天津市和平区2017-2018学年高二上学期期末质量调查数学(理)试题 Word版含答案

合集下载

天津市和平区2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析

和平区2017-2018学年度第一学期高二年级数学（理）学科期末质量调查试卷一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的离心率为”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵，∴“”是“双曲线”的充要条件。

选C。

2. 在空间直角坐标系中，已知（）C.【答案】B【解析】由空间中两点间的距离公式得选B。

3. ，则双曲线的标准方程为（）【答案】A【解析】设双曲线的方程为双曲线的标准方程为 A.4. 若双曲线（）的离心力为，则该双曲线的渐近线方程为（）B.【答案】C，则离心率则双曲线的渐近线方程为 C.5. 的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率为（）【答案】BB.6. ，则（）【答案】D【解析】∴∥D。

7. 平分，则这条弦所在的直线方程是（）B.【答案】C【解析】设这条弦的两端点为，可得的直线方程为 C.【方法点睛】本题主要考查待定点斜式求直线的方程及“点差法”的应用，属于难题 . 对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.8. ）为长轴的两个端点，若在椭圆上存在，则离心率的取值范围为（）B.【答案】A【解析】，故选A.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率的范围，属于中档题 . 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.关于的不等式，最后解出的范围.二、填空题（每题6分，满分24分，将答案填在答题纸上）9. ）的左焦点在抛物线的准线上，__________．【答案】4的左焦点的准线上，可得，解得，故答案为.10. 的直线经过椭圆两点，则的长为__________．【答案】【解析】椭圆代入椭圆方程，可得，故答案为11. 已知抛物线的焦点为，准线为直线，过抛物线上一点，，若__________．【答案】【解析】由抛物线，代入抛物线的方程可得，，故答案为.12. 的值为__________．【答案】0【解析】∴。

天津市和平区2017-2018学年高三二模考试数学试卷(理科) Word版含解析

天津市和平区2017-2018学年高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=b（1+i）（其中i为虚数单位，a，b∈R），则a等于( )A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．2．设非负实数x，y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为( )A．4 B．8 C．9 D．123．阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的x值是( )A．2 B．﹣5 C．﹣D．54．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点P做直线PA，PB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，k1•k2=2，则双曲线的离心率e等于( ) A．B．3 C．D．5．如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ的值为( )A．B．C．D．6．函数f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点的充要条件为( )A．m∈（0，1）B．m∈（0，1]C．m∈D．m∈（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相切于P点，且与直线x=﹣4相交于Q点，求证：直线PF1垂直于直线QF1．20．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=2ax2﹣2（a+1）x恰有两个不等的实根，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=e x﹣x﹣1，若对任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．天津市和平区2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=b（1+i）（其中i为虚数单位，a，b∈R），则a等于( )A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数相等的条件进行化简即可．解答：解：由=b（1+i）得a+i﹣（1+i）=b（1+i）（1+i）=2bi．即a﹣+i=2bi．则a﹣=0且=2b，解得a=，b=，故选：D．点评：本题主要考查复数的计算，根据复数相等建立方程关系是解决本题的关键．2．设非负实数x，y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为( )A．4 B．8 C．9 D．12考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：令2x+3y=m（x+y）+n（2x+y），则，可得m=4，n=﹣1，结合条件，即可求出z=2x+3y的最大值．解答：解：令2x+3y=m（x+y）+n（2x+y），则，∴m=4，n=﹣1，∴2x+3y=4（x+y）﹣（2x+y）≤12﹣4=8，∴z=2x+3y的最大值为8，故选：B．点评：本题考查目标函数的最大值，考查学生的计算能力，正确运用待定系数法是解题的关键．3．阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的x值是( )A．2 B．﹣5 C．﹣D．5考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，i的值，当i=11时，满足条件i＞10，退出循环，输出x的值为﹣5．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=2，i=1不满足条件i＞10，x=﹣5，i=2不满足条件i＞10，x=﹣，i=3不满足条件i＞10，x=2，i=4不满足条件i＞10，x=﹣5，i=5…观察规律可知x的取值以3为周期，故不满足条件i＞10，x=﹣，i=9不满足条件i＞10，x=2，i=10不满足条件i＞10，x=﹣5，i=11满足条件i＞10，退出循环，输出x的值为﹣5．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x，i的值是解题的关键，属于基本知识是考查．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点P做直线PA，PB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，k1•k2=2，则双曲线的离心率e等于( ) A．B．3 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．解答：解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x，y），则，，∴k1•k2===2，∴该双曲线的离心率e==．故选：A．点评：本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系．5．如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ的值为( )A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的基本定理结合向量加法的三角形分别进行分解即可．解答：解：∵=+，，∴=+，∵=﹣，，∴=﹣∴=+==+（﹣）=+，∵，∴λ=，μ=，则λ+μ=+=，故选：A点评：本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据向量的和差运算将向量进行分解是解决本题的关键．6．函数f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点的充要条件为( )A．m∈（0，1）B．m∈（0，1]C．m∈D．m∈，∴m∈（0，1]，故函数f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点的充要条件为m∈（0，1]，故选：B．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，以及充分条件和必要条件的应用，利用参数分离法是解决本题的关键．7．如图，已知圆O半径是3，PAB和PCD是圆O的两条割线，且PAB过O点，若PB=10，PD=8，给出下列四个结论：①CD=3；②BC=5；③BD=2AC；④∠CBD=30°．则所有正确结论的序号是( )A．①③B．①④C．①②③D．①③④考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑；推理和证明．分析：①由PB=10，AB=6，可得PA=4．由割线定理可得：PA•PB=PC•PD，解得PC，即可得出CD．②连接OC，在△OCP中，由余弦定理可得：cosP==，在△BCP中，由余弦定理可得：BC2=，解出BC．③由△PCA∽△PBD，可得，即可判断出正误．④连接OD，则△OCD为正三角形，可得∠COD=2∠CBD=60°即可判断出正误．解答：解：①∵PB=10，AB=6，∴PA=4．由割线定理可得：PA•PB=PC•PD，∴4×10=8PC，解得PC=5，∴CD=PD﹣PC=3，正确．②连接OC，在△OCP中，由余弦定理可得：cosP==，在△BCP中，由余弦定理可得：BC2==，解得BC==，因此②不正确．③∵△PCA∽△PBD，∴=，∴BD=2CA，正确．④连接OD，则△OCD为正三角形，∴∠COD=2∠CBD=60°，∴∠CBD=30°，正确．综上可得：只有①③④正确．故选：D．点评：本题考查了割线定理、圆的性质、相似三角形的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．关于x的方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0的不相同实根的个数是( )A．3 B．4 C．5 D．8考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：通过换元法求解x2﹣1的根，然后求解方程的解的个数．解答：解：令t=|x2﹣1|，方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0化为：t2﹣3t+2=0，解得t=1或t=2，即|x2﹣1|=1，或|x2﹣1|=2，由|x2﹣1|=1，解得x=，x=0，由|x2﹣1|=2解得x=．关于x的方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0的不相同实根的个数是：5．故选：C．点评：本题考查函数的零点以及方程根的个数的求法，考查计算能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.9．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先根据三视图把几何体复原成立体图形，进一步根据立体图形的体积公式求出结果．解答：解：根据三视图得知：该几何体的表面积是：上面是一个以1为半径的球体，下面是一个以2为半径，高为2的圆柱的组合体．所以：V=故答案为：点评：本题考查的知识要点：三视图和立体图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的空间想象能力．10．抛物线y=x2与直线2x+y﹣3=0所围成图形的面积等于．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：解方程组可得图象的交点，由题意可得积S=dx，计算可得．解答：解：联立可解得或，∴所求面积S=dx=（﹣x2+3x﹣x3）=﹣（﹣9）=故答案为：点评：本题考查定积分求面积，属基础题．11．若函数f（x）=log a（ax2﹣x）在上单调递增，则实数a的取值范围是（2，+∞）．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由复合函数的单调性和二次函数的性质分类讨论可得．解答：解：（1）当a＞1时，令t=ax2﹣x，则由题意可得函数t在区间上单调递增，且t＞0，故有，解得a＞2，综合可得a＞2；（2）当0＜a＜1时，则由题意可得函数t在区间上单调递减，且t＞0，故有，解得a∈∅，故此时满足条件的a不存在．综合（1）（2）可得a＞2故答案为：（2，+∞）点评：本题考查对数函数的单调性，涉及分类讨论思想和二次函数的性质，属中档题．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b+c=12，C=120°，sinB=，则cosA+cosB的值为．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件求得cosB的值，再根据cosA=﹣cos（B+C）=﹣cos（120°+B）利用两角和的余弦公式求得cosA，从而求得cosA+cosB的值．解答：解：在△ABC中，∵C=120°，sinB=，∴cosB==，cosA=﹣cos（B+C）=﹣cos（120°+B）=﹣cos120°cosB+sin120°sinB=+=，故cosA+cosB=+=，故答案为：．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的余弦公式的应用，属于基础题．13．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则圆心C到直线l距离为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步转换成标准形式，再把直线的参数方程转换为直角坐标方程，最后利用点到直线的距离公式求出结果．解答：解：圆C的方程为ρ=2，转化为：ρ=2sinθ+2cosθ，进一步转化为直角坐标方程为：x2+y2=2x+2y，转化为标准形式为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2所以：该曲线是以（1，1）为圆心，为半径的圆．直线l的参数方程为（t为参数），转化为直角坐标方程为：2x﹣y+1=0．所以：圆心到直线的距离为：d=．故答案为：点评：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线间的距离公式的应用．主要考查学生的应用能力．14．已知S n=3+7+13+…+（2n+2n﹣1），S10=a•b•c，其中a，b，c∈N*，则a+b+c的最小值为68．考点：基本不等式；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意得S10=（2+1）+（4+3）+（8+5）+...+（210+19）=2+4+8+...+210+（1+3+5+ (19)=211﹣2+100=2146；再求2146的质因子，从而解得．解答：解：由题意，S10=（2+1）+（4+3）+（8+5）+…+（210+19）=2+4+8+...+210+（1+3+5+ (19)=211﹣2+100=2146；又∵2146=2×29×37=1×58×37=1×2×1073=1×29×74=2×29×37；∴a+b+c的最小值为2+29+37=68；故答案为：68．点评：本题考查了等差数列与等比数列前n项和的求法，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知函数x+b，x∈R，且．（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）首先利用函数f（0）=f（）=1，建立方程组求出a和b的值，进一步听过三角函数的恒等变换求出函数的正弦形式，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅱ）直接利用函数的关系式，利用函数的定义域求出函数的值域，最后求出函数的最值．解答：解：（Ⅰ）x+b由于：f（0）=f（）=1，所以：，解得：所以：2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=，所以：函数的最小正周期：T=，（Ⅱ）由于：函数f（x）=，当时，．所以：即：函数的最大值为，函数的最小值为﹣1．点评：本题考查的知识要点：利用待定系数法求函数的解析式，三角函数的恒等变换，正弦型函数的周期的确定，利用函数的定义域求函数的值域，主要考查学生的应用能力．16．盒子中装有“黑桃、红桃、梅花、方块”4种不同花色的扑克牌各3张，从中一次任取3张牌，每张牌被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的3张牌中的花色互不相同的概率；（Ⅱ）用X表示取出的3张牌中花色是“黑桃”的张数，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）设“取出的3张牌中的花色互不相同”为事件A．从12张扑克牌任取3张共有种方法，从4种不同花色中任取3种花色并且每一种花色个取一张可有种方法，录用古典概率计算公式即可得出；（II）由题意可得：X=0，1，2，3．P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，得出分布列，再利用数学期望计算公式即可得出．解答：解：（I）设“取出的3张牌中的花色互不相同”为事件A．从12张扑克牌任取3张共有种方法，从4种不同花色中任取3种花色并且每一种花色个取一张可有种方法，∴P（A）==．（II）由题意可得：X=0，1，2，3．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3P（X）数学期望E（X）=1+×+2×+3×=．点评：本题考查了古典概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2BB1，∠ABC=90°，D为BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求二面角C﹣AD﹣C1的余弦值；（Ⅲ）若E为A1B1的中点，求AE与DC1所成的角．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：可设AB=BC=2BB1=2，以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．（Ⅰ）求得则有=（﹣2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），设平面ADC1的法向量为=（x1，y1，z1），运用向量垂直的条件，可得法向量，再由法向量和垂直，即可得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得平面ADC1的法向量和平面ACD的法向量，运用向量的数量积的坐标表示，求得它们夹角的余弦，即可得到所求；（Ⅲ）求得向量，的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，求得余弦，即可得到所求角．解答：（Ⅰ）证明：可设AB=BC=2BB1=2，以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，A1（2，0，1），B（0，0，0），A（2，0，0），D（0，1，0），C1（0，2，1），则有=（﹣2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），设平面ADC1的法向量为=（x1，y1，z1），由，，可得﹣2x1+y1=0，且﹣2x1+2y1+z1=0，可取x1=1，y1=2，z1=﹣2．即有=（1，2，﹣2），由于=﹣2+0+2=0，即有，则A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），=（0，﹣1，0），由C1C⊥平面ABC，即有平面ABC的法向量为=（0，0，1），由（Ⅰ）可得平面ADC1的法向量为=（1，2，﹣2），由cos＜，＞===﹣．故二面角C﹣AD﹣C1的余弦值为；（Ⅲ）解：E为A1B1的中点，则E（1，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，1，1），cos＜，＞===，由0≤＜，＞≤π，可得＜，＞=，则AE与DC1所成的角为．点评：本题考查线面平行的判定和二面角的平面角以及异面直线所成角的求法，考查向量的运用，考查运算能力，属于中档题．18．已知数列{a n}满足：a1=6，a n﹣1•a n﹣6a n﹣1+9=0，n∈N*且n≥2．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差关系的确定；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）把已知的数列递推式变形，得到，然后直接利用=证得数列{}是公差为的等差数列；（2）由（1）中的等差数列求出通项公式，即可得到数列{a n}的通项公式；（3）把{a n}的通项公式代入b n=，整理后利用裂项相消法求得答案．解答：（1）证明：由a n﹣1•a n﹣6a n﹣1+9=0，得，∴，则==，∴数列{}是公差为的等差数列；（2）解：由（1）知，=，∴；（3）解：b n==，则=．点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．19．如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=．过F2的直线交椭圆C于A、B两点，且△ABF1的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相切于P点，且与直线x=﹣4相交于Q点，求证：直线PF1垂直于直线QF1．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用椭圆的定义，可得a=2，再由离心率公式，可得c，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线l：y=kx+m代入椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，可得切点P 的坐标，再令x=﹣4，可得Q的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．解答：（Ⅰ）解：∵|AB|+|AF1|+|BF1|=8，即|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=8，而|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，∴4a=8，即a=2．∵，∴c=1，则．∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：由得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．如图，设P点的坐标为（x0，y0），依题意m≠0且△=0，即△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，整理得4k2+3=m2．此时，，∴P点的坐标为．由解得y=﹣4k+m．∴Q点的坐标为（﹣4，﹣4k+m）．由F1（﹣1，0），求得，，∴．∴直线PF1垂直于直线QF1．点评：本题考查椭圆的定义和方程，性质，主要考查定义和离心率公式及方程的运用，注意联立直线方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，同时考查两直线垂直的条件，属于中档题．20．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=2ax2﹣2（a+1）x恰有两个不等的实根，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=e x﹣x﹣1，若对任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，求出f（x）的导数，令f'（x）=0，列出表格即可得出函数的单调性，极值；（2）问题转化为求函数y=ax2﹣x与y=lnx的解得个数问题，通过讨论a的范围即可求出；（3）对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x）max≤g（x）min．利用导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可．解答：解：（1）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=，令f′（x）=0得：x1=，x2=1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （0，）（，1） 1 （1，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）单调递增极大单调递减极小单调递增∴f（x）在（0，）单调递增，在（，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，当x=时：f（x）有极大值，且f（x）极大值=f（）=﹣﹣ln2；当x=1时：f（x）有极小值，且f（x）极小值=﹣2；（2）∵f（x）=2ax2﹣2（a+1）x，∴ax2﹣（2a+1）x+lnx=2ax2﹣2（a+1）x，∴ax2﹣x=lnx，x∈（0，+∞），显然a≤0时，y=ax2﹣x与y=lnx只有1个交点，不合题意，当a=1时，函数y=x2﹣x=﹣，x=时：y min=﹣，而y=ln＜ln，∴0＜a＜≤1时，y=ax2﹣x与y=lnx只有1个交点，不合题意，a＞1时，画出函数y=ax2﹣x与y=lnx的图象，如图示：，图象有2个交点，综上：a＞1；（3）由g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1，令g′（x）＞0，解得x＞0；令g′（x）＜0，解得x＜0．∴g（x）在（﹣∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，即g（x）最小值=g（0）=0．对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x1）≤g（0）即可．即不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，f′（x）=，（1）当a=0时，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，∴f（x）最大值=f（1）=﹣1＜0，∴a=0符合题意．（2）当a＜0时，f′（x）=，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，∴f（x）最大值=f（1）=﹣a﹣1≤0，得﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0符合题意．（3）当a＞0时，f′（x）=，f′（x）=0得：x1=，x2=1，a＞时，0＜x1＜1，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜或x＞1；令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，∴f（x）在（1，+∞）是增函数，而当x→+∞时，f（x）→+∞，这与对于任意的x∈（0，+∞）时f（x）≤0矛盾．同理0＜a≤时也不成立．综上所述：a的取值范围为．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考察了推理能力和计算能力，属于难题．。

2017-2018学年天津市和平区高二(上)期末数学试卷(理科)

2017-2018学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m=1”是“双曲线的离心率为2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（3分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|=（）A． B． C． D．3．（3分）已知双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣x2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=14．（3分）若双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x5．（3分）已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（3分）已知向量=（2，4，5），=（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=15 C．x=，y=D．x=6，y=7．（3分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=08．（3分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）若双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p=．10．（6分）已知斜率为2 的直线经过椭圆的右焦点F2，与椭圆相交于A、B 两点，则AB 的长为．11．（6分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=．12．（6分）如图所示，已知空间四边形OABC中，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为．13．（6分）设椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于．14．（6分）已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．17．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN||平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面A1B1C．18．已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且=，求直线AB 的斜率．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1（1）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值；（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．2017-2018学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m=1”是“双曲线的离心率为2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据双曲线离心率的定义求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由双曲线的方程得a2=m，（m＞0），b2=3，则c2=3+m，∵双曲线的离心率e=2，∴e2===4，即3+m=4m，即3m=3，m=1，则“m=1”是“双曲线的离心率为2”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的离心率公式是解决本题的关键．2．（3分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|=（）A． B． C． D．【分析】利用空间直角坐标系中两点间的距离公式，计算即可．【解答】解：空间直角坐标系中，A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|==．故选：B．【点评】本题考查了空间中两点间的距离应用问题，是基础题．3．（3分）已知双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣x2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=1【分析】设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），利用双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），建立方程组，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），∵双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），∴，∴a=，b=1，∴双曲线的标准方程为﹣y2=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的方程，正确运用待定系数法是关键．4．（3分）若双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x【分析】求出双曲线的c，由离心率公式，解方程求得a，再由双曲线的渐近线方程即可得到．【解答】解：双曲线﹣y2=1（a＞0）的c=，则离心率e===2，解得，a=．则双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=x．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法和离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题．5．（3分）已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意，抛物线y2=x的焦点为（，0），从而求椭圆的离心率．【解答】解：抛物线y2=x的焦点为（，0）；抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，故c=，b=，a==；故e===；故该椭圆的离心率为：；故选：D．【点评】本题考查了抛物线及椭圆的性质以及应用，属于基础题．6．（3分）已知向量=（2，4，5），=（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=15 C．x=，y=D．x=6，y=【分析】由l1∥l2，可得存在实数使得=k，【解答】解：∵l1∥l2，∴存在实数使得=k，∴，解得x=6，y=．故选：D．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（3分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=0【分析】若设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；作差①﹣②，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程，得：9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①﹣②得：9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；由中点坐标=4，=2，代入上式，得72（x1﹣x2）+144（y1﹣y2）=0，∴直线斜率为k==﹣，所求弦的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故选：C．【点评】本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于基础题目．8．（3分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】设H（x0，y0），则=．可得k MH k NH==∈，即可得出．【解答】解：M（﹣a，0），N（a，0）．设H（x0，y0），则=．∴k MH k NH====∈，可得：=e2﹣1∈，∴e∈．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）若双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p=4．【分析】求出双曲线的左焦点坐标，代入抛物线的准线方程，求出P即可．【解答】解：双曲线（p＞0）的左焦点（﹣，0），双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，可得：﹣=，解得p=4．故答案为：4．【点评】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．10．（6分）已知斜率为2 的直线经过椭圆的右焦点F2，与椭圆相交于A、B 两点，则AB 的长为．【分析】求得椭圆的a，b，c，可得右焦点，求得直线AB的方程，代入椭圆方程，可得交点A，B的坐标，由两点的距离公式计算即可得到所求弦长．【解答】解：椭圆的a=，b=2，c==1，右焦点为（1，0），直线的方程为y=2（x﹣1），代入椭圆方程，可得6x2﹣10x=0，解得x=0或x=，即有交点为A（0，﹣2），B（，），则弦长为|AB|==．故答案为：．【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点和弦长，考查运算能力，属于基本知识的考查．11．（6分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=．【分析】由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．由直线EF的倾斜角为150°，可得k l=．进而得到直线EF的方程为：，与抛物线方程联立，可得解得y E．由于PE⊥l于E，可得y P=y E，代入抛物线的方程可解得x P．再利用|PF|=|PE|=x P+1即可得出．【解答】解：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．∵直线EF的倾斜角为150°，∴k l=tan150°=．∴直线EF的方程为：y=﹣（x﹣1），联立，解得y=．∴E．∵PE⊥l于E，∴y P=，代入抛物线的方程可得，解得x P=．∴|PF|=|PE|=x P+1=．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．12．（6分）如图所示，已知空间四边形OABC中，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为0．【分析】利用向量三角形法则、数量积运算性质即可得出．【解答】解：∵，OB=OC，∴===﹣=0，故答案为：0．【点评】本题考查了向量三角形法则、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题．13．（6分）设椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于．【分析】先求出公共焦点分别为F1，F2，再联立方程组求出P，由此可以求出和，利用向量的数量积求解cos∠F1PF2．【解答】解：由题意知F1（﹣2，0），F2（2，0），解方程组，得取P点坐标为（，），=（﹣2﹣，﹣），=（2﹣，﹣）cos∠F1PF2==．故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．14．（6分）已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为．【分析】由PQ⊥PF1，|PQ|与|PF1|的关系，可得|QF1|于|PF1|的关系，由双曲线的定义可得2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，解得|PF1|，然后利用直角三角形，推出a，c的关系，可得双曲线的离心率．【解答】解：设P，Q为双曲线右支上一点，由PQ⊥PF1，|PQ|=|PF1|，在直角三角形PF1Q中，|QF1|==|PF1|，由双曲线的定义可得：2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，由|PQ|=|PF1|，即有|PF2|+|QF2|=|PF1|，即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a=|PF1|，∴（1﹣+）|PF1|=4a，解得|PF1|=．∴|PF2|=|PF1|﹣2a=，由勾股定理可得：2c=|F1F2|==，则e=．故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的定义、方程及其性质，考查勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，求出a，b．最后写出椭圆标准方程．（Ⅱ）根据三个已知点的坐标，求出关于直线y=x的对称点分别为点，设出所求双曲线标准方程，代入求解即可．【解答】解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为（a＞b＞0），其半焦距c=6∴，b2=a2﹣c2=9．所以所求椭圆的标准方程为（2）点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）．设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6，，b12=c12﹣a12=36﹣20=16．所以所求双曲线的标准方程为．【点评】本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力．属于中档题．16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．【分析】（1）根据题意，由抛物线的定义，可得，解可得p=2，代入标准方程，即可得答案；（2）联立直线与抛物线的方程，消去y得x2﹣6x+1=0，进而设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=6，结合抛物线的几何性质，可得|AB|的长，由点到直线距离公式可得O到直线y=x﹣1，进而由三角形面积公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，D（2，y0）在抛物线y2=2px，上且|DF|=3由抛物线定义得，∴p=2故抛物线的方程为y2=4x；（2）由方程组，消去y得x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6；∵直线y=x﹣1过抛物线y2=4x的焦点F，∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8又O到直线y=x﹣1的距离，∴△ABO的面积．【点评】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，关键是利用抛物线的几何性质求出其标准方程．17．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN||平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面A1B1C．【分析】（Ⅰ）连接BC1，AC1，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（Ⅱ）连接A1M，CM，运用面面垂直的判定定理，证得MN⊥平面A1B1C，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）连接BC1，AC1，在△ABC1中，由AM=MB，AN=NC1，可得MN∥BC1，MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，则MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB=BC=BB1=2，可得四边形BCC1B1为正方形，即有BC1⊥B1C，MN⊥B1C，连接A1M，CM，由AM=BM，AA1=BC，∠A1AM=∠MBC=90°，可得△AMA1≌△BMC，可得A1M=CM，又N是A1C的中点，则MN⊥A1C，B1C∩A1C=C，MN⊥平面A1B1C，MN⊂平面AMN，则平面AMN⊥平面A1B1C．【点评】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题．18．已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且=，求直线AB 的斜率．【分析】（1）利用抛物线的离心率求得=，将（2，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值；（2）方法一：设直线OC的斜率，代入椭圆方程，求得C的纵坐标，则直线直线AB的方程为x=my﹣a，代入椭圆方程，求得B的纵坐标，由=，则直线直线AB的斜率k；方法二：由=，y2=2y1，将B和C代入椭圆方程，即可求得C点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB的斜率．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e===，则=，①由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，+=1，②解得：a2=9，b2=5，∴椭圆E的标准方程为+=1；（2）方法一：由（1）可知：=，则椭圆方程：5x2+9y2=5a2，设直线OC的方程为x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），，消去x整理得：5m2y2+9y2=5a2，∴y2=，由y2＞0，则y2=，由=，则AB∥OC，设直线AB的方程为x=my﹣a，则，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy=0，由y=0，或y1=，由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，则=2×，（m＞0），解得：m=，则直线AB的斜率=；方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2=5a2，则A（﹣a，0），B（x1，y1），C（x2，y2），由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，由B ，C 在椭圆上，∴，解得：x 2=，y 2=则直线直线AB 的斜率k==；直线AB 的斜率=【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，向量共线定理，考查计算能力，属于中档题．19．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1 （1）求二面角S ﹣BC ﹣A 的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE 与平面SAD 所成角的正弦值为，求线段CP 的长．【分析】以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz ，则D （0，0，0），B （2，2，0），C （0，1，0），S （0，0，2），利用空间向量求解．【解答】解：（1）以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz ，则D （0，0，0），B （2，2，0），C （0，1，0），S （0，0，2） ∴，，设面SBC 的法向量为由可取∵SD⊥面ABC，∴取面ABC的法向量为|cos|=，∵二面角S﹣BC﹣A为锐角．二面角S﹣BC﹣A的余弦值为（2）由（1）知E（1，0，1），则，，设，（0≤λ≤1）．则，易知CD⊥面SAD，∴面SAD的法向量可取|cos|=，解得λ=或λ=（舍去）．此时，∴||=，∴线段CP的长为【点评】本题考查了空间向量求解面面角，线面角，解题时要仔细运算，合理转化，属于中档题．。

2017-2018年天津市部分区高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

2017-2018学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．62．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．23．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．25．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．510．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为．12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k 的取值范围是．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．2017-2018学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由题意可得：==1，解得a=5．故选：C．2．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．2【解答】解：双曲线=1，可知a=2，b=1，c==，所以双曲线的离心率是=．故选：B．3．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是：∀m∈N，曲线=1不是椭圆．故选：B．4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【解答】解：∵向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），，∴=0﹣3+3（3+λ）=0，解得实数λ=﹣2．故选：A．5．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵直线a与平面M垂直，∴直线a与平面M内的任意一条直线都垂直，则直线a与平面M内的无数条直线都垂直成立，即充分性成立，反之不成立，即“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的充分不必要条件，故选：A．6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为，∴该四棱锥外接球的半径r=，表面积为．故选：D．7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关【解答】解：直线y=kx﹣k=k（x﹣1）过定点A（1，0），圆心坐标为C（2，0），半径r=，则|AC|=2﹣1=1＜，则点A在圆内，则直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3恒相交，故选：A．8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α【解答】解：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n异面或m与n相交，故A错误；若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故B正确；若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故C错误；若m⊥n，m∥α，则n⊥α或n⊂α或n∥α，故D错误．故选：B．9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：设A（x 1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线方程为：y2=4x，抛物线的准线方程为x=﹣1．AB的方程为：y=x﹣1M（3，3），则点M到该抛物线的准线的距离为：3+1=4．故选：C．10．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，∴|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，而|MF|=1，∴当|PF|最小时，切线长|PM|最小．由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．∴|PM|==，当|PF|最大时，切线长|PM|最大．当点P为左顶点（﹣5，0）时，|PF|最小，最小值为：5+3=8，∴|PM|==3，|PM|的取值范围[，3]，故选：D．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0）．【解答】解：根据抛物线的性质可知根据抛物线方程可知抛物线的开口向左，且2P=4，即p=2，开口向左∴焦点坐标为（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．【解答】解：椭圆的左焦点坐标（﹣1，0），不妨P（﹣1，）即：P（﹣1，），由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a=4∴|PF2|=4﹣=．故答案为：．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为﹣1．【解答】解：∵l1∥l2，∴=﹣2，解得m=1．∵l1⊥l3，m=n=0不满足题意，舍去，∴﹣×=﹣1，解得n=﹣2．则m+n=﹣1．故答案为：﹣1．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．【解答】解：取AC，A1C1的中点分别为E，H．∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，且AB=1，∴BE⊥AC，即可得到BE⊥面ACC1A1，过点D作DF⊥EH于F，则DF⊥面ACC1A1，连接FA，则∠DAF为直线AD与平面AA1C1C所成角，AF=，DF=，∴∴．故答案为：15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是∪．【解答】解：由题意可得质点在抛物线上：y2=4x．过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线方程为：y=k（x+2）．联立，化为：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，（k≠0）．∵质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则△=（4k2﹣4）2﹣16k4＜0，化为：k2，解得k或k．∴k的取值范围是∪．故答案为：∪．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．【解答】解：（1）由题意知D2+E2﹣4F=（﹣2）2+22﹣4（m﹣3）=﹣4m+20＞0，解得m＜5．…（4分）（2）当m=1时，由x2+y2﹣2x+2y﹣2=0得（x﹣1）2+（y+1）2=4，…（6分）所以圆心坐标为（1，﹣1），半径r=2，圆心到直线x﹣y﹣4=0的距离为d===，…（8分）所以弦长l=2=2=2…（10分）则弦长为2…（12分）17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．【解答】解：（1）证明：将直线y=k（x﹣2）代入抛物线的方程y2=2x，消去y可得，k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=4+，x1x2=4，y1y2=k2（x1﹣2）（x2﹣2）=k2[x1x2+4﹣2（x1+x2）]=k2（4+4﹣8﹣）=﹣4即有x1x2+y1y2=0，则•=0=0，即有OA⊥OB；（2）因为k=，由（1）可得x1=1，x2=4，代入直线方程可得y1=﹣，y2=2，∴A（1，﹣），B（4，2），∴|OA|==，|OB|==2，=•|OA|•|OB|=××2=3．∴S△OAB18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．【解答】（1）证明：在△ABD中，∵BD=2AD=4，AB=2DC=2，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，又BD⊂平面BDM，∴平面MBD⊥平面PAD．（2）解：过P作PO⊥AD，则O为AD的中点，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P﹣BCD的高．又△PAD是边长为2的等边三角形，∴PO=．在Rt△ABD中，斜边AB边上的高为=，又AB∥DC，∴△BCD的边CD上的高为．==2．∴S△BCD==．∴V P﹣BCD19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．【解答】证明：（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=2a，则D（0，0，0），A（2a，0，0），B（2a，1，0），A1（2a，0，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），B1（2a，1，1），E（a，1，0），∴=（0，﹣1，﹣1），=（a，1，﹣1），∴=0，∴C1D⊥D1E．…（3分）解：（2）由动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，∴M（2a，0，λ），连接BM，∴=（0，﹣1，λ），=（﹣a，1，0），=（﹣2a，0，1），设平面AD1E的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，a，2a），∵BM∥平面AD1E，∴⊥，即=﹣a+2λa=0，解得λ=．…（7分）（3）连接AB1，B1E，设平面B1AE的法向量为=（x，y，z），=（﹣a，1，0），=（0，1，1），则，取x=1，得=（1，a，﹣a），…（9分）∵二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，∴⊥，∴=1+a2﹣2a2=0，∵a＞0，∴a=1，∴AD=2．…（12分）20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（1）由题意可得e===，则=，由椭圆的通径=3，解得：a=2，b=，∴所求椭圆C的方程为；…（3分）（2）设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∵△＞0，∴3+4k2﹣m2＞0，x 1+x2=﹣，x1x2=，∴y 1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，（6分）∵以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，∴k AD •k BD =﹣1，∴y 1y 2+x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4=0，∴7m 2+16mk +4k 2=0， ∴m 1=﹣2k ，m 2=﹣k ，且均满足3+4k 2﹣m 2＞0，（9分）当m 1=﹣2k 时，l 的方程为y=k （x ﹣2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾，当m 1=﹣k 时，l 的方程为y=k （x﹣），则直线过定点（，0） ∴直线l 过定点，定点坐标为（，0）．（12分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为yxo减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2017届天津市和平区高三上学期期末考试理科数学试卷及答案

天津市和平区2017届高三上学期期末考试理科数学试题温馨提示：本试卷包括第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

祝同学们考试顺利！第I 卷选择题（共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：一、选择题，在每小题给出的四个选顶中，只有一项是符合题目要求的。

(1)已知()(1)12a bi i i ++=+，其中i 为虚数单位，则实数a,b 满足条件 (A)a =l ，b=3 (B)a=3，b=l (C)13,22a b == (D)31,22a b == (2)“a=1"是“函数()f x x a =-在区间[)1,+∞上为增函数”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)要得到函数tan(2)3y x π=-的图象只需将tan 2y x =的图象(A)向右平移3π个单位长度 (B)向左平移3π个单位长度 (C)向右平移6π个单位长度 (D)向左平移6π个单位长度(4)某程序框图如图所示，若程序运行后，输出S 的结果是 (A)246 (B)286(C)329 (D)375(5)在91)x-的展开式中，常数项是(A)-36 (B)36 (C)-84 (D)84 (6)函数(3)(1),0()2ln ,0x x x f x x x +-≤⎧=⎨-+>⎩的零点个数为(A)3 (B)2 (C)l (D)0(7)已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]上单调递减，设(0),(2),(1)a f b f c f ===-，则(A)a<c<b (B)a<b<c (C)b<c<a (D)c<b<a(8)在R 上定义运算(1)a b a b ⊗=-．若不等式()()1x y x y +⊗-<对于实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是(A)(2,0)- (B)(1,1)- (C)13(,)22- (D)31(,)22-第Ⅱ卷非选择题（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。

天津市和平区2018届高三上学期期末考试数学理试题含答案精品

和平区2017—2018学年度第一学期高三年级期末质量调查试卷数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}0,1,2,3,4A =---，{}212B x x =<，则A B =I （）A ．{}4B ．{}1,2,3--C ．{}0,1,2,3--D ．{}3,2,1,0,1,2,3---2．“2a =”是“关于x 的方程230x x a -+=有实数根”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设变量x y 、满足约束条件24,20,20,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则目标函数3z x y =-的最大值为（）A ．9B ．5C ．1D ．-54．已知双曲线221412x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线斜率的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎭ B．( C．⎡⎢⎣⎦D．⎡⎣ 5．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为（）A ．72B ．90C ．101D ．1106．将函数1sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位，得到图象对应的解析式为（）A ．1sin2y x = B ．12sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．1sin 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，2DF FC =u u u r u u u r，且AE 与BF 相交于点G ，则AG BF ⋅uuu r uu u r的值为（）A ．47 B ．47- C ．35 D ．35- 8．已知函数()2,1,25,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若始终存在实数b ，使得函数()()g x f x b =-的零点不唯一，则a 的取值范围是（）A ．[)2,4B ．(),2-∞C ．(),4-∞D ．(],4-∞第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知i 是虚数单位，则复数3i2i-=+ ． 10．62x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为．（用数字作答） 11．一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．已知0a >，则()()141a a a--的最小值为．13．已知函数()f x =，若()4f a =-，则()f a -的值为．14．现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且22a bc =. （Ⅰ）若sin sin A C =，求cos A ；（Ⅱ）若cos23A =，6a =，求ABC ∆的面积. 16．甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为34、23、12，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响.（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；（Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 17．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为PC 的中点，E 为AD 的中点，点F 在线段PB 上，4PA AC ==，2BC =.（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若34PF PB =，求证：EF ∥平面ABC ；（Ⅲ）求PE 与平面ADB 所成角的正弦值.18．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，其中111a b ==，234a b a +=，347a b a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记()()12121n n n c a a a b b b n=++++++L L ，求数列{}n c 的前n 项和n S . 19．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆的短轴为直径的圆与直线0x y -=相切.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设椭圆过右焦点F 的弦为AB 、过原点的弦为CD ，若CD AB ∥，求证：2CDAB为定值.20．已知函数()2f x ax x =-，()lng x b x =，且曲线()f x 与()g x 在1x =处有相同的切线.（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）求证：()()f x g x ≥在()0,+∞上恒成立；（Ⅲ）当[)6,n ∈+∞时，求方程()()f x x ng x +=在区间()1,ne 内实根的个数.和平区2017—2018学年度第一学期高三年级数学（理）学科期末质量调查试卷参考答案一、选择题1-4:CABD 5-8:BDAC二、填空题9．1i - 10．60 11．4233π+ 12．-1 13．4 14．480三、解答题15．解：（Ⅰ）由sin sin A C =及正弦定理，得a c =. ∵22a bc =， ∴2a c b ==.由余弦定理，得222cos 2b c a A bc +-=222244144b b b b +-==.（Ⅱ）由已知22a bc =，6a =，得18bc =.∵在ABC ∆中，2A 为锐角，且cos 2A =∴1sin23A ==.∴1sin 2sincos 222339A A A ==⨯⨯=.由18bc =，sin 9A =及公式1sin 2S bc A =，∴ABC ∆的面积11829S =⨯⨯=. 16．解：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件,,A B C ，则事件“甲同学进入复赛的”表示为ABC ABC U . ∵ABC 与ABC 互斥，且,,A B C 彼此独立， ∴()()()P ABC ABC P ABC P ABC =+U()()()()()()P A P B P C P A P B P C =+32131134324328=⨯⨯+⨯⨯=. （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.()3211011143224P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()1111211432432P X ==⨯⨯+⨯⨯31114324+⨯⨯=， ()1213112432432P X ==⨯⨯+⨯⨯3211143224+⨯⨯=，()321134324P X ==⨯⨯=.所以，随机变量X 的分布列为数学期望()1111123012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 17．（Ⅰ）证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PA BC ⊥.∵AC BC ⊥，PA AC A =I ，∴BC ⊥平面PAC . ∵AD ⊂平面PAC ， ∴BC AD ⊥.∵PA AC =，D 为PC 的中点， ∴AD PC ⊥. ∵PC BC C =I ， ∴AD ⊥平面PBC .（Ⅱ）证明：依题意，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，如图，以A 为原点，分别以,,CB AC AP u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.可得()0,0,0A ，()2,4,0B ，()0,4,0C ，()0,0,4P ，()0,2,2D ，()0,1,1E ，3,3,12F ⎛⎫⎪⎝⎭. ∵平面ABC 的一个法向量()0,0,4AP =uu u r ，3,2,02EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭uu u r ，∴0AP EF ⋅=uu u r uu u r，即AP EF ⊥.∵EF ⊄平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC .（Ⅲ）解：设平面ADB 的法向量为(),,n x y z =r ，则0n AD ⋅=r uuu r ，0n AB ⋅=r uu u r. 由()0,2,2AD =uuu r ，()2,4,0AB =uu u r ，得220,240,y z x y +=⎧⎨+=⎩令1z =，得1y =-，2x =，即()2,1,1n =-r.设PE 与平面ADB 所成角为θ，∵()0,1,3PE =-uur，∴sin cos ,PE nPE n PE nθ⋅==⋅uur ruur r uur r==∴PE 与平面ADB 18．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，由111a b ==，得()11n a n d =+-，1n n b q -=，由234a b a +=，347a b a +=，得22q d =，34q d =， ∴2d q ==.∴{}n a 的通项公式21n a n =-，{}n b 的通项公式12n n b -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得212n a a a n +++=L ，1221n n b b b +++=-L ，故()21212nn n c n n n n=-=⋅-. 则()()21222212nn S n n =⨯+⨯++⋅-+++L L .令231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅L ，① 则234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ，②由②-①，得()12322222n n n T n +=⋅-++++L ()1122n n +=-⋅+.∴()()112212n n S n n +=-⋅+-+++=L ()()111222nn n n ++-⋅-+. 19．解：（Ⅰ）依题意，原点到直线0x y -=的距离为b ，则有b ==12=，得22443a b ==.∴椭圆E 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）证明：（1）当直线AB 的斜率不存在时，易求3AB =，CD =则24CDAB=. （2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，依题意0k ≠，则直线AB 的方程为()1y k x =-，直线CD 的方程为y kx =. 设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，由()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22223484120k x k x k +-+-=，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，12AB x =-= ()2212134k k +=+.由22143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩整理得221234x k =+，则34x x -=34CD x =-=∴()()2222248134434121k CD k ABk k ++=⋅=++. 综合（1）（2），24CDAB=为定值.20．解：（Ⅰ）∵()11f a =-，()10g =，()()11f g =， ∴1a =.∵()21f x ax '=-，()bg x x'=， ∴()121f a '=-，()1g b '=. ∵()()11f g ''=，即21a b -=， ∴1b =.（Ⅱ）证明：设()()()()2ln 0u x f x g x x x x x =-=-->，()()()211121x x u x x x x+-'=--=. 令()0u x '=，则有1x =.当x 变化时，()(),u x u x '的变化情况如下表：∴()()10u x u ≥=，即()()f x g x ≥在()0,+∞上恒成立.（Ⅲ）设()()()2ln h x ng x f x x n x x =--=-，其中()1,n x e ∈，()22x x n h x x x x⎛ ⎝⎭⎝⎭'=-=-.令()h x '，则有2x =当x 变化时，()(),h x h x '的变化情况如下表：∴()ln 1222n n h x h ⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝⎭极大值()3ln310≥->. ()()()22n n n n h e n e n e n e =-=+-，设()x t x x e =-，其中()6,x ∈+∞，则()10xt x e '=-<， ∴()t x 在()6,+∞内单调递减，()()60t x t <<，∴x x e <，故()0n h e <，而()11h =-.结合函数()h x 的图象，可知()h x 在区间()1,n e 内有两个零点，∴方程()()f x x ng x +=在区间()1,n e 内实根的个数为2.。

2017届天津市和平区高三第二次质量检测理科数学试题及答案精品

天津市和平区2017届高三第二次质量检测理科数学温馨提示：本试卷包括第I卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间100分钟。

祝同学们考试顺利！第I卷选择题（共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号抹黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3本卷共8小题，每小题5分，共40分。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(l)对于函数(),y f x x R =∈“函数()y f x =的图象关于y 轴对称”是“y=f(x)为奇函数”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(2)设变量z ，y 满足约束条件 7,2,10,x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪-≥⎩，则目标函数y z x =的最大值为(A)95(B) 3 (C)6 (D) 9(3)阅读右面的程序框图，运行相应的程序,若输入n 的值为1，则输出的S 的值为 (A) 176 (B)160 (C) 145 (D) 117(4)已知下列四个命题：①底面积和高均相等的柱体体积是锥体体积的3倍： ②正方体的截面是一个n 边形，则n 的是大值是6 ;③在棱长为1的正方体 111ABCD AB C D -中，三棱锥 1A ABC -的体积是14；④6条棱均为13其中真命题的序号是(A)①②③ (B)①②④ (C)①③④ (D)②③④(5)己知双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则ab 的值为(A)163 (B) 3 (C) 316 (D) 4(6)设 {}{}2|24,|40A x x B x x ax =-≤<=--≤，若 B A ⊆,实数a 的取值范围是(A) []1,2- (B)[)1,2- (C) []0,3 (D) [)0,3 (7）已知 35x y a ==，且 112x y+=，则a 的值为(D) 225(8)在△ABC中，D为BC边上一点，2,45DC BD AD ADC==∠= ，若AC=，则BD等于(A) 2+(B)4 (C) 2+(D)3+第Ⅱ卷非选择题（共110分）注意事项：l用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。

2016-2017天津市和平区高二上期末数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．不存在3．在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4．已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（）A．6 B．C．D．5．抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=6．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．7．直线l1、l2的方向向量分别为，，则（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1与l2相交不平行D．l1与l2重合8．已知在空间四边形ABCD中，，，，则=（）A．B．C．D．9．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．10．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8二、填空题顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是．12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是．13．（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．14．已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，；（2）经过点（2，0），．16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．（Ⅰ）证明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．18．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．19．（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．2016-2017学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，及椭圆的定义，我们分别判断“m ＞n＞0”⇒“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的真假，及“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：当“m＞n＞0”时”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”成立，即“m＞n＞0”⇒”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”为真命题，当“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”时“m＞n＞0”也成立，即“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”也为真命题，故“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p 是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p 是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．2．已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．不存在【考点】轨迹方程．【分析】利用已知条件，结合双曲线定义，判断选项即可．【解答】解：F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，因为|F1F2|=6＞4，则点P的轨迹满足双曲线定义，是双曲线的一支．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线定义的应用，是基础题．3．在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】利用坐标的定义，即可求点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离．【解答】解：∵点P（﹣1，﹣2，﹣3），∴点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是2，故选B．【点评】本题是基础题，考查空间距离的求法，考查计算能力，比较基础．4．已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（）A．6 B．C．D．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】根据空间中两点的距离公式，代入计算线段的长度即可．【解答】解：空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为|AB|==6．故选：A．【点评】本题考查了空间中两点的距离公式与应用问题，是基础题目．5．抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，由此可得抛物线y2=﹣x的准线方程．【解答】解：抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，∴=∴抛物线y2=﹣x的准线方程是x=故选D．【点评】本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】利用椭圆的简单性质列出方程，求解即可．【解答】解：焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，可得a+b=10，2c=4，c=2，即a2﹣b2=20，解得a2=36，b2=16，所求椭圆方程为：．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力．7．直线l1、l2的方向向量分别为，，则（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1与l2相交不平行D．l1与l2重合【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由直线l1、l2的方向向量分别为，，得到1×8﹣3×2﹣1×2=0，即可得出结论．【解答】解：∵直线l1、l2的方向向量分别为，，∴1×8﹣3×2﹣1×2=0，∴l1⊥l2．故选A．【点评】本题考查直线的方向向量，考查向量的数量积公式，比较基础．8．已知在空间四边形ABCD中，，，，则=（）A．B．C．D．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】由空间四边形ABCD性质及向量加法法则得==（）﹣，由此能求出结果．【解答】解：∵在空间四边形ABCD中，，，，∴==（）﹣=（）﹣=．故选：B．【点评】本题考查向量求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量加法法则的合理运用．9．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，可得|PF1|=|F1F2|，从而可得e的方程，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，∴|PF1|=|F1F2|∴=2c，∴e2﹣2e﹣1=0，∵e＞1，∴e=1+．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，属于基础题．10．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选C．【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．二、填空题（2016秋•和平区期末）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是x2=±24y．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用已知条件，求出抛物线的距离p，然后写出抛物线方程即可．【解答】解：顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6，可得抛物线方程p=12，所求抛物线方程为：x2=±24y．故答案为：x2=±24y．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．12．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是．【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出a，b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线与椭圆有相同的焦点（，0），焦点坐标在x轴，双曲线的一条渐近线为，可得=，a2+b2=13，可得a2=4，b2=9．所求双曲线方程为：．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．13．已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用已知条件列出方程，通过椭圆的几何量的关系求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，可得：=0，即b2=ac，即a2﹣c2﹣ac=0，可得e2+e﹣1=0，e∈（0，1），解得e=．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．14．（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用向量的夹角公式即可得出．【解答】解： +λ=（1，0，0）+λ（0，﹣1，1）=（1，﹣λ，λ）．∵+λ与的夹角为120°，∴cos120°==，化为，∵λ＜0，∴λ=．故答案为：．【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）（2016秋•和平区期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，；（2）经过点（2，0），．【考点】椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意离心率及c求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由e=，设a=2k，c=（k＞0），得b=k，在分（2，0）为长轴或短轴的一个端点求解．【解答】（1）解：由得，，解得，a=9，∵a2=b2+c2，∴b2=a2﹣c2=81﹣36=45，∵焦点在y轴上，∴椭圆的标准方程为；（2）解：由e=，设a=2k，c=（k＞0），则b=，由于椭圆经过点为（2，0），即为椭圆的顶点，且在x轴上，若点（2，0）为长轴的顶点，则a=2，此时2k=2，∴k=1，得b=1，则椭圆的标准方程为．若点（2，0）为短轴的顶点，则b=2，此时k=2，得a=4，则椭圆的标准方程为．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．16．（10分）（2016秋•和平区期末）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）令抛物线E的方程，根据抛物线E的焦点为（1，0），即可求得结论；（Ⅱ）利用点差法，结合线段AB恰被M（2，1）所平分，求出AB的斜率，即可求得直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）令抛物线E的方程：y2=2px（p＞0）∵抛物线E的焦点为（1，0），∴p=2∴抛物线E的方程：y2=4x（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，得（y2﹣y1）/（y1+y2）=4（x2﹣x1）∵线段AB恰被M（2，1）所平分∴y1+y2=2∴=2∴AB的方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（10分）（2016秋•和平区期末）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．（Ⅰ）证明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz，由•=0即可证明AN⊥BM．（Ⅱ）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，解得：，取y=1得平面MBD的一个法向量为=（0，1，2），设直线MN与平面PCD所成的角为θ，则由向量的夹角公式即可求得直线MN与平面PCD所成角的正弦值．【解答】（本题满分12分）解：如图，以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），M（1，2，1），N（2，1，0），…（Ⅰ）∵=（2，1，0），=（﹣1，2，1），…∴•=0…（5分）∴⊥，即AN⊥BM…（6分）（Ⅱ）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），…（7分）∵=（2，4，﹣2），=（0，4，﹣2），由，可得，…（9分）解得：，取y=1得平面MBD的一个法向量为=（0，1，2），…（10分）设直线MN与平面PCD所成的角为θ，则由=（﹣1，1，1），…（11分）可得：sinθ=|cos＜，＞|=||==…（12分）【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角的求法，正确利用空间向量的应用是解题的关键，属于基本知识的考查．18．（10分）（2016秋•和平区期末）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题设知，，能求出椭圆方程．（2）将y=kx +2代入，得（3k 2+1）x 2+12kx +9=0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），以PQ 为直径的圆过D （1，0），则（x 1﹣1）（x 2﹣1）+y 1y 2=0，由此能推导出存在k=﹣满足题意．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a ＞b ＞0）过点A （a ，0），B （0，b ）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为，∴，，解得a=，b=1，∴椭圆方程是．（2）将y=kx +2代入，得（3k 2+1）x 2+12kx +9=0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），以PQ 为直径的圆过D （1，0）则PD ⊥QD ，即（x 1﹣1）（x 2﹣1）+y 1y 2=0，又y 1=kx 1+2，y 2=kx 2+2，得（k 2+x ）x 1x 2+（2k ﹣1）（x 1+x 2）+5=0，又，，代上式，得k=，∵此方程中，△=144k 2﹣36（3k 2+1）＞0，∴k ＞1，或k ＜﹣1． ∴存在k=﹣满足题意．【点评】本题考查椭圆方程的求法，探索满足条件的实数值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．19．（10分）（2016秋•和平区期末）如图是一个直三棱柱（以A 1B 1C 1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）以B1为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，然后证明OC∥平面A1B1C1．（2）结合（1）中的空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量，平面ACA1的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B﹣AC﹣A1的正弦值，即可．【解答】（本题满分10分）（1）证明：如图，以B1为原点，分别以的方向为x轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．…（1分）依题意，，因为，…所以，所以，又OC⊄平面A1B1C1，所以OC∥平面A1B1C1．…（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），A1（0，1，0），则，…（5分）设为平面ABC的一个法向量，由得解得不妨设z1=1，则x1=﹣1，y1=﹣2，所以．…（7分）设为平面ACA1的一个法向量，由得解得不妨设y2=1，则x2=1，所以．…（9分）因为，，于是，所以，二面角B﹣AC﹣A1的正弦值为．…（10分）【点评】本题考查空间向量的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断方法，考查空间想象能力以及计算能力．。

天津市和平区2017届高三上学期期末质量调查数学理试题Word版含答案

数学（理）学科第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|60A x x x =-->，{}|31B x x =-≤≤，则A B =I （）A ．(2,1]-B ．(3,2]--C ．[3,2)--D ．(,1](3,)-∞+∞U 2.设变量x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数4z x y =+的最大值为（）A ．4B ．11C ．12D ．143.如图，在ABC ∆中，若5AB =，7AC =，60B ∠=︒，则BC 等于（）A． B． C ．8 D．4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的T 的值为（）A ．57B ．120C ．183D ．247 5.已知log 2a ，log 2b R ∈，则“222a b >>”是“log 2log 2a b <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐进线与抛物线28y x =-的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若ABO ∆的面积为）AB ．2 CD ．47.如图，在平行四边形ABCD 中，3BAD π∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM NC BC DCλ==，其中[]0,1λ∈，则AM AN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是（） A ．[]0,3B ．[]1,4C ．[]2,5D ．[]1,7 8.已知函数22,0,()2,0,x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩若关于x 的方程1()2f x x m =+恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（）A ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3(0,)4 C ．90,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．9(0,)16第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知13z a i =+，234z i =-，若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为．10.91(2x的展开式中的常数项为．（用数学作答） 11.几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为 2cm ．12.直线3y kx =+(0k ≠)与圆226490x y x y +--+=相交于A 、B两点，若||AB =，则k 的值是．13.设0a b >>，则21()a b a b +-的最小值是． 14.定义在R 上的奇函数()f x 是周期为2的周期函数，当[0,1)x ∈时，()21x f x =-，则2(log 3)f 的值为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分13分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-++-．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间． 16. （本小题满分13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为12和23．（1）求甲至多击中目标2次的概率；（2）记乙击中目标的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17. （本小题满分13分）如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，//EB PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．（1）求证：AF PC ⊥；（2）求证：//BD 平面PEC ；（3）求锐角三角形D PC E --的余弦值．18. （本小题满分13分）设数列{}n a 满足条件11a =，1132n n n a a -+=+⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n nb n a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19. （本小题满分14分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点(2,3)A ，离心率12e =．（1）求椭圆E 的方程；（2）若12F AF ∠的角平分线所在的直线l 与椭圆E 的另一个交点为B ，C 为椭圆E 上的一点，当ABC ∆的面积最大时，求C 点的坐标．20. （本小题满分14分）已知函数3221()233f x x ax a x =-+-(a R ∈且0a ≠）．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在(2,(2))f --处的切线方程；（2）当0a >时，求函数()y f x =的单调区间和极值；（3）当[]2,22x a a ∈+时，不等式|'()|3f x a ≤恒成立，求a 的取值范围．和平区2016-2017学年度第一学期高三年级数学（理）学科期末质量调查试卷答案一、选择题1-5:CBCBA 6-8:BCD二、填空题9.4 10.21211.12.34- 13.414.13- 三、解答题15.解：（1）∵1()cos 22(sin cos )(sin cos )2f x x x x x x x =++- ∴()f x 的最小正周期22T ππ==．则63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，所以，当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上单调递增． 16.解：（1）∵甲3次均击中目标的概率为311()28=， ∴甲至多击中目标目标2次的概率为17188-=．（2）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3．03321(0)(1)327P X C ==-=，123222(1)(1)339P X C ==⨯⨯-=，223224(2)(1)339P X C ==⨯⨯-=()， 33328(3)()327P X C ===． ∴随机变量X 的分布列为∴随机变量X 的数学期望()01232279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 17.（1）证明：依题意，PA ⊥平面ABCD ，如图，以A 为原点，分别以AD u u u r 、AB u u u r 、APu u u r 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ．∵(2,0,2)AF =u u u r ，(4,4,4)PC =-u u u r ，∴80(8)0AF PC ⋅=++-=u u u r u u u r ， ∴AF PC ⊥.（2）证明：取PC 的中点M ，连接EM ．∵(2,2,2)M ，(2,2,0)EM =-u u u u r ，(4,4,0)BD =-u u u r ，∴2BD EM =u u u r u u u u r ，∴//BD EM ．∵EM ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，∴//BD 平面PEC ．（3）解：∵AF PD ⊥，AF PC ⊥，PD PC P =I ，∴AF ⊥平面PCD ，故(2,0,2)AF =u u u r 为平面PCD 的一个法向量．设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =r ，∵(4,4,4)PC =-u u u r ，(0,4,2)PE =-u u u r ，∴0,0,n PC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即4440,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩ 令1y =，得1x =，2z =，故(1,1,2)n =r ．∴cos ,2AF n <>==u u u r r ， ∴锐二面角D PC E --18.解：（1）∵11a =，1132n n n a a -+-=⋅，∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-…0121323232n -=+⨯+⨯++⨯… 101211(12)13(222)1332212n n n ---⨯-=++++=+⨯=⨯--…（2n ≥）， ∵当1n =时，113221-⨯-=式子也成立，∴数列{}n a 的通项公式1322n n a -=⨯-．（2）解：∵1322n n n b na n n -==⋅-，即：013122b =⨯⨯-，123224b =⨯⨯-，233326b =⨯⨯-，…∴123n n S b b b b =++++…01213(1222322)(2462)n n n -=⨯+⨯+⨯++⋅-++++……．设01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅…，①则2212 1222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅…，②①-②，得0121(2222)2(21)2n n n n n T n n --=++++-⋅=--⋅…，∴(1)21n n T n =-⋅+，∴3(1)232(123)n n S n n =-⋅+-++++…3(1)2(1)3nn n n =-⋅-++． 19.解：（1）由椭圆E 经过点(2,3)A ，离心率12e =，可得22222491,1,4a b a b a ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 解得2216,12,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆E 的方程为2211612x y +=．（2）由（1）可知1(2,0)F -，2(2,0)F ，则直线1AF 的方程为3(2)4y x =+，即3460x y -+=，直线2AF 的方程为2x =，由点A 在椭圆E 上的位置易知直线l 的斜率为正数．设(,)P x y 为直线l 上任意一点，|2|x =-，解得210x y --=或280x y +-=（斜率为负数，舍去）． ∴直线l 的方程为210x y --=．设过C 点且平行于l 的直线为20x y m -+=，由221,161220x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，整理得2219164(12)0x mx m ++-=，由22(16)4194(12)0m m ∆=-⨯⨯-=，解得276m =，因为m 为直线20x y m -+=在y 轴上的截距，依题意，0m >，故m =∴C点的坐标为(． 20.解：（1）∵当1a =-时，321()233f x x x x =---，2'()43f x x x =---， ∴82(2)8633f -=-+=，'(2)4831f -=-+-=． ∴[]2(2)3y x =--+，即所求切线方程为3380x y -+=．（2）∵22'()43()(3)f x x ax a x a x a =-+-=---．当0a >时，由'()0f x >，得3a x a <<；由'()0f x <，得x a <或3x a >． ∴函数()y f x =的单调递增区间为(,3)a a ，单调递减区间为(,)a -∞和(3,)a +∞， ∵(3)0f a =，34()3f a a =-， ∴当0a >时，函数()y f x =的极大值为0，极小值为343a -．（3）2222'()43(2)f x x ax a x a a =-+-=--+，∵'()f x 在区间[]2,22a a +上单调递减， ∴当2x a =时，2max '()f x a =，当22x a =+时，2min '()4f x a =-．∵不等式|'()|3f x a ≤恒成立，∴220,3,43,a a a a a ≥⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩解得13a ≤≤，故a 的取值范围是[]1,3．。

2017-2018学年天津市和平区高三上学期期末数学试卷(理科)含答案

2017-2018学年天津市和平区高三上学期数学期末试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={0，﹣1，2，﹣3，4}，B={x|x2＜12}，则A∩B=（）A．{4}B．{﹣1，2，﹣3}C．{0，﹣1，2，﹣3}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}2．（5分）“a=2”是“关于x的方程x2﹣3x+a=0有实数根”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最大值为（）A．9 B．5 C．1 D．﹣54．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线斜率的取值范围是（）A．（，）B．（）C．[，]D．[] 5．（5分）阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A．72 B．90 C．101 D．1106．（5分）将函数y=sin（）的图象向左平移个单位，得到图象对应的解析式为（）A．y=sin B．y=sin（）C．y=sin（）D．y=sin（）7．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，=2，且AE与BF相交于点G，则的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=，若始终存在实数b，使得函数g（x）=f（x）﹣b的零点不唯一，则a的取值范围是（）A．[2，4） B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，4）D．（﹣∞，4]二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．（5分）已知i是虚数单位，则复数=．10．（5分）（2x﹣）6的展开式中x3的系数为．（用数字作答）11．（5分）一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．（5分）已知a＞0，则的最小值为．13．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）=﹣4，则f（﹣a）的值为．14．（5分）现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2=2bc．（Ⅰ）若sinA=sinC，求cosA；（Ⅱ）若cos=，a=6，求△ABC的面积．16．甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为、、，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响．（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；（Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为PC的中点，E为AD的中点，点F在线段PB上，PA=AC=4，BC=2．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBC；（Ⅱ）若，求证：EF∥平面ABC；（Ⅲ）求PE与平面ADB所成角的正弦值．18．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，其中a1=b1=1，a2+b3=a4，a3+b4=a7．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=（a1+a2+…+a n）（b1+b2+…+b n），求数列{c n}的前n项和S n．19．已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设椭圆过右焦点F的弦为AB、过原点的弦为CD，若CD∥AB，求证：为定值．20．已知函数f（x）=ax2﹣x，g（x）=blnx，且曲线f（x）与g（x）在x=1处有相同的切线．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立；（Ⅲ）当n∈[6，+∞）时，求方程f（x）+x=ng（x）在区间（1，e n）内实根的个数．2017-2018学年天津市和平区高三上学期数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={0，﹣1，2，﹣3，4}，B={x|x2＜12}，则A∩B=（）A．{4}B．{﹣1，2，﹣3}C．{0，﹣1，2，﹣3}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}【解答】解：集合A={0，﹣1，2，﹣3，4}，B={x|x2＜12}={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B={0，﹣1，2，﹣3}．故选：C．2．（5分）“a=2”是“关于x的方程x2﹣3x+a=0有实数根”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：关于x的方程x2﹣3x+a=0有实数根，则△=9﹣4a≥0，解得a≤．∴“a=2”是“关于x的方程x2﹣3x+a=0有实数根”的充分不必要条件．故选：A．3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最大值为（）A．9 B．5 C．1 D．﹣5【解答】解：作出变量x，y满足约束条件的可行域，如图所示的阴影部分，如图：由z=3x﹣y可得y=3x﹣z可得﹣z为该直线在y轴上的截距，截距越小，z越大，作直线L：3x﹣y=0，可知把直线平移到A（2，1）时，Z最大，故z max=5．故选：B．4．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线斜率的取值范围是（）A．（，）B．（）C．[，]D．[]【解答】解：渐近线方程y=±x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点（因为双曲线正在与渐近线无限接近中），那么在斜率是[﹣，]两条直线之间的所有直线中，都与双曲线右支只有一个交点．此直线的斜率的取值范围[﹣，]．故选：D．5．（5分）阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A ．72B ．90C ．101D ．110 【解答】解：执行程序框图，有 S=0，k=1满足条件n ＜10，有S=2，k=2 满足条件n ＜10，有S=6，k=3 满足条件n ＜10，有S=12，k=4 满足条件n ＜10，有S=20，k=5 满足条件n ＜10，有S=30，k=6 满足条件n ＜10，有S=42，k=7 满足条件n ＜10，有S=56，k=8 满足条件n ＜10，有S=72，k=9 满足条件n ＜10，有S=90，k=10此时，不满足条件n ＜10，输出S 的值为90，故选：B ．6．（5分）将函数y=sin （）的图象向左平移个单位，得到图象对应的解析式为（）A ．y=sinB ．y=sin （） C ．y=sin （）D ．y=sin （）【解答】解：∵将函数y=sin （）的图象向左平移个单位，得到：y=f （x +）=sin [（x +）﹣]=sin （x ﹣）．∴将函数y=sin（）的图象向左平移个单位，得到图象对应的解析式为y=sin（x﹣）．故选：D．7．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，=2，且AE与BF相交于点G，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，如图：正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，E（2，1），=2，F（，0），且AE与BF相交于点G，AE的方程为：y﹣2=﹣即x+2y﹣4=0，BF的方程为：y﹣2=3（x﹣2），即3x﹣y﹣4=0，，可得G（，），=（，﹣），=（﹣，﹣2），则=﹣+=．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=，若始终存在实数b，使得函数g（x）=f（x）﹣b的零点不唯一，则a的取值范围是（）A．[2，4） B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，4）D．（﹣∞，4]【解答】解：由题可知函数g（x）=f（x）﹣b的零点不唯一，等价于两函数y=f（x）与y=b图象的交点个数不唯一．因为m（x）=﹣x2+ax的图象是开口向下、对称轴的抛物线，n（x）=2ax﹣5的图象是恒过（0，﹣5）的直线，注意到m（1）=a﹣1、n（1）=2a﹣5，所以分a≤0、0＜a≤2、a＞2三种情况讨论：①当a≤0时，m（1）＞n（1），又因为y=m（x）在（﹣∞，）上单调递增、在（，1）上单调递减，y=n（x）在（0，+∞）上单调递减（当a=0时为常数函数），所以y=f（x）在（﹣∞，）上单调递增、在（，1）上单调递减，所以始终存在实数b使得在（﹣∞，0）上y=f（x）的图象与y=b图象的交点个数不唯一；②当0＜a≤2时，y=m（x）在（﹣∞，）上单调递增、在（，1）上单调递减，由于y=n（x）在（0，+∞）上单调递增，且n（1）≤0，所以始终存在正实数b使得在（﹣∞，+∞）上y=f（x）的图象与y=b图象的交点个数不唯一；③当a＞2时，y=m（x）在（﹣∞，1）上单调递增，y=n（x）在（1，+∞）上单调递增，欲使始终存在实数b使得在（﹣∞，0）上y=f（x）的图象与y=b图象的交点个数不唯一，则必有m（1）＞n（1），即a﹣1＞2a﹣5，解得：a＜4．综上所述，a的取值范围是（﹣∞，4）．故选：C．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．（5分）已知i是虚数单位，则复数=1﹣i．【解答】解：=．故答案为：1﹣i．10．（5分）（2x﹣）6的展开式中x3的系数为60．（用数字作答）=（2x）6﹣r=（﹣1）r26﹣2r，【解答】解：通项公式：T r+1令6﹣=3，解得r=2．∴展开式中x3的系数==60．故答案为：60．11．（5分）一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为．【解答】解：由几何体的三视图知：该几何体是正四棱锥和半球体的组合体，球的半径r=1，正四棱锥底面是边长为正四棱锥侧棱长为l==，高为2，则它的体积V=V正四棱锥+V半球体=+=．故答案为：．12．（5分）已知a＞0，则的最小值为﹣1．【解答】解：a＞0，则=4a+﹣5﹣5=﹣1，当且仅当a=时取等号．故答案为：﹣1．13．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）=﹣4，则f（﹣a）的值为4．【解答】解：由4﹣x2≥0，得﹣2≤x≤2，此时1≤x+3≤5，即|x+3|=x+3，则f（x）===，则f（﹣x）==﹣=﹣f（x），即f（x）是奇函数，则f（﹣a）=﹣f（a）=﹣（﹣4）=4，故答案为：414．（5分）现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为480．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，由于甲不能被排在边上，则甲可以在中间的4个位置，有4种情况；②，将剩余的5人全排列，安排在其他5个位置，有A55=120种情况，则有4×120=480不同排法；故答案为：480三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2=2bc．（Ⅰ）若sinA=sinC，求cosA；（Ⅱ）若cos=，a=6，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由sinA=sinC及正弦定理，得a=c．∵a2=2bc，∴a=c=2b．由余弦定理，得cosA===．（Ⅱ）由已知a2=2bc，a=6，得bc=18．∵在△ABC中，为锐角，且cos=，∴sin==．∴sinA=2sin cos=2×=．由bc=18，sinA=及公式S=bcsinA，∴△ABC的面积S==4．16．甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为、、，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响．（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；（Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件A，B，C，则事件“甲同学进入复赛的”表示为ABC∪A C．∵ABC与A C互斥，且A，B，C彼此独立，∴P（ABC∪A C）=P（ABC）+P（A C）=P（A）P（B）P（C）+P（A）P（）P（C）=；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．∴随机变量X的分布列为：数学期望E（X）=0×．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为PC的中点，E为AD的中点，点F在线段PB上，PA=AC=4，BC=2．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBC；（Ⅱ）若，求证：EF∥平面ABC；（Ⅲ）求PE与平面ADB所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，AD⊂平面PAC所以BC⊥AD．由在△PAC中，PA=AC，D为PC中点，所以AD⊥PC，且PC∩BC=C，所以AD⊥平面PBC．（Ⅱ）证明：依题意，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，如图，以A为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．可得A（0，0，0），B（2，4，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，2，2），E（0，1，1），F（，3，1）．∵平面ABC的一个法向量，，∴，即AP⊥EF．∵EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC．（Ⅲ）解：设平面ADB的法向量为，，则，．即．设PE与平面ADB所成角为θ，∵，∴sinθ=|cos|=||=．∴PE与平面ADB所成角的正弦值为．18．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，其中a1=b1=1，a2+b3=a4，a3+b4=a7．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=（a1+a2+…+a n）（b1+b2+…+b n），求数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，由a1=b1=1，得a n=1+（n﹣1）d，，由a2+b3=a4，a3+b4=a7，得q2=2d，q3=4d，∴d=q=2．∴{a n}的通项公式a n=2n﹣1，{b n}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a1+a2+…+a n=n2，b1+b2+…+b n=2n﹣1，故．则S n=（1×2+2×22+…+n×2n）﹣（1+2+…+n）．令T n=1×2+2×22+…+n×2n，①则T n=1×22+2×23+…+n×2n+1，②由②﹣①，得T n=n×2n+1﹣（2+22+23+…+2n）=（n﹣1）×2n+1+2．∴S n=（n﹣1）×2n+1+2﹣（1+2+…+n）=（n﹣1）×2n+1﹣+2．19．已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设椭圆过右焦点F的弦为AB、过原点的弦为CD，若CD∥AB，求证：为定值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，原点到直线x﹣y+=0的距离为b，则有b==．由=，得a2=b2=4．∴椭圆E的方程为+=1．（Ⅱ）证明：（1）当直线AB的斜率不存在时，易求|AB|=3，|CD|=2，则：=4．（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，依题意K≠0，则直线AB的方程为y=k（x﹣1），直线CD的方程为y=kx．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，则x1+x2=，x1x2=，∴|AB|=•|x1﹣x2|=•=，由整理得x2=，则|x3﹣x4|=．∴|CD|=•|x3﹣x4|=4．∴=•=4．综合（1）（2），∴=4为定值．20．已知函数f（x）=ax2﹣x，g（x）=blnx，且曲线f（x）与g（x）在x=1处有相同的切线．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立；（Ⅲ）当n∈[6，+∞）时，求方程f（x）+x=ng（x）在区间（1，e n）内实根的个数．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R），∴，g'（x）=2ax﹣1．…（2分）∵曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，∵f（1）=a﹣1，g（1）=0，f（1）=g（1），∴a=1．∵f′（x）=2ax﹣1，g′（x）=，∴f′（1）=2a﹣1，g′（1）=b．∵f′（1）=g′（1），即2a﹣1=b，∴b=1．（Ⅱ）证明：设u（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣x﹣lnx，x＞0，∴u′（x）=2x﹣1﹣=．令u′（x）=0，则有x=1，当u′（x）＞0，即x＞1时，函数u（x）单调递增，当u′（x）＜0，即0＜x＜1时，函数u（x）单调递减，∴u（x）≥u（1）=0，即f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立．（Ⅲ）设h（x）=ng（x）﹣f（x）﹣x=nlnx﹣x2，其中x∈（1，e n），∴h′（x）=﹣2x=﹣．令h′（x）=0，则有x=．当h′（x）＞0，解得1＜x＜，函数h（x）的单调递增，当h′（x）＜0，解得＜x＜e n，函数h（x）的单调递减，∴h（x）=h（）=（ln﹣1）≥3（ln3﹣1）＞0，极大值∴h（e n）=n2﹣e2n=（n+e n）（n﹣e n），设t（x）=x﹣e x，其中x∈（6，+∞），则t′（x）=1﹣e x＜0，∴t（x）在（6，+∞）内单调递减，t（x）＜（6）＜0，∴x＜e x，故h（e n）＜0，而h（1）=﹣1．结合函数h（x）的图象，可知h（x）在区间（1，e n）内有两个零点，∴方程f（x）+x=ng（x）在区间（1，e n）内实根的个数为2．。

2017-2018学年天津市第一中学高二上学期期末考试数学理试题(Word版)

天津一中2017-2018-1高二年级期末质量检测数学(理科)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“35m -<<”是“方程22153x y m m +=-+表示椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.下列说法正确的个数是( )①“若4a b +?，则,a b 中至少有一个不小于2“的逆命题是真命题 ②命题“设,a b R Î，若6a b +?，则3a ¹或3b ¹”是一个真命题 ③“0x R $?，2000x x -<”的否定是“x R "?，20x x ->” ④1a b +>是a b >的一个必要不充分条件 A.0B.1C.2D.33.抛物线2y ax =的准线方程是1y =-，则a 的值是( ) A.4B.14C.2D.124.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点()2,3，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x =的准线上，则双曲线的方程是( )A.2212128x y -=B.2212821x y -=C.22134x y -=D.22143x y -=5.若直线l 被圆224x y +=所截得的弦长为23，则l 与曲线2213x y +=的公共点个数为( ) A.1个B.2个C.1个或2个D.1个或0个6.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.167.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则QF =( )A.72B.3C.52D.28.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以,A B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( ) A.21+B.51-C.212+ D.512- 9.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰有6个不同的点使得12F F P △为等腰三角形，则椭圆的离心率e 的取值范围是( ) A.12,33骣琪琪桫B.1,12骣琪琪桫C.2,13骣琪琪桫D.111,,1322骣骣琪琪琪琪桫桫10.已知抛物线24x y =的焦点为F ，设()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上的两个动点，如满足122323y y AB ++=，则AFB ∠的最大值是( ) A.3p B.23pC.34pD.56p 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.双曲线()2210,0x y m n m n -=>>的离心率为2，有一个焦点与抛物线24y mx =的焦点重合，则n 的值为.12.给定两个命题，P ：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；Q ：方程2213x y a a +=-表示双曲线.如果P Q Ú为真命题，P Q Ù为假命题，则实数a 的取值范围是.13.若双曲线2244x y -=的左、右焦点是12,F F ，过1F 的直线交左支于,A B 两点，若5AB =，则2AF B △的周长是.14.曲线1C 的极坐标方程2cos sin r q q =，曲线2C 的参数方程为31x ty t í=-ïì=-ïî，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为.15.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的半焦距为()0c c >，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线()2158y a c x =+与椭圆交于,B C 两点，若四边形ABFC 为菱形，则椭圆的离心率是. 16.已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ，O 为原点，点P 是抛物线上一动点，点A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO +的最小值为.三、解答题（本大题共4小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ==∠∠°，E 是PD 中点.(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M AB D --的余弦值.18.已知点,M N 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，F 为其右焦点，MF 与FN 的等比中项是3，椭圆的离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该轨迹交于,A B 两点，若直线,,OA AB OB 的斜率依次成等比数列，求OAB △的面积的取值范围.19.已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于,P Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR FQ ∥； (2)若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆长、短轴的四个端点为顶点为四边形的面积为43.(1)求椭圆C的方程；x=上运动时，直(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A和B，当动点M在定直线4线AM，BM分别交椭圆于两点P和Q，求四边形APBQ面积的最大值.天津一中2017-2018-1高二年级数学(理科)期末质量检测参考答案一、选择题1-5:BCBDC 6-10:BBADB二、填空题11.12 12.0a =或34a ? 13.18 14.72815.1216.213三、解答题17.解：(1)取PA 的中点F ，连结,EF BF ，因为E 是PD 中点，所以EF AD ∥，12EF AD =，由90BAD ABC ==∠∠°，得BC AD ∥，又12BC AD =，所以EF BC ∥，EF BC =，四边形BCEF 为平行四边形，CE BF ∥，又BF Ì平面PAB ，CE Ë平面PAB ，故CE ∥平面PAB .(2)由已知得BA AD ^，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,3P ，()1,0,3PC =-，()1,0,0AB = ，设(),,M x y z ()01x <<，则()1,,BM x y z =- ，(),1,3PM x y z =--，因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而()0,0,1n =是底面ABCD 的法向量，所以cos ,sin 45BM n <>=°，()222221zx y z =-++，即()22210x y z -+-=.①又M 在棱PC 上，设PM PC l =，则 x l =，1y =，33z l =-，②由①，②得2121()62x y z éê=+êêê=êêê=-êë舍，212162x y z íï=-ïï=ìïï=ïïî.所以261,1,22M 骣琪-琪桫，从而261,1,22AM 骣琪=-琪桫，设()000,,m x y z =是平面ABM 的法向量，则00m AM m AB í?ïìï?î，即()0000222600x y z x í-++=ïìï=î，所以可取()0,6,2m =- ，于是10cos ,5m n m n m n×<>==，因此二面角M AB D --的余弦值为105. 18.解：(1)MF a c =+，BN a c =-，3是MF 与FN 的等比中项， ∴()()3a c a c +-=， ∴2223b a c =-=，又12c e a ==，解得2,1a c ==， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线():0l y kx m m =+?，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线和椭圆2234120x y y kx mí+-=ïì=+ïî，消去y 得，()2223484120k x kmx m +++-=，由题意可知，()()()22226444341248430km k m k m D=-+-=-+>，即2243k m +>，且122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+，又直线OA ，AB ，OB 的斜率依次成等比数列，所以21212y y k x x ?，将1y ，2y 代入并整理得()22430m k -=，因为0m ¹，32k =?，206m <<，且23m ¹，设d 为点O 到直线l 的距离，则有27m d =，2212711833AB k x x m =+-=-，所以()221136323OAB S AB d m m ==-<△，所以三角形面积的取值范围为()0,3.19.解：(1)由于F 在线段AB 上，故10ab +=，记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则122211a b a b ab k b k a a ab a a---=====-=+-，所以AR FQ ∥.(2)设l 与x 轴的交点为()1,0D x ，则1111222ABF S b a FD b a x =-=--△，2PQF b a S -=△，由题设得111222a b b a x ---=，所以10x =(舍)，11x =. 设满足条件的AB 的中点为(),E x y ，当AB 与x 轴不垂直时，由AB DE k k =可得()211yx a b x =?+-，而2a by +=，所以()211y x x =-?，当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为21y x =-.20.解：(1)由题设知，2a c =，243ab =，又222a b c =+，解得2,3,1a b c ===，故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)由于对称性，可令点()4,M t ，其中0t >，将直线AM 的方程()26t y x =+代入椭圆方程22143x y +=，得()222227441080t x t x t +++-=，由22410827A P t x x t -?+，2A x =-得2254227P t x t -=+，则21827P ty t =+，再将直线BM 的方程()22t y x =-代入椭圆方程22143x y +=，得()2222344120t x t x t +---=，由224123B Q t x x t -?+，2B x =得22263Q t x t-=+，则263Q t y t =-+，故四边形APBQ 的面积为221186222273P Q P Q t tS AB y y y y t t 骣琪=?=-=+琪++桫()()()()()222222222489489489122739129t t t t t tt t t tt t ++===+++++++，由于29=6t tl +³，且12l l +在[)6,+?上单调递增，故128ll+?，从而，有48612S l l=?+，当且仅当6l =，即3t =，也就是点M 的坐标为()4,3时，四边形APBQ 的面积取最大值6.。

【精选高中试题】天津市和平区高二上学期期末质量调查数学(理)试题 Word版含答案

数学（理）第Ⅰ卷（共30分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“0m n >>”是“方程321mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（）A ．充而分不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.已知1(3,0)F -，2(3,0)F ，动点P 满足12||||4PF PF -=，则点P 的轨迹是（） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．一条射线 D ．不存在3.在空间直角坐标中，点(1,2,3)P ---到平面xOz 的距离是（）A ．1B ．2C ．3D ．4.已知空间两点(3,3,1)(1,1,5)A B -，，则线段AB 的长度为（）A ．6B ． C. ．5.抛物线212y x =-的准线方程是（） A ．12y = B ．18y = C.14x = D ．18x =6.焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为）A ．22164x y +=B ．2211636x y += C. 2213616x y += D ．221499x y += 7.直线12l l 、的方向向量分别为(1,3,1)a =--，(8,2,2)b =，则（）A ．12l l ⊥B ．12//l l C. 1l 与2l 相交不平行 D ．1l 与2l 重合8.已知在空间四边形ABCD 中，AB a =，BC b =，AD c =，则CD =（）A ．a b c +-B ．c a b -- C.c a b +- D ．a b c ++9.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直于x 轴的双曲线的弦，若290PF Q ∠=°，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．1 D ．110.若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP •的最大值为（）A ．2B ．3 C. 6 D ．8第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.顶点在原点，对称轴是y 轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是__________.12.已知双曲线与椭圆221163x y +=有相同的焦点，且其中一条渐近线为32y x =，则该双曲线的标准方程是__________.13.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的三个顶点1(0,)B b -，2(0,)B b ，(,0)A a ，焦点(,0)F c ，且12B F AB ⊥，则椭圆的离心率为__________.14.已知(1,0,0)A ，(0,1,1)B -，OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为_________.三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本题满分10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程.（1）焦点在y 轴上，6c =，23e =；（2）经过点(2,0)，e =16. （本题满分10分）已知,A B 为抛物线E 上不同的两点，若抛物线E 的焦点为(1,0)，线段AB 恰被点(2,1)M 所平分.（1）求抛物线E 的方程；（2）求直线AB 的方程.17. （本题满分10分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，4BC =，2AB PA ==，M 为线段PC 的中点，N 在线段BC 上，且1BN =.（1）证明：BM AM ⊥；（2）求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.18. （本题满分10分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，过点(,0)A a ，(0,)B b 的直线倾斜角为56π，原点到该直线的距离为2. （1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k ，使直线2y kx =+交椭圆于P Q 、两点，以PQ 为直径的圆过点(1,0)D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.19. （本题满分10分）如图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC .已知11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =，11111A B B C ==.（1）设点O 是AB 的中点，证明：//OC 平面111A B C ；（2）求二面角1B AC A --的正弦值.和平区2016-2017学年度第一学期高二年级数学(理)学科期末质量调查试卷参考答案及评分标准第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题.1-5:CBBAD 6-10:CABDC第Ⅱ卷非选择题（共70分）二、填空题（共20分）.11. 224x y =±. 12.22149x y -=-. 三、解答题（共50分）.15.（本题满分10分）（1）解：由26,3c e ==得，623a =，解得，9a =，……2分因为222abc =+，所以222813645b a c =-=-=，……4分因为焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为 2218145y x +=.……5分由于椭圆经过点为()2,0，即为椭圆的顶点，且在x 轴上，……8分所以，若点()2,0为长轴的顶点，则2a =，此时22k =，所以1k =，所以1b =，则椭圆的标准方程为2214x y +=.……9分若点()2,0为短轴的顶点，则2b =，此时2k =，所以4a =，则椭圆的标准方程为221164y x +=.……10分 16.（本题满分10分）（1）解：因为抛物线E 的焦点为()1,0，所以12P=，所以2P =，……2分于是，所求抛物线E 的方程为24y x =.……4分（2）解：设()()1122,,,A x y B x y ，则2114y x =，①2224y x =，②……4分因为点()2,1M 是线段AB 的中点，……7分所以12124,2x x y y +=+=，……7分由②-①得，()()()2121214y y y y x x +-=-，所以21212y y x x -=-，即2AB k =，……9分所以所求直线AB 的方程为()122y x -=-，即230x y --=.……10分17.（本题满分10分）（1）证明：如图，以A 为原点，分别以,,AB AD AP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.……1分依题意，()()()()0,0,0,2,0,0,1,2,1,2,1,0A B M N ，……2分则()()2,1,0,1,2,1AN BM ==-，……3分所以()1221100BM AN ⋅=-⨯+⨯+⨯=.所以AN BM ⊥，即BM AN ⊥.……4分（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得 ()()()2,4,0,0,4,0,0,0,2C D P ，则()()2,4,2,0,4,2PC PD =-=-，……5分设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，由0,0,n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2420,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩解得0,2,x z y =⎧⎨=⎩不妨设1y =，则2z =，可得()0,1,2n =.……7分设直线MN 与平面PCD 所成的角为θ，又()1,1,1MN =--，因为cos ,3MN nMN n MN n ⋅<>===⋅9分所以sin cos ,MN n θ=<>=，所以，直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为5.……10分18.（本题满分10分）（1）解：由已知得，5tan ,61,22b a ab π⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……1分即，()222243,b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得1a b ==，……3分所以椭圆方程为2213x y +=.……4分（2）解：将2y kx =+代入2213x y +=并整理得. ()()22131290k x kx +++=*.……5分设()()1122,,,P x y Q x y ，因为以PQ 为直径的圆过点()1,0D ，所以PD QD ⊥，所以0DP DQ ⋅=，则()()11221,1,0x y x y -⋅-=，……6分因为11222,2y kx y kx =+=+，所以()()()()112212121,1,11x y x y x x y y -⋅-=--+； ()()()()12121122x x kx kx =--+++；()()()212121215k x x k x x =++-++，所以()()()2121212150k x x k x x ++-++=，①……8分对于方程()*有，121222129,1313kx x x x k k +=-=++，代入①并整理得，670k +=，解得76k =-.……9分此时方程()130*∆=>，所以存在76k =-，满足题设条件.……10分19.（本题满分10分）（1）证明：如图，以1B 为原点，分别以11111,,BC B A B B 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.……1分依题意，()()()()11110,1,0,0,0,0,1,0,0,0,,3,1,0,32A B C O C ⎛⎫⎪⎝⎭，因为()()111111,,0,0,1,0,1,0,02OC A B B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，……3分所以()11111110,,01,0,01,,0222A B B C ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以111112OC A B B C =+，又OC ⊄平面111A B C ，所以//OC 平面111A B C .……4分（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得 ()()()()10,1,4,0,0,2,1,0,3,0,1,0A B C A ，则()()()()10,1,2,1,0,1,1,1,1,0,0,4AB BC AC A A =--==--=，……5分设()1111,,n x y z =为平面ABC 的一个法向量，由0,0,n AB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得121120,0,y z x z --=⎧⎨+=⎩解得112,,y z x z =-⎧⎨=-⎩ 不妨设11z =，则111,2,x y =-=-所以()11,2,1n =--.……7分设()2222,,n x y z =为平面1ACA 的一个法向量，由2210,0,n AC n A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22220,0,x y z z --=⎧⎨=⎩解得222,0,x y z =⎧⎨=⎩不妨设21y =，则21x =，所以()21,1,0n =.……9分因为，121212cos 26n n n n n n ⋅<⋅>===⋅，于是121sin 2n n <⋅>=，所以，二面角1B AC A --的正弦值为12.……10分。

天津市和平区2016-2017学年高二上学期期末质量调查数学(理)试题 Word版含答案

数学（理）第Ⅰ卷（共30分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“0m n >>”是“方程321mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（）A ．充而分不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.已知1(3,0)F -，2(3,0)F ，动点P 满足12||||4PF PF -=，则点P 的轨迹是（） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．一条射线 D ．不存在3.在空间直角坐标中，点(1,2,3)P ---到平面xOz 的距离是（）A ．1B ．2C ．3D ．4.已知空间两点(3,3,1)(1,1,5)A B -，，则线段AB 的长度为（）A ．6B ． C. ．5.抛物线212y x =-的准线方程是（） A ．12y = B ．18y = C.14x = D ．18x =6.焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为）A ．22164x y +=B ．2211636x y += C. 2213616x y += D ．221499x y += 7.直线12l l 、的方向向量分别为(1,3,1)a =-- ，(8,2,2)b = ，则（）A ．12l l ⊥B ．12//l l C. 1l 与2l 相交不平行 D ．1l 与2l 重合8.已知在空间四边形ABCD 中，AB a = ，BC b = ，AD c = ，则CD = （）A ．a b c +-B ．c a b -- C.c a b +- D ．a b c ++9.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直于x 轴的双曲线的弦，若290PF Q ∠=°，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．1 D ．110.若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP •的最大值为（）A ．2B ．3 C. 6 D ．8第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.顶点在原点，对称轴是y 轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是__________.12.已知双曲线与椭圆221163x y +=有相同的焦点，且其中一条渐近线为32y x =，则该双曲线的标准方程是__________.13.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的三个顶点1(0,)B b -，2(0,)B b ，(,0)A a ，焦点(,0)F c ，且12B F AB ⊥，则椭圆的离心率为__________.14.已知(1,0,0)A ，(0,1,1)B -，OA OB λ+ 与OB 的夹角为120°，则λ的值为_________.三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本题满分10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程.（1）焦点在y 轴上，6c =，23e =；（2）经过点(2,0)，e =16. （本题满分10分）已知,A B 为抛物线E 上不同的两点，若抛物线E 的焦点为(1,0)，线段AB 恰被点(2,1)M 所平分.（1）求抛物线E 的方程；（2）求直线AB 的方程.17. （本题满分10分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，4BC =，2AB PA ==，M 为线段PC 的中点，N 在线段BC 上，且1BN =.（1）证明：BM AM ⊥；（2）求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.18. （本题满分10分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，过点(,0)A a ，(0,)B b 的直线倾斜角为56π，原点到该直线的距离为2. （1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k ，使直线2y kx =+交椭圆于P Q 、两点，以PQ 为直径的圆过点(1,0)D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.19. （本题满分10分）如图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC .已知11190A B C ∠= ，14AA =，12BB =，13CC =，11111A B B C ==.（1）设点O 是AB 的中点，证明：//OC 平面111A B C ；（2）求二面角1B AC A --的正弦值.和平区2016-2017学年度第一学期高二年级数学(理)学科期末质量调查试卷参考答案及评分标准第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题.1-5:CBBAD 6-10:CABDC第Ⅱ卷非选择题（共70分）二、填空题（共20分）.11. 224x y =±. 12.22149x y -=. 14.. 三、解答题（共50分）.15.（本题满分10分）（1）解：由26,3c e ==得，623a =，解得，9a =，……2分因为222abc =+，所以222813645b a c =-=-=，……4分因为焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为 2218145y x +=.……5分由于椭圆经过点为()2,0，即为椭圆的顶点，且在x 轴上，……8分所以，若点()2,0为长轴的顶点，则2a =，此时22k =，所以1k =，所以1b =，则椭圆的标准方程为2214x y +=.……9分若点()2,0为短轴的顶点，则2b =，此时2k =，所以4a =，则椭圆的标准方程为221164y x +=.……10分 16.（本题满分10分）（1）解：因为抛物线E 的焦点为()1,0，所以12P =，所以2P =，……2分于是，所求抛物线E 的方程为24y x =.……4分（2）解：设()()1122,,,A x y B x y ，则2114y x =，①2224y x =，②……4分因为点()2,1M 是线段AB 的中点，……7分所以12124,2x x y y +=+=，……7分由②-①得，()()()2121214y y y y x x +-=-，所以21212y y x x -=-，即2AB k =，……9分所以所求直线AB 的方程为()122y x -=-，即230x y --=.……10分17.（本题满分10分）（1）证明：如图，以A 为原点，分别以,,AB AD AP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.……1分依题意，()()()()0,0,0,2,0,0,1,2,1,2,1,0A B M N ，……2分则()()2,1,0,1,2,1AN BM ==- ，……3分所以()1221100BM AN ⋅=-⨯+⨯+⨯= .所以AN BM ⊥ ，即BM AN ⊥.……4分（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得 ()()()2,4,0,0,4,0,0,0,2C D P ，则()()2,4,2,0,4,2PC PD =-=- ，……5分设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z = ，由0,0,n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得2420,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩解得0,2,x z y =⎧⎨=⎩ 不妨设1y =，则2z =，可得()0,1,2n = .……7分设直线MN 与平面PCD 所成的角为θ，又()1,1,1MN =-- ，因为cos ,MN n MN n MN n⋅<>===⋅ 9分所以sin cos ,MN n θ=<>= ，所以，直线MN 与平面PCD所成角的正弦值为5.……10分 18.（本题满分10分）（1）解：由已知得，5tan ,61,22b a ab π⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……1分即，()222243,b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得1a b =，……3分所以椭圆方程为2213x y +=.……4分（2）解：将2y kx =+代入2213x y +=并整理得. ()()22131290k x kx +++=*.……5分设()()1122,,,P x y Q x y ，因为以PQ 为直径的圆过点()1,0D ，所以PD QD ⊥，所以0DP DQ ⋅= ，则()()11221,1,0x y x y -⋅-=，……6分因为11222,2y kx y kx =+=+，所以()()()()112212121,1,11x y x y x x y y -⋅-=--+； ()()()()12121122x x kx kx =--+++；()()()212121215k x x k x x =++-++，所以()()()2121212150k x x k x x ++-++=，①……8分对于方程()*有，121222129,1313k x x x x k k+=-=++，代入①并整理得，670k +=，解得76k =-.……9分此时方程()130*∆=>，所以存在76k =-，满足题设条件.……10分 19.（本题满分10分）（1）证明：如图，以1B 为原点，分别以11111,,BC B A B B 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.……1分依题意，()()()()11110,1,0,0,0,0,1,0,0,0,,3,1,0,32A B C O C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为()()111111,,0,0,1,0,1,0,02OC A B B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ ，……3分所以()11111110,,01,0,01,,0222A B B C ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以111112OC A B B C =+ ，又OC ⊄平面111A B C ，所以//OC 平面111A B C .……4分（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得 ()()()()10,1,4,0,0,2,1,0,3,0,1,0A B C A ，则()()()()10,1,2,1,0,1,1,1,1,0,0,4AB BC AC A A =--==--= ，……5分设()1111,,n x y z = 为平面ABC 的一个法向量，由0,0,n AB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得121120,0,y z x z --=⎧⎨+=⎩解得112,,y z x z =-⎧⎨=-⎩ 不妨设11z =，则111,2,x y =-=-所以()11,2,1n =-- .……7分设()2222,,n x y z = 为平面1ACA 的一个法向量，由2210,0,n AC n A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得22220,0,x y z z --=⎧⎨=⎩解得222,0,x y z =⎧⎨=⎩ 不妨设21y =，则21x =，所以()21,1,0n = .……9分因为，121212cos2n nn nn n⋅<⋅>===⋅，于是121sin2n n<⋅>=，所以，二面角1B AC A--的正弦值为12.……10分。

天津市和平区高二上学期期末质量调查数学(理)试题 Word版含答案

天津市和平区2018学年高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

2018-2019学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、（3分）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A、充而分不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件2、（3分）已知F1（﹣3,0）,F2（3,0）,动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4,则点P的轨迹是（）A、双曲线B、双曲线的一支C、一条射线D、不存在3、（3分）在空间直角坐标中,点P（﹣1,﹣2,﹣3）到平面xOz的距离是（）A、1B、2C、3D、4、（3分）已知空间两点A（3,3,1）,B（﹣1,1,5）,则线段AB的长度为（）A、6B、C、D、5、（3分）抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A、y=B、y=C、x=D、x=6、（3分）焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为,则椭圆的标准方程为（）A、B、C、D、7、（3分）直线l1、l2的方向向量分别为,,则（）A、l1⊥l2B、l1∥l2C、l1与l2相交不平行D、l1与l2重合8、（3分）已知在空间四边形ABCD中,,,,则=（）A、B、C、D、9、（3分）已知F1,F2是双曲线的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦,若∠PF2Q=90°,则双曲线的离心率为（）A、2B、C、D、10、（3分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则的最大值为（）A、2B、3C、6D、8二、填空题（每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上）11、（5分）顶点在原点,对称轴是y轴,且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是、12、（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点,且其中一条渐近线为,则该双曲线的标准方程是、13、（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0,﹣b）,B2（0,b）,A （a,0）,焦点F（c,0）,且B1F⊥AB2,则椭圆的离心率为、14、（5分）（理）已知A（1,0,0）,B（0,﹣1,1）,+λ与的夹角为120°,则λ=、三、解答题（本大题共5小题,共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15、（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程、（1）焦点在y轴上,c=6,；（2）经过点（2,0）,、16、（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点,若抛物线E的焦点为（1,0）,线段AB恰被M（2,1）所平分、（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程、17、（10分）如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,BC=4,AB=PA=2,M为线段PC的中点,N在线段BC上,且BN=1、（Ⅰ）证明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值、18、（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a,0）,B（0,b）的直线倾斜角为,原点到该直线的距离为、（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k,使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点,以PQ为直径的圆过点D（1,0）？若存在,求出k的值；若不存在,请说明理由、19、（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体,截面为ABC、已知∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=2,CC1=3,A1B1=B1C1=1、（1）设点O是AB的中点,证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值、2018-2019学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、（3分）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A、充而分不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【解答】解：当“m＞n＞0”时”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”成立,即“m＞n＞0”⇒”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”为真命题, 当“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”时“m＞n＞0”也成立, 即“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”也为真命题,故“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件,故选：C、2、（3分）已知F1（﹣3,0）,F2（3,0）,动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4,则点P的轨迹是（）A、双曲线B、双曲线的一支C、一条射线D、不存在【解答】解：F1（﹣3,0）,F2（3,0）,动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4,因为|F1F2|=6＞4,则点P的轨迹满足双曲线定义,是双曲线的一支、故选：B、3、（3分）在空间直角坐标中,点P（﹣1,﹣2,﹣3）到平面xOz的距离是（）A、1B、2C、3D、【解答】解：∵点P（﹣1,﹣2,﹣3）,∴点P（﹣1,﹣2,﹣3）到平面xOz的距离是2,故选B、4、（3分）已知空间两点A（3,3,1）,B（﹣1,1,5）,则线段AB的长度为（）A、6B、C、D、【解答】解：空间两点A（3,3,1）,B（﹣1,1,5）,则线段AB的长度为|AB|==6、故选：A、5、（3分）抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A、y=B、y=C、x=D、x=【解答】解：抛物线y2=﹣x的开口向左,且2p=,∴=∴抛物线y2=﹣x的准线方程是x=故选D、6、（3分）焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为,则椭圆的标准方程为（）A、B、C、D、【解答】解：焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为,可得a+b=10,2c=4,c=2,即a2﹣b2=20,解得a2=36,b2=16,所求椭圆方程为：、故选：C、7、（3分）直线l1、l2的方向向量分别为,,则（）A、l1⊥l2B、l1∥l2C、l1与l2相交不平行D、l1与l2重合【解答】解：∵直线l1、l2的方向向量分别为,, ∴1×8﹣3×2﹣1×2=0,∴l1⊥l2、8、（3分）已知在空间四边形ABCD中,,,,则=（）A、B、C、D、【解答】解：∵在空间四边形ABCD中,,,,∴==（）﹣=（）﹣=、故选：B、9、（3分）已知F1,F2是双曲线的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦,若∠PF2Q=90°,则双曲线的离心率为（）A、2B、C、D、【解答】解：∵PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦,∠PF2Q=90°, ∴|PF1|=|F1F2|∴e2﹣2e﹣1=0,∵e＞1,∴e=1+、故选：D、10、（3分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则的最大值为（）A、2B、3C、6D、8【解答】解：由题意,F（﹣1,0）,设点P（x0,y0）,则有,解得,因为,,所以=,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2,因为﹣2≤x0≤2,所以当x0=2时,取得最大值,故选C、二、填空题（每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上）11、（5分）顶点在原点,对称轴是y轴,且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是x2=±24y、【解答】解：顶点在原点,对称轴是y轴,且顶点与焦点的距离等于6,可得抛物线方程p=12,所求抛物线方程为：x2=±24y、故答案为：x2=±24y、12、（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点,且其中一条渐近线为,则该双曲线的标准方程是、【解答】解：双曲线与椭圆有相同的焦点（,0）,焦点坐标在x轴,双曲线的一条渐近线为,可得=,a2+b2=13,可得a2=4,b2=9、所求双曲线方程为：、故答案为：、13、（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0,﹣b）,B2（0,b）,A（a,0）,焦点F（c,0）,且B1F⊥AB2,则椭圆的离心率为、【解答】解：椭圆的三个顶点B1（0,﹣b）,B2（0,b）,A（a,0）,焦点F（c,0）,且B1F⊥AB2,可得：=0,即b2=ac,即a2﹣c2﹣ac=0,可得e2+e﹣1=0,e∈（0,1）,解得e=、故答案为：、14、（5分）（理）已知A（1,0,0）,B（0,﹣1,1）,+λ与的夹角为120°,则λ=、【解答】解：+λ=（1,0,0）+λ（0,﹣1,1）=（1,﹣λ,λ）、∵+λ与的夹角为120°,∴cos120°==,化为,∵λ＜0,∴λ=、故答案为：、三、解答题（本大题共5小题,共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15、（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程、（1）焦点在y轴上,c=6,；（2）经过点（2,0）,、【解答】（1）解：由得,,解得,a=9,∵a2=b2+c2,∴b2=a2﹣c2=81﹣36=45,∵焦点在y轴上,∴椭圆的标准方程为；（2）解：由e=,设a=2k,c=（k＞0）,则b=,由于椭圆经过点为（2,0）,即为椭圆的顶点,且在x轴上,若点（2,0）为长轴的顶点,则a=2,此时2k=2,∴k=1,得b=1,则椭圆的标准方程为、若点（2,0）为短轴的顶点,则b=2,此时k=2,得a=4,则椭圆的标准方程为、16、（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点,若抛物线E的焦点为（1,0）,线段AB恰被M（2,1）所平分、（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程、【解答】解：（Ⅰ）令抛物线E的方程：y2=2px（p＞0）∵抛物线E的焦点为（1,0）,∴p=2∴抛物线E的方程：y2=4x（Ⅱ）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则y12=4x1,y22=4x2,两式相减,得（y2﹣y1）/（y1+y2）=4（x2﹣x1）∵线段AB恰被M（2,1）所平分∴y1+y2=2∴=2∴AB的方程为y﹣1=2（x﹣2）,即2x﹣y﹣3=0、17、（10分）如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,BC=4,AB=PA=2,M为线段PC的中点,N在线段BC上,且BN=1、（Ⅰ）证明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值、【解答】（本题满分12分）解：如图,以A为原点,分别以,,的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz,则A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（2,4,0）,D（0,4,0）,P（0,0,2）,M（1,2,1）,N （2,1,0）,…（3分）（Ⅰ）∵=（2,1,0）,=（﹣1,2,1）,…（4分）∴•=0…（5分）∴⊥,即AN⊥BM…（6分）（Ⅱ）设平面PCD的法向量为=（x,y,z）,…（7分）∵=（2,4,﹣2）,=（0,4,﹣2）,由,可得,…（9分）解得：,取y=1得平面MBD的一个法向量为=（0,1,2）,…（10分）设直线MN与平面PCD所成的角为θ,则由=（﹣1,1,1）,…（11分）可得：sinθ=|cos＜,＞|=||==…（12分）18、（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a,0）,B（0,b）的直线倾斜角为,原点到该直线的距离为、（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k,使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点,以PQ为直径的圆过点D（1,0）？若存在,求出k的值；若不存在,请说明理由、【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a,0）,B（0,b）的直线倾斜角为,原点到该直线的距离为,∴,,解得a=,b=1,∴椭圆方程是、（2）将y=kx+2代入,得（3k2+1）x2+12kx+9=0、设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,以PQ为直径的圆过D（1,0）则PD⊥QD,即（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0,又y1=kx1+2,y2=kx2+2,得（k2+x）x1x2+（2k﹣1）（x1+x2）+5=0,又,,代上式,得k=,∵此方程中,△=144k2﹣36（3k2+1）＞0,∴k＞1,或k＜﹣1、∴存在k=﹣满足题意、19、（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体,截面为ABC、已知∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=2,CC1=3,A1B1=B1C1=1、（1）设点O是AB的中点,证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值、【解答】（本题满分10分）（1）证明：如图,以B 1为原点,分别以的方向为x轴,y 轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系、…（1分）依题意,, 因为,…（3分）所以,所以,又OC⊄平面A1B1C1,所以OC∥平面A1B1C1、…（4分）（2）解：依题意,结合（1）中的空间直角坐标系,得A（0,1,4）,B（0,0,2）,C （1,0,3）,A1（0,1,0）,则,…（5分）设为平面ABC的一个法向量,由得解得不妨设z1=1,则x1=﹣1,y1=﹣2,所以、…（7分）设为平面ACA 1的一个法向量,由得解得不妨设y2=1,则x2=1,所以、…（9分）因为,,于是,所以,二面角B﹣AC﹣A1的正弦值为、…（10分）。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。