孤立奇点的类型及判断方1

孤立奇点的类型及其判定方法
摘要：本文归纳了孤立奇点的类型及其主要判定的方法.分别对函数在有限点和无限点的孤立奇
点研究，得到了判定孤立奇点类型的三种方法：定义法、极限值法、极点与零点关系法.接着阐述了有两个函数的和、差、积、商所得的新函数与原函数在孤立奇点类型的关系，并且结合一下例子介绍了判定孤立奇点类型的三种方法的应用.
关键词: 可去奇点 极点 本质奇点
1.引言
复变函数的孤立奇点是复变函数论中的重要概念.函数在孤立奇点的附近可以展示洛朗展开式,对一个函数而言,孤立奇点的个数往往不是很多的,但是这些不多的孤立奇点往往就决定着这个函数的性质了,因此,什么是孤立奇点，孤立奇点有哪些类型，怎么判定并快速的判定函数的孤立奇点的类型，对研究函数的孤立奇点去心邻域内的性质，复积分的计算等至关重要.但是函数的孤立奇点的类型往往很难判定，特别对复合函数等.这样就使得我们去探索新的方便的判定孤立奇点类型的方法.目前，已经有很多人对判定孤立奇点类型的问题做过研究了，也作出了很多成就.本文在此基础上，归纳诸多方法，旨在为判定孤立奇点类型提供参考.根据在孤立奇点某邻域的洛朗展开式判定孤立起点的类型，但是有些函数的洛朗展开式很难求出来，我们还可以根据函数在孤立奇点的极限值判定孤立奇点的类型.但是有些函数的倒函数很容易判定出倒函数的零点阶数，对于这样的函数我们可以根据极点和零点的关系判定孤立奇点的类型.本文论述的方法只是提供参考，在实际应用中应该根据孤立奇点类型的特点运用相应的方法，使得对孤立奇点的判定更加方便.
2.孤立奇点的类型及判断方法 2.1孤立奇点的定义
定义1 如果函数)(z f 在点a 的某一去心领域R a z a K <-<-||0:}{（即除去圆心a 的某圆）内解析，点a 是)(z f 的奇点，则称a 为)(z f 的一个孤立奇点.孤立奇点分有限孤立奇点和无穷孤立奇点.
2.2 孤立奇点的类型和判断
以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心领域内充分研究一个解析函数的性质.如a 为函数)(z f 的孤立奇点，则)(z f 的某去心领域{}K a -内可以展成洛朗级数
)(z f =
∑∞
-∞
=-n n n
a z c
)(.
我们称非负幂部分
∑∞
=-0
)(n n
n
a z c
为)(z f 在点a 的正则部分，而称负幂∑∞
=---1
)(n n
n a z c 为)(z f 在点a 的主要部分.实际上非负幂部分表示在点a 的领域:||K z a R -<内的解析函数，故函数)(z f 在点a 的奇异性质完全体现在洛朗级数的负幂部分上.
定义2如果)(z f 在点a 的主要部分为零，则称a 为)(z f 的可去奇点； 如果)(z f 在点a 的主要部分为有限多项，设为
),0(,)
()(11
)1(≠-++-+-------m m m m m c a z c a z c a z c 则称a 为)(z f 的m 阶极点，一阶极点也称为单极点；
如果)(z f 在点a 的主要部分为无限多项，则称a 为)(z f 的本质奇点；
以下我们分别讨论三类孤立奇点的特征.
如果a 为函数)(z f 可去奇点，则有
),0(,)()()(2210R a z a z c a z c c z f <-<+-+-+=
上式等号右边表圆:||K z a R -<内的解析函数.如果命,0)(c a f =则)(z f 在圆K 内与一个解析函数重合，也就是说，我们将)(z f 在点a 的值加以适当定义，则点a 就是)(z f 的解析点.这就是我们称a 为)(z f 的可去奇点的由来.
定理1 如果a 为函数)(z f 可去奇点充要条件lim ()()z a
f z b →=≠∞.
证明 充分性 因为a 为函数)(z f 可去奇点，则有
)(z f =)0()()(2210R a z a z c a z c c <-<+-+-+ ，
于是()()00lim z a
f z c c →=≠∞，
必要性 ()()lim z a
f z b →=≠∞则对任给的0ε>，有δ0>，只要δ
<-a z ,就有
εη<-)(z f ，于是εη+<)(z f ，所以在点a 的某去心邻域{}K a -内)(z f 是以M 为界
的，考虑)(z f 在点a 的主要部分
+-++-+----n
n a z c a z c a z )()(c 22
1
,....)3,2,1()
()
(211=-=
⎰Γ+--n d a f i c n n ξξξπ， 而Γ为全含于K 内的圆周ρρξ
,=-a 可以充分小，
n n n M M c ρπρρπ=≤
+--2211
，
即知当1,2,n =时0n c -=，即是说)(z f 在点a 的主意部分为0，即a 为)(z f 的可去奇点.
说明0=z 是
sin z
z
的可去奇点，
3
2
sin 1()1,03!3!
z z z z z z z =-+=-+
<<∞，
0sin lim
1→=≠∞z z
z
.
如果孤立奇点是极点时，孤立奇点的洛朗展开式的主要部分比为有限项，我们还有分级
数，称为多少级极点.洛朗展开式中的负次方的项的系数必然满足一定的关系，总存在一个负最多的次数项，那么我们就把这个负多少次数的项称为函数的多少阶极点.比如，一个m 阶极点，表示洛朗展开式不是有m 个负次方的项，而是非零系数负次方的次数最大是m 次数了.
定理2 如果函数)(z f 以a 为孤立奇点，则点a 是函数)(z f 的m 阶极点充要条件是下面两个条件中任意一条.
① 在点a 的某一去心领域内能表成)(z f =
m
a z z ）
-()
(λ其中()z λ在点a 领域内解析，且
0)(≠a λ；
② )
(1
)(z f z g =
以点a 为m 阶零点（极点与零点的关系）. 证明 充分性 点a 是函数)(z f 的m 阶极点，则在点a 的某去心邻域内有
+-++-++-+-=-----)()()()(101
1)1(a z c c a
z c a z c a z c z f m m m m
m
m
m m a z z a z a z c c )()
()()()1(-=
-+-+=
---λ
，
其中)(z λ显然在点a 的邻域内解析，且.0)
(≠=-m c a λ
所以在点a 的某去心邻域内有
)
()()(1)(z a z z f z g m
λ-=
=，
其中
)
(1
z λ在点a 的某邻域内解析，且
0)(1≠z λ，因此点a 位)(z g 的可去奇点，只要令()0g z =，a 就为)(z g 的m 阶零点.
必要性 如果)
(1
)(z f z g =
以点a 为m 阶零点，则在点a 的某邻域 )()()(z a z z g m ϕ-=，
其中)(z ϕ在此邻域内解析，且0)(≠z ϕ，所以)(1)(1)(z a z z f m
ϕ⋅-=
在此邻域内)
(1
z λ解析，
在此邻域内命
+-+=---)()
(1
)1(a z c c z m m ϕ， 则)(z f 在点a 的主要部分就是
(1)11
1
,(0),()()()
m m
m m m c c c c z a z a z a a ϕ------++
+
=≠--- 所以点a 是函数)(z f 的m 阶极点.在充分性中已经证明条件①可以推导出条件②，所以条件①可以推导出点a 是函数)(z f 的m 阶极点.
定理3 函数)(z f 的孤立奇点a 为极点的充要条件是lim
()z a
f z →=∞.
证明 函数)(z f 以点a 为极点的充要条件是
)
(1
z f 以点a 为零点（定理2），由此知定理为真.因此，若点a 为函数)(z f 的m 阶零点时，则点a 为函数
1
()
f z 的m 阶极点；若点a 为函数)(z f 的m 阶极点，则点a 为函数
1
()
f z 的m 阶零点.但是判断多少阶极点时要注意条件. 例如 函数2
1
()z e f z z
-=，0z =不是函数)(z f 的二阶极点，因为 23
1211()(),2!3!
2!3!
z z z
f z z z z -=+++
=+
++
所以，0z =是函数)(z f 的一阶极点.
定理4 函数)(z f 的孤立奇点a 为本质奇点的充要条件是lim ()z a
f z →不存在. 这个可以由
定理1和定理3得到证明.
定理5若z a =为函数)(z f 的本质奇点，且在点a 的充分小的去心邻域内部不为零，则
z a =必为
)
(1
z f 的本质奇点. 证明：令)
(1
)(z f z =
ϕ，有假设得z a =必为)(z ϕ的孤立奇点.若点a 为)(z ϕ的可去奇点，则点a 必为)(z f 的可去奇点或者极点，与假设矛盾；若点a 为)(z ϕ的极点，则点a 必为)(z f 的零点，与假设矛盾，故z a =必为)(z ϕ的本质奇点.
2.3在∞点的孤立奇点
定义3设函数)(z f 在无穷远点（去心）领域{}:||K z -∞+∞>内解析，则称点∞为)(z f 的一个孤立奇点.如果点∞为)(z f 的一个孤立奇点，令1t z =
,1
()()()g t f f z t
==则函数()g t 某去心领域{0}:0||K t R -<<内解析，0t =就为()g t 之一孤立奇点.于是得到下面结
论:
（1）在对应点z 与t 上，函数)(z f 与()g t 的值相等； （2）0
lim ()lim ()z t f z g t →∞
→=,或两个极限都不存在.
定义4 若0t =为()g t 的可去奇点，m 阶极点或本质极点，则我们相应的称z =∞为)(z f 的可去奇点，m 阶极点或本质极点.
定理6 如果z =∞是函数)(z f 的可去奇点的充要条件lim ()z f z b →∞
=≠∞；如果z =∞是
函数)(z f 的m 阶极点的充要条件)(z f 在z =∞的某去心领域{}K -∞内能表成
()()m f z z h z =其中()h z z =∞在)(z u 的领域K 内解析，且()0h z ≠或者
1
()()
h z z f z =
=∞以为m 阶零点或者lim ()z f z →∞=∞；函数)(z f 的孤立奇点∞为本质奇点的
充要条件不存在lim ()z f z →∞
.
证明 令1t z =，1
()()()g t f f z t
==，再根据定理1,2,3,4可证. 综上所述
①如果a 为函数)(z f 可去奇点充要条件lim ()()z a
f z b →=≠∞；
②如果a 为函数)(z f 极点充要条件lim
()z a
f z →=∞；
③如果a 为函数)(z f 本质奇点充要条件lim ()z a
f z →不存在.
3.复变函数中的应用
定理7 若函数)(z f 在点z a =解析，点z a =为函数)(z g 的可去奇点，则点z a =也为函数)()(z g z f ±，)()(z g z f 的可去奇点；当()0f a ≠，()0g a ≠时，则z a =函数
)
()
(z f z g ，
)
()
(z g z f 的可去奇点. 证明 因为点z a =为)(z g 的可去奇点，所以lim ()z a
g z b →=（有限复数）由)(z f 在点z a
=解析知)(z f 在点z a =必连续，从而lim
()()z a
f z f a →=，于是
[]lim ()()()z a
f z
g z f z b →±=±（有限复数），
lim ()()()z a
f z
g z bf z →=（有限复数），
所以点z a =也为)()(z g z f ±，)()(z g z f 的可去奇点.
因为z a =是函数)(z g 的可去奇点，则lim ()z a
g z b →=(有限数)，函数)(z f 在点z a =解
析，所以lim
()()z a
f z f a →=，因为()0f a ≠,所以()lim ()()
z a
g z b
f z f z →=（有限数）所以点z a
=是函数
)()(z f z g 的可去奇点.同理可证点z a =是函数)
()
(z g z f 的可去奇点. 定理8 若函数)(z f 在点z a =解析，点z a =为函数)(z g 的m 阶极点，则点z a =也为函数)()(z g z f ±的m 阶极点；当()0f a ≠时，则点z a =也为函数的)()(z g z f ，)
()
(z f z g 的m 阶极点.
证明：因为点z a =为)(z g 的m 阶极点，所以)(z g 在点a 的某去心邻域内能表成
m
a z z z g )()
()(-=
λ，其中)(z λ在点a 解析，且0)(≠a λ.于是
()()()
()()()m m
z a f z z f z g z z a λ-±±=-,
令)()()()
(z z f a z z m λ±-=Φ则在点z a =解析，且0)()(≠±=Φa a λ所以点z a =也为
)()(z g z f ±的m 阶极点.
因为点z a =为)(z g 的m 阶极点，所以)(z g 在点a 的某去心邻域内能表成
m
a z z z g )
()
()(-=
λ，
其中)(z λ在点a 解析，且0)(≠z λ，于是()()
()()()m
f z z f z
g z z a λ=
-，这里)()()(z z f z λ=Φ
在点z a =解析，且0)(≠Φa ，所以点z a =是函数)()(z g z f 的m 阶极点.
同理可证点z a =是函数
)
()
(z f z g 的m 阶极点. 定理9 若函数)(z f 在点z a =解析,点z a =为函数)(z g 的本质奇点，则点z a =也为函数)()(z g z f ±的本质奇点；当()0f a ≠时，则点z a =也为函数)()(z g z f ，)
()
(z f z g 的本质奇点.
证明 因为函数)(z f 在点z a =解析，所以()f z b =，点z a =为函数)(z g 的本质奇点 所以lim ()z a
g z →不存在，假设lim[()()]lim ()z a z a
g z f z g z b →→+=+存在，则
lim ()(z a
g z b c →+=有限数）
或者∞； lim ()(z a
g z c b →=-∞有限数）或者 矛盾，
所以点z a =也为函数)()(z g z f ±的本质奇点.
因为点z a =为函数)(z g 的本质奇点，所以lim ()z a
g z →不存在；函数)(z f 在点z a =解析,
且()0f a ≠，所以lim ()()z a
f z f a →=，假z a =不是函数)()(z
g z f 的本质奇点，则
lim ()()(z a
f z
g z b →=∞有限数）或，
lim[()()]
lim (=()
(z a
z a
f z
g z b
g z f a f a →→=
∞）或）
相矛盾， 所以z a =是函数)()(z g z f 的本质奇点.同理可证也是
)
()
(z f z g 的本质奇点. 定理10 若)(z f 在点a 的某去心邻域内能表示成)
()
()(z g z h z f =
，a 为()h z 的n 阶零点，为)(z g 的m 阶零点，当m n >时，a 为)(z f 得m n -阶极点;当m n ≤时，a 为)(z f 的可去奇
点.
证明：0)()(,)()(,))(()(1111解析，且都不等于和z g z h a z g z g a z z h z h m
n
-=-=,
于是，11()()()()
n m
h z z a f z g z --=，所以当m n >时，a 为)(z f 得m n -阶极点;当m n ≤时，a
为)(z f 的可去奇点.
例1 判断()2
z z z f z e
+=∞=点函数的孤立奇点类型.
解 令z 1=ξ则得ξ
ξ
211)1(+=e f ，记函数为)(ξϕ所以点0=ξ是此函数的解析点
()()⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+++=''+-='++43211211
2
214
218)()21(2)(ξξξϕξξϕξ
ξ
e
e
所以e e e 12)0(,2)0(,)0(=''-='=ϕϕϕ，
()() ++-=2621ξξξϕe ，
()()+∞<<⎪⎭
⎫
⎝⎛++-=z z z e z f 26212 ，
这里∞=z 是函数)(z f 的可去奇点. 例2 求下列函数奇点的类型 ⑴
z z cos sin 1+ ⑵()
321i
z + ⑶z 2
tan ； 解：⑴4
π
π-
=k z () ,2,1±±=k 是原式的孤立奇点，
4
1
lim
sin cos z k z z
π
π→-
=∞+，
4
π
π-
=k z 是函数)(z f =z z cos sin +的一阶零点，所以4
π
π-
=k z () ,2,1±±=k 是一阶
极点.
⑵()i z -±
=122
是孤立奇点，()i z -±=12
2是函数()
32i z +的3阶零点，所以()i z -±
=12
2
是三阶极点. ⑶π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21k z 是孤立奇点，π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21k z 是函数z z 2
2sin cos 的2阶零点，所以π⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=21k z 是二阶极点.
例3求下列函数在扩大平面上的孤立奇点，并确定它们的类别.
⑴226)1(1++z z z (2)2
1z
e z
+ (3)
1
1
1
1
---z z e
e (4)z
tg
e
1
解：（1）令原式为)(z f ，则)(z f 是有理分式，显然0z =是单极点，当z i =±时，此时
分子分母均为零，
)1)(1(12426+-+=+z z z z ，
))((1
)
1()1)(1()(242
2242i z i z z z z z z z z z z f +-+-=++-+=， 可见z i =±也是)(z f 的一阶极点.当z =∞时
))((1
)
1()1)(1()(242
2242i z i z z z z z z z z z z f +-+-=++-+=，
可见z =∞是)(z f 的一阶极点.
（2）显然z i =±是)(z f 的一阶极点. 当z =∞时，令0z x =>
2
11lim lim 0()x x x x f x e
→∞→∞+==, ()()211
0,lim lim x x x x z x x f x e
-→∞→∞+=->==∞-,
因此极限1lim
()z f z →∞
不存在（包括不为∞），所以，z =∞是)
(1
z f 的本性奇点，故z =∞是)(z f 的本质奇点.
注：若lim ()z f z →∞
不存在，则z =∞是)(z f 的本性奇点，这是显然的，否则若z =∞是可去奇点
（正则点）或极点，则lim ()z f z →∞
存在且有限，或lim ()z f z →∞
=∞，矛盾.
（3）显然k z =1+i k π2（0k =， ,2,1±±）是分母的零点，而分子仅有),0(10==k z 分子为零，所以k z =1+i k π2（0k =， ,2,1±±）是)(z f 的一阶极点. 当10==z z 时，令1,-==x y x z ，则
()11
lim lim 1
y
y x y e
f x e +
+
→→==+∞-
11
lim ()lim 0,(),1
p
p x p e
f x p y e -
+
-
-→→===--
所以1
lim ()z f z →不存在，故1=z 是)(z f 的本性奇点.又∞→k z （∞→k ），故z =∞不是孤立
奇点.
（4）由下列注知：函数ζ
e 仅有唯一的奇点∞=ζ，且它是本质奇点，于是令z
tg
1
=ζ，
则)(z f 仅为函数ζ
e 又由z 1cos =0知，当k z =
π
)12(2
+k （0k =， ,1±）时，∞=ζ所以
k z 是的)(z f 本质奇点.显然0z =是)(z f 的本质奇点.当z =∞时，若定义
,01
=∞
则z =∞是)(z f 可去奇点.
综上对孤立奇点的研究，要判断孤立奇点类型主要有2种方法：①根据主要部分，但有一些函数的洛朗展开式不容易求出；②函数的极限值，当极点时，无法判断极点的阶数.所以求函数的奇点类型一般方法先求函数在孤立奇点的极限值，如果我们求出的是极点，在根据极点和零点的关系求出极点的阶数.
结束语
本论文所论述的判定孤立奇点类型的方法只是为了判定孤立奇点的类型提供参考，在具体的判定孤立奇点类型时，可以根据函数的不同采用不同的判定方法判定孤立奇点类型.本文中的方法不一定是解题时最简便的判定孤立奇点的方法.
参考文献
[1]尹水仿，李寿贵，复变函数与积分变换[M],科学出版社，2009.
[2]苏变萍，陈东立,复变函数与积分变换（第二版）[M], 高等教育出版社 ，2010. [3]陈宗煊，孙道椿，刘名生, 复变函数[M],科学出版社 ，2010. [4]钟玉泉, 复变函数论（第三版）[M], 高等教育出版社， 2004. [5]沈燮昌, 复变函数论基础[M], 上海科学技术出版社,1982. [6]庄圻泰, 复变函数[M], 北京大学出版社， 1984. [7]冯复科，复变函数与积分变换[M]，科学出版社,2008.
[8]Brown, James Ward., Complex variables and applications[M], China Machine Press ， 2004.
Types and Their Judgment of The Isolated Singularity
Author ：Dong Zhaolin Supervisor: Wu Daiyong
Abstract ：This article generalizes type and main determination way of the isolated singularity.Respectively studying function in finite number of points and infinite point of the isolated singularity, we get three to determine the method which are definition of law , limit law and poles and zeros relations act with isolated singularity type. This article describes relationship of new function which two functions and, difference, product, business receive with the original function in isolated singularity type. Combination of what the example describes the application of the three methods to determine the type of isolated singularity.
Keywords: removable singularity extreme essential singularity。