2004～2005 学年第一学期《高等数学》期末考试试题A 卷(180 学时)
200420052高等数学期末试题
1
dr
1r 2
(3r 2 2z) r dz
0
0
0
2
1
(
3r
3
z
0
r
z2]
1r 2 0
dr
2
1
[3r
3
(1
r
2
)
r
(1
r
2
)2
]dr
0
2
1
(
0
2
r5
r3
r ) dr
2 (
2
r6 6
r4 4
r2 2
)
1 0
5
6
x3dydz y3dzdx (z2 1)dxdy (z2 1)dxdy
2
d
1
[2r
4
cos 4
2r 4
sin4
(1
r2
)2
1]r
dr
0
0
14
2
d
1
[2r
4
cos 4
2r 4
sin4
(1
r
2 )2
1]r
dr
0
0
2
d
1
[2r
5 (cos4
sin4
)
(r 5
2r
3
)]dr
0
0
2 0
[(cos4 sin4 ) r 6
3
1 0
(1 6
r6
1 0
1 2
r4
1 0
6. 求方程 yy ( y)2 0 的通解时,可令( B ).
A. y P,则 y P C. y P,则 y P dP
dx
B. y P,则 y P dP dy
高等数学上学期期末考试试卷及答案四份
高等数学试卷（B 卷）答案及评分标准2004-2005年度第一学期科目:高等数学I 班级:姓名:学号:成绩: 一、填空题（5153'=⨯'）1、()3)2ln(--=x x x f 的定义域是_2、 2 )1sin 2sin (lim 0x =⋅+→xx x x 3、 e )31(lim 3=+∞→xx x4、如果函数x x a x f 3sin 31sin )(+=，在3π=x 处有极值，则2=a5、34d )1(sin cos 223=+⋅⎰-x x x ππ二、单项选择题（5153'=⨯'）1、当0→x 时，下列变量中与2x 等价的无穷小量是（）A.x cos 1-B.2x x +C.1-x eD.x x sin )ln(1+2、)A ()(' ,)(的是则下列极限中等于处可导在设a f a x x f =。
A ．h h a f a f h )()(lim0--→B ．hh a f h a f h )()(lim 0--+→C ．h a f h a f h )()2(lim 0-+→D ．h h a f h a f h 3)()2(lim 0--+→3、设在[]b a ,上函数)(x f 满足条件()0)(,0<''>'x f x f 则曲线()x f y =在该区间上（） A.上升且凹的B.上升且凸的C.下降且凹的D.下降且凸的4、设函数()x f 具有连续的导数，则以下等式中错误的是（）A.)(d )(d d x f x x f x b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ B.x x f t t f x a d )(d )(d =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ C.()x x f x x f d )(d )(d=⎰ D.C t f t t f +='⎰)(d )(5、反常积分⎰∞+- 0d 2x xe x （）A.发散B.收敛于1C.收敛于21D.收敛于21-三、算题（'488'6=⨯）1、求极限xxx x 30sin sin tan lim -→2、求22)2()ln(sin lim x x x -→ππ3、求曲线⎩⎨⎧==ty tx 2cos sin 在当4π=t 处的切线方程和法线方程4、已知函数0,sin >=x x y x ，计算xy d d5、求积分⎰x e xd6、求积分x x e ed ln 1⎰7、计算曲线π≤≤=x x y 0,sin 与x 轴围成的图形面积，并求该图形绕y 轴所产生的旋转体体积。
高等数学 期末试卷
4、 答 f ′ (1) > f (1) − f ( 0) > f ′( 0) ； 5.
∫x
2
f ′′( x)dx =x 2 f ′( x) − ∫ 2 x ⋅ f ′( x)dx
= x 2 f ′( x) − 2 xf ( x) − ∫ f ( x)dx
[
]
= x 2 f ′( x) − 2 xf ( x) + 2 sin x + c = x 2 ⋅ (− sin x) − 2 x cos x + 2 sin x + c 故应填 : − x 2 sin x − 2 x cos x + 2 sin x + c.
λ →0
i =1
5． 封闭曲线 x + y = 1所围平面图形面积为
1 3 ( A ) ( B )1 ( C ) (D ) 2 2 2
第 1 页 共 6 页
(
)
二、填空题（本题 15 分，每小题 3 分） 得分
1、 ∫ x dx = _________________ ，其中b是实数．
f(
2分
π
2
+ 0) = lim
x→ +0 2
2( x − sin( 2(
π
2
)
π
π
2
⋅ cos(
π
2
− x) = −2
4分
− x)
f(
π
2
π
− 0) = lim
x→ −0 2
2
− x) cos( − x)
π
2
π
sin(
π
2
− x) = 2
2004～2005 学年第一学期《高等数学》期末考试试题A卷与答案
n 22004～2005 学年第一学期《高等数学》期末考试试题 A 卷（216 学时） 专业班级学号 姓名一、填空题：（4×5 分）♣a (1 - cos x ) ♠ x > 0 ♠ x 21、设 f (x ) = ♦4 x = 0 连续，则常数 a = ， b =♠b sin x + ⎰ x e t d t ♠ 0 ♥♠ x x < 0∞∞2、设∑ a xn的收敛半径为 3, 则∑ n a (x -1)n +1的收敛半径 R ＝n n =1nn =13、已知 f (x ) = x (1 - x )(2 - x )…(2005 - x ) ，则 f '(0) ＝∞14、级数∑ nn =1的和 S =二、选择题：（4×4 分）1、函数 f (x ) = (x 2- x - 2) x 3- x 不可导点的个数是A 、 0B 、1C 、2D 、32、设周期函数 f (x ) 在(-∞,+∞) 内可导，其周期为4，且limf (1) - f (1 - x )= -1，x →02x则曲线 y = f (x ) 在点(5, f (5)) 处的切线的斜率为A 、 2B 、－2C 、1D 、－1∞n -11 k3、对于常数k > 0 ，级数∑(-1)tan n + n 2n =1A 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、收敛性与 k 的取值相关4、设函数 f (x ) 有任意阶导数且 f '(x ) = f 2(x ) ,则 f(n )(x ) = (n > 2) .A 、n ! fn +1(x ) B 、nfn +1(x ) C 、f 2n(x ) D 、n ! f 2n(x )x ⎰ ♥三、计算下列各题：（6×6 分）arctan x - x1、求极限： lim3x →0ln(1 + 2x )2、设 y = tan2x + 2sin x，求： d y x =π23、设函数 y = y (x ) 由方程e y+ 6xy + x 2- 1 = 0 确定,求： y '(0)e x + e - xf '(x ) f (x )4、已知 f (x ) =,计算不定积分： 2+ f (x ) f '(x )d x5、设函数 y = y (x ) 由参数方程4 ln x♣♠x = t 3 + 9t ♦♠ y = t 2- 2t 确定，求曲线 y = y (x ) 的下凸区间。
高数历年考题(第一学期)
历年高等数学(A)Ⅰ期末考试卷1998级一． 试解下列各题（24分）1． 讨论极限112lim 21-+-→x x x x 2.求x dt e e xt t x cos 1)(lim 0 0--⎰-→ 3.求⎰xdx arccos4．求dx x x ⎰-2cos sin π二． 试解下列各题（35分）1． 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1,11,01,1)(x x x x f 及x e x g =)(，确定)]([x g f 与)]([x f g 的间断点，指出其类型2． 设)(x y y =由方程y x x arctg y +=所确定，求y ' 3． 求⎰+41x x dx 4．求⎰+42sin 1πθθd 5．设)(x y y =由方程组⎩⎨⎧+=+=tt y arctgtt x 63所确定，求)(x y '' 三． 求圆域222)(a c y x ≤-+ )0(c a <<绕x 轴旋转而成的旋转体的体积（10分）四． 设有底面为等边三角形的一个直柱体，其体积为常量V （0>V ），若要使其表面积达到最小，底面的边长应是多少？（10分）五． 设函数f (x ) 在[0,1]上可导且0< f (x )<1，在(0,1)上有1)(' ≠x f ，证明在(0,1)内有且仅有一个x ，使f (x )=x .（8分）六． 连接两点M (3, 10, -5)和N (0, 12, z )的线段平行平面0147=-++z y x ，确定N 点的未知坐标（6分）七、自点P (2, 3, -5)分别向各坐标面作垂线，求过三个垂足的平面方程（7分）1999级一． 试解下列各题（30分） 1． 求)12(lim +-+∞→n n n n2．验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在[-1,3]上的正确性3．x arctgx x x 30sin lim -→ 4．求⎰++dx x x 1322 5．设)(x y y =由方程1=++y xy x 确定，求y ' 二．试解下列各题（28分）1．设⎩⎨⎧+=+=t t y t t x 2222，求22dx y d 2．求⎰-πθθ 0 3)sin 1( d 3．求⎰1 0 dx e x4．试求空间直线⎩⎨⎧-=+=7652z y z x 的对称式方程三．求由y = ln x , y =0和 x = 2所围图形的面积及该平面图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积(12分)四． 求函数⎰+=xtdt t y 0arctan )1(的极小值（12分）五． 设j i a +=，k j b +-=2，求以向量b a,为边的平行四边形的对角线的长度(8分)六． 证明：当0≠x 时，有不等式x e x +>1（10分）一、试解下列各题(30分)1. 求x x x )3l n (2lim+∞→ ； 2. 求dx x x⎰-31 ； 3. 设x x e e y -+=，求y '' ；4. 求曲线)2()1(2-+=x x y 的凹凸区间；5. 求过球面9)4()1()3(222=++++-z y x 上一点2)- 0, ,1(p 的切平面方程。
04,05级高数(上)试卷及答案
南昌大学04级、05级第一学期期末考试试卷一、填空题 (每空 3 分) :1. 函数21()1424x x x f x x x x -∞<<⎧⎪=≤≤⎨⎪<<+∞⎩的反函数为21116log 16xx y x x x -∞<<⎧⎪=≤≤⎨⎪<<+∞⎩。
2. 设函数 ()y f x = 是可导的函数，且()2()sin sin 1f x x '⎡⎤=+⎣⎦，(0)4f =，则()y f x =的反函数()x y ϕ=当自变量y 取4时的导数值是()21sin sin1。
3. 2lim x x x e→+∞=0。
4.设y =dy= 5. 曲线()2ln 1y x =+的凹区间为[]1,1-。
6、若()1x f e x '=+，则()f x =ln x x C+。
7、3x x e dx -=⎰13ln 3xe C e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
二、单项选择题 (每题 3 分，):21. 0x =是函数21()arctan f x x=的( B ).(A) 跳跃间断点. (B) 可去间断点. (C) 无穷间断点. (D) 振荡间断点. 2. 当0x +→x 的( B ).(A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C)同阶但非等价无穷小 (D) 等价无穷小3. 下列函数中在给定的区间上满足罗尔定理条件的是( D ).(A) []1,50,51,5x x y x x +<⎧⎪=∈⎨⎪≥⎩(B)1y =[]0,2x ∈(C) x y xe -=，[]0,1x ∈ (D) 256y x x =-+，[]2,3x ∈4. 设a ，b ，是常数,且 0a ≠，若()()f x dx F x C =+⎰则()f ax b dx +⎰等于( B ).(A) ()aF ax b C ++ (B) ()1F ax b C a ++(C) ().aF x C + (D) ()1F x C a+第 3 页 共 6 页 35. 若222lim 22x x ax bx x →++=--, 则必有 ( D ).(A) 2a =，8b = (B) 2a =，5b =(C) 0a =，8b =- (D) 2a =，8b =- 6. 已知()32f x x ax bx =++, 在1x =处取得极小值2-则( B ).(A) 1a =，2b = (B) 0a =，3b =-(C) 2a =，2b = (D) 1a =，1b =三、计算下列极限 (每小题7分) :1. 02lim .sin x x x e e x x x-→--- 原式=02lim 1cos x x x e e x -→+--0limsin x xx e e x-→-= 0lim 2cos x xx e e x -→+==2、301sinlim.1cos x x x x→- 原式=3021sin lim 12x x x x →=012lim sin 0x x x→=3. 2221().1lim xx x x →∞-+4原式=222(1)1lim x x x →∞-++=222211222211lim x x x x e x -++--→∞⎡⎤-⎛⎫⎢⎥+= ⎪⎢⎥+⎝⎭⎢⎥⎣⎦4、tan 01lim .xx x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭(1) 令tan 1xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭l n t a n l ny x x =- (2)0ln lim x y +→=0tan ln lim x x x +→-=0ln cot lim x x x +→=-=2010csc lim x x x +→-=- (3) tan 01()lim x x x +→=2lim x y π→ln 021lim y x e e π→===5、()222sin 0lim 1.x x x x e+→+原式=()22221sin 2201lim xxx e xxx e x x ee +→⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦四. 解下列各题 (每小题7分):1.设2cos y =， 求.dydx2、设2x y x e =， 求()20.y3. 设函数()y y x =由方程()()sin ln xy y x x +-=，确定,求'(0).y第 5 页 共 6 页 54. 设函数()y y x =arctany xae=，确定,求.dy dx5. 设()()()x f t y tf t f t '⎧=⎪⎨'=-⎪⎩ 其中()f t ''存在且不为零， 求22d y dx6. 设()2ln 1arctan x ty t t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩ 求221t d y dx =五.求下列不定积分 (每小题7分): 1、cos .x ⎰2. 2.x x a dx ⎰3. .x ⎰4..⎰5. 2arctan .x xdx ⎰6. 1.xxdx e e-+⎰ 7. ()221.x xe xdx +⎰8. 0π⎰9. 20sin cos x x dx π-⎰6六.设函数()f x 在[)0,+∞上连续，且满足条件()424011()41x f x x f x dx x x+∞+=+++⎰ 其中反常积分()411f x dx x+∞+⎰收敛， 求()f x 的表达式。
2004-2005学年度阶段考试高三数学试卷(附答案)
2004—2005学年度阶段考试高三数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知集合P={x| x=2m+1，m ∈Z}，Q={x| x=4n ±1，n ∈Z}，则P 、Q 之间的关系是 A 、PQ B 、PQ C 、P=Q D 、P ≠Q2、a ∈R ，| a |<3成立的一个必要不充分条件是A 、a<3B 、| a |<2C 、a 2<9D 、0<a<2 3、已知映射f ：A →B ，其中A=B=R ，对应法则为f ：x →y=x 2+2x+3，若对实数k ∈B ，在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是A 、(－∞，0)B 、(－∞，2)C 、(2，+∞)D 、(3，+∞) 4、已知函数11)(-=x x f ，则函数f[f(x)]的定义域为 A 、{x| x ≠1} B 、{x| x ≠2} C 、{x| x ≠1且x ≠2} D 、{x| x ≠1或x ≠2}5、已知35)(-=x xx f 且f[g(x)]=4－x ，则g(1)= A 、3 B 、25- C 、29=x D 、29-=x6、下列函数中，值域为[0，)1的函数是 A 、||2x y -= B 、122+=x x y C 、22x x y -= D 、y=log 2(x 2+1)7、若命题p ：x ∈A ∩B ，则p 是A 、B A x ⋃∉ B 、A x ∉或B x ∉C 、A x ∉且B x ∉D 、B A x ⋃∈ 8、图象通过平移或翻折后，不能与函数y=－log 2x 的图象重合的函数是A 、y=2－xB 、y=2log 4xC 、y=222xD 、y=log 2x1+19、函数21)(++=x ax x f 在区间(－2，+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是A 、0<a<21 B 、a<－1或a>1 C 、a>21D 、a>－2 10、已知)1lg()(22+++=x x x x f ，若f(a)=M ，则f(－a)=A 、2a 2－MB 、M －2a 2C 、2M －a 2D 、a 2－2M 11、已知二次函数f(x)=x 2+x+a （a>0），若f(m)<0，则f(m+1)的值是A 、正数B 、负数C 、零D 、符号与a 有关 12、已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)=－f(x+2)，当0≤x ≤1时，2)(xx f =，那么使21)(-=x f 成立的x 的值为 A 、2n （n ∈Z ） B 、2n －1（n ∈Z ） C 、4n+1（n ∈Z ） D 、4n －1（n ∈Z ） 一、选择题答题表二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x)=10001000)],5([,3<≥⎩⎨⎧+-x x x f f x ，则f(999)=________14、定义在R 上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=x 2－4x+5，则当x<0时，f(x)=x 2－4x+5，则当x ≥0时，f(x)=________________15、已知f(x)是R 上的增函数，则函数f[log 2(x 2－2x －3)]的递减区间为___________ 16、设函数f(x)=lg(x 2+ax －a －1)，给出下列命题： ①f(x)有最小值；②当a=0时，f(x)的值域为R ； ③当a>0时，f(x)在区间[2，)∞+上有反函数；④若f(x)在区间[2，)∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是a ≥－4， 则其中正确的命题是_____________________（把正确命题的序号都填上）。
高等数学上学期期末考试试题和答案解析四份
高等数学试卷（B 卷）答案及评分标准2004-2005年度第一学期科目: 高等数学I 班级: 姓名: 学号: 成绩:一、填空题（5153'=⨯'） 1、()3)2ln(--=x x x f 的定义域是_ 2、 2 )1sin 2sin (lim 0x =⋅+→xx x x 3、 e )31(lim 3=+∞→xx x e )31(lim 3=+∞→x x x4、如果函数x x a x f 3sin 31sin )(+=，在3π=x 处有极值，则2=a5、34d )1(sin cos223=+⋅⎰-x x x ππ二、单项选择题（5153'=⨯'）1、当0→x 时，下列变量中与2x 等价的无穷小量是（ ）A . x cos 1-B . 2x x +C . 1-x eD . x x sin )ln(1+ 2、)A ()(' ,)(的是则下列极限中等于处可导在设a f a x x f =。
A ．h h a f a f h )()(lim0--→ B ．hh a f h a f h )()(lim 0--+→C ．h a f h a f h )()2(lim 0-+→ D ． hh a f h a f h 3)()2(lim 0--+→3、设在[]b a ,上函数)(x f 满足条件()0)(,0<''>'x f x f 则曲线()x f y =在该区间上（ ） A. 上升且凹的 B. 上升且凸的 C. 下降且凹的 D. 下降且凸的4、设函数()x f 具有连续的导数，则以下等式中错误的是（ ）A. )(d )(d d x f x x f x b a=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ B. x x f t t f x a d )(d )(d =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ C. ()x x f x x f d )(d )(d=⎰ D. C t f t t f +='⎰)(d )(5、反常积分⎰∞+- 0d 2x xex （ ）A. 发散B. 收敛于1C. 收敛于21D. 收敛于21-三、算题（'488'6=⨯） 1、求极限xxx x 3sin sin tan lim -→ 2、求22)2()ln(sin lim x x x -→ππ3、求曲线⎩⎨⎧==ty tx 2cos sin 在当4π=t 处的切线方程和法线方程4、已知函数0,sin >=x x y x，计算xy d d 5、求积分⎰x e x d6、求积分x x e ed ln 1⎰7、计算曲线π≤≤=x x y 0,sin 与x 轴围成的图形面积，并求该图形绕y 轴所产生的旋转体体积。
2003—2004年第一学期A卷
2003-2004年第一学期※※※※※※高等数学（180学时）试题A 卷※※※※※※一．填空题（每小题4分，共20分）1．()⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<=.0,23,0,2sin 2x k x x x xxx f 在0=x 处连续，则常数.______=k 解：()x f x -→0lim xx x 2sin lim0-→=（等价替换）22lim0==-→xx x ；()x f x +→0lim ()k k x x x =+-=+→23lim 20.令()x f x -→0lim ().2lim 0=⇒=+→k x f x2．()[]x x x x ln 1ln lim -++∞→ .________________________解：()[]x x x x ln 1ln lim -++∞→xx x x +=+∞→1lnlim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→x x x 11ln lim （等价替换） .11.lim ==+∞→xx x3．()x f 的一个原函数为x x ln ，则().______='x f解：()()x x x x f ln 1ln +='=；()().1ln 1xx x f ='+='4．()=-+⎰-22241dx x x __________.解：()=-+⎰-22241dx x x +-⎰-2224dx x ⎰--2224dx x x[].202212ππ=+=5．使级数()()∑∞=+++1222111n nnx x 收敛的实数x 的取值范围是.__________解：记()()()nnnx x x u 222111+++=,...)2,1(=n（一）当0=x 时，由于()021lim ≠=∞→x u nn ，故()()∑∞=+++1222111n nnx x 发散；（二）当0≠x 时，令 ()()()()()[]()[]()nn nn n nn n x x x x x u x u x 222222121111111lim lim++++++==++∞→+∞→ρ ()()()()22222222111111111lim x x x x x nn n +=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++=∞→ 因为对于0≠∀x ，都有 ()1<x ρ ，故()()∑∞=+++1222111n nnx x 收敛.所以使级数()()∑∞=+++1222111n nnx x 收敛的实数x 的取值范围是()().,00,+∞⋃∞-二．选择题（每小题4分，共20分） 1．()()()11sin ln 22-+=x x x x xx f 的可去间断点的个数是（ D ）0.A 1.B 2.C 3.D2．已知()21='f ，则()()=+--→xx f x f x 11lim（D ）2.A 2.-B 4.C 4.-D3．设dx xx I ⎰=41tan π，dx xx I ⎰=42tan π，则（B ）1.21>>I I A 21.1.I I B >> 1.12>>I I C .1.12I I D >>4．级数∑+∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-k n n 1cos 1（k 为正整数）的敛散性是（A ）.A 绝对收敛 .B 条件收敛 .C 发散 .D 与k 无关5．已知()x f 二阶导数连续，且()00=f 以及()1lim 2=→xx f x ，则曲线()x f y =在0=x 处的曲率k 为（C ）0.A 1.B 2.C .D 不存在三．计算下列各题（每小题6分，共30分）1．求极限xx x x cos 110sin lim -→⎪⎭⎫ ⎝⎛ 解：x x x x cos 110sin lim -→⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x x cos 110.sin 1lim -→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= ()x x xx x x xx x x x cos 1sin sin 0sin 1lim ---→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=().lim 31cos 1sin 0---→==e e x x x x x 其中 ()x x xx x cos 1sin lim0--→（等价）2021.sin limx x xx x -=→（洛必达）2031cos lim 2x x x -=→ （等价）.31321lim 2220-=-=→xx x 2．x y 2sin =，求().2004y解：x x x y 2sin cos .sin 2=='； x y 2cos .2=''；()x y 2sin .212-='''； ()()x y 2cos .2134-=； ()x y 2sin .245=；………归纳可得 ().212sin .21⎪⎭⎫⎝⎛-+=-πn x y n n 特别地()⎪⎭⎫⎝⎛+=π220032sin .220032004x y .2cos .22003x -=3．求不定积分.cos 2sin cos dx xx x ⎰+解：令t x =2tan，即t x arctan 2=，.122dt tdx +=dx x x x⎰+cos 2sin cos dt t t t t t t t 22222212.11.21211++-+++-=⎰()()dt t t tt ⎰+++--=222111dt t t t t t ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+-=22142.51112.51dt t t t ⎰++-+-=112512dt t t ⎰+-21251dt t ⎰++21154()c t t t t +++-++-=arctan 541ln 511ln 5122.2tan arctan 542tan 1ln 5112tan2tan ln 5122c x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=另解：令 dx xx x I ⎰+=cos 2sin cos ① dx xx xJ ⎰+=cos 2sin sin ②则⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=-=++=+⎰⎰,cos 2sin ln cos 2sin sin 2cos 2,cos 2sin cos 2sin 2x x dx x x xx J I x dx x x x x J I解得：.2cos 2sin ln 5152c x x x I +++=4．求广义积分()().1101512⎰+∞--++dx x x解：设()()⎰+∞--++=0151211dx x x I ()()⎰+∞++=52111dx x x ①则I ()()⎰+∞++=052111dx x x （令t x 1=，则dt tdx 21-=）⎰∞+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=0252111111dt t t t ()()⎰∞+++=052511dt t t t()()⎰∞+++=525.11dx x x x ②①+ ②，得： ()()⎰∞++++=5251112dx x x x I .2arctan 11|2π==+=+∞+∞⎰x dx x所以 .4π=I5．设()1ln ,ln 12122>⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰t uu y udu u x t t ，求.22dx y d解：（一）()t t t t t dtdy ln 42.ln .5222-=-=；.ln 42.ln .322t t t t t dtdx ==2t dtdx dtdy dxdy -==.（二）()().ln 121ln 41.2.232222t t tt t dx dt dt t d t dx d dx dy dx d dx y d -=-=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛= 四．（8分）曲线()x f y =由方程2516922=+y x 给出. （1）求所给的曲线上点()b a P ,处的切线方程.（2）在所给的曲线位于第一象限的那部分上求一点，使其切线与坐标轴所围的面积最小.解：（一）方程2516922=+y x ① 两边关于x 求导，得 .0.3218=+dxdy y x故.169yx dx dy -= 所以曲线上点()b a P ,处的切线方程为().169a x ba b y --=-即 22169916b a ax by +=+ 亦即 .25916=+ax by （因为 ① ） ② （二）由②式，令0=y ，得.925a x =令0=x ，得.1625by =故()b a P ,处的切线与坐标轴所围的面积为 ().925.21,a b a S =b 1625.ab1.288625= ③ 由于 ()()254322=+b a 所以()()()()[].252414321.1214.3121.22⨯=+≤=b a b a b a ④④式当且仅当b a 43=，即285,265==b a 时成立.所以().1225252411.288625,=⨯≥b a S即最小面积为.1225五．（7分）平面图形D 由曲线y x xy ==,1以及2=x 围成，求D 绕x 轴旋转所成的立体的体积.解一：在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21上取代表区间[]y y y ∆+,，对应[]y y y ∆+,部分立体的体积y y y V ∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈∆1221π 所以，取dy y y dV ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1221π 故⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1211122dy y y V π[]22|1212ππ=-=y y .在[]2,1上取代表区间[]y y y ∆+,，对应[]y y y ∆+,部分立体的体积 ()y y y V ∆-≈∆222π 所以，取()dy y y dV -=222π 故()⎰-=21222dy y y V π.3432|2132ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=y y . 所以 .61134221πππ=+=+=V V V解二：dx x dx x V V V ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=-=212122211ππ .61113||21213πππ=+=xx六．（8分）证明：方程dx x e x x ⎰--=π2cos 1ln 在()+∞,0内有且仅有两个根.证明：（一）令()dx x ex x x f ⎰-+-=π2cos 1ln ，().,0+∞∈x则()0222cos 10>=-=⎰dx x e f π；()-∞=+→x f x 0lim ；().lim +∞=+∞→x f x故由零点定理知，方程()0=x f 在()+∞,0内至少有两个不相等的实根. （二）又令()011=-=-='xex e e x x f ，得唯一驻点.e x =当e x <<0时，()0>'x f ；而当e x >时，().0<'x f 故方程()0=x f 在()+∞,0内至多有两个实根综合（一）、（二）知方程dx x e x x ⎰--=π2cos 1ln 在()+∞,0内有且仅有两个根.七．（7分）()x f 具有三阶连续导数，且().0≠'''a f ()x f 在a x =处的一阶泰勒公式为 ()()()()().1022<<+''+'+=+θθh a f h a f h a f h a f ①试证：当0→h 时，.31→θ证明：由①式，可知()()()()h a f h a f h a f h a f θ+''='--+22 ②由②式，得()()()()h a f ha f h a f h a f θ+''='--+2222 ③由③式，进一步可得()()()()()()ha f h a f h a f h a f h a f h a f ''-+''=''-'--+θ32222 ④④两边令0→h ，取极限，得：()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-+''=''-'--+→→h a f h a f h a f h a f h a f h a f h h θθθ0320.lim 222lim⑤ 又⑤左()()()()320222lim h a f h a f h a f h a f h ''-'--+=→()()()23222lim ha f h a f h a f h ''-'-+'=→()()ha f h a f h 622lim''-+''=→()()()a f ha f h a f h '''=''-+''=→31lim310；⑤右()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-+''=→→h a f h a f h h θθθ00lim .lim ()..lim 0a f h '''=→θ所以，有()='''a f 31()..lim 0a f h '''=→θ于是，得到.31.lim 0=→h θ。
2004级《高等数学》(I)期末考试试卷(A)
2004级《高等数学》（I ）期末考试试卷(A)答案及评分标准一、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）：1．=-+--→45215lim 22x x x x 81.2. =--⎰+→xdt e x t x cos 1)1(lim 001. 3. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=0,0,sin )1ln()(222x b x x x x x f 在0=x 处连续，则=b 1. 4. 曲线16213123+++=x x x y 在点)1,0(处的切线方程是16+=x y . 5. 设x cos 为)(x f 的一个原函数，则=⎰dx x xf )(C x x x +-sin cos .6. ⎰-=+2223sin )sin (cos ππtdt t t 32. 7. =⎰∞+-022dx xe x 1.8. 若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b )4,2,4(--.二、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：1. 求极限()x x x cos ln 1203sin 1lim +→.解 ()()x x x x x e x 3s i n 1ln cos ln 1lim cos ln 120203sin 1lim +→→=+ (2分)()x x x x x x x x x cos ln )3(lim cos ln 3sin lim 3sin 1ln cos ln 1lim 202020→→→==+ （4分） ,18cos sin 18lim 0-=-=→xxx x （5分） ()18cos ln 1203sin 1lim -→=+∴e x x x （6分）2. 求由参数方程⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos 所确定的函数的二阶导数22dx y d . ,cot sin cos t ab t a t b dx dy -=-= （3分） ta b t a t a b dx y d 32222sin sin csc -=-= （6分） 3. 设x x y cos =，求dy .解 ,ln cos x x e y = （2分）)cos ln sin (ln cos xx x x e y x x +-=' （5分） )cos ln sin (cos xx x x x x +-= （6分） 4. 求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数y 的导数dx dy . 解 方程两边对x 求导得0='++'y x y y e y （4分）)0(≠++-=∴y ye x e x y dx dy （6分） 三、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）： 1. 求⎰++3011dx x x . （或令t x =+1）解 ⎰⎰-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ⎰+--=30)11(dx x （3分） 35)1(3233023=++-=x （6分） 2. 求⎰-+102)2()1ln(dx x x . 解 dx x x x x x dx x dx x x ⎰⎰⎰-⋅+--+=-+=-+1001010221112)1ln(2)1ln()2()1ln( （3分） dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=102111312ln （4分） 2ln 3121ln 312ln 10=-+-=x x （6分）3. 设⎩⎨⎧≤<-≤≤=21,210,)(2x x x x x f ,求⎰20)(dt t f . 解 ⎰⎰⎰-+=2110220)2()(dt t dt t dt t f （3分） 65)2(2131212=--=t （6分） 4. 证明方程0111304=+--⎰xdt t x 在区间)1,0(内有唯一实根.解 ⎰+--=x dt t x x f 041113)(设， （1分） 则)(x f 在]1,0[上连续，且-=<-=2)1(,01)0(f f 011104>+⎰dt t ，由零点定理， 至少)1,0(∈∃ξ使0)(=ξf . （3分）又0113)(4>+-='x x f ，故)(x f 至多有一个零点， （5分） 综上所述，方程0111304=+--⎰x dt t x 在区间)1,0(内有唯一实根. （6分）四、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：1．试确定a 的值，使函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π处取得极值，指出它是极大值还是极小值，并求出此极值. 解 x x a x f 3c o s c o s)(+=' （1分） 201233cos 3cos )3(=⇒=-=+='a a a f 令πππ， (3分) 又x x a x f 3sin 3sin )(--=''，0)3(<''πf ， （5分） 3)3(=∴πf 为极大值. （6分）2．求抛物线22x y =与21x y +=所围图形的面积，及该图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.解 由⎪⎩⎪⎨⎧+==2212x y x y 得交点)2,1(-，)2,1( （2分） 34)1(2)21(21022102=-=-+=⎰⎰dx x dx x x A ， （4分） 2)1(2)21(21022102πππ=-=-+=⎰⎰dx x x dx x x x V . （6分）3．求过点)1,2,1(0-M 且与直线11122-=-=-+z y x 垂直相交的直线方程. 解 过点)1,2,1(0-M 且与直线11122-=-=-+z y x 垂直的平面方程为 0)1()2()1(2=++---z y x ，即 012=++-z y x ， （2分）令t z y x =-=-=-+11122，得t z t y t x -=+=--=,1,22， 代入平面方程得32-=t ，求得平面与直线的交点为)32,31,32(-M ， （4分） )35,35,35(0--=MM ， 取)1,1,1(--=， 所求直线方程为 111211+=--=--z y x （6分） 4．已知 ,2,1,tan 40==⎰n dx x u n n π，证明：(1) 1+≥n n u u ；(2) 当2>n 时，112-=+-n u u n n ； (3) {}n u 收敛，并求其极限. 证明 （1）)4,0(tantan 1π∈≥+x x x n n ， （1分） 140140,tan tan ＋即n n n n u u dx x dx x ≥≥∴⎰⎰+ππ （2分）（2）=+-2n n u u ⎰⎰-+40240tan tan ππdx x dx x n n dx x x dx x x n n n )tan 1(tan )tan (tan 2402240+=+=⎰⎰--ππ （3分） x d x x d x x n n t a n t a n s e c t a n 4022402⎰⎰--==ππ 402tan 11πx n n --=11-=n （4分） （3）1,0+≥≥n n n u u u 且 ，即{}n u 单调减少有下界，故{}n u 收敛， （5分）设a u n n =∞→lim ，则由112-=+-n u u n n 两边取极限得 0,02=∴=a a ，即0lim =∞→n n u （6分）五、（本题满分4分）设)(x f 在区间],[b a 上连续，在区间),(b a 内0)(<''x f ，证明对一切),(b a x ∈，都有ab a f b f a x a f x f -->--)()()()(. 证明 设a b a f b f a x a f x f x F -----=)()()()()(， 2)())()(())(()(a x a f x f a x x f x F ----'='， （2分） 又设))()(())(()(a f x f a x x f x g ---'=，则0))(()(<-''='a x x f x g ，于是)(x g 单调减少，则),(b a x ∈时，0)()(=<a g x g ，从而0)(<'x F ，则)(x F 单调减少，故),(b a x ∈时，0)()(=>b g x F ，即有a b a f b f a x a f x f -->--)()()()( （4分）。
04-05高数(上)试题(A)
2004~2005一 高等数学（上）数理系 全校本、专（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、 填空题：（每小题2分，共20分）1． 若_____________516lim21=-=-+-→a x ax x x ，则。
2． 设函数1(12)0()0_______0x x x f x x k kx ⎧⎪-≠===⎨⎪=⎩在点连续，则。
3． 设)(x f 在点0x 处可导，则___________)()(l i m000=∆∆--→∆xx x f x f x 。
4． 设由方程22=xy 所确定的隐函数为)(x y y =，则_______=dy 。
5． 函数x x y cos 2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的最大值为__________。
6． 设函数)(x f 的一个原函数是x1，则___________)('=x f 。
7． 若31=⎰∞-dx e kx ，则____________=k 。
8． 由102===x y x y ，，围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得的几何体的体积为__________。
9． zox 坐标面上的圆122=+z x 绕oz 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为__________。
课程考试试题学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:10． 过点)314(，，且平行于直线51122-==-z y x 的直线方程为________________。
二、 单项选择题：（每小题2分，共20分） 1、当0→x 时，与x 等价的无穷小量是（ ）)1l n (.s i n.s i n.)1(.23x D x C xx B x x A ++ 2、下列极限不正确的是（ ）0l i m .l i m .l i m .1li m .101011=+∞===→→→∞→+-xx xx xx xx e D e C e B e A3、设)()(lim)0(0)0(0'==→x x f f f x 存在，则，且 )0(21.)0(.)0(.)(.''f D f C f B x f A 4、设)(x f 可微，则)()()(=x f e d)('')(')()(.)(.)(..x f x f x f dex f D dxx f B dx e x f B dx e A5、设常数0>k ，函数k ex x x f +-=ln )(在），∞+0(内零点的个数为（ ） 1.2.0.3.D C B A６、)()()()(=+=⎰⎰--dx e f e C x F dx x f x x ，则若Cxe F D Ce F C Ce F B C e F A x x x x +++-+---)(.)(.)(.)(. 7、若)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为（ ）xx D x x C xx B x x A cos .sin .cos .sin .++--8、下列积分中其值为０的是（ ）⎰⎰⎰⎰---112111211cos ..sin .sin .xdxD xdxC xdx x B xdx x A 9、220sin(1)()x d t dt dx+=⎰)1sin(2.)1sin(.)1sin(.)1sin(2.4444++++t t D t C x B x x A10、若两个非零向量→→b a 与满足→→→→-=+b a b a ，则（ ）3),(.4),(...ππ==∧→→∧→→→→→→b a D b a C b a B b a A 平行与垂直与三、 计算题（７个小题，共44分）1、（６分）求)11ln 1(lim 1--→x x x ２、（６分）设函数)(0cos )1ln(0arctan )('2x f x xx x x x x f ，求⎩⎨⎧≥-+<=. ３、（６分）求xdx xx arctan 122⎰+ ４、（６分）求⎰+41dx xx５、（６分）求⎰202cos πxdx e x ６、（８分）设24x x y += ， 求(1)函数的增减区间及极值；(2)函数的凹凸区间及拐点。
2004—2005学年度第一学期期末考试
模拟试题七一、填空（25分）1、质点的运动方程式为r （t ）=（9 + 4t - t 2/2）i +（6t + t 3/3）j （SI 单位）。
当t=2s 时，质点的速度v = ，质点的加速度a = 。
2、一个质点动能的变化量等于 ；一个质点系动能的变化量等于 ；力学系统机械能的变化量等于 。
3、一物体放在水平传送带上，物体与传送带间无相对运动。
当传送带匀速运动时，静摩擦力对物体作功是 ；当传送带减速运动时，静摩擦力对物体作功是 。
（填入“正”、“负”或“零” ）。
4、一质量为m 的物体，原来以速率v 向北运动，它受到外力打击后，变为向南运动，速率为v ，则外力的冲量的大小为 ，方向为 。
5、质量可忽略的轻杆，长为L ，质量都是m 的两个质点分别固定于杆的中央和一端。
此系统对通过另一端点垂直于杆的轴的转动惯量I 1= ；对通过中央点垂直于杆的轴的转动惯量I 2= 。
6、物体系统角动量守恒的条件是 ，动量守恒的条件是 ；机械能守恒的条件是 。
7、系统在某过程中吸热150J ，对外作功900J ，那么在此过程中，系统内能变化是 ；在某绝热过程中，系统内能的变化是900J ，在此过程中，系统作功 。
8、热机循环的效率是21% ，那么，经一循环吸收1000J 热量，它所作的净功是 ，放出的热量是 。
9、如图所示，负点电荷Q 的电场中有两a 、b 点，则 点电场强度较大， 点的电势较高。
将正电荷q 从b 点移至a 点，电势能将 （填“减小”、“增大”或“不变” ）。
二、选择（每题3分，共30分）1、质点沿半径为R 的圆周作匀速率的运动，经时间T 转动一周。
那么，在2Ta b - Q9题图时间内，其平均速度的大小和平均速率分别为[ ]A 、2πR/T ，2πR/T ；B 、0，2πR/T ；C 、0，0 ；D 、2πR/T ，02、一个做直线运动的物体，其速度v x 与时间t 的关系曲线如图所示，设t 1到t 2时间内合力做功为A 1,t 2到t 3时间内合力的功是A 2，t 3到t 4时间内合力的功是A 3,则下述正确者为[ ]A 、 A 1>0 ,A 2<0 ,A 3<0B 、 A 1>0 ,A 2<0 ,A 3>0C 、 A 1=0 ,A 2<0 ,A 3>0D 、 A 1=0 ,A 2<0 ,A 3<0 3、一子弹以水平速度射入一静止于光滑水平面上的木块后，随木块一起运动，对于这一过程的分析，正确的是[ ]A 、 子弹、木块组成的系统机械能守恒；B 、 子弹、木块组成的系统水平方向的动量守恒；C 、 子弹所受的冲量等于木块所受的冲量；D 、 子弹动能的减少等于木块动能的增加。
大学第一学期高等数学期末考试A(含答案)打印
第一学期期末考试机电一体化专业《 高等数学 》 试卷( A )1．函数()314ln 2-+-=x x y 的定义域是（),2[]2,(∞+--∞Y ）。
2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)1(f （ -5 ）。
3．=→xx x 20lim （ 0 ） 4．函数xxx f -=)(的间断点是x =（ 0 ）。
5． 设735223-+-=x x x y 则y '＝（ 31062+-x x ）。
1、设()00=f , 且()00='f 存在, 则()=→xx f x 0lim ( C )；Ａ. ()x f ' Ｂ. ()0f ' Ｃ. ()0f Ｄ. ()021f 2、17下列变量中是无穷小量的有 ( C )； Ａ. )1ln(1lim0+→x x Ｂ. )1)((2()1)(1(lim 1-++-→x x x x x Ｃ. x x x 1cos 1lim ∞→ Ｄ. xx x 1sin cos lim 0→3、下列各组函数为同一函数的原函数的是 ( C )；Ａ. 31)(x x F =与324)(x x F -= Ｂ. 31)(x x F =与32214)(x x F -=Ｃ. C x x F +=21sin 21)(与x C x F 2cos 41)(2-=Ｄ.x x F ln )(1=与22ln )(x x F =4、在函数()x f 连续的条件下, 下列各式中正确的是 ( C )；Ａ. ()()x f dx x f dx d b a =⎰ Ｂ. ()()x f dx x f dx d ab =⎰Ｃ. ()()x f dt t f dx d x a =⎰ Ｄ. ()()x f dt t f dxd ax =⎰ 5、下列说法正确的是 ( D )； Ａ. 导数不存在的点一定不是极值点 Ｂ. 驻点肯定是极值点 Ｃ. 导数不存在的点处切线一定不存在Ｄ. ()00='x f 是可微函数()x f 在0x 点处取得极值的必要条件1、函数的三要素为: 定义域, 对应法则与值域. (√ )2、函数)(x f 在区间[]b a ,上连续是)(x f 在区间[]b a ,上可积的充分条件。
04-05高等数学试卷A答案
04-05高等数学试卷A答案D高等数学试卷（A卷）第 2 页共 14 页高等数学试卷（A卷）第 3 页共 14 页高等数学试卷（A 卷） 第 4 页 共 14 页=⎰⎰110),(xdy y x f dx ⎰⎰10),(ydxy x f dy3．L 为连接点)0,1(A 与点)1,0(B 的线段，则⎰=+Lds y x )(24．当10≤<p 时，级数∑∞=-1)1(n p n n条件收敛 5．微分方程54=+'-''y y y 的通解是)sin cos (212x c x c e y x +=二．单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．函数),(y x f z =在点),(y x 处的偏导数xz∂∂及y z ∂∂存在是),(y x f 在该点可微分的【 B 】（A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件；高等数学试卷（A 卷） 第 5 页 共 14 页（C ）充分必要条件； （D ）无关条件. 2.曲线12-=t x ，2+=t y ，3t z =在点)1,1,0(-处的切线方程为【 C 】（A ）232=--z y x （B ）232x y z ++=-（C ）3112+=-=-z y x （D ）3112+=-=z y x3．设Ω由平面1=++z y x 及三个坐标面所围成的闭区域， 则⎰⎰⎰Ω=xdv 【 B 】（A ）1110x y dx dy x dz--⎰⎰⎰（B ）1110x x y dx dy x dz ---⎰⎰⎰（C ）1110y x y dx dy x dz---⎰⎰⎰（D ）111dx dy x dz⎰⎰⎰4. 设L 为圆周122=+y x ，取顺时针方向，平面区域:D 122≤+y x，高等数学试卷（A 卷） 第 6 页 共 14 页根据格林公式，曲线积分22Ly xdy x ydy -=⎰【 A 】 （A ）⎰⎰+-Ddxdyy x)(22（B ）⎰⎰+Ddxdyy x)(22（C ）⎰⎰--Ddxdyx y)(22（D ）⎰⎰-Ddxdyx y)(225．微分方程xxe y y y 265=+'-''的特解形式是【 D 】（A ）xaxe 2 （B ）xe ax 22（C ）xe b ax x 22)(+ （D ）xe b ax x 2)(+高等数学试卷（A 卷） 第 7 页 共 14 页三．解答下列各题（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．),(v u f z =具有二阶连续偏导数，其中yx u -=，22y x v +=， 求x z ∂∂与yx z∂∂∂2解：xz∂∂xv u f v u f v u2),(1),(⋅+⋅=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分vuxf f 2+= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 =∂∂∂yx z2[](1)22(1)2uu uv vu vvf f y x f f y ⋅-+⋅+⋅-+⋅ ┅┅┅┅ 5分2()4uuuvvvf y x f x y f =-+-+┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分2．函数),(y x z z =是由方程z z y x 2222=++确定，求xz∂∂及22x z ∂∂ 解：令z z y x z y x F 2),,(222-++=x F x2= 22-=z F z┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分zx F F x z zx -=-=∂∂1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分┋┋┋┋┋ 装 ┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋高等数学试卷（A 卷） 第 8 页 共 14 页222)1()(1z xz x z xz-∂∂---=∂∂ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分322)1()1(z xz -+-= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分3．求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值解：由⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=03303322x y f y x f yx┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分得驻点为)0,0(、)1,1( ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分x f xx6=， 3-=xyf ， y f yy6= ┅┅┅┅┅┅ 4分在点)0,0(处，092<-=-B AC ，所以)0,0(f 不是极值 ┅┅ 6分在点)1,1(处，0272>=-B AC ，又06>=A所以在)1,1(处有极小值1)1,1(-=f ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分高等数学试卷（A 卷） 第 9 页 共 14 页四．计算下列积分（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．计算二重积分dxdy y x D⎰⎰，其中D 由2x y =与xy =围成的闭区域 解：dxdy y x D⎰⎰21xx dx ydy=⎰⎰ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分1201|2xx xy dx =⎰ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 ⎰-=152)(21dx x x ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分112= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 2．计算二重积分dxdyeDy x ⎰⎰+22，其中D 由422=+y x围成的闭区域 解：dxdy eDy x ⎰⎰+22⎰⎰=20202ρρθρπd e d ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分2|2ρπe= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分高等数学试卷（A 卷） 第 10 页 共 14 页)1(4-=e π ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分3．利用高斯公式计算曲面积分333I x dy dz y dz dx z dx dy∑=++⎰⎰，其中∑为球面2222a z y x =++的外侧)0(>a ， 解：记2222:a z y x≤++Ω由高斯公式2223()I x y z dvΩ=++⎰⎰⎰ ┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 drr d d a420sin 3⎰⎰⎰=ππϕϕθ ┅┅┅┅┅┅┅ 6分5125a π=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分五．解答下列级数（本题共3小题，第1小题6分，第2小题10分，满分16分） 1．判别级数∑∞=1!3n nnn n 的敛散性解：!3)!1(3)1(lim lim 111n n n n uu n nn n n nn n ++=++∞→+∞→ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分nn n⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→11lim 31 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分13<=e┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分该级数收敛 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分2．求幂级数∑∞=⋅12n nnn x 的收敛域及其和函数解：nn n a a 1lim+∞→=ρnn n n n 212)1(1lim 1⋅+=+∞→1lim 21+=∞→n n n 21=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分故21==ρR ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分┋┋┋┋┋ 装 ┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋当2-=x 时，级数∑∞=-1)1(n n n 条件收敛 ┅┅┅┅┅┅┅ 4分当2=x 时，级数∑∞=11n n发散┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分幂级数的收敛域为)2,2[- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分记=)(x S ∑∞=⋅12n nnn x 22<≤-x=')(x S ∑∞=-112n nn x=11221-∞=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x =x-21 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分xx dx S x S x-=-+=⎰22ln 2)0()(0 （22<≤-x ）┅ 10分六．（本题满分6分）求微分方程32(1)1y y x x '-=++的通解解：该方程为一阶线性微分方程，由常数变易公式⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰+⎰=⎰+-+C dx ex e y dx x dx x )1(23)1(2)1(┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分[]⎰+++=Cdx x x )1()1(2 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=C x x 22)1(21)1( ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分七．（本题满分8分）一个半球形状的雪堆，其体积减少的速率与半球面的面积成正比，比例常数0>k ，假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为1米的雪堆在开始的3小时内融化了体积的87， 问雪堆全部融化需要多少时间？解：设雪堆在时刻t 的体积332r V π=，侧面积22r S π=，依题意知2222r k dtdrr dt dV ππ⋅-==┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分于是得k dtdr-= 积分得Ckt r +-= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 由初始条件1)0(=r ，得1=C 所以kt r -=1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分 又由题设，可知03|81|===t t V V即 ππ3281)31(323⋅=-k61=k 得，从而t r 611-= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分雪堆全部融化时0=r ，令0=r 得6=t 故雪堆全部融化需6小时 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分。
K02--广东省中山市2004—2005学年度上学期高一数学考试(含答案)
中山市高一级2004—2005学年度第一学期期末统一考试数学科试卷本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。
共100分，考试时间100分钟。
第I 卷（选择题共40分）注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、可以使用科学计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
一、选择题（每小题4分，共40分）1．过点M (3-，2)、N (2-，3)的直线的斜率是A ．1B ．2C ．－1D ．23 2．已知集合M ={x | x ∈N 且8－x ∈N }， 则集合M 的元素个数为（0为自然数）A ．10B ．9C ．8D ．73．下面图形中那一个不是正方体的平面展开图ABCD 4 A B ．y =2x +5 C D ． y =－2x －55．圆心为（1，－2），半径为3的圆的方程是A ．(x +1)2 +(y －2) 2 =9B ．(x －1)2 +(y +2) 2 =9C ．(x +1)2 +(y －2) 2 =3D ．(x －1)2 +(y +2) 2 =36．若f (10x ) = x ，则f (3)的值为A ．log 310B ． lg3C ．103D ．3107．函数y =x +a 与y =log a x 的图象只可能是下图中的8A ．至多有一个直角三角形B ．至多有二个直角三角形C ．可能都是直角三角形D ．一定都是非直角三角形9．下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是C ．（0，－3，－3） 第II 卷（非选择题共60分）二、填空题（每小题4分，共16分）11．实数0.52，log 20.5，20.5的大小关系是 .12．棱长为3cm ，各面均为等边三角形的四面体的表面积为____________.13．已知一种放射性物质经过120年剩留原来物质的97.56%，设质量为1的这种物质经过x 年后的剩留量为y ，则x 、y 之间的函数关系式为 .14．直线 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过定点A （6，－2），则直线 的方程为_______________.三、解答题（共44分）15．（9分）一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为2m 、高为4m的圆柱形物体，上面是一个半球形体，如果每平方米大约需要鲜花200朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）？16．（9分）设33221)1(,1)1(xx x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f . 17．（9分）已知正方形ABCD 和正方形ABEF 所在的平面相交于AB ，点M ，N 分别在AC 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE.18．（9从储备库中心A 向正东方向走1km 东方向再走2km 到达公路上的点C ；从A 路上的另一点D ，现准备在储备库的边界上选一点通往公路CD 的专用（线）路EF ，要求EF 最短，19．（8分）已知函数xx x f -+=11log )(2， （1）求)(x f 的定义域；（2）判断)(x f 的奇偶性；（3）讨论)(x f 的单调性. 高一级数学科答案一、选择题（每小题4分，共40分）1．A ；2．B ；3．C ；4．C ；5．B ；6．B ；7．C ；8．C ；9．A ；10．BC二、填空题11．20.5 ＞ 0.52 ＞ log 20.5 12．239cm 13．y = 97.56120x14．x +2y —2=0或2x +3y —6=0三、解答题15．（9分）解：圆柱形物体的侧面面积S 1≈3.1×2×4=24.8(m 2).半球形物体的表面积是S 2≈2×3.1×12≈6.2(m 2).所以 S 1+S 2≈24.8+6.2=31.0(m 2).31×200=6200（朵）答：装饰这个花柱大约需要6200朵鲜花。
福州市2004—2005学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷(理科)
福州市2004—2005学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷(理科)福州市2004—2005学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷(理科)高三数学理试题 第3页⊂≠ 福州市2004—2005学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两分部.共150分，考试时间120分钟. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A {2，3，7}，且A 中元素至少有一个为奇数，则这样的集合共有 （ ）高三数学理试题 第4页A ．2个B ．4个C ．5个D ．6个 2．复数Z 1=－3+i ，Z 2=1+ i ，则Z =Z 1·Z 2在复平面内对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“a =1”是“函数y =cos ax ·sin ax 的最小正周期为π”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 4．曲线23-+=x xy 在点P 0处的切线平行于直线14-=x y ，则点P 0的坐标为（ ） A ．（1，0）或（0，－2） B ．（0，－2）或（2，8）C ．（2，8）或（－1，－4）D ．（1，0）或（－1，－4） 5．若函数bax f x+=)(的图象过点（1，7），且0)4(1=-f，则)(x f 的表达式是（ ）高三数学理试题 第5页A ．43)(+=xx f B ．34)(+=x x f C ．52)(+=xx fD ．25)(+=xx f6．椭圆短轴长为52，离心率32=e ，两焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点， 则△ABF 2的周长为 （ ） A ．6 B ．12 C ．24D ．487．若1830,0=+>>yx y x 且，则xy 有（ ） A ．最大值96 B ．最小值961 C ．最小值48D ．最小值968．从0、3、4、5、7中任取三个不同的数，分别作一元二次方程的二次项系数，一次项系 数及常数项，则可以作出的不同方程的个数是 （ ） A ．10B ．24C ．48D ．60高三数学理试题 第6页9．将一个函数的图象按)2,4(π=a 平移后得到的图象的函数解析式2)4sin(++=πx y ，那 么原来的函数解析式是 （ ）A ．x y sin =B ．x y cos =C ．xy sin =+2D ．x y cos =+410．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么其中至少有1个一等品的概率是 （ ） A ．32024116C C C B ．320219116C C C C ．32031624116C C C C + D ．320341C C -11．若9)222(-x的展开式的第7项为421，则)(lim 32n n x x x x ++++∞→ 等于（ ） A ．43 B ．41 C ．－41 D ．－43 12．国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和高三数学理试题 第7页地区人民的生活水平，它的计算公式:(x yx n =人均食品支出总额，y :人均个人消费支出总额），且.4502+=x y各种类型家庭分类如下表： 家庭类型富裕 小康 温饱 贫困 n30%≤n<40% 40%≤n<50% 50%≤n<59%n≥59%王先生居住地2004年食品价格比2000年下降了7.5%，该家庭在2004年购买食品和2000年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2004年属于 （ ）A ．富裕B ．小康C ．温饱D ．贫困高三数学理试题 第8页第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．设随机变量ξ分布列为P （===k kk ,10)ξ1、2、3、4，则=≤≤)2521(ξP . 14．数列}{na 是等比数列，若)0(1752≠=⋅⋅m m a a a，则=⋅97a a .15．圆1)1(22=++y x 在不等式组⎩⎨⎧≤+≤-0y x y x 所表示的平面区域中所围成的图形的面积为 .16．在△ABC 中，有命题：（1）BC AC AB =- （2）0=++CA BC AB（3）若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则△ABC 为等腰三角形，（4）若0>⋅AB AC ，则△ABC 为锐角三角形. 其中真命题的编号为（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）某种圆形射击靶由三个同心圆构成（如图），从里到外的三个区域分别记为A、B、C，（B、C 为圆环），某射手一次射击中，击中A、B、C区域的概率分别为P（A）=0.4，P（B）=0.25，P（C）=0.2，没有中靶的概率为P（D）.（1）求P（D）；（2）该射手一次射击中，求击中A区或B区的概率；（3）该射手共射击三次，求恰有两次击中A区的概率.高三数学理试题第9页高三数学理试题 第10页18．（本小题满分12分）解关于x 的不等式1|232|≥---ax a x .19．（本小题满分12分）已知△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量)2sin ,2(cos C C m =， )2sin ,2(cos C C n -=，且n m 与的夹角为.3π （1）求角C 的值；（2）已知27=c ，△ABC 的面积233=S ，求b a +的值.20．（本小题满分12分）各项均为正数的数列{}na ，对于任意正整数n ，都有.22n n n a a S +=（1）求证数列{}n a 是等差数列；（2）若数列{}n b 满足n n n a b 2⋅=，求数列{}nb 的前n 项和.nT21．（本小题满分12分） 已知函数t R x x x t x g ,,)2(4)2(2)(3∈---=为常数，函数)(x f y =的图象与)(x g y =的图象关于直线1=x 对称. （1）求)(x f 的解析式； （2）是否存在常数),4[+∞∈t ，使得)(x f 在区间（0，1]上有最大值8？若存在，求出t 值；若不存在，说明理由.22．（本小题满分14分）在△ABC 中，0,3||,4||=⋅==BC AB BC AB ，若双曲线经过点C ，且以A 、B 为焦点.（1）求双曲线的方程；（2）若点G 满足AB GC 21=，问是否存在不平行于AB 的直线l 与双曲线交于不同两点M 、N ，是||||NG MG =，若存在，求出直线l 的斜率的取值范围；若不存在，说明理由.福州市2004—2005学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷（理科）参考答案一、选择题 1．C 2．C 3．A 4．D 5．B 6．B 7．D 8．C 9．B 10．D 11．C 12．B 二、填空题13．103；14．32m ；15．12+π；16．（2）（3） 三、解答题17．解：（1）415.02.025.04.01)()()(1)('=---=---=C P B P A P D P（2）P=P （A ）+P （B ）=0.4+0.25=0.65答：击中A 区或B 区的概率为0.65…………………………8′ （3）288.0)4.01()4.0(223=-=C P答：恰有两次击中A 区的概率为0.288…………………………12′18．解法1：由原不等式得1232≥---a x a x ……（1）或1232-≤---a x a x ……（2）……2′由（1）得：0)3(≥-+-a x a x 解得a x <或3+≥a x ………………6′由（2）得0333≤---a x a x ，即0)1(≤-+-ax a x 解得1+≤<a x a …………………………………………10′∴ 原不等式的解为ax <或1+≤<a x a 或3+≥a x …………………………12′解法2：由原不等式得⎩⎨⎧-≥--≠|||232|a x a x a x ……………………………………2′⇒⎩⎨⎧-≥--≠22)()232(a x a x a x ⇒0)()232(22≥⎩⎨⎧----≠a x a x ax⇒⎩⎨⎧≥-+--+---≠0)232)(232(a x a x a x a x a x …………………………6′⇒⎩⎨⎧≥+-+-≠0)]1()][3([3a x a x a x⇒⎩⎨⎧+≥+≤≠31a x a x a x 或……………………………………10′∴原不等式的解为ax <或1+≤<a x a 或3+≥a x …………………………12′19．解：（1）1||||,3cos ||||==⋅⋅=⋅n m n m n m 且π…………………………2′3cos )2sin (2sin 2cos 2cosπ=-+∴C C C C 即3coscos π=C ………………4′又3),0(ππ=∴∈∴C C ………………………………6′ （2）由Cab b a c cos 2222-+= 得ab b a -+=22449………………①由6sin 21=⋅=∆ab c ab S 得………………②………………………………10′ 由（1）（2）得4121)(2=+b a a 、+∈R b211=+∴b a ………………………………………………………………12′ 20．解：（1）当1=n 时，12112a a a +=111=∴>a a ……………………1′当2≥n 时，)(2212121---+-+=-n n n n n na a a a S S12122---+-=⇒n n n n n a a a a a ………………………………………………3′)())((111---+=+-⇒n n n n n n a a a a a a由已知得01≠+-n na a11=-∴-n na a（常数）∴数列}{na 是首项为1，公差为1的等差数列…………………………6′ （2）由（1）得nn nn b na 2⋅=∴=nn n T 22322232⋅++⋅+⋅+= ……………………………………8′ 2143222)1(23222+⋅+-++⋅+⋅+=n n nn n T两式相减得－13222222+⋅-++++=n n n n T …………………………10′112)21(2221)21(2++⋅---=⋅---=n n n n n n22)1(1+⋅-=∴+n n n T ……………………………………………………12′21．解：（1）设),(y x P 是)(x f y =图象上任一点，点P 关于直线1=x 的对称点为),2(y x P -'， 由已知点P '在)(x g y =的图象上……………………2′ 3342)]2(2[4)]2(2[2)2(x tx x x t x g y -=-----=-=∴即342)(x tx x f -=………………………………………………4′（2）当),4[],1,0(+∞∈∈t x 时2122)(x t x f -='，由)(='x f 得60t x ±=……………………6′当60t x <<时)(,0)(x f x f >'在（0，6t ）内单调递增；当6t x >时)(,0)(x f x f <'在（6t ，+∞）内单调递减；6t x =∴是)(x f 的极大点.…………………………8′ 若16<t，即64<≤t 时，)(x f 在（0，1]上只有一个极值，即为最大值.8)6()(max ==∴tf x f 解得6=t此时不存在满足要求的t值.………………………………10′ 若16≥t ，即6≥t 时，)(x f 在（0，1]上单调递增.842)1()(max =-==∴t f x f ∴6=t综上，存在常数6=t ，使得)(x f 在区间（0，1]上有最大值8………………12′22．解：（1）由已知得△ABC 为直角三角形，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，（如图），设双曲线方程为：)0,0(12222>>=-b a by a x ……………………2′双曲线过点c ，2||||2=-=∴CB CA a ,1=∴a 又3,2222=-=∴=a c bc∴双曲线方程为1322=-y x ………………6′（2）依题意，可设直线l 方程为)0(≠+=k m kx y 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1322y x m kx y 得)3(2)3(222=+---m kmx x k ……………………8′∵直线l 与双曲线交于不同两点M 、N ，设M（),(),,2211y x N y x)3)(3(44,0322222>+-+=∆≠-∴m k m k k 且解得：3,322->±≠k m k 且……………………①2213k kmx x -=+…………………………9′又设MN 中点为F （),00y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=2002210333)(21k m m kx y k km x x x ……………………10′ 由已知得G （0，3），又kx y l GF NG MG 13,||||00-=-⊥∴=即消去0x 、0y 得4392k m -=……………………②把②代入①得（3)439222->-k k ………………………………12′ 解得034333343≠><<--<k k k k 但或或综上：存在直线l ，它的斜率取值范围为),343()0,3()343,(+∞⋃-⋃--∞∈k…………………………………………14′。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2004～2005学年第一学期《高等数学》期末考试试题A 卷（180学时） 专业班级 学号_______________ 姓名
一、填空题（每小题5分，共6小题）：
1、设2(1)()lim 1
n n x f x nx →+∞−=+, 则其间断点为x ＝ ，且是第 类间断点 . 2、已知()(1)(2)(2005)f x x x x x =−−−"，则(0)f ′＝ .
3、设1n n
n a x ∞=∑的收敛半径为3, 则11
(1)n n n na x ∞+=−∑的收敛半径R ＝ . 4、已知两曲线()y f x =与2arctan 0x
t y e dt −=∫在点(0,0)处的切线相同，则此切线方程
为 ，且极限2lim ()n nf n
→∞= . 5、曲线2
2)2(,−==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积S ＝ .
6、已知函数()f x 具有任意阶导数，且2()()f x f x ′=,则当n 为大 于1的正整数时，()f x 的n 阶导数()()n f x ＝ .
二、计算题（每题6分，共5题）
： 1、设函数()y y x =
=确定(0x >,0y >),求dy 和22d y dx . 2、计算不定积分cos sin 2cos d θθθθ
−∫. 3
、设sin )n a n n π=−，计算lim n n a →+∞，并讨论级数20n n a n ∞
=∑的收敛性. 4、求极限3011cos lim 12x x x x →⎡⎤+⎛⎞−⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦
. 5、已知()cos 0
()0g x x x f x x a
x −⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ ，其中()g x 有二阶连续导数，且(0)1g =， 1）、为使()f x 在0x =处连续，确定a 的值；
2）、求()f x ′.
三、解答题（每题8分，共5题）：
1、 已知()2
x x
e e
f x −+=， 1）、计算ln3
ln 2()()()()f x f x dx f x f x ′⎛⎞+⎜⎟′⎝⎠∫； 2）、展开()f x 成x 的幂级数.
2、对广义积分2(ln )k
dx x x +∞
∫求解下列问题： 1）、当k 为何值时, 该积分收敛或发散？
2）、在收敛的情况下，k 取何值时, 该积分取最小值？
3、设函数()y y x =由参数方程 3292x t t y t t
⎧=+⎪⎨=−⎪⎩ 确定，求曲线()y y x =的下凸区间.
4、设()p x 是一个多项式，且方程 ()p x ′＝0没有实零点. 试证明方程()p x ＝0既无相
异实根，也无重实根.
5、设()f x 在[0,1][0，1]上有二阶连续导数，证明：
101()[(0)(1)]2f x dx f f =+−∫
101(1)()2x x f x dx ′′−∫.。