高三第二次模拟考试数学文科

高三第二次模拟考试
数学文科
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；满分150分；考试用时120分钟。

第Ⅰ卷 (选择题；共60分)
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分。

在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题意要求的.
53sin =
α；则⎪⎭
⎫
⎝⎛+απ2sin 的值为（ ） A 54±
． B ．54- C ．54 D ． 5
3- bi a + ),(R b a ∈的平方是纯虚数；则（ ）
A ．b a -=
B ．||b a =
C ．b a =
D ．||||b a = A ；B 间的球面距离为
3
2π
；则弦长AB 等于（ ） A ．
2
3
B ．1
C ．2
D ．3 ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=6sin )(πx x f 在)2,0(π上的图像与x 轴的交点的横坐标为（ ）
A ．6116
ππ
或
-
B ．6
56ππ或 C ．61165ππ或 D ．676π
π或 )(x f y =与)1,0(≠>=a a a y x 且的图像关于直线x y =对称；则下列结论错误．．
的是（ ）
A ．)(2)(2
x f x f = B ．)2()()2(f x f x f +=
C ．)2()(21f x f x f -=⎪⎭
⎫
⎝⎛ D ．)(2)2(x f x f = a ；x ；b ；x 2；则b
a
等于（ ）
A ．4
1 B ．31 C ．21 D ．32
),(y x 在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域上运动；则y x z -=的取值
范围是（ ）
A ．[－2；－1]
B ．[－2；1]
C ．[－1；2]
D ．[1；2] 8.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中；直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角为（ ）
A ．
6
π B ．4π C ．3π
D ．125π
x +2y +1=0；2x +y +1=0的倾斜角分别为α、β；则α+β等于（ ）
A ．60。

B ．90。

C ．270。

D ．300。

s ；t 是非零实数；i 、j 是单位向量；当两向量s i +t j ；t i －s j 的模相等时；i 与j 的夹角是（ ）
A ．
2π B ．4π C ．3π D ． 6
π
12
2
22=-b y a x 的虚轴端点与一个焦点连线的中点在与此焦点对应的准线上；PQ 是双曲线的一条垂直于实轴的弦；O 为坐标原点。

则OP OQ ⋅等于（ ） A ．0 B ．2
a C ．2
a - D ．22
b a
+
{}{}|50,|60,,A x x a B x x b a b N =-≤=->∈；且{}2,3,4A B N =；
则整数对（a , b ）的个数为（ ）
A. 20
B. 25
C. 30
D. 42
第II 卷（非选择题；共90分）
二、填空题（本题满分16分；每小题4分；共4个小题。

请将答案直接填入题后的横线中）
13.6
12⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-x x 的展开式的中间项为 。

x
x
y -+=11ln
的单调递增区间是 。

15. 函数|3||1|)(---=x x x f 图像的对称中心的坐标为 。

16. 已知椭圆22
195
x y +=的左右焦点分别为F 1与F 2；点P 在直线l ：60x y -+=上； 当12F PF ∠取最大值时；点P 的坐标为 。

三、解答题（本大题共6个小题；共74分。

解答应写出文字说明；推证步骤或演算过程） 17、（本小题满分12分）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤为偶函数；且其
（1）求函数f (x )的解析式；
（2）若 (
))1
24sin ,31tan f π
αααα
-++=+ 的值。

18、（文科）（本小题满分12分）某学生在军训时连续射击6次；每次击中的概率都是1
3
； 且每次射击是否击中目标相互之间没有影响。

（1）求这名学生在首次击中目标恰为第3次的概率；
（2）求这名学生在射击过程中；恰好有3次击中目标的概率； （3）求这名学生在射击过程中；至少有1次击中目标的概率。

19、（本小题满分12分）已知点列()()()1122,1,,2,
,,,
n n P x P x P x n ；且1n n P P +与
向量1
(1,
)2
n a =共线；n 是正整数；O 是坐标原点；设x 1=1. （1）求 x 2, x 3 ;
（2）求数列{x n }的通项公式。

20、（本小题满分12分）如图所示；在四棱锥P —ABCD 中；P A ⊥底面ABCD ； ∠ABC=∠ADC =90°；∠BAD =120°； AD = AB = a , 若P A = λa （λ＞0）。

（1）求证：平面PBD ⊥平面P AC ；
（2
）当λ=A 到平面PDC 的距离；
21、（本题满分12分）椭圆的中心在原点O
；它的短轴长为
F （c ；0）的准线l 与x 轴相交于点A ；|OF | = 2|F A |；过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。

（1）求椭圆的方程；
（2）若0OP OQ ⋅=；求直线PQ 的方程； 22、（本小题满分14分）已知0)1(,6)0(),0(22
3)(2
3
='='>-+-
=f f a cx bx ax x f 。

若)(x f 的极小值大于零；求实数a 的取值范围。

P
B
A
C
D
高三第二次模拟考试 数学文科参考答案
一、选择题：（共12小题；每小题5分；共60分）
二、填空题：（共4小题；每小题４分；共16分）
13．－160 14． ()1,1- 15．()2,0 16．（-10；-4）或（-2；4） 17、解：
()()(
)()(1)
sin sin ,2sin cos 0cos 0
0,.2
2
,,21,cos 2
f x x x x T
T T f x x ωϕωϕωϕϕπ
π
ϕϕππω∴-+=+⇒=∴=≤≤
∴=
==∴=∴=∴=为偶函数，恒成立又设其最小正周期为则
()2sin 2cos 212sin cos 2sin 22sin cos ,sin 1tan 1cos 2455
sin cos ,12sin cos ,2sin cos ,3999
ααααα
ααααα
αααααα-++=
==++
+=∴+=∴=-∴=-
原式又原式 18、记“这名学生首次击中目标恰好为第3次”为事件A ；则 ()1114
(1)11.33327
P A ⎛⎫⎛⎫=--⨯
= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (2) 记“这名学生在射击过程中；恰好有3次击中目标”为事件B ；相当于做6次独立重
复试验；则()3
3
3
611160
()(1)3
3
729
P B C =⨯⨯-=
（3）记“这名学生在射击过程中；至少有1次击中目标”为事件C ；则
()61665
1(1)3729
P C =--=
()()()()11122223111112132,1,1,1,1(,
)2
12,3,7.
121(2),1(1,)2,212
n n n n n n n
n n n n n n n n n P P a x n PP x x x x P P x x a x x x x x x x x x x x x λ
λλλλλλλλλ
+++++==∴==-=-=⎧⎪∴∴===⎨=⎪⎩=-==-=⎧⎪∴∴-=⎨=⎪⎩∴=+-+-+
+-19、解：由题意知当时有同理可得：由题意知()
{}121112222 1.
1,121
n n n n n n x x x --=+++
+=-==∴=-当时也满足。

的通项公式为
20、（2
）
2a （3
）2
λ=
21、解：()
()()(]212,0(1,2)22a
f x x f x x a x a x
''=->∈⇒<∴≤由题意
(
)()()(
)()(
)2100,12
2.2ln ,g x g x x a a a f x x x g x x ''=-
<∈⇒>≥==-=-又
从而有故
（2）由（1
）可知；原方程为222ln 2,2ln 20x x x x x x -=---+=即
(
)(
)(
)
)()
()222ln 2,210,01222010,00 1.
h x x x x h x x x h x x x x h x x x '=--+=--'>>∴
+>∴>'<>∴<<设由令由
所以；h (x )在(0,1)上是减函数；在（1；+∞）上是增函数。

即h (x )在x=1处有一个最小值0；即当x >0且x ≠1时h (x ) > 0 ；所以h (x )=0只有一个实数解。

故当 x >0时；方程()()2f x g x =+有唯一解。

22（文科）.()2
33f x ax bx c '=-+；()06f c '==；()1330f a b c '=-+= ∴2b a =+
∴()()()3
23
26202
f x ax a x x a =-
++->
∴()()23326f x ax a x '=-++＝()()321ax x -- ⑴ 当02a <<时；
x 1x <
1x =
21x a
<<
2x a
=
2x a
>
()f x ' ＋ 0 — 0
＋ ()f x
↗
极大值
↘
极小值
↗
极小值()3
2
2232226202f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-++-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
化为 2
320a a -+<；∴12a <<
⑵ 当2a =时；∴()()2323226f x x x '=⋅-++＝()2
61x -
当1x <时 ()0f x '>；当1x >时 ()0f x '>；所以()f x 是(),-∞+∞上的增函数
()f x 无极小值
⑶ 当2a >时；
x 2x a
<
2x a =
2
1x a
<< 1x =
1x >
()f x ' ＋ 0
— 0 ＋ ()f x
↗
极大值
↘
极小值
↗
极小值()()3
126202
f a a =-
++-> 得2a <（舍去）
综上01a << …14分。