高考数学 双曲线

双曲线
[知识梳理]
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当a>c时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
3．必记结论
(1)焦点到渐近线的距离为b.
(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．
(3)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()
(2)双曲线方程x2
m2－y2
n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是
x2
m2－
y2
n2
＝0，即x m ±y n ＝0.( )
(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) (4)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与y 2b 2－x 2
a 2＝1(a >0，
b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1
e 22
＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．教材衍化
(1)(选修A1－1P 53T 3)已知椭圆x 28＋y 25＝1和双曲线x 2m －y 2
＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )
A ．x ＝±3
6y B ．y ＝±3
6x C ．x ＝±2
2y D ．y ＝±2
2x
答案 D
解析 由椭圆x 28＋y 25＝1和双曲线x 2m －y 2
＝1有公共的焦点，得m ＋1＝8－5.所以m ＝2，所以双曲线方程为x 22－y 2
＝1，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2
2x .故选D.
(2)(选修A1－1P 51例3)已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±1
2x ，则此双曲线的离心率为________．
答案
5
解析 因为焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，所以a
b ＝12，即b ＝2a .由
c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝a 2＋4a 2＝5a 2
，即c 2a 2＝5，所以e
＝c
a ＝ 5.
3．小题热身
(1)(2014·全国卷Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )
A. 3 B ．3 C.3m D ．3m
答案 A
解析 由题意知，双曲线的标准方程为x 23m －y 23＝1，其中a 2＝3m ，b 2＝3，故c ＝a 2＋b 2＝
3m ＋3，不妨设F 为双曲线的右焦点，故
F (
3m ＋3，0)．其中一条渐近线的方程为y ＝1m
x ，即x －my ＝0，
由点到直线的距离公式可得d ＝|3·m ＋1|1＋(－m )
2
＝3，故选A.
(2)(优质试题·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．
答案 2
解析 由已知得|AB |＝|CD |＝2b 2
a ，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c . 因为2|AB |＝3|BC |，所以4
b 2
a ＝6c ，
又b 2
＝c 2
－a 2
，所以2e 2
－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1
2(舍去)．
题型1 双曲线的定义及应用
典例1
(优质试题·湖北武汉调研)若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|P A |的最小值是( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．12
利用双曲线定义得到|PF |＋|P A |＝
2a ＋|PB |＋|P A |，再利用|P A |＋|PB |≥|AB |求出最小值．
答案 B
解析 由题意知，双曲线x 24－y 2
12＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知|PF |＋|P A |＝4＋|PB |＋|P A |≥4＋|AB |＝4＋
(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A ，
P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．
∴|PF |＋|P A |的最小值为9.故选B.
典例2
(优质试题·河北邯郸模拟)设动圆C 与两圆C 1：(x ＋5)2
＋y 2＝4，C 2：(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C 的轨迹方程为________．
根据圆与圆相切关系求动圆圆心
到两个定圆圆心的距离之差，然后用定义法求解．
答案 x 24－y 2
＝1
解析 设圆C 的圆心C 的坐标为(x ，y )，半径为r ，由题设知r ＞2，
于是有⎩⎨
⎧
|CC 1|＝r ＋2，
|CC 2|＝r －2
或⎩⎨
⎧
|CC 1|＝r －2，|CC 2|＝r ＋2，
∴||CC 1|－|CC 2||＝4＜25＝|C 1C 2|，即圆心C 的轨迹L 是以C 1，C 2为焦点，4为实轴长的双曲线，
∴L 的方程为x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫422－y 2
(5)2
－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝1， 即x 24－y 2
＝1. 方法技巧
应用双曲线定义需注意的问题
1.在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|F 1F 2|，否则轨迹是线段或不存在．
2.求双曲线方程时，注意用标准形式．
冲关针对训练
1．(优质试题·衡水模拟)已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线C ：x 216－y 2
9＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于( )
A.4
5 B.74 C.54 D.7
答案 A
解析 由x 216－y 2
9＝1得a ＝4，b ＝3，c ＝5.结合双曲线定义及正弦
定理得|sin A －sin B |sin P
＝||P A |－|PB |||AB |＝2a 2c ＝45，故选A. 2．已知双曲线x 216－y 2
9＝1上有一点P ，F 1，F 2是双曲线的焦点，且∠F 1PF 2＝π
3，则△PF 1F 2的面积为________．
答案 9 3
解析 由题意，得|F 1F 2|＝2
16＋9＝10.
因为⎩⎪⎨⎪⎧
||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|2＋|PF 2|2
－2|PF 1|·
|PF 2|cos π3＝100，
所以|PF 1|·|PF 2|＝36.
所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin π
3＝9 3. 题型2 双曲线的标准方程及应用
典例
(优质试题·兰州检测)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )
A.x 24－3y 2
4＝1 B.x 24－4y 2
3＝1 C.x 24－y 2
4＝1
D.x 24－y 2
12＝1 本题采用方程法．
答案 D
解析 不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧
x 20＋y 20＝22，①
2x 0
·
2y 0
＝2b ，②
y 0
＝b 2x 0
，③
由①③得
x 20＝
16
4＋b
2
，④
所以y 20＝b 24×164＋b 2＝4b
2
4＋b 2，⑤
由②④⑤可得b 2＝12.
所以双曲线的方程为x 24－y 2
12＝1.故选D.
[条件探究1] 若将典例中条件变为“以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)”，求双曲线的方程．
解 因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，b a ＝4
3.又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x 29－y 2
16＝1.
[条件探究2] 若将典例中变为“双曲线过点(2,1)，且双曲线与椭圆x 24＋y 2
＝1共焦点”，求双曲线的方程．
解 椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2
a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，所以4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2
＝1，所以所求双曲线方程是x 22－y 2
＝1.
方法技巧
双曲线标准方程的求解方法
1．定义法． 2．待定系数法．
提醒：利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1，有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝λ(λ≠0)．
冲关针对训练
1．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )
A.x 24－y 2
＝1 B ．x 2
－y 2
4＝1
C.3x 220－3y 2
5＝1 D.3x 25－3y 2
20＝1
答案 A
解析 由题意得c ＝5，b a ＝1
2，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2
＝1.故选A.
2．(优质试题·福建漳州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，P 为双曲线C 右支上异于顶点的一点，△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点(1,0)，且P 与点F 1关于直线y ＝－bx a 对称，则双曲线的方程为________________．
答案 x 2－y
2
4＝1
解析 设点A (1,0)，因为△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点(1,0)，则|PF 1|－|PF 2|＝|AF 1|－|AF 2|，所以2a ＝(c ＋1)－(c －1)，则a ＝1.因为点P 与点F 1关于直线y ＝－bx a 对称，所以∠F 1PF 2＝π2，且|PF 1||PF 2|＝b
a ＝
b ，
结合|PF 1|－|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝4＋4b 2，可得b ＝2.所以双曲线的方程为x 2
－y 2
4＝1.
题型3 双曲线的几何性质
角度1 与双曲线有关的范围问题(多维探究)
典例
(优质试题·全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－33，33
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－36，36
C.⎝
⎛⎭⎪⎫
－
223，223 D.⎝
⎛⎭⎪⎫
－
233，233 根据已知MF 1→·MF 2→<0，列出y 0的不等式求解．
答案 A
解析 不妨令F 1为双曲线的左焦点，则F 2为右焦点，由题意可知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→·MF 2→＝
(－3－x 0)·(3－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝x 20＋y 2
0－3.
又知x 2
02－y 20＝1，∴x 20＝2＋2y 20，∴MF 1→·MF 2→＝3y 20－1<0.∴－33<y 0<33，
故选A.
[条件探究] 将本例中条件“MF 1→·MF 2→<0”改为“MF 1→·MF 2
→＝
0”，求△MF 1F 2的面积．
解 由MF 1→·MF 2→＝0得MF 1⊥MF 2，知△MF 1F 2为直角三角形．设M 为双曲线右支上一点，则|MF 1|－|MF 2|＝22，|MF 1|2＋|MF 2|2＝(|MF 1|－|MF 2|)2＋2|MF 1|·|MF 2|＝12，得|MF 1|·|MF 2|＝2，所以S △MF 1F 2＝1
2·
|MF 1|·|MF 2|＝1. 角度2 与双曲线渐近线有关的问题
典例
(优质试题·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2
＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．
涉及曲线交点时，考虑用设而不求
的方法．
答案 y ＝±2
2x
解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，
得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，
∴y 1＋y 2＝2pb 2a 2. 又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，
∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p
2，即y 1＋y 2＝p ， ∴2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22，
角度3 与双曲线离心率有关的问题
典例
(优质试题·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝1
3，则E 的离心率为( )
A. 2
B.32
C. 3
D ．2
将等式sin ∠MF 2F 1＝1
3转化为关于a ，
b ，
c 的等式．
答案 A
解析 由MF 1⊥x 轴，可得M ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－c ，b 2
a ， ∴|MF 1|＝
b 2a .由sin ∠MF 2F 1＝1
3，可得cos ∠MF 2F 1＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫132＝223，又tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2
|＝b 22ac ，∴b 22ac ＝1
3
223，∴b 2
＝22ac ，∵c 2＝a 2＋b 2⇒b 2
＝c 2
－a 2
，∴c 2
－a 2
－22ac ＝0⇒e 2
－22e －1＝0，∴e ＝ 2.故选A.
方法技巧
与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略
1．双曲线的离心率e ＝c
a 是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，
b ，
c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e
的关系式，并且需注意e ＞1.
2．求双曲线离心率或其范围的方法
(1)求a ，b ，c 的值，由c 2
a 2＝a 2＋
b 2
a 2＝1＋
b 2
a 2直接求e .
(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2
消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．
3．求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2
b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±y
b ＝0.
冲关针对训练
1．(优质试题·全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )
A. 5 B ．2 C. 3 D. 2
答案 D
解析 设双曲线E 的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，则A (－a,0)，B (a,0)，不妨设点M 在第一象限内，则易得M (2a ，3a )，又M 点在双曲线E 上，于是(2a )2a 2－(3a )2
b 2＝1，可得b 2＝a 2，∴e ＝1＋b 2a 2
＝ 2.故选D.
2．(优质试题·成都统考)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为3
2，则C 2的
渐近线方程为( )
A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0
答案 A
解析 设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2
a
，e 2＝a 2＋b 2a .因为e 1·e 2
＝3
2，所以
a 4－
b 4a 2＝3
2，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 4＝14，所以b a ＝2
2.
故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2
2x ， 即x ±2y ＝0.故选A.
题型4 直线与双曲线的综合问题
典例1
以P (1,8)为中点作双曲线为y 2－4x 2＝4的一条弦AB ，求直线AB 的方程．
本题采用“点差法”．
解
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧
y 21－4x 2
1＝4，
y 22－4x 2
2＝4，
∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)，
∵弦AB 的中点是P (1,8)，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝16. ∴16(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)， ∴直线AB 的斜率为y 1－y 2x 1－x 2
＝1
2，
∴直线AB 的方程为y －8＝1
2(x －1)， 即直线AB 的方程为x －2y ＋15＝0.
典例2 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB
→>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围． (2)直线与双曲线联立，用设而不
求的方法，列出不等式，然后求解．
解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)．
由已知得a ＝3，c ＝2，于是a 2＋b 2＝22，b 2＝1，故双曲线C 的方程为x 23－y 2
＝1.
(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2
＝1，得 (1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.
由直线l 与双曲线交于不同的两点，得
⎩⎨⎧
1－3k 2≠0，Δ＝(62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2
)>0，
即k 2
≠1
3且k 2<1.
设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，
则x A ＋x B ＝62k
1－3k 2，x A x B ＝－9
1－3k 2
. 由OA →·OB →>2，得x A x B ＋y A y B
>2. x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2 ＝(k 2
＋1)－9
1－3k 2＋2k ·62k
1－3k
2
＋2 ＝3k 2＋7
3k 2－1
. 于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，
解得13<k 2
<3，又∵k 2<1， ∴1
3<k 2<1，
故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
33，1.
方法技巧
直线y ＝kx ＋m 与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的位置关系的分析：
1．代数法⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 2
b 2＝1，
消去y ，得(b 2－a 2k 2)x 2－2kma 2x －a 2(m 2
＋b 2)＝0.
(1)二次项系数为0时，直线L ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫k ＝±b a 与双曲线的渐近线平行或重
合．
重合：无交点；平行：有一个交点．
(2)二次项系数不为0时，上式为一元二次方程， Δ>0⇔直线与双曲线相交(两个交点)； Δ＝0⇔直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线相离．
2．几何法：运用数形结合思想考查直线与渐近线的位置关系，转化为其斜率的大小关系．
冲关针对训练
若双曲线E ：x 2a 2－y 2
＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．
(1)求k 的取值范围；
(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值．
解
(1)由⎩⎪⎨
⎪⎧
c a ＝2，
a 2＝c 2－1，
得⎩⎨⎧
a 2＝1，
c 2
＝2，
故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧
y ＝kx －1，
x 2－y 2
＝1，
得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.(*)
∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，
故⎩⎨⎧
k ＞1，
Δ＝(2k )2－4(1－k 2
)×(－2)＞0，
即⎩⎨
⎧
k ＞1，－2＜k ＜
2，
所以1＜k ＜ 2.
故k 的取值范围是{k |1＜k ＜2}． (2)由(*)得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2
k 2－1，
∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2
(1＋k 2)(2－k 2)
(k 2－1)
2
＝63， 整理得28k 4－55k 2＋25＝0，
∴k 2
＝57或k 2
＝54，又1＜k ＜2，∴k ＝52，
所以x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8. 设C (x 3，y 3)，由OC
→＝m (OA →＋OB →)， 得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2) ＝(45m,8m )．
∵点C 是双曲线上一点， ∴80m 2
－64m 2
＝1，得m ＝±1
4.
故k ＝52，m ＝±14.。