和tan α.
13．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求扇形的圆心角的弧度数和弦长AB .。