2018高考数学一轮复习限时集训五十四双曲线理新人教A
最新-2018届高考数学一轮复习 第49讲双曲线课件 理 新人教课标A版 精品
第49讲 │ 要点探究
[解答] 设双曲线方程为 4x2－y2＝λ(λ≠0)，将点( 2，2)代入该方程， 解得 λ＝4，所以所求双曲线方程为 4x2－y2＝4，即 x2－y42＝1.
第49讲 │ 要点探究
2 双曲线经过两点 P(－ 3，1)和 Q(2，－ 2)，求双曲线的 标准方程．
第49讲 │ 要点探究
点
与
椭
圆
x2 25
＋
y2 9
＝
1
的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为
________；渐近线方程为________．
第49讲 │ 要点探究
(±4,0) 3x±y＝0 [解析] 由椭圆2x52 ＋y92＝1 知相应的 c＝ 25－9＝4，且焦点在 x 轴上，故双曲线的焦点坐标为(±4，0)；又 e＝ac＝2，解得 a＝2， 故 b＝2 3，那么其渐近线方程为 3x±y＝0.
第49讲 │ 要点探究
[点评] 本题通过时间差转化为距离差，自然联想到双曲线定义. 利 用双曲线定义解题，关键是看能否将题设条件通过推理、转化，变成符 合曲线定义的问题，如果符合双曲线定义，还要判断是完整双曲线还 是双曲线的某一支，也即是讨论双曲线定义式中的绝对值问题. 如下面 的变式题：
第49讲 │ 要点探究
[解答] 设方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，将两个已知点代入，得方 程组34mm＋＋n2n＝＝1，1， 解得 m＝12，n＝－12.所以所求双曲线方程为 x2－y2 ＝2.
第49讲 │ 要点探究
► 探究点3 双曲线的几何性质
例 3 [2010·北京卷] 已知双曲线xa22－by22＝1 的离心率为 2，焦
由点 C 的双曲线 E 上，半焦距 c＝1，
高考数学(文)一轮复习提能训练：《双曲线》(人教A版)含详析
[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 28－y 224＝1 B.x 212－y 214＝1 C.x 224－y 28＝1 D.x 24－y 212＝1 解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2－y 23＝λ(λ≠0)，即 x 2λ－y 23λ＝1，则a 2＝λ，b 2＝3λ.∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴c ＝4，∴c 2＝a 2＋b 2＝4λ＝16，解得λ＝4，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.答案：D2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－22，0 B.⎝⎛⎭⎫－52，0 C.⎝⎛⎭⎫－62，0 D.()－3，0解析：双曲线方程可化为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12， ∴c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝62，∴左焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－62，0.答案：C3．(2013年高考北京卷)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x解析：由离心率为3，可知ca ＝3，又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝2a ，因此双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，故选B.答案：B4．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率是( ) A.32B. 5C.32或 5 D.32或52解析：因为m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，所以m ＝±4，当m ＝4时，圆锥曲线为椭圆x 2＋y 24＝1，离心率为32，当m ＝－4时，圆锥曲线为双曲线x 2－y 24＝1，离心率为 5.答案：C5．已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A. 2B.10 C ．4D.34解析：因为椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点(±7，0)，则有a 2－9＝7，∴a ＝4.选C.答案：C6．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(2－1，＋∞)B ．(3＋1，＋∞)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)解析：由题设条件可知△ABC 为等腰三角形，只要∠AF 2B 为钝角即可，所以有b 2a >2c ，即b 2>2ac ，所以c 2－a 2>2ac ，解得e >1＋ 2.答案：C 二、填空题7．(2013年高考陕西卷)双曲线x 216－y 29＝1的离心率为________．解析：依题意知a ＝4，b ＝3，所以c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，故离心率e ＝c a ＝54.答案：548．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.解析：与双曲线x 24－y 216＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 24－y 216＝λ，即x 24λ－y 216λ＝1.由题意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5∴λ＝14，∴a 2＝1，b 2＝4.又a >0，b >0，故a ＝1，b ＝2.答案：1 29．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率是2，则b 2＋13a 的最小值为________．解析：由双曲线的离心率e ＝2得，c a ＝2，从而b ＝3a >0，所以b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a ≥2a ·13a ＝213＝233，当且仅当a ＝13a ，即a ＝33时，“＝”成立． 答案：233三、解答题10．求适合下列条件的双曲线方程．(1)焦点在y 轴上，且过点(3，－42)，⎝⎛⎭⎫94，5.(2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)．解析：(1)设所求双曲线方程为my 2－nx 2＝1(m >0，n >0)，则因为点(3，－42)，⎝⎛⎭⎫94，5在双曲线上，所以点的坐标满足方程，由此得⎩⎪⎨⎪⎧32m －9n ＝1，25m －8116n ＝1.解方程组得⎩⎨⎧m ＝116，n ＝19.故所求双曲线方程为y 216－x 29＝1.(2)由双曲线的渐近线方程y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P (6，2)， ∴69－44＝λ，λ＝－13， 故所求双曲线方程为34y 2－13x 2＝1.11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线方程； (2)求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2面积．解析：(1)∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：∵MF 1→＝(－3－23，－m )， ∴MF 2→＝(23－3，－m )．∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝±3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.12．(能力提升)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0， b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率．(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解析：(1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1.由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2. 化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.② 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， ②式可化为λ2＋4λ＝0， 解得λ＝0或λ＝－4.。
人教A版高中数学选修第一轮复习强化训练双曲线新人教
15.2双曲线【考纲要求】 1、了解双曲线的实际背景，了解双曲线上在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. 3、了解双曲线的简单应用. 4、 理解数形结合的思想. 【基础知识】 1、 双曲线的定义平面内与两个定点12,F F 距离的差的绝对值等于常数122(2)a a F F <的点的轨迹叫做双曲线即|)|2(,2||||||2121F F a a PF PF <=-这两个定点12,F F 叫做双曲线的焦点，两焦点的距离12F F 叫做双曲线的焦距。
当平面内与两个定点12,F F 距离的差的绝对值等于常数122(2)a a F F =的点的轨迹是射线12F F 或射线21F F ;当平面内与两个定点12,F F 距离的差的绝对值等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹不存在.平面内与两个定点12,F F 距离的差等于常数122(2)a a F F <的点的轨迹是双曲线的一支。
如果焦点在x 轴上，|)|2(,2||||2121F F a a PF PF <=-,则动点P 的轨迹是双曲线的右支；如果焦点在x 轴上，|)|2(,2||||2121F F a a PF PF <-=-,则动点P 的轨迹是双曲线的左支。
1、 双曲线的标准方程⑴设M (,)x y 是双曲线上任意一点，双曲线焦点12,F F 的坐标分别为(,0),(,0)c c -，又点M 与点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数2(022),a a c <<则双曲线的标准方程是：22221x y a b-=（其中222,0,0).b c a a b =->>(2)设M (,)x y 是双曲线上任意一点，双曲线焦点12,F F 的坐标分别为(0,),(0,)c c -，又点M 与点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数2(022),a a c <<则双曲线的标准方程是：22221y x a b-=（其中222,0,0).b c a a b =->>2、 双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>> 22221(0,0)y x a b a b-=>> 图形范围,x a y R ≥∈ ,y a x R ≥∈对称性既是中心对称，又是轴对称，原点是双曲线的对称中心，x 轴和y 轴是双曲线的对称轴顶点 (,0),(,0)a a - (0,),(0,)a a -离心率 (1,)ce a=∈+∞ 焦点 (,0),(,0)c c -(0,),(0,)c c -焦距 122F F c =（其中222c a b =+）实轴长 2a 虚轴长 2b准线方程2a x c=±2a y c=±渐近线方程b y x a=±a y x b=±4、点00(,)p x y 和双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的位置关系（1）点00(,)p x y 在双曲线内2200221x y a b ⇔->（2）点00(,)p x y 在双曲线上2200221x y a b ⇔-=（3）点00(,)p x y 在双曲线外2200221x y a b⇔-<5、求双曲线的方程，用待定系数法，先定位，后定量。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训：第五章 平面向量5-4含答案
真题演练集训1．在平面内，定点A ,B ,C ，D 满足｜错误!|＝｜错误!|＝｜错误!|，错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝－2,动点P ，M 满足|错误!|＝1，错误!＝错误!，则｜错误!｜2的最大值是( )A 。
错误!B.错误!C.错误!D 。
错误! 答案：B解析：由｜错误!｜＝｜错误!|＝｜错误!｜知，D 为△ABC 的外心．由DA ，→·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!知,D 为△ABC 的内心，所以△ABC 为正三角形，易知其边长为23。
取AC 的中点E ，因为M 是PC 的中点，所以EM ＝错误!AP ＝错误!，所以｜错误!｜max ＝|BE |＋错误!＝错误!，则|错误!｜错误!＝错误!,故选B 。
2．已知错误!⊥错误!，|错误!｜＝错误!，｜错误!｜＝t 。
若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且错误!＝错误!＋错误!，则错误!·错误!的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21答案：A解析：∵ 错误!⊥错误!，故以A 为原点，AB ，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．不妨设B错误!，C（t，0)，则错误!＝错误!＋错误!＝（4，1)，故点P的坐标为（4,1）．错误!·错误!＝错误!·(t－4，－1)＝－4t－错误!＋17＝－错误!＋17≤－2错误!＋17＝13.当且仅当4t＝1t,即t＝错误!时(负值舍去)取得最大值13。
3．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2,BC＝1，∠ABC ＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且错误!＝λ错误!，错误!＝错误!错误!,则错误!·错误!的最小值为________．答案：错误!解析：在等腰梯形ABCD中，由AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得AD＝DC＝1.建立平面直角坐标系如图所示,则A(0,0），B（2,0)，C错误!，D错误!，错误!＝错误!－（2，0)＝错误!，错误!＝错误!－错误!＝（1，0）．∵错误!＝λ错误!＝错误!，∴E错误!.∵错误!＝错误!错误!＝错误!,∴F错误!.∴错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!错误!＋错误!λ＝错误!＋错误!＋错误!λ≥1718＋2错误!＝错误!,当且仅当错误!＝错误!λ，即λ＝错误!时等号成立，符合题意．∴错误!·错误!的最小值为错误!.4．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，错误!·错误!＝4，错误!·错误!＝－1，则错误!·错误!的值是________．答案:错误!解析:解法一：以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC 的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设B（－a，0），C(a，0），A（b，c）,则E错误!,F错误!，错误!＝(b＋a，c)，错误!＝（b－a,c），错误!＝错误!，错误!＝错误!,错误!＝错误!,错误!＝错误!，由错误!·错误!＝b2－a2＋c2＝4,错误!·错误!＝错误!－a2＋错误!＝－1，解得b2＋c2＝错误!，a2＝错误!，则错误!·错误!＝错误!(b2＋c2）－a2＝错误!.解法二：设错误!＝a，错误!＝b，则错误!·错误!＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9｜b|2－｜a|2＝4，错误!·错误!＝（a＋b）·（－a＋b）＝｜b｜2－|a｜2＝－1，解得|a｜2＝错误!，｜b|2＝错误!，则错误!·错误!＝（a＋2b)·(－a＋2b)＝4｜b｜2－｜a|2＝错误!。
高考数学统考一轮复习课后限时集训54双曲线理含解析新人教版
课后限时集训(五十四) 双曲线建议用时：40分钟一、选择题1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A ．22B ．1C ． 2D ．2 C 〖根据渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线，可得a ＝b ，所以c ＝2a ， 则该双曲线的离心率为e ＝ca＝2，故选C ．〗2．已知双曲线的方程为y 24－x 29＝1，则下列关于双曲线说法正确的是( )A ．虚轴长为4B ．焦距为25C ．离心率为133D ．渐近线方程为2x ±3y ＝0D 〖由题意知，双曲线y 24－x 29＝1的焦点在y 轴上，且a 2＝4，b 2＝9，故c 2＝13，所以选项A ，B 均不对；离心率e ＝c a ＝132，故选项C 不对；由双曲线的渐近线知选项D 正确．故选D ．〗3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．x 24－y 23＝1B ．x 29－y 216＝1C ．x 216－y 29＝1D ．x 23－y 24＝1C 〖由题意得e ＝1＋b 2a 2＝54，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1.〗4．(2020·全国卷Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．72B ．3C ．52D ．2B 〖法一：设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝16.不妨令点P 在双曲线C 的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝6，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6＝3，故选B ．法二：设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以S △PF 1F 2＝b 2tan θ2＝3tan 45 °＝3(其中θ＝∠F 1PF 2)，故选B ．〗5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 216＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|＝( )A ．1B ．13C ．17D ．1或13B 〖由题意知双曲线x 2a 2－y 216＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0，可得4a ＝43，解得a ＝3，所以c ＝a 2＋b 2＝5.又由F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|＝7，可得点P 在双曲线的左支上，所以|PF 2|－|PF 1|＝6，可得|PF 2|＝13.故选B ．〗6．(2020·西安模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为2，则其一条渐近线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°B 〖设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点A (a,0)，右焦点F 2(c,0)到渐近线y ＝bax 的距离分别为1和2，则有⎩⎪⎨⎪⎧ab a 2＋b 2＝1，bca 2＋b 2＝2，即a c ＝22. 则b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝c 2a 2－1＝2－1＝1，即ba＝1.设渐近线y ＝b a x 的倾斜角为θ，则tan θ＝ba ＝1.所以θ＝45°，故选B ．〗7．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1B 〖由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B ．〗8．(2020·南昌模拟)圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(2，5)B ．⎝⎛⎭⎫53，52 C ．⎝⎛⎭⎫54，52D ．(5，2＋1)C 〖不妨设该渐近线经过第二、四象限，则该渐近线的方程为bx ＋ay ＝0.因为圆C ：x 2＋(y －5)2＝9，所以圆C 的圆心为(0,5)，半径为3，所以2＜|5a |a 2＋b 2＜4，结合a 2＋b 2＝c 2，得54＜c a ＜52，所以该双曲线的离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫54，52.〗 二、填空题9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝ ；b ＝ .1 2 〖由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以ba＝2.又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.〗10．(2020·南宁模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是 ．2 〖由已知得|AB |＝|CD |＝2b 2a ，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c .因为2|AB |＝3|BC |，所以4b 2a ＝6c ，又b 2＝c 2－a 2，所以2e 2－3e －2＝0， 解得e ＝2，或e ＝－12(舍去)．〗11．已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是 ．(0,2) 〖对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．〗 12．已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2n ＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21－e 22＝ ，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝ .0 3 〖由题意得椭圆的半焦距满足c 21＝4－m ，双曲线的半焦距满足c 22＝1＋n ， 又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m ＝1＋n ， 即m ＋n ＝3，则4e 21－e 22＝4×4－m 4－(1＋n )＝3－(m ＋n )＝0.不妨设F 1，F 2分别为两曲线的左、右焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，则|PF 1|·|PF 2|＝3.〗1．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为 ．2 〖如图，由F 1A →＝AB →，得F 1A ＝AB ．又OF 1＝OF 2，所以OA 是三角形F 1F 2B 的中位线， 即BF 2∥OA ， BF 2＝2OA ． 由F 1B →·F 2B →＝0，得F 1B ⊥F 2B ，OA ⊥F 1A ， 则OB ＝OF 1，所以∠AOB ＝∠AOF 1，又OA 与OB 都是渐近线，得∠BOF 2＝∠AOF 1， 又∠BOF 2＋∠AOB ＋∠AOF 1＝180°， 得∠BOF 2＝∠AOF 1＝∠BOA ＝60°， 又渐近线OB 的斜率为ba ＝tan 60°＝3，所以该双曲线的离心率为e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝1＋(3)2＝2.〗2．(2020·黄冈模拟)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，一个焦点为F (0，－8)，则该双曲线的标准方程为 ．已知点A (－6,0)，若点P 为C 上一动点，且P 点在x 轴上方，当点P 的位置变化时，△P AF 的周长的最小值为 ．y 216－x 248＝1 28 〖∵双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，一个焦点为F (0，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2b 2＝13，a 2＋b 2＝8，解得a ＝4，b ＝4 3. ∴双曲线的标准方程为y 216－x 248＝1.设双曲线的上焦点为F ′(0,8)，则|PF |＝|PF ′|＋8， △P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋|P A |＋|AF |＋8.当P 点在第二象限，且A ，P ，F ′共线时，|PF ′|＋|P A |最小，最小值为|AF ′|＝10. 而|AF |＝10，故△P AF 的周长的最小值为10＋10＋8＝28.〗。
高考数学理一轮总复习必修部分开卷速查53双曲线(含解析)新人教A版
开卷速查(五十三) 双曲线A 级 基础巩固练1．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9解析：由渐近线方程3x －2y ＝0，知b a ＝32.又b 2＝9，所以a ＝2，从而|PF 2|＝7，故选C.答案：C2．与椭圆C ：y 216＋x 212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B ．y 2－2x 2＝1 C.y 22－x 22＝1 D.y 23－x 2＝1 解析：椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为y 2m －x 2n＝1(m ＞0，n ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3m －1n＝1，m ＋n ＝4，解得m ＝n ＝2，故选C.答案：C3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与圆x 2＋y 2－10x ＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为( )A.x 25－y 220＝1 B ．x 225－y 220＝1 C.x 220－y 25＝1 D.x 220－y 225＝1 解析：由题意知圆心坐标为(5,0)，即c ＝5，又e ＝c a＝5，∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：A4．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (其中c 为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为( ) A.32 B ．52C.352D.52解析：不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y ＝bax ，即bx －ay ＝0.则焦点到渐近线的距离为|bc |b 2＋a2＝53c ，即b ＝53c ，从而b 2＝59c 2＝c 2－a 2，所以49c 2＝a 2，即e 2＝94，所以离心率e ＝32.答案：A5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 则由题意得b a＞2. ∴e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＞1＋4＝ 5.答案：C6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B ．x 23－y 24＝1C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：依题意可知双曲线的一条渐近线方程为y ＝43x ，c ＝5，而双曲线x 2a 2－y2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝43因此，a ＝3，b ＝4.答案：C7．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y 2n －x 2m＝1的焦距等于4，则n ＝__________.解析：因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y 轴，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1，所以椭圆方程为y 2n＋x 2＝1，且n ＞0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．答案：58．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为__________．解析：由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5，所以|PQ |＝4b ＝16＞2a ， 又因为A (5,0)在线段PQ 上，所以P ，Q 在双曲线的一支上，且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知：⎩⎪⎨⎪⎧|PF |－|PA |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6.所以|PF |＋|QF |＝28.即△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44. 答案：449．已知点F 、A 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为__________．解析：依题意得F (－c,0)，A (a,0)，又B (0，b )，则FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．由FB →·AB→＝0，得b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，c 2－a 2ac ＝1，即e －1e ＝1，e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52.又e ＞1，所以e ＝1＋52，即双曲线的离心率等于1＋52. 答案：1＋5210．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解析：(1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，∴a ＝b . ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4. ∴a 2＝b 2＝2.∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1. ∴x 0＝3y 0.①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c . ∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32c ，12c . 代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0，∵e ＞1，∴e ＝2，∴双曲线的离心率为 2.B 级 能力提升练11．直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)左右两支分别交于M 、N 两点，F是双曲线C 的右焦点，O 是坐标原点，若|FO |＝|MO |，则双曲线的离心率等于( )A.3＋ 2 B ．3＋1 C.2＋1D ．2 2解析：由题意知|MO |＝|NO |＝|FO |，∴△MFN 为直角三角形，且∠MFN ＝90°，取左焦点为F 0，连接NF 0，MF 0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF 0为平行四边形．又∵∠MFN ＝90°，∴四边形NFMF 0为矩形，∴|MN |＝|F 0F |＝2c ，又∵直线MN 的倾斜角为60°，即∠NOF ＝60°， ∴∠NMF ＝30°，∴|NF |＝|MF 0|＝c ，|MF |＝3c ， 由双曲线定义知|MF |－|MF 0|＝3c －c ＝2a ， ∴e ＝c a＝3＋1. 答案：B12．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，2)C ．(3，2)D ．(2,3)解析：由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF ＜π4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a2，取点A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |＜|EF |就能使∠AEF ＜π4，即b 2a ＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2＜0，即e 2－e －2＜0，即－1＜e ＜2.又e ＞1，故1＜e ＜2.答案：A13．如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .(1)求双曲线的离心率e ；(2)求菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2. 解析：(1)由△B 2OF 2的面积可得a b 2＋c 2＝bc ， ∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0.∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52.∴e ＝1＋52.(2)设∠B 2F 1O ＝θ，则sin θ＝b b 2＋c2，cos θ＝cb 2＋c 2，S 1S 2＝2bc 4a 2sin θcos θ＝2bc4a 2bcb 2＋c 2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52. 14．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B . (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解析：(1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得 (k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝2k 2－8k 2－2>0，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0.解得k 的取值范围是－2<k <－ 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k2－k2，x 1·x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)． 则由FA ⊥FB 得：(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0. 即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0.整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝62代入③式化简得 5k 2＋26k －6＝0.解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)，可知存在k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训：第九章 解析几何9-8含答案
真题演练集训1．设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x 轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1）证明｜EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围．解：(1)因为｜AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.所以|EB｜＝｜ED｜,故｜EA｜＋|EB|＝｜EA|＋|ED｜＝｜AD｜.又圆A的标准方程为（x＋1)2＋y2＝16，从而｜AD|＝4，所以｜EA｜＋｜EB|＝4。
由题设得A（－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得，点E的轨迹方程为错误!＋错误!＝1(y≠0）．（2）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k（x－1)（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2)．由错误!得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0,则x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!，所以|MN｜＝1＋k2｜x1－x2|＝错误!。
过点B(1，0)且与l垂直的直线m:y＝－错误!（x－1)，A到m的距离为错误!，所以|PQ|＝2错误!＝4错误!。
故四边形MPNQ的面积为S＝错误!|MN|｜PQ|＝12错误!。
可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为（12,8错误!）．当l与x轴垂直时，其方程为x＝1,|MN｜＝3,｜PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12。
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为一种作图工具如图①所示．O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N 处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN＝ONN绕O转＝1，MN＝3 .当栓子D在滑槽AB内做往复运动时，带动．．动一周(D不动时，N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C。
以O 为原点, AB所在的直线为x轴建立如图②所示的平面直角坐标系．① ②(1）求曲线C 的方程；(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值；若不存在，请说明理由．解:(1)设点D (t,0）（｜t |≤2），N (x 0，y 0)，M (x ,y ），依题意,错误!＝2错误!，且|DN ，→｜＝｜错误!|＝1，所以(t －x ，－y ）＝2(x 0－t ，y 0),且错误!即错误!且t (t －2x 0)＝0.由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0,于是t ＝2x 0，故x 0＝错误!,y 0＝－错误!.代入x 错误!＋y 错误!＝1，可得错误!＋错误!＝1，故曲线C的方程为错误!＋错误!＝1。
2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.6 双曲线真题演练集训 理 新人教a版
2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.6 双曲线真题演练集训 理 新人教A 版1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)答案：A解析：由题意，得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.2．[2016·天津卷]已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案：D解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选D.3．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3 D ．2答案：A解析：设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a2，所以y ＝±b 2a.因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a2c＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e ＝24， 所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝ 2.故选A. 4．[2016·浙江卷]已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1答案：A解析：由于m 2－1＝c 2，n 2＋1＝c 2，则m 2－n 2＝2，故m >n ，又(e 1e 2)2＝m 2－1m 2·n 2＋1n2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2>1，所以e 1e 2>1.故选A. 5．[2016·北京卷]双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a ＝________. 答案：2解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.6．[2016·山东卷]已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．答案：2解析： 如图，由题意不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2.设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则在Rt △BMN 中，|MN |＝2c ＝2， 故|BN |＝|BM |2＋|MN |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52. 由双曲线的定义可得2a ＝|BN |－|BM |＝52－32＝1，而2c ＝|MN |＝2，所以双曲线的离心率e ＝2c2a＝2.课外拓展阅读 求双曲线离心率的易错点[典例] [2016·天津模拟]已知双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn >0)的一条渐近线方程为y ＝±43x ，则该双曲线的离心率为________．[易错分析] (1)未考虑m ，n 的取值，易漏掉焦点在另一坐标轴上的情况； (2)易将ba弄错，从而导致失分． [解析] 当m >0，n >0时， 则有n m ＝43，所以n m ＝169， e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋169＝53；当m <0，n <0时， 则有m n ＝43，所以m n ＝169， e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋916＝54， 综上可知，该双曲线的离心率为53或54.[答案] 53或54温馨提醒(1)对于方程x 2m －y 2n＝1表示的曲线一定要视m ，n 的不同取值进行讨论，m ，n 的取值不同表示的曲线就不同．(2)对于双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn >0)的焦点位置不同，则ba的值就不一样，一定要注意区分．。
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课时跟踪检测50 Word版含解析
课时跟踪检测(五十)[高考基础题型得分练]．双曲线－＝的实轴长是虚轴长的倍，则＝( )．．．答案：解析：双曲线的方程可化为－＝，∴实轴长为，虚轴长为，∴＝×，解得＝.．已知双曲线的渐近线方程为＝±，且经过点()，则的方程为()．－＝－＝．－＝－＝答案：解析：由题意，设双曲线的方程为－＝λ(λ≠)，因为双曲线过点()，则－＝λ，解得λ＝－，所以双曲线的方程为－＝－，即－＝.．[·吉林长春模拟]已知，是双曲线－＝(＞，＞)的两个焦点，以为直径的圆与双曲线的一个交点是，且△的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )．．．答案：解析：不妨设点位于第一象限，为左焦点，＝－，＝，＝＋，其中＞＞，则有(－)＋＝(＋)，解得＝，故双曲线的离心率＝＝.．[·安徽黄山一模]设，是双曲线－＝的两个焦点，是双曲线上的一点，且＝，则△的面积等于( )．．．．答案：解析：由已知，得(－)，()，＝.设＝，∵＝，∴＝.由双曲线的性质知－＝，解得＝.∴＝，＝，∴∠＝°，∴△的面积＝××＝，故选.．[·吉林长春二模]过双曲线－＝的右支上一点，分别向圆：(＋)＋＝和圆：(－)＋＝作切线，切点分别为，，则－的最小值为( )．．．．答案：解析：由题意可知，－＝(－)－(－)，因此－＝－－＝(－)(＋)－＝(＋)－≥－＝.故选.．已知椭圆＋＝(>>)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为；双曲线－＝(>，>)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为.则等于()．．答案：解析：由＝，得－＝，∴＝＝.由＝，得－＝，∴＝＝.。
[精品]2018版高考数学人教A版理一轮复习真题集训第三章导数及其应用31和答案
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真题演练集训1．曲线y＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A．2e B．eC．2 D．1答案：C解析：y′＝e x－1＋x e x－1＝(x＋1)e x－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.2．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a ＝( )A．0 B．1C．2 D．3答案：D解析：y′＝a－1x＋1，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a ＝3.3．已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．答案：y＝－2x－1解析：由题意可得，当x>0时，f(x)＝ln x－3x，则f′(x)＝1x－3，f′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.4．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x ＋1)的切线，则b＝________.答案：1－ln 2解析：设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))，则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1x1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋x 2＋，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.5．设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________． 答案：(1,1)解析：y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x(x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m >0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．课外拓展阅读求解导数问题最有效的两种解题方法方法一 公式法利用导数公式和运算法则求导数的方法为公式法，其基本的解题步骤是：第一步，用公式，运用导数公式和运算法则对所给函数进行求导；第二步，得结论； 第三步，解后反思．求函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导数．解法一：y ′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.解法二：设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3， 则y ′＝y u ′·u v ′·v x ′ ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin v cos v＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.温馨提示当函数中既有复合函数求导，又有函数的四则运算时，要根据题中给出的表达式决定是先用四则运算还是先用复合函数求导法则，同时需要注意，复合函数的求导原则是从外层到内层进行，不要遗漏． 方法二 构造法有些与函数有关的问题无法直接用导数来处理的，需要构造新的函数进行解决，这样的方法称为构造法，其基本的解题步骤是： 第一步，构造函数，对要求的函数进行变形，或构造一个新的函数； 第二步，运用公式，对变形后的函数或新构造的函数运用导数公式和运算法则进行求导； 第三步，得出结论．证明：当x ＞1时，有ln 2(x ＋1)＞ln x · ln(x ＋2)．构造辅助函数f (x )＝x ＋ln x(x ＞1)，于是有f ′(x )＝x ln x －x ＋x ＋x x ＋2x.因为1＜x ＜x ＋1， 所以0＜ln x ＜ln(x ＋1)， 即x ln x ＜(x ＋1)ln(x ＋1)．则在(1，＋∞)内恒有f ′(x )＜0， 故f (x )在(1，＋∞)内单调递减． 又1＜x ＜x ＋1， 则f (x )＞f (x ＋1)， 即x ＋ln x＞x ＋x ＋，所以ln 2(x ＋1)＞ln x ·ln(x ＋2)． 技巧点拨要证明f (x )＞g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )＞0，则F (x )在(a ，b )内是增函数，同时F (a )≥0，则有x ∈(a ，b )时，F (x )＞0，即证明了f (x )＞g (x )．同理可证明f (x )＜g (x )．但要注意，此法中所构造的函数F (x )在给定区间内应是单调的．混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a ＝( ) A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7没有对点(1,0)是否为切点进行分析，误认为是切点而出错． 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)， 即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，切线方程为y ＝0，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.综上，a 的值为－1或－2564.A 易错提醒1．对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式、求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．2．对于已知的点，应先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解．。
最新-2018届高考数学一轮复习 双曲线调研课件 文 新人教A版 精品
15
（ 4
）
2
32
由
a2 －b2＝1，
b2
a2＝
(－43)2.
a2＝ 9， 解得b2＝ 16.
x2 y2 故所求的双曲线方程为 9 －16＝1. (2)设 F1、F2 为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦 点在 x 轴上． ∵PF1⊥ PF2 且|OP|＝ 6，
∴所求双曲线方程为20－ 5 ＝1 或 5 －20＝1.
③椭圆焦点为(±4,0)，顶点为(± 5,0)，
∴a＝ 4，c＝5， b2＝25－16＝ 9.
x2 y2 ∴所求双曲线方程为16－ 9 ＝1.
④设双曲线方程为 mx2－ ny2＝1.(m，n>0)
9m－ 28n＝ 1 ∴72m－ 49n＝ 1
m＝－715
∴2c＝ |F1F2|＝2|OP|＝ 12，∴c＝ 6. π
又 P 与两顶点连线夹角为 3 ， π
∴a＝ |OP|·tan 6 ＝ 2 3，∴b2＝c2－ a2＝24， x2 y2
故所求的双曲线方程为12－24＝1.
题型三 双曲线的几何性质
3
x2 y2
例 3 (1)若直线 y＝2x 与双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的交点在实轴上的射
1 sinB－sinC＝2sinA 时，求点 A 的轨迹方程．
【解析】 (1)设动圆 M 的半径为 r，则由已知 |MC1|＝ r＋ 2， ∴|MC2|＝ r－ 2， ∴|MC1|－ |MC2|＝2 2. 又 C1(－ 4,0)，C2(4,0)． ∴|C1C2|＝ 8，∴2 2<|C1C2|. 根据双曲线定义知，点 M 的轨迹是以 C1(－ 4,0)、C2(4,0)
2018版高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书 第8章 第6节 双曲线 Word版含解析
第六节双曲线[考纲传真] .了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).理解数形结合的思想.了解双曲线的简单应用．．双曲线的定义为非零常数(<)的点的轨迹平面内与两个定点，(＝>)的距离之差的()绝对值叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的．焦点()集合＝{－＝}，＝，其中，为常数且>，>.①当<时，点的轨迹是双曲线；②当＝时，点的轨迹是两条射线；当③>时，点不存在．．双曲线的标准方程和几何性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为＝±，离心率为＝.．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()平面内到点()，(，－)距离之差的绝对值等于的点的轨迹是双曲线．()()方程－＝(>)表示焦点在轴上的双曲线．( ) ()双曲线方程－＝λ(>，>，λ≠)的渐近线方程是－＝，即±＝.( )()等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )[答案]()×()×()√()√．(教材改编)已知双曲线－＝(>)的离心率为，则＝( )．[依题意，＝＝＝，∴＝，则＝，＝.]．(·福州质检)若双曲线：－＝的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且＝，则等于( )．．[由题意知＝，＝，∴＝.由双曲线的定义－＝－＝＝，∴＝.]．(·全国卷Ⅰ)已知方程－＝表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为，则的取值范围是( ).(－，)．(－).(，)．()[∵原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为.∴(\\(＋＋－＝，,(＋((－(>，))则(\\(＝，,－<<，))因此－<<.]．(·北京高考)双曲线－＝(>，>)的渐近线为正方形的边，所在的直线，点为该双曲线的焦点．若正方。
适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习课时规范练64双曲线新人教A版
课时规范练64 双曲线基础巩固练1.(2024·湖北武汉模拟)已知双曲线=1的离心率为2,则a=()A.-1B.1C.-3D.32.(2024·湖南衡阳八中模拟)已知双曲线C:=1(a>0)的一个焦点为(5,0),则双曲线C的渐近线方程为()A.3x±4y=0B.4x±y=0C.16x±9y=0D.4x±3y=03.(2024·湖南岳阳模拟)已知k∈R,则“-2<k<3”是“方程=1表示双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2024·浙江绍兴模拟)已知双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,若左支上的两点A,B与左焦点F1三点共线,且△ABF2的周长为8,则|AB|=()A.2B.3C.4D.65.(2021·全国甲,理5)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为()A. B.C. D.6.(2024·山东菏泽模拟)设F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,过左焦点F1作直线F1P与圆x2+y2=a2切于点E,与双曲线右支交于点P,且△OF1P为等腰三角形,则双曲线的离心率为()A. B.2C. D.7.(2020全国Ⅰ,文11)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为()A. B.3C. D.28.(2024·广东模拟)已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则双曲线的两条渐近线的夹角为()A. B.C. D.9.(2024·广东广州模拟)已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为焦点的椭圆过A,B两点,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为()A.y2-=1(y≤-1)B.y2-=1(y≥1)C.-x2=1(y≤-4)D.-x2=1(y≥4)10.(2024·山东日照模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,点A(-2,2)为椭圆C 内一点,点Q(a,b)在双曲线E:=1上,若椭圆上存在一点P,使得|PA|+|PF2|=8,则a的取值范围是()A.(+1,5]B.[3,5]C.(+1,2]D.[]11.(多选题)(2024·山东枣庄模拟)已知曲线C1:5x2+y2=5,C2:x2-4y2=4,则下列说法正确的是()A.C1的长轴长为B.C2的渐近线方程为x±2y=0C.C1与C2的离心率互为倒数D.C1与C2的焦点相同12.(多选题)(2024·江苏镇江模拟)已知点P在双曲线C:=1上,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的是()A.点P到x轴的距离为B.|PF1|+|PF2|=C.△PF1F2为钝角三角形D.∠F1PF2=13.若双曲线=1的离心率为2,则此双曲线的渐近线方程为.14.P为双曲线x2-=1右支上一点,M,N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为.15.(2022·全国甲,文15)记双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满意条件“直线y=2x 与C无公共点”的e的一个值.16.(2024·湖北襄阳四中模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),点A(0,1),点P为双曲线左支上的动点,且△APF的周长不小于18,则双曲线C的离心率的取值范围为.综合提升练17.(2023·天津,9)双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=118.(2024·青海玉树模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A是虚轴的一个端点,点P是C的左支上的一点,且△PAF的周长的最小值为6a,则C的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x19.(多选题)(2024·山东威海模拟)已知双曲线E:=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且斜率为的直线l与E的右支交于点P,若∠F1PF2=45°,则下列说法正确的是()A.E的离心率为B.E的渐近线方程为y=±xC.点P到直线x=1的距离为2D.以实轴为直径的圆与直线l相切20.(2024·江苏新高考模拟)设过双曲线C:=1(a>0,b>0)左焦点F的直线l与C交于M,N两点,若=3,且=0(O为坐标原点),则C的离心率为.创新应用练21.(2024·湖南师大附中模拟)古希腊几何学家采纳切割圆锥的方法探讨圆锥曲线,用平行于圆锥的轴的平面截圆锥得到双曲线的一支.已知圆锥PQ的轴截面为等边三角形,平面α∥PQ,平面α截圆锥侧面所得曲线记为C,则曲线C所在双曲线的离心率为()A. B.C. D.2课时规范练64双曲线1.A解析由题意可知,双曲线=1的焦点在x轴上,故该双曲线的离心率为e==2,解得a=-1.2.D解析已知双曲线C的一个焦点为(5,0),得c=5,则a2=c2-16=9,即a=3,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.3.B解析若方程=1表示双曲线,则(2-k)(2+k)>0,即-2<k<2,由-2<k<2能推出-2<k<3,必要性成立,由-2<k<3不能推出-2<k<2,充分性不成立,故“-2<k<3”是“方程=1表示双曲线”的必要不充分条件.4.A解析因为双曲线C:x2-y2=1,所以a=1.由双曲线的定义,得|AF2|-|AF1|=2a=2,|BF2|-|BF1|=2a=2,两式相加,得|AF2|+|BF2|-|AB|=4a=4,又因为△ABF2的周长为8,即|AF2|+|BF2|+|AB|=8,两式相减得|AB|=2.5.A解析不妨设|PF2|=1,|PF1|=3,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=7,所以2c=|F1F2|=,所以c=,2a=|PF1|-|PF2|=2,a=1,所以离心率e=6.A解析因为直线F1P与圆x2+y2=a2切于点E,则OE⊥F1P,而△OF1P为等腰三角形,必有|OP|=|OF1|,E为F1P的中点,而O为F1F2的中点,于是OE∥PF2,有PF1⊥PF2,且|PF2|=2|OE|=2a,则|PF1|=4a.令双曲线的焦距为2c,由|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2,得(2a)2+(4a)2=(2c)2,即c2=5a2,有e2=5,所以双曲线的离心率为e=7.B解析由题意知a=1,b=,c=2.不妨设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则F1(-2,0),F2(2,0).因为|OP|=2,所以点P在以O为圆心,F1F2为直径的圆上,故PF1⊥PF2,则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=2a=2,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,所以|PF1|·|PF2|=6,所以△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=3.8.C解析设双曲线=1的半焦距为c.因为双曲线=1的离心率为,所以e=,即c= a.由a2+b2=c2,得b2=c2-a2=(a)2-a2=a2,所以b=a,即所以渐近线方程为y=±x=±x,所以两条渐近线的倾斜角分别为因为,所以两条渐近线的夹角为π-9.A解析因为A(0,7),B(0,-7),C(12,2),所以|AC|==13,|BC|==15,|AB|=14,因为A,B都在椭圆上,所以|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2<14,故点F的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的下支,又2c=|AB|=14,2a=|AF|-|BF|=2,即c=7,a=1,所以b2=48,因此点F的轨迹方程是y2-=1(y≤-1). 10.A解析点Q(a,b)在双曲线E:=1上,所以a2-b2=4,所以椭圆左焦点F1坐标为(-2,0).因为|PA|+|PF2|=8,所以|PA|+2a-|PF1|=8,所以||PA|-|PF1||=|8-2a|≤|AF1|=2,所以3≤a≤5.因为a2-b2=4,所以b2=a2-4.因为点A(-2,2)为椭圆C内一点,所以<1,所以<1,所以a4-12a2+16>0,解得a>+1或a<-1,又3≤a≤5,所以+1<a≤5.11.BC解析曲线C1:5x2+y2=5整理得+x2=1,则曲线C1是焦点在y轴上的椭圆,其中=5,=1,所以=4,离心率为e1=,故曲线C1的长轴长2a1=2,故A错误;曲线C2:x2-4y2=4整理得-y2=1,则曲线C2是焦点在x轴上的双曲线,其中=4,=1,所以=5,离心率为e2=,C2的渐近线方程为y=±x,即x±2y=0,故B正确;e1·e2==1,所以C1与C2的离心率互为倒数,故C正确;C1的焦点在y轴上,C2的焦点在x轴上,焦点位置不同,故D错误.故选BC.12.BC解析设点P(x P,y P).因为双曲线C:=1,所以c==5.又2c|y P|=10×|y P|=20,所以|y P|=4,故A错误.因为|y P|=4,所以=1,得|x P|=由双曲线的对称性,不妨取点P的坐标为(,4),得|PF2|=由双曲线的定义得|PF1|=|PF2|+2a=+8=,所以|PF1|+|PF2|=,故B正确.在△PF1F2中,|PF1|=>2c=10>|PF2|=,且cos∠PF2F1==-<0,则∠PF2F1为钝角,所以△PF1F2为钝角三角形,故C正确.由余弦定理得cos∠F1PF2=,所以∠F1PF2,故D错误.故选BC.13.y=±x 解析∵双曲线的离心率e==2,即c=2a,∴a2+b2=c2=4a2,即b2=3a2,则,故此双曲线的渐近线方程为y=±x.14.5解析双曲线的两个焦点F1(-4,0),F2(4,0)分别为两圆的圆心,圆F1与圆F2的半径分别为r1=2,r2=1,易知|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为|PF1|+2-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=2+3=5.15.2(答案不唯一,只要1<e即可)解析由题意知,双曲线C的渐近线方程为y=±x,要使直线y=2x与双曲线C无公共点,只需2即可.由2,得4,所以e2≤5,故1<e16.(1,]解析由右焦点为F(2,0),点A(0,1),可得|AF|==5.因为△APF的周长不小于18,所以|PA|+|PF|≥13.设F2为双曲线的左焦点,可得|PF|=|PF2|+2a,故|PA|+|PF|=|PA|+|PF2|+2a,当A,P,F2三点共线时,|PA|+|PF2|+2a取最小值|AF2|+2a,即5+2a,所以5+2a≥13,即a≥4.因为c=2,所以e=又e>1,所以e∈(1,].17.D解析双曲线的渐近线方程为y=±x,由双曲线的对称性,不妨过点F2作渐近线y=x的垂线,如图所示.设点P(m,),F1(-c,0),F2(c,0),则有因为PF2⊥OP,所以=-1,即=-1.整理得m(a2+b2)=a2c.又a2+b2=c2,所以m=,即P().由题意,知点F2到渐近线y=x的距离|PF2|=2,即=b=2.又,将b=2代入上式,整理得a2-2a+2=0,解得a=故所求双曲线的方程为=1.故选D.18.A解析设C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF1|.不妨设A(0,b).由双曲线的对称性知|AF|=|AF1|=△PAF的周长为|AP|+|AF|+|PF|=|AP|+|AF|+2a+|PF1|,因为|AP|+|PF1|≥|AF1|,当A,P,F1三点共线时取等号.所以△PAF的周长的最小值为2+2a.因为△PAF的周长的最小值为6a,所以2+2a=6a,化简得,所以C的渐近线方程为y=±x.19.ACD解析由双曲线方程可知,a2=3.设∠PF1F2=θ,则tanθ=,那么cosθ=,sinθ=作PA垂直于x轴,垂足为点A,设|PA|=h,|PF2|=x,则|PF1|=x+2,所以=sin(45°+θ)==sinθ=,解得x=2,即|PF2|=2,|PF1|=2+2在△PF1F2中,依据余弦定理,可得4c2=(2+2)2+(2)2-2×(2+2)×2cos45°,4c2=36,得c=3,所以双曲线的离心率e=,故A正确;b=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,故B错误;直线l的方程为y=(x+3),与双曲线方程=1联立,消去y,整理得x2-2x-7=0,解得x=1±2因为点P在双曲线的右支上,所以点P的横坐标为1+2,点P到直线x=1的距离为2,故C正确;以实轴为直径的圆的圆心为原点,半径为,原点到直线l的距离d=,故D正确.故选ACD.20解析如图,设P为MN中点,|MF|=t,双曲线的右焦点是F2.由=3,可知|FN|=3t,|MP|=|PN|=t.由双曲线的定义可知|MF2|=t+2a,|NF2|=3t-2a.由=0,可知OM⊥FN.又O为FF2的中点,M为FP的中点,可知OM∥PF2,则PF2⊥FN.从而PF2为线段MN的垂直平分线,所以|MF2|=|NF2|,即t+2a=3t-2a,所以t=2a,则△MNF2为正三角形,|PF2|=2 a.在直角三角形FPF2中,|FP|2+|PF2|2=|FF2|2,即(4a)2+(2a)2=(2c)2,所以e=21.A解析如图,设平面α∥PQ,平面α与圆锥的母线PA交于点M,与圆锥底面交于EF,点E,F在底面圆上.AB是底面圆的直径,EF⊥AB.平面α与圆锥的侧面的交线为C.设点P在平面α内的投影为点O,以O为原点,PQ在平面α内的投影为x轴建立平面直角坐标系.设等边三角形PAB的边长为2,|AM|=m,EF与AB交于点H.连接FQ,则,则|AH|=|QH|=1-,则|FH|=,又|OH|=,则F().又,所以|MH|=,所以|OM|=设双曲线C的标准方程为=1,则a=|OM|=,因为点F在C上,所以=1,则b2=-m+1故双曲线C的离心率是e=。
2018年高考数学总复习课时规范练45双曲线文新人教A版
课时规范练双曲线
基础巩固组
.已知双曲线(>)的离心率为,则()
.
.
.(辽宁抚顺重点校一模,文)当双曲线(≤<)的焦距取得最小值时,双曲线的渐近线方程为()
±
±
±
±〚导学号〛
.(河南濮阳一模,文)双曲线(>>)的左、右焦点分别为,过作轴的垂线交双曲线于两点,若∠
<,则双曲线离心率的取值范围是()
.(,)
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.()
.()
.已知双曲线(>>)的一个焦点为(),且双曲线的渐近线与圆()相切,则双曲线的方程为()
.已知()是双曲线上的一点是的两个焦点.若<,则的取值范围是()
.
.
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.
.(河北武邑中学一模,文)已知双曲线(>>)的左、右焦点分别为,以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(),则此双曲线的方程为()
.(天津,文)已知双曲线(>>)的右焦点为,点在双曲线的渐近线上,△是边长为的等边三角形(为原点),则双曲线的方程为()。
福建专用2018年高考数学总复习课时规范练45双曲线文新人教A
课时规范练45 双曲线基础巩固组1.已知双曲线=1(a>0)的离心率为2,则a=()A.2B.C.D.12.(2017辽宁抚顺重点校一模,文8)当双曲线M:=1(-2≤m<0)的焦距取得最小值时,双曲线M的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±2xD.y=±x〚导学号24190785〛3.(2017河南濮阳一模,文11)双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作x轴的垂线交双曲线于A,B两点,若∠AF2B<,则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,)B.(1,)C.(1,2)D.(,3)4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=15.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若<0,则y0的取值范围是()A.B.C.D.6.(2017河北武邑中学一模,文6)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=17.(2017天津,文5)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=18.(2017安徽淮南一模,文11)已知点F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|≥3|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(1,+∞)B.C.D.〚导学号24190786〛9.(2017辽宁大连一模,文15)过双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点,则双曲线的离心率为.10.已知方程=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是.11.(2017江苏无锡一模,8)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线=1的右焦点,则双曲线的离心率为.综合提升组12.(2017辽宁沈阳一模,文5)设F1和F2为双曲线=1(a>0,b>0)的两个焦点,若F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的渐近线方程是()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x13.(2017广西桂林一模,文11)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),圆F:(x-c)2+y2=c2,直线l与双曲线C的一条渐近线垂直且在x轴上的截距为a.若圆F被直线l所截得的弦长为c,则双曲线的离心率为()A.B.C.2D.3 〚导学号24190787〛14.(2017河北张家口4月模拟,文12)已知A,B为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右顶点,F1,F2为其左、右焦点,双曲线的渐近线上一点P(x0,y0)(x0<0,y0>0)满足=0,且∠PBF1=45°,则双曲线的离心率为()A. B.C. D.15.(2017江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.16.(2017山东,文15)在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.创新应用组17.(2017石家庄二中模拟,文12)已知直线l1与双曲线C:=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且AB中点M的横坐标为b,过点M且与直线l1垂直的直线l2过双曲线C的右焦点,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.〚导学号24190788〛18.(2017湖北武昌1月调研,文11)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,M是它们的一个公共点,且|MF1|>|MF2|,线段MF1的垂直平分线过点F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则的最小值为()A.6B.3C.D.答案：1.D由已知得=2,且a>0,解得a=1,故选D.2.C由题意,c2=m2+2m+6=(m+1)2+5,当m=-1时,焦距2c取得最小值,则双曲线的方程为x2-=1,其渐近线方程为y=±2x.3.A由题意,将x=-c代入双曲线的方程,得y2=b2,∴|AB|=.∵过焦点F1且垂直于x轴的弦为AB,∠AF2B<,∴tan∠AF2F1=,e=>1.∴e-.解得e∈(1,),故选A.4.D由题意知,双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.因为该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,所以,解得b2=3a2.又因为c2=a2+b2=4,所以a2=1,b2=3.故所求双曲线的方程为x2-=1.5.A由条件知F1(-,0),F2(,0),∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),∴-3<0.①又=1,∴=2+2.代入①得,∴-<y0<.6.C∵点(3,4)在以|F1F2|为直径的圆上,∴c=5,可得a2+b2=25.①又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y=x上,∴.②①②联立解得a=3,b=4,可得双曲线的方程为=1.7.D∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得∴双曲线的方程为x2-=1.故选D.8.C由|F1F2|=2|OP|,可得|OP|=c,则△PF1F2为直角三角形,且PF1⊥PF2,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|≥3|PF2|,所以|PF2|≤a,所以(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,化为(|PF2|+a)2=2c2-a2,即有2c2-a2≤4a2,可得c≤a,由e=>1可得1<e≤,故选C.9.由题意,所给直线应与双曲线的一条渐近线y=x平行,∴=1,即=1.解得e2=2,故答案为.10.(-1,3)因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1.又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)>0,解得-1<n<3,故选A.11.2抛物线y2=8x的焦点为(2,0),则双曲线=1的右焦点为(2,0),即有c==2,解得|a|=1,所以双曲线的离心率为e==2.故答案为2.12.B∵F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,设F1(-c,0),F2(c,0),则|F1P|=,∴=2c.∴c2+4b2=4c2,∴c2+4(c2-a2)=4c2.∴c2=4a2,即c=2a,b= a.∴双曲线的渐近线方程为y=±x,即为y=±x.故选B.13.C由题意,设直线l的方程为y=-,即x+y-=0,∵圆F被直线l所截得的弦长为c,∴圆心到直线的距离d=.∴e2-3e+2=0.∵e>1,∴e=2,故选C.14.D∵满足=0,∴PF1⊥PF2.∴|PO|=|F1F2|=c.由双曲线的渐近线方程y=-x,将点P(x0,y0)代入得bx0+ay0=0.①又在Rt△PAO中,|PA|2+|AO|2=|PO|2,即=c2.②联立①②解得P(-a,b),则PA⊥AB.又∠PBF1=45°,则|PA|=|AB|,即有b=2a,可得c=a,则e=.故选D.15.2该双曲线的右准线方程为x=,两条渐近线方程为y=±x,得P,Q,又c=,所以F1(-,0),F2(,0),四边形F1PF2Q的面积S=2=2.16.y=±x 抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4²=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以.所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.17.B解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(b,y M),由得=0,又代入上式得a2=bc,即a4=(c2-a2)c2,有e4-e2-1=0,得e=.解法二:设M(b,d),则k OM=,则由双曲线中点弦的斜率公式k AB²k OM=,得k AB=,∵过点M且与直线l1垂直的直线l2过双曲线C的右焦点,∴=k MF=,k AB²=-1,即=-1,化简得bc=a2.∴²c=a2,e4-e2-1=0,e=.18.A设椭圆方程为=1(a1>b1>0),双曲线方程为=1(a2>0,b2>0).∵线段MF1的垂直平分线过点F2,∴|F1F2|=|F2M|=2c.又|F1M|+|F2M|=2a1,|F1M|-|F2M|=2a2,∴|F1M|+2c=2a1,|F1M|-2c=2a2.两式相减得a1-a2=2c,∴==4+≥4+2=6,当且仅当时等号成立,∴的最小值为6.。
2018高考一轮通用人教A版数学(课件)第8章 第6节 双曲线
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高三一轮总复习 [变式训练 2] (1)(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4， 3)，且渐近线方程为
其中 a，c 为常数且 a>0，c>0.
①当_2_a_<__|F_1_F_2_| __时，M 点的轨迹是双曲线； ②当_2_a_＝__|_F_1F__2|__时，M 点的轨迹是两条射线；
③当_2_a_>_|_F_1_F_2_| __时，M 点不存在．
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第三页，编辑于星期六：二十二点 四十分。
的一条渐近线与直线 2x＋y＝0 垂直，则双曲线的方程为( )
A.x42－y2＝1
B．x2－y42＝1
C.32x02－35y2＝1
D.35x2－32y02＝1
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第十六页，编辑于星期六：二十二点 四十分。
高三一轮总复习
(1)C (2)A [(1)由焦点 F2(5,0)知 c＝5. 又 e＝ac＝54，得 a＝4，b2＝c2－a2＝9. ∴双曲线 C 的标准方程为1x62 －y92＝1. (2)由焦距为 2 5得 c＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直线 2x＋y＝0 垂直， 所以ba＝12. 又 c2＝a2＋b2，解得 a＝2，b＝1， 所以双曲线的方程为x42－y2＝1.]
右焦点为 F2(5,0)，则双曲线 C 的方程为( ) 【导学号：31222317】
A.x42－y32＝1
B.x92－1y62 ＝1
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测52含答案
课时跟踪检测（五十二)1．双曲线x2－my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m＝（）A.错误! B.错误!C．2 D．4答案：D解析：双曲线的方程可化为x2－错误!＝1，∴实轴长为2，虚轴长为2错误!，∴2＝2×2错误!，解得m＝4。
2．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，且经过点(2,2），则C 的方程为( )A.错误!－错误!＝1 B。
错误!－错误!＝1C。
错误!－错误!＝1 D.错误!－错误!＝1答案：A解析：由题意，设双曲线C的方程为错误!－x2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C过点（2，2）,则224－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C的方程为错误!－x2＝－3，即错误!－错误!＝1.3．已知F1，F2是双曲线错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点是P,且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A。
错误!B。
错误!C．2 D．5答案：D解析:不妨设点P位于第一象限，F1为左焦点，｜PF2｜＝m－d,|PF1｜＝m，|F1F2｜＝m＋d,其中m＞d＞0，则有(m－d）2＋m2＝（m＋d)2，解得m＝4d，故双曲线的离心率e＝错误!＝5。
4．若双曲线x2＋错误!＝1的一条渐近线的倾斜角α∈错误!，则m的取值范围是（)A．（－3，0) B．(－3,0）C．(0，3) D。
错误!答案：A解析：由题意可知m〈0，双曲线的标准方程为x2－错误!＝1，经过第一、三象限的渐近线方程为y＝错误!x，因为其倾斜角α∈错误!，所以错误!＝tan α∈(0，错误!），故m∈（－3,0）．5．已知双曲线错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F 作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于点P,点P在第一象限，O 为坐标原点,若△OFP的面积为错误!，则该双曲线的离心率为（）A。
错误!B。
错误!C.错误!D.错误!答案：C解析：如图所示，由k PF＝－1，得∠PFO＝错误!，由k OP＝tan∠POF＝错误!，得sin∠POF＝错误!＝错误!，cos∠POF＝错误!＝错误!，所以sin∠OPF＝sin错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.又∵S△OPF＝错误!c·｜PF|·错误!＝错误!＝错误!,得|PF｜＝错误!,由正弦定理，得错误!＝错误!，整理得a＝3b，又a2＋b2＝c2，故e＝错误!。
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限时集训(五十四) 双 曲 线
(限时：45分钟 满分：81分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．若k ∈R 则“k >5”是“方程x 2
k －5－
y 2
k ＋2
＝1表示双曲线”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．与椭圆x 2
4＋y 2
＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )
A.x 2
4－y 2
＝1 B.x 2
2－y 2
＝1 C.x 23－y 23
＝1 D ．x 2
－y 2
2
＝1
3．(2013²惠州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取
值范围为( )
A ．(1， 5 )
B ．(1， 5 ]
C ．(5，＋∞)
D ．[5，＋∞)
4．(2012²浙江高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A ．3
B ．2 C. 3
D. 2
5．已知双曲线x 22－y 2
b
2＝1(b >0)的左，右焦点分别是F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，
点P (3，y 0)在双曲线上．则PF 1²PF
2＝( )
A ．－12
B ．－2
C ．0
D ．4
6．(2012²皖南八校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点且斜
率为
3
3的直线与双曲线渐近线平行，则此双曲线离心率是( ) A.
23
3
B. 3 C ．2
D ．2 3
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．(2012²江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2
m 2＋4
＝1的离心率为5，
则m 的值为________．
8．P 为双曲线x 2
－y 2
15＝1右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2
＝1
上的点，则|PM |－|PN |的最大值为________．
9．(2012²辽宁高考)已知双曲线x 2
－y 2
＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
10．双曲线C 与椭圆x 227＋y 2
36＝1有相同焦点，且经过点(15，4)．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝120°，求△F 1PF 2
的面积．
11.设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，
焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝
3
3
x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ＋ON ＝t OD
，求t 的值及点D 的坐标．
12．设双曲线y 2a －x 2
3
＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为2.
(1)求此双曲线的渐近线l 1，l 2的方程；
(2)若A ，B 分别为l 1，l 2上的点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
答 案
限时集训(五十四) 双 曲 线
1．A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.A 7．2 8.5 9.2 3
10．解：(1)椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0，3)．
设双曲线的方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)，
则a 2
＋b 2
＝32
＝9.① 又双曲线经过点(15，4)， 所以16a 2－15
b
2＝1，②
解①②得a 2＝4，b 2＝5或a 2＝36，b 2
＝－27(舍去)， 所以所求双曲线C 的方程为
y 24
－x 2
5
＝1. (2)由双曲线C 的方程，知a ＝2，b ＝5，c ＝3. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|m －n |＝2a ＝4， 平方得m 2
－2mn ＋n 2
＝16.① 在△F 1PF 2中，由余弦定理得
(2c )2
＝m 2
＋n 2
－2mn cos 120°＝m 2
＋n 2
＋mn ＝36.② 由①②得mn ＝20
3.
所以△F 1PF 2的面积为
S ＝12mn sin 120°＝
53
3
. 11．解：(1)∵由题意知a ＝23， ∴一条渐近线为y ＝b
23
x ，
即bx －23y ＝0. ∴
|bc |
b 2
＋12
＝3，解得b 2
＝3， ∴双曲线的方程为x 212－y 2
3
＝1.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0. 将直线方程代入双曲线方程得
x 2－163x ＋84＝0，
则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0y 0＝433，x 2
12－y 20
3＝1.
∴⎩⎨
⎧
x 0＝43，y 0＝3.
∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)． 12．解：(1)∵e ＝2，∴c 2
＝4a 2
. ∵c 2
＝a 2
＋3，∴a ＝1，c ＝2.
∴双曲线方程为y 2
－x 2
3＝1，渐近线方程为y ＝±3
3x .
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x ，y )． ∵2|AB |＝5|F 1F 2|，
∴|AB |＝52|F 1F 2|＝5
2³2c ＝10.
∴ x 1－x 2 2
＋ y 1－y 2 2
＝10. 又y 1＝
33x 1，y 2＝－3
3
x 2,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2， ∴y 1＋y 2＝
3
3
(x 1－x 2)， y 1－y 2＝
3
3
(x 1＋x 2)， ∴
[3 y 1＋y 2 ]2
＋⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤33 x 1＋x 2 2
＝10， ∴3(2y )2＋13(2x )2
＝100，
即x 2
75＋3y
2
25
＝1. 则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为103
3的椭圆．。