高中数学 坐标系与参数方程单元测试(一)新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学试题
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坐标系与参数方程
注意事项:
1.答题前,先将自己的某某、某某号填写在试题卷和答题卡上,并将某某号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在极坐标系中,已知π5,3M ⎛
⎫- ⎪⎝⎭,下列所给出的不能表示点M 的坐标的是()
A .π5,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
B .4π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
C .2π5,3⎛
⎫- ⎪⎝
⎭D 5π5,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭
2.经过点()1,5M 且倾斜角为π
3
的直线,以定点M 到动点P 的位移(t 为参数)的参
数方程()
A
.1125x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩B
.1125x t y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
C
.1125x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩D
.1125x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
3.P
是椭圆4sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩
(α为参数)上一点,且在第一象限,OP (O 为原点)的
倾斜角为π
6
,则点P 的坐标为()
A .()2,3B
.⎝⎭
C
.(D .()4,3
4.将sin y x =的图像横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的1
2
,再将纵坐标保持
不变,横坐标伸长为原来的2倍,所得图象的函数解析式为() A .12sin 2y x =B .1
sin 22y x =
C .2sin 2y x =
D .11
sin 22
y x =
5.极坐标方程1ρ=表示() A .直线
B .射线
C .圆
D .椭圆
6.在极坐标系中,过点π2,3⎛⎫
⎪⎝⎭
且与极轴垂直的直线方程为()
A .4cos ρθ=-
B .cos 10ρθ-= C
.sin ρθ=
.ρθ=
7.直线cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩ (t 为参数)与圆42cos 2sin x y ϕ
ϕ=+⎧⎨=⎩
(ϕ为参数)相切,则直线的倾
斜角α为()
A .π6或5π6
B .π4或3π4
C .π3或2π3
D .π6-或5π6
-
8.在极坐标系中,已知点π2,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
,3π4B ⎫⎪⎭,()0,0O ,则ABO △为()
A .正三角形
B .直角三角形
C .锐角等腰三角形
D .直角等腰三角形
9.
已知直线:2x l y t
⎧=⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数)和抛物线2:2C y x =,l 与C 分别交于点1P ,2P ,则点()0,2A 到1P ,2P 两点距离之和是()
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A
.4+B
.(22+C
.(42D
.8+10
.过抛物线22x t
y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数)的焦点的弦长为2,则弦长所在直线的倾斜角为
()
A .π3
B .π3或2π3
C .π6
D .π6或5π
6
11.可以将椭圆221108x y +=变为圆224x y +=的伸缩变换是()
A
.52'x x y '=⎧⎪=B
.''y =⎪⎩
C
.'x '=D
.'y
'=
12.圆r ρ=与圆()π2sin 04r r ρθ⎛
⎫=-+> ⎪⎝
⎭的公共弦所在直线的方程为()
A .()2sin cos r ρθθ+=
B .()2sin cos r ρθθ+=- C
()sin cos r θθ+=D
()sin cos r θθ+=-
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13.在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为3
3x t y t =+⎧⎨=-⎩ (参数t ∈R ),圆的参数
方程为2cos 2sin 1x y θ
θ=⎧⎨=+⎩
(参数[)0,2πθ∈),则圆心到直线l 的距离为________.
14.
已知直线的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭,则极点到直线的距离是________.
15.直线l 过点()01,5M ,倾斜角是π
3
,
且与直线0x y --=交于M ,则0
MM 的长为________.
16.与曲线cos 10ρθ+=关于π
4
θ=对称的曲线的极坐标方程是________.
三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)在伸缩变换2x x y y '=⎧⎨'=⎩,与伸缩变换22x x
y y
'=⎧⎨'=⎩的作用下,221x y +=分别
变成什么图形?
18.(12分)把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线: (1)5cos 4sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ (ϕ为参数);(2)134x t
y t =-⎧⎨=⎩
(t 为参数).
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19.(12
分)求直线2x t
y =+⎧⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数)被双曲线221x y -=上截得的弦长.
20.(12分)已知定点(),0A a ,动点P 对极点O 和点A 的X 角π
3
OPA ∠=
.在OP 的延长线上取点Q ,使PQ PA =.当P 在极轴上方运动时,求点Q 的轨迹的极坐标方程.
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21.(12分)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y α
α=⎧⎨=+⎩
(α为参
数).M 是1C 上的动点,点P 满足2OP OM =,点P 的轨迹为曲线2C . (1)求2C 的方程;
(2)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线π
3
θ=与1C 和异于极点的交点为A ,与2C 的异于极点的交点为B ,求AB .
22.(12分)已知半圆直径()20AB r r =>,半圆外一条直线l 与AB 所在直线垂直
相交与点T ,并且222r AT a a ⎛
⎫
=<
⎪⎝⎭
.若半圆上相异两点M 、N 到l 的距离MP ,NQ 满足:1:MP MA NQ NA ==,通过建立极坐标系,求证:MA NA AB +=.
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2018-2019学年选修4-4训练卷 坐标系与参数方程(一)答案
一、选择题. 1.【答案】A 2.【答案】D 3.【答案】B 4.【答案】D 【解析】
5.【答案】C 6.【答案】B
【解析】设(),M ρθ为直线上除π2,3⎛⎫
⎪⎝⎭
以外的任意一点,则有πcos 2cos 3ρθ=⋅,
则cos 1ρθ=,经检验π2,3⎛⎫
⎪⎝⎭
符合方程.故选B .
7.【答案】A 8.【答案】D 9.【答案】C
【解析】把直线参数方程化为3
'12'
2
x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t '为参数),
代入22y x =求得(12423t t ''+=-,12160t t ''>=,知1t ,2t 均小于零, 则(111222423AP AP t t t t ''''+=+=+=.故选C .
10.【答案】B
【解析】将抛物线的参数方程化成普通方程为232y x =
,它的焦点为3,08⎛⎫
⎪⎝⎭
. 设弦所在直线的方程为38y k x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭,
由23
238y x y k x ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩
,消去y 得()
22226448290k x k x k -+=+,
设弦的两个端点的坐标为()11,x y ,()22,x y , 则()
2
22
2
12121222329144161k x x k x x x x k k ⎛⎫+-=++-⋅- ⎪+⎝
⎭, 解得3k =.故选B . 11.【答案】D
【解析】方法1:将椭圆方程221108x y +=化为22
2452x y +=,∴2
22452x +=, 令2
52x y ⎧
'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩
,得224x y '+=',即224x y +=,∴伸缩变换为5'22x x y y '=. 方法2:将224x y +=改写为224x y '+=',
设伸缩变换为()()
00x x y y λλμμ'=>⎧⎪⎨'=>⎪⎩,代入224x y '+=',得22224x y λμ+=,
即2222144x y λμ+=,与椭圆221108x y +=,比较系数得221
410
1
48λμ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩,解得252
λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
,
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∴伸缩变换为x x
y y
⎧'=⎪⎪
⎨
⎪'=⎪⎩
,即'y ='=.故选D .
12.【答案】D
【解析】圆r ρ=的直角坐标方程为222x y r +=,①
圆()πππ2sin 2sin cos cos sin sin cos 444r r ρθθθθθ⎛⎫⎛
⎫=-+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭,
两边同乘以ρ
得()2sin cos ρρθρθ=+
,∴220x y ++=,② 由①-②
)x y r +=-,即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程.
)x y r +=-
()cos sin r θθ+=-.
二、填空题. 13.
14.
15.
【答案】16.【答案】sin 10ρθ+=
三、解答题. 17.【答案】见解析.
【解析】由2x x y y '=⎧⎨'=⎩得2x x y y '⎧=⎪⎨⎪'=⎩,代入221x y +=得2
2
12x y '⎛⎫'+= ⎪⎝⎭,即
2214x y ''+=. 所以在伸缩变换2x x y y
'=⎧⎨'=⎩的作用下,单位圆22
1x y +=变成椭圆2214x y +=.
由22x x y y '=⎧⎨'=⎩,得22
x x y y '
⎧=⎪⎪
⎨
'⎪=
⎪⎩
,代入22
1x y +=得22122x y ''⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即224x y ''+=, 所以在伸缩变换22x x
y y
'=⎧⎨'=⎩的作用下,单位圆221x y +=变成圆224x y +=.
18.【答案】(1)长轴在x 轴上且为10,短轴为8,中心在原点的椭圆;
(2)过40,3⎛⎫
⎪⎝⎭
和()1,0的一条直线.
【解析】(1)∵5cos 4sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩,∴cos 5
sin 4
x
y ϕϕ
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,
两边平方相加,得2222
cos sin 2516x y ϕϕ+=+,即2212516
x y +=.
∴曲线是长轴在x 轴上且为10,短轴为8,中心在原点的椭圆. (2)∵134x t y t
=-⎧⎨=⎩,∴由4y t =代入13x t =-,得134y
x =-⋅,
∴4340x y +-=,∴它表示过40,3⎛⎫
⎪⎝⎭
和()1,0的一条直线.
19.
【答案】
【解析】
把直线参数方程化为标准参数方程122x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数),
带入22
1x y -=
,得:2
2
1212t ⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭. 整理,得2460t t -=-.设其两根为1t 、2t ,则124t t +=,126t t =-. 从而弦长为
12AB t t =-=
==
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20.【答案】π2sin 6a ρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
【解析】设Q 、P 的坐标分别是(),ρθ、()11,ρθ,则1θθ=. 在POA △中,由正弦定理得,12πsin π3sin 3a
ρθ⎛⎫
=
⋅- ⎪⎝⎭,sin πsin 3
a PA θ=. 又OQ OP PA =+,∴π2sin 6a ρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
21.【答案】(1)2C 的参数方程为4cos 44sin x y α
α=⎧⎨=+⎩
(α为参数);(2
).
【解析】(1)设(),P x y ,则由条件知,22x y M ⎛⎫
⎪⎝⎭
.由于点M 在1C 上,
所以2cos 2
22sin 2
x
y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩,
从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩
(α为参数).
(2)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线π3θ=与1C 交点A 的极径为1π
4sin 3ρ=, 射线π3θ=
与2C 的交点B 的极径为2π8sin 3
ρ=.
所以12AB ρρ=-= 22.【答案】见解析.
【解析】证明:证法一 以A 为极点,射线AB 为极轴建立极坐标系, 则半圆的极坐标方程为2cos r ρθ=,
设()11,M ρθ,()22,N ρθ,则112cos r ρθ=,222cos r ρθ=,
又21112cos 22cos MP a a r ρθθ=++=,22222cos 22cos NQ a a r ρθθ=++=, ∴21122cos 2cos MP a r r θθ+==,∴22222cos 2cos NQ a r r θθ+==, ∴1cos θ,2cos θ是关于cos θ的方程2cos cos 0r r a θθ-+=的两个根,
由韦达定理知:12cos cos 1θθ+=,∴122cos 2cos 2MA NA r r r AB θθ+=+==. 证法二 以A 为极点,射线AB 为极轴建立直角坐标系, 则半圆的极坐标方程为2cos r ρθ=, 设()11,M ρθ,()22,N ρθ,
又由题意知,()11,M ρθ,()22,N ρθ在抛物线21cos a
ρθ
=-上,
∴22cos 1cos a
r θθ
=
-,2cos cos 0r r a θθ-+=,
∴1cos θ,2cos θ是方程2cos cos 0r r a θθ-+=的两个根, 由韦达定理知:12cos cos 1θθ+=,
∴122cos 2cos 2MA NA r r r AB θθ+=+==.。